囲 教育研究員研究報告書

高等学校

平 成12年 度

教 育 研 究 員 研 究 報 告 書

囲

東 京 都 教 育 委 員 会

主 題 数 学 的 活 動 を通 して創 造 性 の 基礎 を培 う と ともに 、数 学 的 な見 方 や 考 え方 の よ さを認 識 し、 そ れ らを活 用 す る態 度 を育 て る教 材 や指 導 方 法 の工 夫

主 題 設 定 の 理 由

自 ら学 ぶ 意 欲 や 思 考 力 ・判 断 力 ・表 現 力 な ど の 資 質 や 能 力 の 育 成 を 重 視 す る こ れ か ら の 学 校 教 育 を 目 指 す 高 等 学 校 学 習 指 導 要 領 が 平 成11年3月 に 告 示 さ れ 、 数 学 科 の 目標 に は 、

「数 学 的 活 動 を 通 し て 創 造 性 の 基 礎 を培 う」 との 文 言 が 付 け 加 え ら れ た 。

数 学 的 活 動 は 今 ま で も 、 問 題 解 決 能 力 や 考 え る 力 の 育 成 な ど の 観 点 か ら重 視 さ れ て き た も の で あ り 、 身 近 な 事 象 と の 関 連 を 一 層 図 っ た り、 自 ら の 思 考 過 程 を 振 り返 っ た り、 見 い だ し た 数 学 的 知 識 を 活 用 し た りす る こ と な ど を 重 視 し、 よ り活 動 の 目 的 を 明 確 に し た も の で あ る 。 創 造 性 の 基 礎 と し て は 、 基 礎 的 ・基 本 的 な 知 識 ・技 能 の 習 得 を 基 に し て 多 面 的 に

も の を 見 る 力 や 論 理 的 に 考 え る 力 な ど と と ら え 、 そ れ らの 育 成 が 重 要 で あ る と 考 え る 。 本 研 究 で は 、 数 学 的 活 動 を 通 して 創 造 性 の 基 礎 を 培 い 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を 認 識 で き る 教 材 、 指 導 方 法 の 工 夫 に 焦 点 を 当 て 、 上 記 の 主 題 を 設 定 し 、 検 証 授 業 を 行 い 分 析 し た 。

教 材 と し て 、 身 近 な 事 象 や 物 理 な ど に 関 連 の あ る も の を取 り上 げ 、学 習 の 際 に用 い る ワ ー ク シ ー トを 工 夫 し 、 指 導 に お い て は 情 報 機 器 を 活 用 した 。

平成12年 度教育研 究員(数 学)名 簿

班 研 究 テ ー マ 学 校 名 氏 名

1

身 近 な 事 象 を 題 材 と し た2次 曲 線 の 探 求

一 感 動 を 与 え る 授 業 を求 め て 一

都立駒場高等学校 都 立小石川工業 高等学校

都立石神 井高等 学校 都立多摩高等 学校

豊 岡 耕 一 郎

島 田 深 雪

小 川 真 一

川 井 正 樹

II

情報機器 を効果的 に活用 した微 分法の指導

都立小石川工業高等学校 都立練馬高等学校 都立 町田高等学校 都立調布北 高等学校

根 本 浩 太郎 清 水 徳 子

野 間 明

森 一 也

m 物 理 と の 関 連 を 図 り 、 創 造 性 の 基 礎 を 培 う 微 分 の 指 導

都立明正高等学校 都 立 代 々木 高 等 学 校 都立昭和高等学校 都立五 日市高等学校

佐 伯 昌 俊

田 村 薫

浅 井 嘉 信 中 村 克 己

担当 指導部高等学校教育指導課指導主事 間 瀬 友 典

目

1身 近 な 事 象 を題 材 と した2次 曲 線 の 探 求 一 感 動 を与 え る 授 業 を求 め て 一

19自34只U

研 究 の ね ら い 指 導 方 法 の 工 夫

次

学習指導案

研 究 授 業 に つ い て の ア ン ケ ー ト結 果 及 び 分 析 と考 察 ま と め と今 後 の 課 題

II情 報 機 器 を効 果 的 に 活 用 し た 微 分 法 の 指 導

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研 究 の ね ら い 2.研 究 の 内 容 ・方 法

ア ン ケ ー ト及 び 教 科 書 の 指 導 方 法 に お け る 問 題 点 の 分 析 教材 と指導方法の工夫

指導計画 学習指導案 分析 と考察

ま と め と今 後 の 課 題

m物 理 と の 関 連 を 図 り 、 創 造 性 の 基 礎 を培 う微 分 の 指 導

1

2

3 4

5

6.分 析

7

研 究 の ね ら い 研 究 の 内 容 ・方 法 指導計画

学 習 指 導 案 及 び ワ ー ク シ ー ト ア ン ケ ー ト結 果

ま とめ と 今 後 の 課 題

9自∩乙OO789901235611111﹂■⊥ 777QUQu3411ーゴ←2り乙0乙

1身 近 な事 象 を題材 と した2次 曲線 の探 求

一 感 動 を与 え る 授 業 を 求 め て 一 概 要

数 学 離 れ が 深 刻 な 問 題 と な っ て い る 中 で 、 受 け 身 の 学 習 か ら発 見 的 な 学 習 を す る こ と に よ り、 生 徒 た ち が 数 学 的 な もの の 見 方 や 考 え 方 の す ば ら し さ を 体 験 で き る と と も に 数 学 を 学 習 す る 喜 び を 感 じ 、 感 動 で き る よ う 、 取 り扱 い や す く相 互 の 関 係 も学 習 で き る2次 曲 線 を取 り上 げ た 。 ワ ー ク シ ー トな ど を 工 夫 し生 徒 自 ら 発 見 す る こ と に よ り 、 生 徒 が 興 味 ・関 心 を も つ こ と が で きた 。

1.研 究 の ね ら い

数 学 離 れ が 深 刻 な 問 題 と な っ て い る 。 そ れ は 、 た だ 単 に 公 式 を 用 い て 問 題 を 解 くだ け の 数 学 と い っ た 印 象 を 生 徒 が も っ て い る の で は な い だ ろ う か 。 数 式 や 理 論 的 な 考 察 を 中 心 と し た 数 学 に お い て は 生 徒 の 興 味 ・関 心 を 高 め る こ と は 難 し い と考 え る 。

そ こ で 、 新 しい 科 目 「数 学 基 礎 」 の 目標 の 達 成 を 図 る 授 業 展 開 と して 、 数 式 や 理 論 的 な 考 察 は 最 小 限 に 留 め て 、 数 学 を 学 習 す る こ と に興 味 ・関 心 を 高 め る 指 導 内 容 ・方 法 の 工 夫 を 考

え た 。

本 研 究 に お い て は 、2次 関 数 や 反 比 例 関 数 と して な じみ や す い2次 曲 線 を 取 り上 げ た 。 特 に 生 徒 が3つ の 曲 線 を 発 見 で き る よ う 折 り紙 や モ ア レ縞 の ワ ー ク シ ー トな ど を 工 夫 した り、

興 味 ・関 心 を もつ よ う 身 近 な 事 象 や 歴 史 的 な 背 景 を紹 介 した り し た 。

2.指 導 方 法 の 工 夫

円 錐 曲 線 か ら3つ の2次 曲 線 が 生 ま れ た こ と を 発 見 す る た め に 、 ワ イ ン グ ラ ス の 模 型 に 水 を 入 れ 、 断 面 図 に 現 れ る 図 形 に 注 目 し た 。 液 体 を 使 う こ と に よ り傾 け る 角 度 の 変 化 に よ っ て 現 れ る 図 形 も変 化 す る こ と を体 験 す る こ と が で き る 。

次 に 、 数 式 を 使 わ ず に2次 曲 線 が 作 図 で き な い か と 考 え た 。 定 規 な ど を 使 っ た 作 図 も試 み た が 、 取 り扱 い や す さ と生 徒 が 興 味 ・関 心 を もつ こ と が で き る と 考 え 、 折 り紙 とモ ア レ縞 に よ る 作 図 に 着 目 した 。 こ の2つ の 方 法 と も3つ の 曲 線 相 互 の 関 係 を 理 解 で き る よ う に3つ 全 部 を作 図 す る こ と と し、 そ れ ぞ れ に1単 位 時 間 ず つ を 充 て た 。3つ の 曲 線 そ れ ぞ れ の 幾 何 学 的 性 質 を説 明 す る の に モ ア レ縞 を 用 い た 。 ま た 、 コ ン ピ ュ ー タ を 用 い る よ さが 分 か る よ う に モ ア レ縞 を コ ン ピ ュ ー タ グ ラ フ ィ ッ ク ス を 使 っ て 表 現 し 、2次 曲 線 を 発 見 で き る よ う に した 。

数 学 的 な も の の 見 方 や す ば ら し さ を 知 る に は 、 身 近 な 事 象 を 取 り上 げ る こ と が 最 も大 切 で あ る 。 そ こ で 、2次 曲 線 の 性 質 が 利 用 さ れ て い る 身 近 な 道 具 の 一 っ で あ る 懐 中 電 灯 の 笠 を 利 用 した 焦 点 の 性 質 の 実 験 を 行 い 、 導 入 を 行 い や す くす る た め 、 教 材 の 工 夫 を し た 。 ま た 、2

次 曲 線 の 性 質 を 利 用 した 教 具 と して 、 「パ ラ ボ ラ 鏡 の 幻 覚 」 を用 い て 、 実 際 に 幻 の 像 を 見 る こ と に よ り生 徒 が 感 動 で き る 工 夫 を 行 っ た 。

3.学 習 指 導 案 指 導 案1

① 身 近 な 題 材 を 用 い る こ と に よ り 、2次 曲 線 の 歴 史 的 背 景 を 知 る 。

② 円 錐 を 使 う こ と に よ り 、3つ の2次 曲 線 が 相 互 に 関 係 を も つ こ と を 知 る 。

導

入

展

開

ま と め

指 導 内 容 身 近 な 所 に2次 曲 線 が 隠 れ て い る こ と を 示 す 。

円 錐 の 断 面 図 が ど の よ う に 変 化 す る か 。

放 物 線 、 楕 円 、 双 曲 線 の 語 源 と そ の 意 味 を 紹 介 す る 。

放 物 線 の 語 源 か ら 、 日 常 生 活 と の 関 連 に つ い て 発 問 す る 。

パ ソ コ ン の 画 面 で 焦 点 を 示 す 。

学 習 活 動

透 明 な 塩 ビ板 を 使 っ て 円 錐 を作 り、 そ の 中 に 水 を 入 れ て 密 封 す る 。 そ の 模 型 を傾 け る と 、 水 の 表 面 の 形 が どの よ う に 変 わ る か 考 え る 。

/....

お

円 錐 を2つ に つ な げ た 模 型 を 平 面 で 切 っ た と き の 断 面 図 の 図 形 を 考 え る 。

放 物 線(parabola)→ 丁 度 良 い 楕 円(ellipse)→ 不 足 す る 双 曲 線(hyperbola)→ 超 過 す る

こ の こ と か ら 、 こ れ ら の 曲 線 が 円 錐 を 切 る こ と に よ っ て 、 発 見 さ れ た こ と を 学 習 す る 。

parabola→ パ ラ ボ ラ ア ン テ ナ

騨 雛 … …門

1峯塾

:4:

パ ソ コ ン の 画 面 を 用 い て 、3つ の 曲 線 の 焦 点 の 存 在 を 知 る 。

2次 曲 線 が 円 錐 を 切 る こ と に よ っ て 、 発 見 さ れ た こ と 。 共 通 の 性 質 を も つ こ と に 気 付 く 。

指導上の留意点

断 面 図 は 想 像 し に く い の で 円 錐 の 模 型 を 用 い る 。

プ リ ン トを 用 い て 、 切 る 角 度 と母 線 の 仰 角 との 関 係 を 指 摘 す る 。

義 ^{鯖.十 a●}

本 時 は 、 焦 点 は 名 前 の 紹 介 に と ど め て 、 意 味 に つ い て は 次 に 行 う 。

指 導 案II

① 前 回 学 ん だ2次 曲 線 が 、 折 り紙 に よ っ て 作 図 で き る こ と を 実 感 し、 そ れ ぞ れ に 焦 点 と 準 円 (準 線)が あ る こ と を 学 ぶ 。

導入

展

開

まとめ

指 導 内 容 前 時 ま で の 復 習

2次 曲 線 の 作 図

① 楕 円の作 図

②双 曲線 の作 図

③ 放物線の作図

焦 点 、 準 円(準 線)の 存 在 と 位 置 の 確 認

学 習 活 動

円 錐 曲 線 か ら で き る3つ の 曲 線 の 名 称 と 概 形 を 確 認 す る 。

円 形 の 紙 の 内 部 に 点Fを と り、 円 の 縁 が 点Fに 重 な る よ う に 折 り 、 折 り 目 を 定 規 に あ て て 線 を 引 く 。 円 の 縁 を 少 しず つ ず ら しな が ら こ の 操 作 を 繰 り返 す 。

Ur・

円 を 印 刷 し た 長 方 形 の ト レ ー シ ン グ ペ ー パ ー の 円 外 に 点Fを と り 、 楕 円 の 作 図 と 同 様 な 操 作 を す る 。

長 方 形 の 紙 の 上 に 点Fを と り 、 長 方 形 の 一 辺 を 決 め 、 そ れ と 点Fが 重 な る よ う に 折 り 、 同 様 な 操 作 を 繰 り返 す 。

点Fと 点Oが 焦 点 で 、 楕 円 、双 曲線 の 作 図 に 使 っ た 円 を 準 円 、 放 物 線 の 作 図 に 使 っ た 長 方 形 の 一 辺 を 準 線 とい う 。

指導上 の留意点 名 称 と概 形 を 確 認 す る 。

響

.̲

裏 返 し て も 円 が わ か る よ う に ト レ ー シ ン グ ペ ー パ ー を 使 う 。

点Fは 中 央 下 側 に と る 。

幾 何 学 的 性 質 に つ い て は 、 ふ れ な い 。

指 導 案m

① モ ア レ 縞 を 利 用 し て 、2次 曲 線 が 作 れ る こ と を ワ ー ク シ ー ト やCGを 用 い て 実 感 で き 、 で き た2次 曲 線 か ら 焦 点 や 準 線 を 見 つ け 、 そ の 幾 何 学 的 性 質 を 発 見 す る こ と が で き る 。

指 導 内 容 学 習 活 動 指導上 の留意点

導 モ ア レ 縞 に つ い 円 と 円 、 円 と 直 線 な ど複 数 の 図 形 を合 成 し た 図 モ ア レ縞 の 具 体 例 を

て 形 で あ る こ と を 知 る 。 示 す 。

入

モ ア レ縞 を 利 用 ワ ー ク シ ー ト上 の ひ し 形 部 分 を 塗 り つ ぶ し て つ 双 曲線 は左右 対称 に 展 し た2次 曲 線 の な げ る 。 そ の 図 形 が 、2次 曲 線 に な る こ と を 発 も う1つ 作 図 す る 。

開 作図 見 す る 。

i ワ ー ク シ ー ト1で は 楕 円 と 双 曲 線 が 、 ワ ー ク シ ー ト2で は 放 物 線 が で き る 。

展 幾何学 的性 質 の 発見

各 自 の 作 成 し た ワ ー ク シ ー ト上 の 目 盛 り を 読 み と る こ と に よ り 、 幾 何 学 的 性 質 を 発 見 す る 。

す ぐ に 発 見 で き な い 生 徒 に は 焦 点 と の 関 開 楕 円 … … …2つ の 焦 点 ま で の 距 離 の 和 が 一 定 係 に つ い て 発 問 す る 。

2 双 曲 線 … …2つ の 焦 点 ま で の 距 離 の 差 が 一 定 放 物 線 佳 占 ま で の 距 離=準 線 ま で の 距 離

展 ^{CGを 利 用 し た} 画 面 上 に で て く る モ ア レ縞 か ら 、2次 曲 線 が 現 2次 曲線 を 再 発 見 し、

開 2次 曲 線 の 発 見 れ る こ と を 確 認 す る 。 CGを 使 う よ さ を 知

3 る 。

ま 前 時 と 本 時 の 復 折 り 紙 や モ ア レ 縞 を 使 っ て 、3つ の2次 曲 線 が と

め

習 す べ て 作 れ る 。

モ ア レ 縞 ワ ー ク シ ー ト1 モ ア レ 縞 ワ ー ク シ ー ト2

2つ の 円 が 重 な っ た ひ し形 の 部 分 を 塗 りつ ぶ して 、 つ な げ て み よ う 。 ど ん な 図 形 が で き る だ ろ う か

円 と 直 線 が 重 な っ た ひ し形 の 部 分 を 塗 りつ ぶ し て 、 つ な げ て み よ う 。 ど ん な 図 形 が で き る だ ろ う か

指 導 案IV

①2次 曲 線 の 性 質 が 利 用 さ れ て い る 身 近 な 事 象 に つ い て 理 解 す る 。

導入

展

開

ま と め

指 導 内 容 前 時 ま で の 復 習

実 験 ビ デ オ を 見 せ 、2次 曲 線 の 性 質 と の 関 係 を

導 く。

実 験 結 果 か ら 、 焦 点 の 性 質 を 紹 介 す る 。

2次 曲 線 が 身 近 な 事 象 に 存 在 し て い る こ と を 理 解 す る 。

学 習 ^{? 舌} 動

「円 錐 曲 線 」 「折 り紙 」 「モ ア レ縞 」 の 授 業 で の 2次 曲 線 の 性 質 に つ い て 確 認 す る 。

焦 点 の 性 質 を利 用 した 実 験 ビ デ オ を み る 。 実 験 結 果 か ら 、 「な ぜ 燃 え た の か 」 そ の 理 由 を 考 え る 。

実 験 に 使 用 し た 教 具 の 「立 体 断 面 図 」 に つ い て 考 え る 。

放 物 線 の 焦 点 の 性 質

放 物 線 の 内 側 を鏡 と考 え る と、 軸 に 平 行 に 入 っ て き た 光 線 は 、 反 射 後 す べ て 焦 点 に 集 ま る 逆 に 、 焦 点 に 光 源 を 置 け ば こ こ か ら 出 た 光

は 反 射 後 、 平 行 線 と な る 。

2次 曲 線 が 隠 れ て い る 身 近 な 事 象 を 考 え る 。 放 物 線 の 焦 点 の 性 質 を 利 用 し た 教 具 を 見 て 、2 次 曲 線 の 性 質 が 実 際 に 使 わ れ て い る こ と を知 る 。

指導上の留意点

焦 点 に つ い て 、 強 調 す る 。

あ らか じめ 実 験 し た ビ デ オ を 用 意 す る 。

楕 円 ・双 曲 線 に つ い て も 、 同 様 の 性 質 が あ る こ と に 触 れ る が 、 証 明 は し な い 。

数 学 は 、 日 常 生 活 と は 関 係 な い よ う に 思、

え る が 、 実 は 様 々 な 所 に 利 用 さ れ て い る こ と を 強 調 す る 。 ワ ー ク シ ー ト

身 近 に あ る2次 曲 線

懐 中 電 灯 の 笠 に 太 陽 光 を あ て 、 中 心 に 線 香 を 通 す と ど う な る の だ ろ う か?

懐 中 電灯 の笠

一 一

R ^→

線 香 を通 す

凶」「

→

結 果 を 想 俊 し て み よ う!

→

実 験結 果は

な ぜ 、 こ の よ う な 実 験 結 果 に な っ た の か 考 え て み よ う 。

にな直に垂図を面心断︒中なかのうう笠ようののだ灯どの電︑る中とい懐るて切っ

放物 線 の焦点 の性 質

●

活用灯生活電常で中日所懐︑な︑ O,つなよんみとて︑え︒は考は々ばかでか質様えと所う性も例ナなろのに︒テ近だ点発だン身る焦開んアはいの術るナ線て線技いポ曲れ物︑てラ次隠放もれパ2ににさや所

他 の例)

r'制 副 副 酬 置'一 擢'̀一'副 副 一'副 一 虚'一 僧'̀匿'副 虚'‑F'一'酬 一'̀一'o層'擢 眉1

11  し

12次 曲 緯 の 性 質 を 利 用 し た エ ピ ソ ー ドはllずい ぶ ん 古 くか ら あ る ん だ

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亀 亀

1ア ル キ メデス は数 多 くの器械 、 装置 の発 明家 と して も、歴 史 に名 をのl

l誌 裁 靴 筋1籍 藩 藷宅芋ρ髪み屋浸9匿 笑駿 繍 譲 鍵'l l空き騨 ΣL、秀霧券灘 唇幾 芸裏譜 三謬霧麓 霧 薩 雛 撃雲l

lせ ん が 、 ア ル キ メ デ ス の 反 射 鏡 の 鏡 面 は 放 物 線 の 形 を して い ま し た 。1 亀 放 物 線 の 鏡 面 は 、 遠 く か ら き た 光 を す ぺ て そ の 焦 点 に あ つ め 、 ま た 焦 点1

渉 解 磐 類 轟 燥 礫 軽 あ毒護往塑轡あ㍑ 騨 享装鎌 鵜l

lの 原 理 を 象 徴 す る も の だ っ た の で す 。 聖1

亀

1「 好 き に な る 数 学 入 門3」 よ り1

馳一,̲,一,̲,儒,一,̲,̲∂ 創,」一,̲,僧,̲,」 匿,」r,̲,一.,‑r,響,̲,̲,̲,置,一,̲,̲,醒,」 躍,̲1

一 二

4.研 究 授 業 に つ い て の ア ン ケ ー ト結 果 及 び 分 析 と考 察 (1)ア ン ケ ー ト結 果

① 円 錐 曲 線 に つ い て

興味 を持 って取 り始めま したか

0

② 折 り紙 に よ る 作 図

興味 を持 って取 り始めま したか

㊥

③ モ ア レ縞 に よ る 作 図

興味 を持 って取 り始めま したか

◎

④ 身 近 な2次 曲 線

興味 を持 って取 り始 めま したか

勘㊧ 、.

授 業の内 容 をよく理解 で きま した か

●

授業の内容をよく理解できましたか

晒∈iD

授業の内容をよく理解できましたか

④'

授業 の内 容 をよ く理解 で きま した か

o

授 業 の 感 想

・パ ソ コ ンを 使 っ た り、 塗 り絵 や 折 り紙 だ っ た の で 意 欲 的 に 取 り組 め た 。

・今 まで 切 り口 と か 苦 手 で 全 然 分 か らな か っ た け ど 、 水 を 使 っ た こ と に よ っ て 少 し 分 か っ た 。

・直 線 だ け で 円 を 描 くの は 知 っ て い た が、 本 当 に あ ん な に きれ い に か け る と は ビ ッ ク リ し た 。

・ 「遊 び 」 の 延 長 上 に あ る 「勉 強 」 と し て は 十 分 面 白 か っ た 。 も っ と も、 そ れ が 勉 強 の 本 来 の 姿 で あ る と、 僕 は 思 う 。

・2次 関 数 の 話 だ とい う の で 少 しい や だ っ た の で す が 、 紙 を 折 っ た り、 線 を 引 い た り とい う作 業 だ っ た の で 楽 し くで き た 。

「日常 生 活 に2次 関 数 な ん か 使 わ れ て い な い 」 と思 っ て い た の で す が 、 パ ラ ボ ラ ア ンテ ナ や 懐 中 電 灯 に使 わ れ て い て 驚 き ま した 。

(1)考 察 と 分 析

検 証 授 業 と し て 学 習 指 導 案1か らIVに つ い て 、2時 間 連 続 で 行 っ た 。 授 業 前 に は 予 想 も し な か っ た 生 徒 の 反 応 や 我 々 に と っ て も新 た な 発 見 を得 る こ とが で き た 。 指 導 案1か らIVの 順 に 考 察 と分 析 を す る 。

1.ワ イ ン グ ラ ス か ら 断 面 図 を 書 き取 る作 業 で は 見 る 角 度 が 分 か りづ らい よ う で あ っ た 。 最 後 に も う一 度 見 る 機 会 が あ れ ば 再 度 確 認 が で き た で あ ろ う 。 円 錐 曲 線 の 切 り口 で 母 線 と 切 断 面 の 仰 角 の 大 小 に よ っ て3つ の2次 曲 線 が 発 見 さ れ た こ と に つ い て は 、 新 た な 言 葉 を 知 り興 味 を も っ た よ う で あ る 。 特 に 語 源 に つ い て は 興 味 深 い 様 子 で あ っ た 。 しか し、 放 物 線 を 利 用 し た 最 も 身 近 な 例 と考 え た パ ラ ボ ラ ア ン テ ナ を知 ら な い 生 徒 が4分 の1ほ ど い た こ と は 予 想 外 で あ っ た 。 ま た 、 円 錐 曲 線 の モ デ ル を 用 い た 焦 点 と準 線 に つ い て の 説 明 は 、 生 徒 が 理 解 す る に は 難 し い 内 容 で あ る と思 わ れ た 。 焦 点 お よ び 準 線 の 取 り扱 い に つ い て は 、 円 錐 曲 線 で の 理 解 は 避 け た 方 が よ さ そ う だ と感 じ た 。 内 接 球 を 用 い た 模 型 で の 紹 介 程 度 に 留 め る 方 が よ い で

あ ろ う 。

II.楕 円 の 作 業 で は 、 細 か く折 っ て い く生 徒 も い て か な りの 時 間 が 必 要 で あ っ た 。 点 ○ と 点F の 距 離 が 近 く 、 円 と思 っ て し ま う生 徒 が 多 く見 ら れ た 。 焦 点 間 距 離 の 変 化 に よ る 図 形 の 違 い を見 る の も興 味 深 い 。 こ れ は 、 焦 点 間 の 距 離 を 遠 ざ け る こ とが 円 錐 曲 線 に お け る切 断 面 の 仰

角 を 傾 け て い く こ と に 等 し く 、 準 円 の 存 在 や こ の 作 図 方 法 で は 放 物 線 が 描 け な い こ と な ど さ ま ざ ま な 内 容 を 含 ん で い る こ と を 再 認 識 し た 。

皿.ワ ー ク シ ー トで 、 ひ し形 部 分 を 連 続 的 に 塗 りつ ぶ す 作 業 で は 、 生 徒 は ス ム ー ズ に 行 え た 。 こ こ で もIIと 同 様 に 自 由 に 出 発 点 を取 り作 業 し た た め に 楕 円 と 円 の 区 別 が しづ ら い 生 徒 が 多 く見 ら れ た 。 出 発 点 の 位 置 を 何 種 類 か に 分 け て 作 業 す る と 変 化 が わ か りや す い 。 幾 何 学 的 性 質 に つ い て は 、 関 係 式 が 成 り立 っ て い る こ と を 何 箇 所 か を 使 っ て 示 し た 。 ワ ー ク シ ー ト を 用 い て 塗 りつ ぶ した た め に 、 実 際 の2次 曲 線 上 の 点 を 結 ん だ わ け で は な い の で 注 意 が 必 要 で あ る 。CGア ニ メ ー シ ョ ン を 利 用 し 、 直 線 束 幅 の 変 化 や 焦 点 距 離 の 変 化 な ど で 現 れ る2次 曲 線 の 変 化 を 見 る 際 に モ ア レ を 見 て 目 が 回 る 生 徒 も 出 る の で 注 意 し た い 。

IV.検 証 授 業 で は 、 実 際 に 日常 生 活 な どで 利 用 さ れ て い る も の と し て は 焦 点 の 利 用 を ビ デ オ を 見 る 程 度 で あ っ た 。

5.ま と め と 今 後 の 課 題

楕 円 、 放 物 線 、 双 曲 線 の3つ の2次 曲 線 は こ れ ま で も 数 学Cな どで 扱 わ れ て きた が 、 こ の3 つ の 関 係 に つ い て は あ ま り取 り上 げ られ て い な か っ た と思 う 。 そ の 理 由 は 、 高 校 で 扱 う 内 容 と

し て は や や 難 易 度 が 高 い 内 容 で あ る か ら で は な い だ ろ う か 。 実 際 に 生 徒 に 分 か り易 く幾 何 学 的 性 質 を 導 く と こ ろ な ど は か な り難 しい と 感 じた 。 今 回 は 円 錐 曲 線 、 折 り紙 、 モ ア レ 縞 と3つ の 作 業 の 中 で3つ の 曲 線 を 取 り扱 っ て きた が 、 研 究 を進 め る 中 で こ の3つ の 作 業 の 関 連 な ど の 新 た な 発 見 も 得 ら れ た 。 特 に 、 焦 点 間 の 距 離 と 準 円 と の 関 係 か ら 、 楕 円 か ら双 曲 線 へ の 変 化 を 教 材 と して 取 り上 げ る こ とや 、 作 業 か ら発 見 へ と 進 ん で い っ た が 、 さ ら に 数 学 的 理 論 づ け ま で 考

察 を 深 め る こ とが 今 後 の 課 題 で あ る 。

ア ン ケ ー トの 結 果 か ら 、 実 験 ・作 業 を取 り入 れ た 授 業 は 概 ね 好 評 で あ っ た 。 数 学 離 れ が 増 え て い る現 在 、 こ の よ う な 身 近 な 事 象 を取 り上 げ 、 外 的 な 活 動(観 察 ・操 作 ・実 験 ・実 習)か ら ア プ ロ ー チ を す る こ と は 、 生 徒 に と っ て も 新 鮮 で あ っ た と思 わ れ る 。 実 際 に授 業 を 行 っ て み て も 、

「も っ とや っ て 欲 し い 」 「週 に1回 ぐ ら い は や っ て も い い 」 な どの 感 想 が 得 ら れ た 。 ま た 、 日 常 生 活 の 中 で 実 際 に 利 用 さ れ て い る もの を 体 験 す る 中 で 、 歓 声 や 驚 きの 声 も 上 が っ て い る 。 数 学 の 楽 し さや よ さ を 理 解 す る ア プ ロ ー チ と し て は 、 効 果 的 で あ っ た と思 う 。

新 科 目 「数 学 基 礎 」 の 目的 で あ る 、 数 学 へ の 興 味 ・関 心 を 高 め る と と も に 、 数 学 的 な 見 方 や 考 え 方 の よ さ を 認 識 し 、 活 用 す る 態 度 を育 む と い う ね ら い は 達 せ られ た の で は な い か と思 わ れ る 。 そ して 、 「数 学 基 礎 」 と い う授 業 に 新 た な 可 能 性 を 見 出 せ る の で は な い か と 期 待 さ せ る も の で あ っ た 。

[参 考 文 献]

1.「 楽 し くわ か る 数 学100時 間 上 」 編 著 黒 田 俊 郎 ・小 林 昭 あ ゆ み 出 版(1990) 2.「 好 き に な る 数 学 入 門 」 著 者 宇 沢 弘 文 岩 波 書 店(1999) 3.「 幾 何 の た び じ」 著 者 江 藤 邦 彦 ・小 沢 健 一 ・黒 田 俊 郎 三 省 堂(1979)

4.「 幾 何 の 発 想 」 著 者 矢 野 健 太 郎 朝 日 出 版 社(1966)

5.「 数 学 科 教 育 内 容 と指 導 法 の 開 発 研 究 」 よ り 筑 波 大 学 数 学 教 育 学 研 究 室(1999)

「モ ア レ縞 を 用 い た2次 曲 線 の 探 求 」 筑 波 大 学 修 士 課 程 教 育 研 究 科 野 口 和 久

H情 報機器 を効果的 に活用 した微分法の指導

概 要

数 学II「 微 分 の 考 え 方 」 の 指 導 に お い て 、 生 徒 が 情 報 機 器 を効 果 的 に 活 用 し 、 導 関 数 の 意 義 を 主 体 的 か つ 発 見 的 に 学 習 で き 、 創 造 性 の 基 礎 を 培 う た め の 指 導 を 行 っ た 。 授 業 後 、 生 徒 は 、 導 関 数 の 変 化 の 様 子 を 直 観 的 に把 握 し 、 も との 関 数 の 増 減 と の 関 係 に 興 味 ・関 心 を 示 し導 関 数 の 必 然 性 を 理 解 で き た 。 今 後 、 生 徒 の 情 報 機 器 操 作 の 習 熟 の 差 に 応 じ た 指 導 法 の 工 夫 を 図 る こ とが 課 題 で あ る 。

1.研 究 の ね ら い

学 習 指 導 要 領 が 平 成11年3月 に 告 示 さ れ 、 高 等 学 校 に つ い て は 平 成12年 度 か ら の 移 行 措 置 を 経 て 、 平 成15年 度 か ら 学 年 進 行 で 実 施 さ れ る 。 そ の 数 学 科 の 目標 に は 、 現 学 習 指 導 要 領 の 内 容 に 、 新 た に 「数 学 的 活 動 を 通 して 創 造 性 の 基 礎 を培 う」 と い う記 述 が 加 え ら れ た 。 こ こ で い う 数 学 的 活 動 と は 、 直 観 、 類 推 、 帰 納 、 演 繹 な ど の 内 的 活 動 及 び 観 察 、 操 作 、 実 験 ・実 習 な ど の 外 的 活 動 を 指 す 。 ま た 、 各 科 目 に わ た る 内 容 の 取 り扱 い に 当 た っ て の 配 慮 す べ き 事 項 と して 「必 要 に 応 じて 、 コ ン ピ ュ ー タ や 情 報 通 信 ネ ッ トワ ー ク な ど を 適 切 に 活 用 し、 学 習 効 果 を 高 め る よ う に す る 」 と あ る 。 こ の よ う な観 点 か ら 、 外 的 活 動 に お け る 教 具 と して コ ン ピ ュ ー タ な ど の 情 報 機 器 を積 極 的 に 利 用 し、 さ ら に 内 的 活 動 で あ る 思 考 を 通 し生 徒 が 主 体 的 に 学 習 活 動 を 行 う こ と に よ り 自 ら課 題 を 発 見 し解 決 し よ う とす る 創 造 性 の 基 礎 を培 う た め の 指 導 方 法 及 び 教 材 の 工 夫 を 試 み た 。 数 学IIに お け る 「微 分 の 考 え 方 」 の 一 般 的 な 学 習 内 容 で は 、 平 均 変 化 率 、 微 分 係 数 、 微 分 係 数 と接 線 の 傾 き 、 導 関 数 の 定 義 、 導 関 数 の 計 算 、 導 関 数 の 応 用 へ と 展 開 さ れ る 。 しか し、 現 状 の 生 徒 の 学 習 で は 、 導 関 数 の 計 算 の 学 習 活 動 が 主 に な り、 な ぜ 導 関 数 を 考 え な け れ ば な ら な い の か と い う 意 義 や 意 味 に つ い て 、 具 体 的 な イ メ ー ジ を も ち な が ら 学 習 が で き て い な い 状 況 に あ る と 考 え ら れ る 。 そ こ で 本 研 究 で は 、 情 報 機 器 、 ネ ッ ト ワ ー ク 通 信 環 境 を 効 果 的 に 活 用 し、 次 の 点 を ね ら い と し た 。

(1)変 数 と そ の 微 分 係 数 の 間 に 関 数 関 係 が あ り、 そ れ ら が 関 数 と して 表 現 さ れ る こ と を 主 体 的 に 学 習 す る 。

(2)微 分 係 数 の 図 形 的 な 意 味 で あ る 接 線 の 傾 き の 変 化 の 様 子 か ら 関 数 の 増 減 を予 測 す る 。 (3)導 関 数 の 符 号 の 変 化 が 関 数 の 増 減 を 表 す こ と を 発 見 し 、 そ の 理 由 を 考 察 す る 。

2.研 究 の 内 容 ・方 法

上 記 、 研 究 の ね ら い を 意 図 し 、 以 下 の 手 順 に よ り 研 究 を 進 め た 。

(1)数 学 の 授 業 に お け る 情 報 機 器 利 用 に 関 す る ア ン ケ ー ト を 数 学 科 教 員 と 生 徒 に 行 う 。 (2)(1)の ア ン ケ ー ト集 計 結 果 か ら 問 題 点 を 分 析 ・考 察 す る 。

(3)数 学1「 微 分 の 考 え 方 」 に 関 す る 現 行 教 科 書 に お け る 指 導 方 法 を 分 析 す る 。 (4)効 果 的 な 情 報 機 器 の 選 択 と 効 果 的 な 活 用 場 面 の 設 定 を 考 察 す る 。

(5)指 導 計 画 、 学 習 指 導 案 、 ワ ー ク シ ー ト 、 評 価 問 題 を 作 成 す る 。

(6)(5)で 作 成 し た 学 習 指 導 案 に 基 づ き検 証 授 業 を 行 う 。

(7)検 証 授 業 後 に(5)で作 成 し た 評 価 問 題 を 行 い 、 学 習 内 容 の 理 解 度 に つ い て 調 査 し、 そ の 結 果 か ら検 証 授 業 を 考 察 ・分 析 す る 。

3.ア ン ケ ー ト及 び 教 科 書 の 指 導 方 法 に お け る 問 題 点 の 分 析

都 立 高 等 学 校 全 日制 課 程8校 、 定 時 制 課 程2校 で 、 以 下 の ア ン ケ ー トを 実 施 した 。 (1)ア ン ケ ー トの 概 要

Q1情 報 機 器 を 利 用 し た 数 学 の 授 業 を 行 っ た こ と が あ る か(受 け た こ と が あ る か) Q2Q1で 「あ る 」 と答 え た 場 合 の 分 野 、 形 態 に つ い て の 記 述

Q3今 後 情 報 機 器 を 活 用 し た 授 業 を 行 っ て み た い か(受 け て み た い か)ま た そ の 理 由 (2)教 員 ア ン ケ ー ト集 計 結 果 の 分 析

Q3「 情 報 機 器 を 使 っ た 授 業 を して み た い か 」 と い う 問 い に対 して の 回 答 と 、 そ の 理 由 を ま と め る と次 の よ う に な っ た 。

[情 報 機 器 を 使 う こ と の メ リ ッ ト]

・視 覚 に 訴 え る こ と で 生 徒 が 理 解 し や す く な る。

・板 書 で の 限 界 を 助 け、 時 間 的 に も 短 縮 を 図 れ る 。

・計 算 時 間 の 短 縮 に よ り理 論 的 な 分 野 に 時 間 を か け ら れ る。

・動 き、 直 感 的 な 場 面 で の 把 握 を 助 け る こ と が で き る 。

・生 徒 が 興 味 ・関 心 を も っ て 授 業 に 取 り 組 む こ と が で き る

。 [情 報 機 器 を 使 う こ と の デ メ リ ッ ト]

授 桑したく ない

どちらとも いえない

・時 間 的 な 余 裕 が な い。(教 材 作 成 に 時 間 が か か る 。 教 室 移 動 が 大 変 。)

・ハ ー ド、 ソ フ ト 面 に お い て の 環 境 が 整 っ て い な い 。(使 え る 適 切 な ソ フ ト ウ エ ア が 少 な い 。PC教 室 が 自 由 に 使 え な い 。)

・教 員 一 人 で 授 業 を 展 開 す る の は 無 理 。 ト ラ ブ ル の 対 応 に 追 わ れ て し ま う 。

以 上 か ら 、 利 用 し た い と 答 え た 教 員 は メ リ ッ ト部 分 を 重 視 し 、 ま た 、 ど ち ら と も い え な い と 答 え た 教 員 は 様 々 な デ メ リ ッ ト と メ リ ッ ト の 比 較 で 踏 み 切 れ な い と い っ た 実 体 が 浮 か び 上 が っ て く る 。 ま た 、 理 論 の 展 開 に 重 点 を 置 き 情 報 機 器 利 用 の 必 要 性 を 疑 問 視 す る 声 や 、 教 員 自 身 が 学 び 研 修 し て い く 場 が な い た め 、 技 術 に 不 安 を 訴 え る 声 も 少 な か ら ず あ る 。 (3)生 徒 ア ン ケ ー ト集 計 結 果 の 分 析

Q3情 報 機 器 を 使 っ た 授 業 を 受 け て み た い か 、 と い う 問 い に 対 し て の 回 答 と そ の 理 由 を ま と め る と 、 次 の よ う に な っ た 。

・受 け た い(40%)理 由 … … パ ソ コ ン を 使 い た い。 理 解 し や す い 。 興 味 が あ る 。

・ ど ち ら と も い え な い(40%)理 由 … … 難 し そ う(で も 必 要 そ う) 。 未 経 験 の た め 判 断 で き な い 。

・受 け た く な い(20%)理 由 … … 難 し そ う 。 数 学 は 嫌 い 。 面 倒 。

以 上 か ら 、 情 報 機 器 を 活 用 し た 数 学 の 授 業 を 受 け て み た い と 回 答 し た 生 徒 は 約40%を 占 め 、 ど ち ら と も い え な い と 答 え た 生 徒 で も 必 要 性 を 感 じ な が ら も た め ら う 声 が 多 く 、 こ れ を 含 め る と 、 全 体 の 過 半 数 が 情 報 機 器 を こ れ か ら の 社 会 で 必 要 不 可 欠 な 道 具 と し て と ら え

そ の 必 要 性 を 訴 え て い る と い え る 。 (4)現 行 教 科 書 の 分 析

出 版 社8社 、 教 科 書 計13冊 か ら 、 数 学II「 微 分 の 考 え 方 」 に お け る 指 導 方 法 を 分 析 し 、 以 下 に ま と め た 。

① 平 均 変 化 率 → 微 分 係 数 → 微 分 係 数 の 図 形 的 な 意 味(接 線 の 傾 き 〉 → 導 関 数 の 定 義 ・計 算 ま で の 流 れ は 、 各 出 版 社 と も ほ ぼ 同 じで あ る 。

② 導 関 数 学 習 後 、 関 数 の 増 減 に つ い て の 説 明 方 法 に つ い て は 差 が 見 ら れ 、 大 き く次 の3 種 類 に 分 類 で き る 。

(、f'(x)‑limf(x)̲f(・)1、 お い て 分 母 と分 子 の 符 号 が 微 す る こ と を利 用(2冊)

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(11)関 数 と接 線 は 点Pの 近 くで は 一 致 して い る こ と を 利 用 。(5冊)

㈲ 具 体 例 … …2次 関 数 で 確 か め な が ら 、 導 関 数 と増 減 の 関 係 を ま と め る 。(6冊)

③ 導 関 数 の 定 義 後 、 導 関 数 の 計 算 の 習 得 に 時 間 を と ら れ る た め 導 関 数 が 何 で あ る か と い う 基 本 的 な 事 項 の 定 着 が 図 れ な い 。 ま た 、 関 数 の 増 減 の 説 明 に 時 間 が と ら れ る な ど の 問 題 点 が あ る 。

4.教 材 と指 導 方 法 の 工 夫

上 記 、 問 題 点 の 分 析 を も と に 、 都 立 高 等 学 校 に お け る パ ソ コ ン の 使 用 環 境 を 視 野 に 入 れ 、 研 究 の ね ら い に 基 づ き、 次 の よ う な 教 材 と指 導 方 法 の 工 夫 を 行 っ た 。

(1)プ ロ グ ラ ム フ ァ イ ル の 作 成

情 報 機 器 の ハ ー ド ウ エ ア 環 境 と し て 、 パ ー ソ ナ ル コ ン ピ ュ ー タ IBMPC/AT及 び そ の 互 換 機 を 選 択 し 使 用 し た 。 ソ フ ト ウ エ ア の 環 境 は 、OSと し てMicrosoftWindows系 、 こ の 上 で 動 作 す る フ リ ー ソ フ ト ウ エ アGrapes(GraphPresentation&Experi

mentSystem)を 使 用 し た 。 こ の 環 境 下 で 、 数 学 的 活 動 を 通 し て 発 見 的 な 学 習 を 意 識 し 、 微 分01.gpsか ら 微 分09.gpsま で の フ ァ イ ル を 作 成 し た 。

こ れ ら の フ ァ イ ル は 、 生 徒 が 主 体 的 に シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 操 作 す

る た め の も の で あ り 、 こ れ を 使 用 す る こ と に よ り 学 習 内 容 の 理 解 を 深 め る 工 夫 を 行 っ た 。 (2)ワ ー ク シ ー トの 作 成

「導 関 数 と は 、 何 で あ る の か?」 を テ ー マ に 、 プ ロ グ ラ ム フ ァ イ ル 微 分01.gpsか ら 微 分04.

gpsま で に 対 応 し た ワ ー ク シ ー ト① と 、 「導 関 数 は 、 何 の 役 に 立 つ の か?」 を テ ー マ と し た 、 プ ロ グ ラ ム フ ァ イ ル 微 分03.gps、 微 分05gpsか ら 微 分09.gpsま で に 対 応 し た ワ ー ク シ ー ト② を 作 成 し た 。 ワ ー ク シ ー ト① 、 ワ ー ク シ ー ト② と も に 、 学 習 の 確 認 事 項 や ポ イ ン ト ・キ ー ワ ー ド の 記 入 、 対 応 表 の 穴 埋 め 、 グ ラ フ の 描 画 な ど を 適 宜 指 示 し 、 一 斉 授 業 の 中 の 個 別 学 習 と な る よ う 工 夫 し た 。 ま た 、 教 員 か ら 生 徒 へ の 提 示 用 と し て 、 情 報 通 信 ネ ッ ト ワ ー ク 機 能 を 活 用 し 、 プ レ ゼ ン テ ー シ ョ ン ソ フ ト ウ エ ア を 用 い て ワ ー ク シ ー トへ の 記 入 な ど を 逐 次 入 力 提 示 し 、 生 徒 の 関 心 を 引 き つ け る 工 夫 を し た 。

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5,指 導 計 画

以 上 の よ う な 教 材 、 及 び 、 指 導 方 法 を も と に し て 次 の よ う な 指 導 計 画 を 立 て た 。 第1時 限 導 入 、 平 均 速 度 と瞬 間 速 度 第6時 限 導 関数 の.定義 と計算 第2時 限 極 限の計算 第7時 限 導 関 数 の 応 用(1) グ ラ フ1 第3時 限 平均 変化率 と微分 係数 第8時 限 導 関 数 の 応 用(2) グ ラ フ2 第4時 限 導 関 数 っ て 何? 本時① 第9時 限 導 関 数 の 応 用(3) 最 大 ・最 小 第5時 限 導 関 数 っ て 何 の 役 に 立 つ の? 第10時 限 導 関 数 の 応 用(4) 方 程 式 ・不 等 式

本 時②

6.学 習 指 導 案

(1)本 時 ① の 目標:変 数 と そ の 微 分 係 数 の 間 に 関 数 関 係 が あ る こ と を 発 見 し 、 「導 関 数 が 微 分 係 数 を導 く関 数(道 具)で あ る 」 こ と を 理 解 す る 。

時間

入分導15

展 開1 20分

展 開2 10分

ま とめ 5分

指 導 内 容 既 習事 項 の復 習

・平 均 変 化率 と微 分 係 数 の 関係 を確 認 す る 。

・点P周 辺 の領 域 を拡 大、提 示 す る 。

導 関数 の導 入

・Y=x2の 微 分 係 数 の 対 応 表 を作 成 す る 。

・微 分 係 数 が 関数 に な る こ と を 発 見す る。

・導 関 数 の考 え方 を導 入 す る。

・関 数 か ら微 分 係 数 を求 め る。

y=x3の 導 関 数 を 見 つ け る 。

・関 数 が 微 分 係 数 を求 め るた め の 道 具 で あ る ことを確 認す る。

・接 線 の 集 ま りか ら グ ラ フが イ メー ジで き るこ とを確認 す る。

学 習 活 動

フ ァ イ ル 開 く 「微 分01.gps」

・パ ラ メ ー タaを2か ら1に 近 づ け な が ら

、 そ の と き の 直 線 の 変 化 の 様 子 を 観 察 す る 。

微 分 係 数 の 復 習 を す る 。 フ ァ イ ル 開 く 「微 分02.gps」

・Grapesを 用 い て ワ ー ク シ ー トのaとf'(a) の 対 応 表 を 作 成 す る 。

(パ ラ メ ー タaを 一2か ら2ま で 動 か す 。)

・ワ ー ク シ ー トの 対 応 表 か らf'(a)=2aと い う 関 係 を 発 見 す る 。

・a→xf(a)一 ←f(x)に 置 き 換 え る

。

・f(x)=x2の と きf'(x)e2x

・f'(10)を 導 関 数 か ら 求 め る。

フ ァ イ ル 開 く 「微 分03.gps」

・Grapesを 用 い て ワ ー ク シ ー トのxとf'(x)

、 f(x)の 対 応 表 を 作 る 。

(パ ラ メ ー タaを 一2か ら2ま で 動 か す)

・y=f'(x)の グ ラ フ を ワ ー ク シ ー トに プ ロ ッ ト し 、f'(x)=3x2を 発 見 す る 。

・微 分 係 数 と導 関 数 の 関 係 に つ い て 確 認 す る

。 フ ァ イ ル 開 く 「微 分04.gps」

・Y=x2の 接 線 を す べ て 表 示 し グ ラ フ が イ メ ー ジ で き る こ と を 確 認 す る 。

(パ ラ メ ー タaを 一2か ら2ま で 動 か す)

指導上 の留意点

・微 分 係数 が 接 線 の 傾 き を表 す こ とを視 覚 的 に確 認 す る 。

・拡 大 をす る こ と に よ り接 線 と直 線 の 傾 きが ほ ぼ等 しい こ とを確

認 す る 。

・宿 題 解 答

・Grapesの 計 算 機 能 の 利 用 を 指 示 す る 。

・ 「関 数 っ て何 だ ろ う?」 と発 問 す る こ とに よ り、 発 見 の手 助 け をす る 。

・導 関 数=微 分係 数 を導 く関数 で あ る こ とを 強調 す る 。

・Grapesの 計 算 機 能 の 利 用 を 指 示 す る 。