微積分Ｉ 演習 ( 第 9 回、 2012.6.13)
有理関数の積分・部分積分・無理関数の積分
部分積分
∫ b a
f(x)g(x)dx= [f(x)G(x)]ba−
∫ b a
f′(x)G(x)dx, whereG′(x) =g(x)
例1 次の関数の不定積分を求めよ。
(1)
∫ 2 0
xlogxdx (2)
∫ 1 0
xe−txdx (3)
∫ π 0
eaxsinxdx 有理関数の積分、無理式のある積分
(割り算) deg(f)< g(x)の場合、f(x)
g(x) =a(x) +b(x)
g(x)。ただし、f(x) =a(x)g(x) +b(x)かつdeg(b)<deg(g) (部分分数展開) （例）x+ 3
x2−1 = −1
x+ 1 + 2
x−1, −(x−1)2
(x2+ 1)(x+ 1) = x+ 1 x2+ 1− 2
x+ 1
(平方完成) (例) 1
x2+ 2x+ 2 = 1 (x+ 1)2+ 1 (無理式) (例) x2
√1 +x2 =√
1 +x2− 1
√1 +x2, t=x+√
1 +x2と置換する。など。
例2 次の積分せよ。
(1)
∫ 2 1
2x+ 1
x(x+ 1)dx (2)
∫ 1 0
2x+ 1
x2+ 1dx (3)
∫ 0
−1
dx
x2+ 2x+ 2 (4)
∫ 1 0
√
1−x2dx (5)
∫ 1 0
√1 +x2dx (6)
∫ 1 0
x2√
x+ 1dx (7)
∫ 1 0
√ dx x2+ 1 広義積分.
a, bが±∞やf(x)で定義されていない場合、
∫ b a
f(x)dx= lim
y→a
∫ b y
f(x)dx,
∫ b a
f(x)dx= lim
y→b
∫ y a
f(x)dxと計算する。
例4 次の広義積分が収束するとき、その値を求めよ。
(1)
∫ ∞
0
e−xdx (2)
∫ ∞
1
dx
xs (3)
∫ 1
−1
√ dx
1−x2 (4)
∫ 1 0
(logx)2dx (5)
∫ ∞
e
dx xlogx 演習問題
問題1 次の積分を計算せよ。
(1)
∫ 1 0
2(x−1)
(x2+ 1)(x+ 1)dx (2)
∫ 2 1
dx
x2(x+ 2) (3)
∫ 1 0
(x+ 1)√
x+ 2dx 問題2 次の不定積分を計算せよ。
(1)
∫ 1 0
x2
√1 +x2dx (2)
∫ π2
0
dx
sinx+ cosx (Hint:tanx 2 =t) 問題3 次の広義積分を求めよ。ただし、nは正の整数。
(1)
∫ 1 0
logxdx (2)
∫ ∞
0
dx
1 +x2 (3)
∫ 1 0
√ dx
x(1−x) (4)
∫ ∞
0
xne−xdx
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参考(オイラーの公式)
cosy+isiny =
∑∞ n=0
(−1)n y2n (2n)!+i
∑∞ n=0
(−1)n y2n+1 (2n+ 1)! =
∑∞ n=0
i2n y2n (2n)! +
∑∞ n=0
i2n+1 y2n+1 (2n+ 1)! =
∑∞ n=0
(iy)n n! =eiy よって、eの複素数乗は、ex+iy=exeiy =ex(cosy+isiny)となる。これを応用して例1-(3)を計算してみよ。
