山田光太郎

幾何学概論第一 (MTH.B211)

6:

山田光太郎

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www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2020/geom-1/

東京工業大学理学院数学系

2020/11/05

目標

定理 ( 空間曲線の基本定理 )

区間 J で定義された正の値をとる C ^∞ - ^級関数 κ ^と実数値 C ^∞ - ^関 数 τ に対して，弧長をパラメータとする空間曲線 γ : J → R ^{3 で} 曲率が κ ，捩率が τ となるものが存在する．さらに，このような 曲線は，変換 γ "→ Aγ + a ^（ A ∈ SO(3) ^， a ∈ R ^{3 ）を除いて一意} 的である．

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常微分方程式

! ^未知関数 y _i (t) (i = 1, . . . , m) ^{に関する関係式}

y _i ^" (t) = f _i (t, y ₁ (t), . . . , y _m (t)) (i = 1, . . . , m) を正規形の常微分方程式という．ただし f _i (i = 1, . . . , m) ^は m + 1 変数の C ^∞ - ^級関数．

! ^とくに f _i が y ₁ , . . . , y _m に関する 1 次式，すなわち

y ^" _i = a _i1 (t)y ₁ + · · · + a _im (t)y _m + b _i (t) (i = 1, . . . , m)

の形の方程式を線型の常微分方程式という．ただし a ij , b i

(i, j = 1, . . . , m) ^は m + 1 ^変数の C ^∞ - ^級関数．

劇

。

が 豔

o

例

例

一様な重力加速度 g ^{のもとでの長さ} l の単振り子の鉛直下向き報 告からの偏角 x = x(t) ^は

d ² x

dt ² = − ω ² sin x, ω :=

! g l を満たす（ニュートンの運動方程式）．この式は

x ^" (t) = y(t), y ^" (t) = − ω ² sin x(t)

と書けるので，未知関数 x(t), y(t) に関する正規形の常微分方程 式である．

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X

系 ^の _が

鬮

r. - _ - e e _ _

例

例

ばね定数 k ^{のばねに質量} m のおもりをつけて振動させたとき，

ばねの平衡点からの変位 x = x(t) ^は

d ² x

dt ² = − ω ² x, ω :=

! k m を満たす（ニュートンの運動方程式）．この式は

x ^" (t) = y(t), y ^" (t) = − ω ² x(t)

と書けるので，未知関数 x(t), y(t) に関する線型常微分方程式で ある．

e - 一 -

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の ^地

常微分方程式論の基本定理

定理

開区間 J ⊂ R ^と領域 U ⊂ R ^{m に対して，} C ^∞ - ^級写像

F : J × U → R ^{m と} t ₀ ∈ J ^， x ∈ U が与えられているとき， t ₀ ^を 含む十分小さい区間 J ^" ⊂ J で定義された C ^∞ - ^級写像

f : J ^" → R ^{m で}

df

dt (t) = F "

t; f (t) #

, f (t ₀ ) = x (1)

を満たすものがただ一つ存在する．さらに， (1) ^を満たす f ^は x に依存するので，それを f (t, x) と書くと， (t, x) "→ f (t, x) は C ^∞ - ^{級写像である．}

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ちょっと ^とける

線型常微分方程式の基本定理

定理

開区間 J ⊂ R ^上の C ^∞ - ^級関数 a ij (t), b i (t) (i, j = 1, . . . , m) ^と t ₀ ∈ J, (x ₁ , . . . , x _m ) ∈ R ^{m に対して，}

$ y ^" _i = a _i1 (t)y ₁ + · · · + a _im (t)y _m + b _i (t),

y i (t 0 ) = x i , (i = 1, . . . , m) を満たす C ^∞ - ^級関数 y i : J → R (i = 1, . . . , m) ^{がただ一組存在} する．

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例

例

関数 ϕ ^を区間 J ( ' t 0 ) ^{で定義された} C ^∞ - ^{級関数とするとき，}

! y ^" = ϕ(t)y, y(t ₀ ) = 1 の解は

y(t) = exp

% t

t

ϕ(u) du.

.

! y ^" = ϕ(t)(1 + y ² ), y(t ₀ ) = 0 ^の解は

y(t) = tan

% _t

t

ϕ(u) du.

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行列値関数の微分方程式

既知の C ^∞ - ^{級行列値関数} Ω(t) に対して，未知の行列値関数 F ^に 関する常微分方程式の初期値問題

d F

dt (t) = F (t)Ω(t) F (t ₀ ) = A (2) は線型常微分方程式． ⇒ 解の存在は保証されている．

補題

行列値関数 Ω が交代行列に値をとり， A ∈ SO(n) ならば (2) ^を

みたす F ^は SO(n) ^{に値をとる．}

証明 .

d

dt ( F ^t F ) =

〇

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→ 例

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子 ⁽ _He ^{SO In} )

l) で は ^な ば

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て ( ^{an )} は

^O _子 は ^甁 ₎ 甁 )

空間曲線の基本定理

定理

区間 J で定義された正の値をとる C ^∞ - ^級関数 κ ^と実数値 C ^∞ - ^関 数 τ に対して，弧長をパラメータとする空間曲線 γ : J → R ^{3 で} 曲率が κ ，捩率が τ となるものが存在する．さらに，このような 曲線は，変換 γ "→ Aγ + a ^（ A ∈ SO(3) ^， a ∈ R ^{3 ）を除いて一意} 的である．

一意性の証明：

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^{同じ に三}

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空間曲線の基本定理

定理

区間 J で定義された正の値をとる C ^∞ - ^級関数 κ と実数値 C ^∞ - ^関 数 τ に対して，弧長をパラメータとする空間曲線 γ : J → R ^{3 で} 曲率が κ ^，捩率が τ となるものが存在する．

存在の証明：

d F

ds (s) = F (s)Ω(s), F (s ₀ ) = I



Ω(s) :=



 0 − κ(s) 0 κ(s) 0 − τ (s)

0 τ (s) 0









の解を F = (e, n, b) として γ(t) :=

% _t

e(u) du とおくと，これが求めるものである．

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f ^{Freenet Seat}

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i . - . -

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J ^{→ SOB} )

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ご聴講ありがとうございました

定期試験のご健闘をお祈りします