不確定性関係不確定性関係

不確定性関係

Werner Karl Heisenberg 1901-1976

行列力学

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a₁ a₂ a₃

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h₁₁ h₁₂ h₁₃ " "

h₂₁ h₂₂ h₂₃ " "

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不確定性関係

! x " ! p # h

2 $

sin 2 ! ^x

"

# $% &

'( = sin 2 ! ^px h

# $% &

'( = sin px

!

# $% &

'( ) != )) 1 * sin ( ) px

運動量

p

空間の狭い領域にとどませるにはどうしたらよいか？

x

波の性質

異なる運動量の波を重ね合わせてみる

sin (1

[

]

n n_max

!

n_max = 2

n_max = 4

n_max = 8

項の数に反比例して幅が狭まる

異なる運動量の波を重ね合わせる

＝＞

運動量の不確定さを増やしていく

＝＞

存在領域（位置）がより限られてくる

不確定性関係

! x " ! p # h

2 $ ^{= !}

位置と運動量を同時に定めることは不可能

波の回折

! " ^~ #

D p ! " ^{~ h}

D

ドブロイの関係式

x

p ! " ^~ ! p D ~ ! x

! x ! p ~ h

Δ = d sinθ ~ xd / L

d

x L

θ

２本の光線が強め合う条件は Δが波長の整数倍

xd

L = n ! ^{, x} = n ! ^L d

n = 1, x/L ~ θ, d = D

問：不確定性関係を使って水素原子の基底 状態のエネルギーを変分によって求めるこ とが出来る。

（１）全エネルギーを運動量と半径の関数 として表せ。

（２）不確定性関係を使って運動量を消去 せよ。

（３）エネルギーの運動項、ポテンシャル 項、全エネルギーを半径の関数としてプ

ロットせよ。