3.1 AHP の例

第 3 _{章 階層分析法} (AHP)

— _{決めるにはわけがある}

この節では， AHP (analytic hierarchy process; 階層的意思決定手法 ) と呼ばれる意思決定の手 法を学びます．代替案を選択する際に，どの基準において，どの程度優位性を持っているかを，数 値によって比較することができます．

3.1 AHP _の例

直感的に好き・嫌いで判断をするのは簡単です．その結果が自分だけに及ぶのであれば，そう した方が手っ取り早いと言えます．しかし，多くの人に影響が及ぶ問題における判断は慎重に行わ なければなりません．また，その決定の過程や理由が他人に説明できるものでなくてはなりませ ん．たいていの人は，何か難しい判断を迫られたときは，その代替案を評価する要因を考えて，要 因ごとに利得を評価し，総合的な観点から最終的な決定をするのではないでしょうか．

AHP は，そのような自然な判断を系統的に行う方法です．ここでは，成績評価の方法につい て，複数の代替案を評価してみることにしましょう．計算のプロセスや理論的な背景については次 節以降に行うとして，まずは AHP を使ってみることにします．

代替案

オペレーションズ・リサーチの成績評価として，以下の 3 つの代替案があったとします．

• A 案：期末試験のみ．出欠は考慮しない．

• B 案：レポートのみ．出席点を重視する．

• C 案：レポートと試験．出席点も考慮する．

評価要因

成績評価の方法を評価するにあたって，どのような観点に立つかが大事です．大きく分けて，学 生の立場と教員の立場があるでしょう．たとえば，教員の立場からすると成績評価法の評価要因と しては，次のようなことが挙げられます．

• 正確さ：

ただしく学生の実力や努力を評価することができるかどうか

• 公平さ：

不正を防止しやすいかどうか．

• 手間：

成績をつけるのにかかる労力が大きいかどうか

このほかにも，いくつかの評価要因を挙げることができます．しかし，講義中でのデモンスト レーションを行う関係上，この 3 つにとどめておきます．

学生の側からみた評価要因は，みなさん自身で考えてみてください．

評価要因の木

評価要因の関係を木のような構造を用いて表現すると，図表 3.1 のようになります．

図表 3.1 成績評価法の評価要因の木

学生の立場 教員の立場

総合評価

公平 手間 正確

C案 B案

A案

W1 W2

W11 W12 W13

F 1 F 2

F 11 F

12 F

13

q 11 1 q

12 1

a1 a2 a3

3.2 AHP _とは

AHP （ analytic hierarchy process ，階層的意思決定手法）は T. L. Saaty によって開発されま した．その名の通り，階層的な構造によって代替案の評価を行うものです．複数の階層の評価要因 にたいする重要度を定量的に測定することで，代替案の優劣を比較することができます．

AHP によって代替案を評価する手順は以下の通りです．

1. 代替案を設定する

2. 代替案の選択を行う歳に考慮されるべき要因を抽出し，それらの階層構造を設定する

• 最上階のレベルの要素数は 1

• 階層の深さを決める．

• 各階層内では，要素を互いに従属性のないように選ぶ．

3. 要素の重要度の評価を行う

• 多人数で決定を行う場合は，何らかの方法で，意見集約を行う (3.3.6 参照)．

4. 代替案がそれぞれの要因にたいしてどれだけの評価を持つかを表した相対評点を求める．

5. 重要度係数と相対評点を用いて，各代替案の総合得点を求め，もっとも得点の高い代替案を 選択する．

AHP が成功するか否かは，いかに適切に評価要因の木を構成するかにかかっています．次に紹 介する例は， 「実践数理決定法」(今野浩著，日科技連) よりとりました．

ある大学では教官の定年は 60 歳であった．現行の定年年齢について，いくつかの代替 案があり，それぞれの代替案の中でもっとも支持されるものを調査すると同時に，そ の選択の評価要因を明らかにしたい．そのための手法として，AHP を採用した．

この定年年齢の選択においては，以下のような代替案が提案された．

代替案 1 定年を 57 歳に変更する 代替案 2 定年を現行通り 60 歳とする 代替案 3 定年を 63 歳に変更する 代替案 4 定年を 65 歳に変更する 評価要因は図表 3.2 のように設定された．

次の例では，インターネットを利用して部品を調達する際に，製造業者を選定するためのウェ ブベースのシステムに AHP を利用しています．Akarte 他 (2001)[6] を参照しました．

製造業においては，世界的な競争の中でコスト削減の圧力にされている．そのために 自前で部品を製造するのではなく，アウトソーシングによって調達することの利点が 注目されている．キャスティング ( 鋳造 ) による部品の製造も同様であるが，調達部品 に関する要求仕様が多岐にわたること，キャスティングに関するさまざまな新技術が 開発されていることなどから，単純にコスト面のみだけで供給業者の選別を行うこと はできない．著者らが開発したシステムでは，複数の基準を総合的に評価して最適な 供給業者を選択するために，AHP が利用されている．

評価要因の木は図表 3.3 のように構成されている．

3.3 AHP による代替案評価の概略

3.3.1 要因と重要度係数

要因の重要度係数 (weight) について説明しましょう．

重要度係数は，すべての要因に割り振られます．第 1 階層に要因 f

1

，f

2

があったとき，その重

要度係数を w

1

，w

2

とします．このとき，w

i

≥ 0 (i = 1, 2) かつ w

1

+ w

2

= 1 でなくてはなりま

せん．

図表 3.2 評価要因の木：定年年齢

研究 教育 大学

運営 社会的 活動 研究

人事 完成度

生活 社会的

変化

他大学 との比較

57歳定年 60歳定年 63歳定年 65歳定年

個人の立場 大学の立場 社会の立場

総合評価

図表 3.3 評価要因の木：供給業者の選択

Supplier selection

Max size Casting complexity Min. sec. thickness

Software aid pattern making Sand preparation

Molding Core making Melting and pouring Heat treating

Machining Dimensional tolerance Surface roughness

Testing fascilities Quality certification

Quality awards Total casting cost sample delibery time Product development capability

Manufacturing capability

Quality capability

Cost and time

Supplier 1

Supplier 2

Supplier N

さらに，要因 1 の下に第 2 階層として，要因 f

11

，f

12

，f

13

があったとします．これらの要因 の重要度係数を w

1i

(i = 1, . . . , 3) とすると，やはりこれらの値は非負で，その和は 1 でなくては なりません．

このようにすると，要因 w

12

の全体的な重要度は，w

1

w

12

と上の階層の重要度係数との積を 取ることで評価されます．以下，それぞれの要因の下にある階層の要因の重要度係数も同様に設定 し，各階層の要因の全体的な重要度は，その上の階層の要因の重要度との積によって評価されます．

次に，相対評点 (relative score) についてです．相対評点は，各代替案が最下層の要因にたいし てどの程度優れているかを表しています．この相対評点も足して 1 になるように定めます．

今，要因が， f

11

， f

12

， f

13

， f

21

， f

22

と 5 つあって，選択肢 a

¹

がそれぞれの要因について q

¹₁₁

， q

¹₁₂

，q

¹₁₃

，q

¹₂₁

，q

¹₂₂

であったとしましょう．この場合，代替案 a

¹

の総合得点 s

¹

は，

s

¹

= q

¹₁₁

w

₁₁

w

₁

+ q

¹₁₂

w

₁₂

w

₁

+ q

¹₁₃

w

₁₃

w

₁

+ q

¹₂₁

w

₂₁

w

₂

+ q

¹₂₂

w

₂₂

w

₂

と計算されます．すべての代替案について総合得点を計算して，それがもっとも高い代替案が最善 と判断されます．

3.3.2 重要度係数の決め方

AHP における重要度係数の決め方は 1 対比較が原則です．

2 つの要因 f

₁

と f

₂

をペアにして，どちらがどれくらい重要かを評点をつけます．重要度の評価 には，以下のようなスケールがよく用いられます．

f

1

の方が f

2

より決定的に重要である場合：評点 7 f

₁

の方が f

₂

よりかなり重要である場合：評点 5 f

₁

の方が f

₂

よりやや重要である場合：評点 3 f

₁

と f

₂

の重要度に違いがない場合：評点 1 f

₂

の方が f

₁

よりやや重要である場合：評点 1/3 f

2

の方が f

1

よりかなり重要である場合：評点 1/5 f

2

の方が f

1

より決定的に重要である場合：評点 1/7

評点については，中間の点も認めても構いません．f

1

と f

2

を一対比較をして f

1

の評点が 5 にな る (f

₁

の方が f

₂

よりかなり重要である場合 ) とは， f

₁

の重み w

₁

が f

₂

の重み w

₂

に比べて 5 倍に なるというこです．つまり，w

1

/w

2

= 5 です．逆に，w

2

/w

1

= 1/5 ということなので，f

2

の (f

1

に対する ) 評点は 1/5 です．

1 対比較はすべての要因の組に関して行うことが原則です．したがって，もし４つの要因があっ た場合，一対比較の回数は４×３／２＝６組の比較を行うことになります．２で割っているのは，

組合せが逆の組は，逆数の関係で求められるからです．

得られた評点のデータから，重要係数を算出します． AHP の理論では，行列の理論を用いる算 出法が正統的であると見なされていますが，ここでは簡便な手法のみを紹介します． 3 つの要因に ついて以下のような評点を得たとしましょう．

要因 1 の要因 2 に対する重要度の評点1/4

要因 1 の要因 3 に対する重要度の評点 1/3

要因 2 の要因 3 に対する重要度の評点 2

これは，次のような表にまとめられます．

要因 1 要因 2 要因 3 要因 1 1 1/4 1/3 要因 2 4 1 2 要因 3 3 1/2 1

ここで，重要度を計算するために，まず以下のように評点の行方向の幾何平均を計算します．

(1 × 1/4 × 1/3)

^1/3

= 0.44 (4 × 1 × 2)

^1/3

= 2.00 (3 × 1/2 × 1)

^1/3

= 1.14

そして，次のように計算すると，要因 1 ， 2 ， 3 それぞれの重要係数が得られます．

要因 1 ： 0.44/(0.44 + 2.00 + 1.14) = 0.12 要因 2 ： 2.00/(0.44 + 2.00 + 1.14) = 0.56 要因 3 ： 1.14/(0.44 + 2.00 + 1.14) = 0.32 同様の方法で，代替案の相対評価も求めることができます．

3.3.3 参考：行列による方法

行列による重要度係数の求め方をまとめました．

• 一対比較によられた評点から行列 A を構成する．この行列は要因の数が n であれば n × n 行列であり，その第 ij 要素 a

ij

は，要因 i の要因 j に対する重要度の評点となっている．つ まり，要因 i が要因 j よりかなり重要ならば， a

_ij

= 5 となる．また， a

_ij

= 1/a

_ji

とする．

これより，

A =



 1 1/4 1/3

4 1 2

3 1/2 1





を得る．

• ここで，重要度の評点から得られた行列 A が，真の重要度を反映した行列 P の近似値を与え るものと仮定する．つまり，要因 i (1 = 1, 2, 3) の重要度係数を w

_i

とすれば，真の重要度を 反映した行列 P は

P =



 1 w

1

/w

2

w

1

/w

3

w

2

/w

1

1 w

2

/w

3

w

₃

/w

₁

w

₃

/w

₂

1





となっているはずである．

行列 P はその性質上以下の関係満たす．

P



 w

1

w

2

w

₃



 = 3



 w

1

w

2

w

₃





すなわち，重要度係数 w

1

，w

2

，w

3

が行列 P の固有ベクトルの要素となっていることがわ かる．

したがって，重要度係数 w

₁

， w

₂

， w

₃

を求めるために行列 A を行列 P の近似とみなして，

その最大固有値 α に対応する固有ベクトルを求め，それから重要度係数を求めればよい．具 体的には，

A



 v

₁

v

2

v

₃



 = α



 v

₁

v

2

v

₃





を満たす v

₁

， v

₂

， v

₃

を求め，

w

₁

= v

₁

/

∑

3

i=1

v

_i

, w

₂

= v

₂

/

∑

3

i=1

v

_i

, w

₃

= v

₃

/

∑

3

i=1

v

_i

としてやればよい．計算結果は次の通りである．

v =



 0.19 0.85 0.49



 , w =



 0.12 0.56 0.32





• 行列 A の最大固有値 α は評点の一貫性のチェックに用いることができる．もし，評点の評価 が完全に整合的に行われていれば，A = P となり，α = n となる (n は要因の数)．評点の 一貫性が悪くなるにつれ， α は n より大きくなっていく．この事実に基づき，一貫性の指標 CI を

CI = α − n n − 1 で定義する． CI の値が大きいほど，一貫性に欠ける．

• 代替案の相対評価を行う場合も同様の手続きで求められる．

3.3.4 一貫性の評価

3.3.2 節で，重要度係数を計算しました．評点とともに記すと，下記の通りです．

要因 1 要因 2 要因 3 重要度係数 要因 1 1 1/4 1/3 0.12 要因 2 4 1 2 0.56 要因 3 3 1/2 1 0.32

この重要度係数と評点の関係を確認しましょう．評点は，重要度の比とみなすことができます．要 因 1 は要因 2 に対して評点 1/4 を持つとは，要因 2 の重要度が要因 1 より 4 倍であることを意味 します．本当に，重要度の比が評点と一致しているか確認してみましょう．

w

1

/w

2

= 0.12/0.56 = 0.22 要因 1 の要因 2 に対する評点： 1/4 = 0.25

w

₁

/w

₃

= 0.12/0.32 = 0.38 要因 1 の要因 3 に対する評点： 1/3 = 0.33

w

₂

/w

₃

= 0.56/0.32 = 1.75 要因 2 の要因 3 に対する評点： 2

この結果を見ると，重要度係数の値と評点の値の関係には若干のズレが認められます．評点をもう 少し注意深く見てみると次のことがわかります．要因 1 が要因 2 に対して評点 1/4 をもち，要因 1 が要因 3 に対して評点 1/3 を持つならば，要因 2 が要因 3 に対して持つ評点は，

w

2

w

₃

= w

2

w

₁

w

1

w

₃

= 1

w₁ w2

w

1

w

₃

= 1 1/4

1 3 = 4

3

となるべきでしょう．ところが，実際の評点を見てみると 2 を得ており，評点の値が必ずしも互い に一貫しているわけではないことがわかります．このようなズレはどうしても人間の判断にはつき ものであり，完全に排除することは困難であるといわざるを得ません．現実的には，評点の一貫性 をはかる指標を設けて，それがあまりに悪い ( ＝一貫していない ) 場合は，意思決定者に評点を見 直してもらうことで対応できます．

一貫性の指標には， 3.3.3 で述べた固有値を使った CI(consistency index) がよく用いられます．

上記の例では，CI = 0.01 なので，ほぼ一貫しているといって構いません．

3.3.5 AHP の 3 つの原理

Saaty によれば，AHP の 3 つの原理は以下の通りです．

• 分解の原理：

複雑な意志決定問題を，階層的な構造によってモデル化し，小さなカテゴリーにわけて評価 すること．

• 比較判断の原則：

一対比較を通じて局所的な評価を行ってから，全体の評価に反映させていくこと．

• 階層化の原理：

局所的な評価は，その指標に与えられた重要度をかけることで，ひとつ上の階層での評価値 となること．

重要度係数の評価方法がこれら 3 つの原理に従うことが確認できるでしょう．

3.3.6 多人数で行う場合

集団で意志決定を行う際にも，AHP を用いることが可能です．いくつかの方法が提唱されてい ますが，いずれもなんらかの方法で複数の人間の評価をひとつ評点にまとめることは共通してい ます．

1. 評点を統合する方法：

例えば， A と B の二人が要因 1 ， 2 ， 3 を，それぞれ次のように評価したとしましょう．

A の評価 要因 1 要因 2 要因 3 要因 1 1 1/4 1/3 要因 2 4 1 2 要因 3 3 1/2 1

B の評価

要因 1 要因 2 要因 3

要因 1 1 2 1/4

要因 2 1/2 1 1/6

要因 3 4 1/6 1

Saaty は，二人の評点を統合するのに幾何平均を取ることを提案しています．たとえば，要 因 1 の要因 2 に対する評点を

(1/4 ∗ 2)

^1/2

= 1/ √ 2

とします．こうすると，要因 2 の要因 1 に対する評点も (4 ∗ 1/2)

^1/2

= √

2

となり，逆数の関係も維持されます

¹

．評点を統合すると，

要因 1 要因 2 要因 3 要因 1 1 0.71 0.29 要因 2 1.41 1 0.58 要因 3 3.46 1.73 1 となります．この結果は次の通りです．

要因 1： 0.18 要因 2： 0.28 要因 3： 0.54 2. 重要度係数を統合する方法：

各人の評点はそのままとして，重要度係数を計算します．得られた重要度係数をなんらかの 方法で統合します． A と B の評点から得られた重用度係数は次の通りです．

A の重要度係数 要因 1 ： 0.12 要因 2 ： 0.56 要因 3 ： 0.32 B の重要度係数 要因 1 ： 0.19 要因 2 ： 0.10 要因 3 ： 0.70 これらの算術平均を取ると，

要因 1 ： 0.16 要因 2 ： 0.33 要因 3 ： 0.51 となります．

3. 相談しながら評点を決める方法：

上の二つでは A と B は個別に評価を行っています．それに対して，二人が相談しながら評点 を決める方法もあります．もし，集団の意志決定に用いるなら，上記の二つの方法は最後に 妥協が強いられることになるのに対し，この方法では最初の段階で互いに妥協することにな ります．

まったく意見が異なる人同士が話し合っても評価を替えることは難しいでしょうから，その場 合は評点を統合する方法か重要度係数を統合する方法を用いた方が早くすむかもしれません．一方，

それほど意見がかわらない集団ならば，多少の妥協で簡単に評点を決めることができるでしょう．

いずれにせよ，集団の意志決定は全体が納得することが重要であり，機械的に AHP を適用し てすむというものでありません．むしろ，AHP を通じて各人の考えが明らかになっていく点，す なわち数値で表現されることにより他人にも明確になる点が重要です．

1一般に，幾何平均の代わりに算術平均を用いると，統合された評点の間に逆数の関係が成り立ちません．

図表 3.4 評価要因の木：お金の使途

最適なお金の使途

自分の満足度 親の満足度

消費の喜び 安心感

旅行 スーツと靴 貯金

0.8 0.2

0.7 0.3

0.1 0.3

0.6

0.6 0.3 0.1

0.1 0.4 0.5

演習問題

3.1

アルバイトでためた分と親からの仕送りを含めて，自由に使えるお金が

10

万円ある．旅行にい きたいが，来年の就職活動に備えてスーツをもう一着と靴をそろえておくように親から忠告さ れている．あるいは，何か欲しいものが見つかるまで貯金しておいてもよい．そこで，

AHP

を 使ってどうすべきか決めることにした．図表

3.4

のように評価要因の木をつくり，重要度係数や 代替案の相対評価を求めた．

1.

図表の数値から，自分の満足度がもっとも高い使途を選べ．

2.

図表の数値から，総合的に最適なお金の使途を選べ．

3.

もしあなたが

10

万円持っていたとして，その使い道を評価する際に，どのような要因を考 えるか．評価要因の木を作りなさい．