実解析的方法とはどのようなものか

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(1)(1). ENCOUNTER with MATHEMATICS. 実解析的方法とはどのようなものか. 新井仁之. 2001 年 10 月 26 日.

(2) (2). 1807 J. B. J. Fourier 主張 1. 周期 2π の関数 f (x) はいつでも次のよう. に表すことができる：. f (x) =. ∞ n=−∞. 1. ただし cn(f ) =. cn(f )einx . 2π. π. (1). f (t)e−intdt. −π. Fourier の反転公式主張 2. R 上の関数 f (x) に対していつでも次のこ. とが成り立つ：. . ∞. f (x) = −∞. F [f ] (ξ)eixξ dξ. ただし F [f ](ξ) =. 注意. 1 2π. . ∞. f (t)e−iξxdx. −∞. 以下では次のように表す： ∞ 1 f (x) = F [f ] (ξ)eixξ dξ 2π −∞ ∞ f (t)e−iξxdx F [f ] (ξ) = −∞.

(3) (3). 問1. 1 2π. N . cn(f )einx → f (x). n=−N R iξx. e. −R. (N → ∞). F [f ] (ξ)dξ → f (x). (R → ∞). が成り立つか？どのような意味の収束で成り立つか？. フーリエ解析学における実解析的方法偏微分方程式多変数複素解析ウェーブレット理論多変数調和解析，実解析学の諸問題. 実解析的方法起源一変数 Fourier 級数・変換の収束問題応用例偏微分方程式論，多変数複素解析，ウェーブレット理論 etc..

(4) (4). 1. Hardy-Littlewood 最大関数 2. Calder´ on-Zygmund 理論 3. Littlewood-Paley 理論. 1. 関数の挙動をコントロールする． 2. 関数を「良い部分」と「悪い部分」に分解する．作用素の連続性を調べる．. 3. 関数の大きさ，滑らかさを測る． Plancherel の定理の Lp 版 (？ ). 応用例と今後の課題について.

(5) (5). 1 Hardy-Littlewood の最大関数. 定義 3. f ∈ L1loc(Rd) に対して， 1 M f (x) = sup |f (y)|dy x∈Q |Q| Q Q:立方体. を Hardy-Littlewood の最大関数という．. 定理 4 (Hardy-Littlewood の最大定理). f ∈ L1 に対して， |{x : M f (x) > λ}| ≤ C. 1 λ. f L1. 弱 (1,1) 型不等式 ❀ |{x : T f (x) > λ}| ≤. C λ. f L1.

(6) (6). 定理 5 (Marcinkiewicz の補間定理). (X, µ)，(Y, ν) : σ 有限な測度空間 1 < p1 ≤ ∞ ， T : L1(X, µ)+Lp1 (X, µ)→{Y 上の可測関数}(劣線形) T : Lp 有界かつ弱 (1,1) 型不等式 =⇒ T : Lp(X, µ) → Lp(Y, ν) (有界)，1 < p < p1. 明らかに. M f L∞ ≤ f L∞. Hardy-Littlewood 最大定理と Marcinkiewicz の補間定理より，. M f Lp ≤ Cp f Lp. (1 < p < ∞). 定理 6 (微積分の基本的定理 —積分を微分すると元に戻る—) f (x) を一変数の連続関数とすると x d f (t)dt = f (x) dx a この式を書きかえると 1 x+h lim f (t)dt = f (x) h→0 2h x−h.

(7) (7). 一般の Lebesgue 局所可積分関数に拡張: 定理 7 (Lebesgue の微分定理). f ∈ L1loc(Rd) に対して 1 lim f (y)dy = f (x) r→0 Q(x, r) Q(x,r) あるいは，. lim. r→0. 1 Q(x, r). a.e. x ∈ Rd. |f (y) − f (x)| dy = 0 Q(x,r). a.e. x ∈ Rd. (2). が成り立つ．ただしここで，Q(x, r) は中心が x で一辺の長さが r の立方体である．. (2) の成り立つ点を f (x) の Lebesgue 点という．.

(8) (8-i). 定理 7 の証明のアウトライン話を簡単にするために f ∈ L1 とする．関数 p に対して 1 T (p)(x) = lim sup |f (y)−f (x)|dy |Q(x, r)| Q(x,r) r→0 とおく．示すべきこと. |{x : T (f )(x) > 0}| = 0. (3). ∀λ > 0 : |{x : T (f )(x) > λ}| = 0. (4). Lebesgue 積分の一般論より，任意の ε > 0 に対して ∀ε > 0, ∃g ∈ C0 : f − g L1 < ε f =h+g. (h := f − g). T (g) = 0 T (f ) = T (h + g) ≤ T (h) + T (g) = T (h).

(9) (8-ii). T (h)(x) ≤ M h(x) + |h(x)| λ λ + |h| > |{T (h) > λ}| ≤ M h > 2 2 Hardy-Littlewood の最大定理より: |{M h > λ}| ≤ C. 1 λ. h L1 <. C λ. ε. Chebyshev の不等式 : |h| > λ ≤ 2 h L1 2 λ 以上より. |{x : T (f )(x) > λ}| <. C λ. ε. 評価したい関数を Hardy-Littlewood の最大関数で押さえて，Hardy-Littlewood の最大定理を使う.

(10) (9). Hardy-Littlewood 最大関数と調和関数の境界挙動 Π+ = {(x, t) : x ∈ R, t > 0} ∂Π+ = R f ∈ Lp(R) に対して t 1 ∞ P [f ] (x, t) = f (y)dy, 2 2 π −∞ |x − t| + t (x, t) ∈ Π+ (Poisson 積分) Π+ 上調和. この調和関数の境界挙動を調べる． ↑ Hardy-Littlewood 最大関数. x ∈ ∂Π+ を頂点とする開き α の Stoltz 領域： Γα(x) ¡ ® (x ). ={(y, t) : |x−y| < αt} , x ∈ ∂Π+, α > 0. x. Π+ 上の関数 u(x, t) に関する非接最大関数： Nα(u)(x) =. sup. |u(y, t)|. (y,t)∈Γα (x). Nα (P [f ])(x) ≤ CM f (x), x ∈ ∂Π+. (5).

(11) (10). 定理 8 x0 ∈ ∂Π+ が f (x) の Lebesgue 点であるとき,. lim (x,t)→(x0 ,0), (x,t)∈Γα (x0 ). P [f ](x, t) = f (x0). (6). → より一般の領域上の 2 階楕円型偏微分方程式の解. |x − y| < αt π |P [f ](y, t)| ≤. (5) の証明. |y−z|≤t |y. ∞ . ≤. + k=0 1 t. t −. z|2. +. t2. |f (z)|dz. t 2k t<|y−z|≤2k+1 t |y. |y−z|≤t ∞ . −. z|2. +. t2. |f (z)|dz. |f (z)|dz . 1 |f (z)|dz + 2k (2 + 1) t |y−z|≤2k+1t k=0 1 |f (z)|dz t |x−z|≤(1+α)t ∞ 1 |f (z)|dz + 2k k+1 (2 + 1) t |x−z|≤(α+2 )t k=0 ∞ 1 M f (x) + M f (x) M f (x) k 2 k=0.

(12) (11). (6) の証明. x0:Lebesgue 点. ∀ε > 0，∃δ > 0 : δ ≥ r > 0 =⇒ 1 |f (y) − f (x0)| dy < ε |Q(x0, r)| Q(x0 ,r) そこで , g(x) = |f (x) − f (x0)| χQ(x0 ,δ) とおくと，. M g(x0) ≤ Cε. |y| < αt とすると， P [f ](x0 − y, t) − f (x0) 1 Pt(z − y) {f (x0 − z) − f (x0)} dz := (I) = π |z|2+t2 |z−y|2+|y|2+t2 ≤ |z−y|2+(1+α2 )t2 より Pt(z − y) ≤ CαPt(y) ゆえに. . . . |(I)| Pt(z) |f (x0 −z)−f (x0 )| dz ≤ + |z|<δ |z|≥δ ≤ Pt(z)g(x0 − z)dz |z|<δ + Pt(z) |f (x0 −z)−f (x0 )| dz =: (II)+(III) |z|≥δ. また. (II) ≤ P [g](x0, t) M g(x0) < ε (III) → 0. (t → 0).

(13) (12). 2 Calder´ on-Zygmund 理論 (形式的表記). T f (x) =. K(x, y)f (y)dy. (7). 対角線上で特異性. |K(x, x)| = ∞. 典型的な特異積分の例 : Hilbert 変換. K(x, y) =. 1 x−y. ,. x, y ∈ R. Hilbert 変換の Lp 有界性 =⇒ Fourier 変換の Lp 収束.

(14) (13). 特異積分と Fourier 解析 1 R −ixξ SRf (x) = e F [f ] (ξ)dξ 2π −R (Fourier 部分和). Plancherel の定理より ∀f ∈ L2(R) : lim SRf − f L2 = 0 R→∞. Lp ノルム収束？ Hf (x) = lim. 1. . 1. π |x−y|>ε x − y Maf (x) = eiax f (x) ε>0. f (y)dy. とすると. SRf (x) =. i 2. (MaHM−a − M−aHMa). Hilbert 変換の Lp 有界性 =⇒ (8) Hilbert 変換の Lp 有界性 M. Riesz. 複素解析的方法. Calder´ on&Zygmund. 実解析的方法. (8).

(15) (14). ヒルベルト変換と正則関数. f ∈ Lp(R). (1 ≤ p < ∞)，(x, y) ∈ Π+ に対して y 1 ∞ Py [f ](x) = f (u)du 2 2 π −∞ (x − u) + y (Poisson 積分) 1 ∞ x−u Qy [f ](x) = f (u)du 2 2 π −∞ (x − u) + y (共役 Poisson 積分). (x, y) = Qy [f ](x) : Π+ 上調和 u(x, y) = Py [f ](x), u. z = x + iy と考えると f (z) := u(x, y) + i u(x, y) は上半平面 {x + iy : x ∈ R, y > 0} で正則. (x, y) : u(x, y) の共役調和関数 u u(x, y) → f (x). (y 0). a.e. x. (x, y) → Hf (x) u. (y 0). a.e. x.

(16) (15). 1. 調和関数が正則関数の実部になるという性質は多変数では成り立たない．. 2. たまたま Hilbert 変換は正則関数と結びついたが，一般の特異積分でこのような関係があることは期待できない．.

(17) (16). 定義 9 (標準核) K(x, y) : Rd × Rd \ ∆ 上連続，. d ∆ = (x, x) : x ∈ R. K(x, y) が標準核とは：∃ δ > 0 |K(x, y)| ≤ C. 1 |x − y|d. |K(x, y) − K(x, z)| ≤ C |y − z| <. 1 2. |y − z|δ |x − y|. ,. |x − y|. |K(x, y) − K(w, y)| ≤ C |x − w| <. d+δ. 1 2. |x − w|δ d+δ. |x − y|. ,. |x − y|. 超関数の一般論：. T : S(Rd) → S (Rd ). 連続線形. ∃!K ∈ S (Rd × Rd) : T ϕ, ψ = K, ψ ⊗ ϕ ,. ϕ, ψ ∈ S(Rd). ここで，ψ ⊗ ϕ(x, y) = ψ(x)ϕ(y). K : T の核超関数.

(18) (17). 定義 10. 連続線形作用素. T : S(Rd) → S (Rd) の核超関数が標準核であるとき，T を標準核をもつ特異積分作用素という．特に L2 有界なものを Calder´ on-Zygmund 作用素という．.

(19) (18). 特異積分に関する実解析学上の問題 :. 1. T は Lp 有界か？ 2. f ∈ Lp(Rd ) に対して，Cauchy の主値 lim K(x, y)f (y)dy ε0. |x−y|>ε. が存在するか？. 3. T はどのような関数空間で有界になるか？. 応用例 :. Littlewood-Paley 理論偏微分方程式の解の正則性. Lipschitz 境界をもつ領域上での楕円型境界値問題 Wavelet (後で Haar wavelet の場合のみ紹介) アイデア :. Calder´ on-Zygmund 分解 → アトム分解，関数空間の特徴づけ.

(20) (19). 特異積分の Lp 有界性 (Calder´ on-Zygmund 理論). 1. L2 有界性を証明する． 2. 弱 (1,1) 型不等式を証明する． 3. Marcinkiewicz の補間定理で 1 < p < 2 の場合が示される．. 4. duality argument により 2 < p < ∞ の場合が示される．. L2 有界性の証明方法: Cotlar-Stein の定理，Shur の補題，T1 定理，Tb 定理 2 の証明のアイデア : 関数の Calder´ on-Zygmund 分解関数 = 良い部分＋悪い部分  そんなに悪くない部分    そんなに悪くない部分悪い部分＝   そんなに悪くない部分 ... 困難 T (関数）. T (良い部分),. T (そんなに悪くない部分).

(21) (20). ユークリッド空間の 2 進分解ユークリッド空間 Rd の 2 進分解．. k ∈ Z ，m = (m1, · · · , md) ∈ Z d： m1 m1 + 1 md md + 1 Qk,m = , , × ··· × , k k k k 2 2 2 2 (第 k 世代の 2 進立方体). d Dk = Qk.m : m ∈ Z D = Dk k∈Z. 命題 11. d. (1) R =. . (2) Qk,m ∩ Qk,m = ∅ (3) k ≤ l のとき. Q∈Dk. Q，k ∈ Z. (m = m). Q ∈ Dk Q ∈ Dl =⇒ Q ⊂ Q. または Q ∩ Q = ∅. (4) k ≤ l のとき. ∀Q ∈ Dk , ∃!Q ∈ Dl : Q ⊂ Q. (5) Q ∈ Dk , Q ∈ Dk−1 ならば |Q| ≤ 2d |Q|.

(22) (21). 2 進分解 : Calder´ on-Zygmund 分解， Littlewood-Paley 理論多様体，距離空間の 2 進分解の類似の構成：多様体，距離空間上の解析への応用. 定理 12 (Calder´ on-Zygmund 分解). f ∈ L1(Rd)，f ≥ 0 とする． ∀λ > 0 ∃ 互いに交わらない 2 進立方体 Qj (j = 1, 2, · · · ) (空集合も 2 進立方体とみなす) ∃ g(x)，bj (x) (j = 1, 2, · · · ) : (1) f (x) = g(x) + bj (x) (2) 0 ≤ g(x) ≤ Cλ a.e.x， g L1 ≤ C f L1 (3) {x : bj (x) = 0} = Qj (4) bj (x)dx = 0 (5) bj L1 ≤ C |Qj | C. f L1 (6) |Qj | ≤ λ.

(23) (22). 補題 13 (Calder´ on-Zygmund 分解). f ∈ L1(Rd)，f ≥ 0 ． ∀λ>0， ∃ 互いに交わらない 2 進立方体 Qj (j = 1, 2, · · · )： (1) f (x) ≤ λ a.e. x ∈ / Qj 1 (2) | Qj | ≤ f L1 λ 1 (3) λ < f (x)dx (:= mj ) ≤ 2d λ |Qj | Qj Calder´ on-Zygmund 分解の構成補題 13 がわかれば. g(x) = f (x)χRd\Ωλ +. . mj χQj (x). j. bj (x) = {f (x) − mj } χQj (x) 補題 13 の構成 : f ∈ L1loc に対して， 1 Ek f (x) = f (y)dy χQ(x) |Q| Q Q∈D k. Mdf (x) = sup |Ek f (x)| k. とおく．. 2 進最大関数. x ∈ Rd.

(24) (23). Ek : Dk に属する立方体で生成される σ 集合体 Fk に関する条件付期待値. Doob の不等式 Hardy-Littlewood 最大定理 Martingale の収束定理 Lebesgue の微分定理. 補題 14. (1) ∃ C > 0. |{x : Mdf (x) > λ}| ≤. C λ. f L1 ,. f ∈ L1. (2) f ∈ L1 に対して lim Ek f (x) = f (x). k→+∞. lim Ek f (x) = 0. k→−∞. a.e. x. x ∈ Rd. λ > 0 とし， Ωλ = {x : Md f (x) > λ} とおく. x∈ / Ωλ に対しては Lebesgue の微分定理から f (x) = lim Ek f (x) ≤ Mdf (x) ≤ λ k→∞. もし |Ωλ| = 0 ならば g = f ，bj = 0 とおけばこれが求める分解．.

(25) (24). |Ωλ| = 0 の場合: Ak = {x : Ek f (x) > λ, Ej f (x) ≤ λ (j < k)} Ωλ =. . Ak , Ak ∩ Ak = ∅(k = k). k∈Z. Ek f ，Ej f (j < k) : 各 Q ∈ Dk 上では定数． Ωλ = Qj , Qj : 互いに素な 2 進立方体 Hardy-Littlewood の最大定理より C. f L1 |Qj | = |Ωλ| ≤ λ 定義から. λ<. . 1 |Qj |. f (x)dx Qj. Qj : Qj ⊂ Qj なる一世代前の 2 進立方体 1 f (x)dx ≤ λ |Qj | Qj 1 |Qj |. f (x)dx = Qj. ≤. |Qj | 1 |Qj | |Qj | Qj d 2. |Qj |. Qj. f (x)dx. f (x)dx ≤ 2d λ.

(26) (25). Haar ウェーブレットと無条件基底定義 15. (X, · ) を Banach 空間とする．. {xi : i ∈ N } ⊂ X が基底であるとは， N ∞ ∀x ∈ X, ∃! {ai}i=1 ⊂ C : lim x − aixi = 0 N →∞ i=1. が成り立つことである．特に基底 {xi : i ∈ N } の順. 序を任意に入れ換えた xσ(i) : i ∈ N が再び X の基底になっているとき，無条件基底という．. Banach 空間論 Hardy 空間 H 1 に無条件基底が存在するか？ Maurey (1980) (非構成的)， Carleson, Wojtaszczyk (構成的) Y. Meyer ：ウェーブレット → H 1, Besov 空間， Triebel-Lizorkin 空間 etc. Donoho ：データ圧縮と関連した無条件基底の研究 (1993, 1996).

(27) (26). Donoho の sparsity critical index X = [0, 1] or [0, 1]2 {φi} : L2(X) の正規直交基底，θi(f ) = f, φi f ∼. ∞ . θiφi. i=1. |θ|(i) : 係数の絶対値が大きいもの順に並べ替え |θ|wlp = sup i1/p |θ|(i) i≥1. < {i : |θi| > δ} ≤ |θ|wlp. p 1 δ. ,. δ>0. 数列の族 Θ に対して. p∗(Θ) = inf {p : Θ ⊂ wlp} p∗ が小さいほど sparse 度が大きい無条件基底に対する展開係数の全体が optimal である．. (Donoho).

(28) (27). 定義 16. (Haar 基底) h(x) = χ[0, 1 )(x) − χ[ 1 ,1)(x) 2 2. j, k ∈ Z : hj,k (x) = 2j/2h(2j x − k) {hj,k} : Haar 関数系. Haar 関数系 : L2(R) の正規直交基底 Lp(R) の無条件基底 : Calder´ on-Zygmund 分解を使って証明する．. β = {βj,k } ,. βj,kは有限個のみ 1 で残りは 0. に対して. Tβ f (x) = Kβ (x, y) =. ∞ −∞. Kβ (x, y)f (y)dy. . hj,k(x)hj,k (y). j∈Z k∈Z. が一様に Lp 有界 (1 < p < ∞)..

(29) (28). Tβ f (x)g(x)dx ≤ hj,k(x)g(x)dx hj,k(y)f (y)dy j∈Z k∈Z = |hj,k , g| |hj,k , f | j∈Z k∈Z.  ≤ . . 1/2  2. |hj,k, g|. j,k∈Z. . . 1/2 |hj,k , f |2. j,k∈Z. = g L2 f L2. 弱 (1,1) 型不等式 : f ∈ L1(R)，f ≥ 0 ．レベル λ > 0 の CZ 分解 :. f = g + b,. b=. . bj. λ λ + |T b| > |{|T f | > λ}| ≤ |T g| > 2 2 .

(30) (29). [Good part の解析] 4 λ C 2 2 |T g| > ≤ dx ≤ dx |T g| |g| 2 2 2 λ λ C |g| dx ≤ C f L1 ≤ λ [Bad part の解析] 各 bi について，x ∈ / Qi ならば T bi(x) = hj,k (x) hj,k (y)bi(y)dy = 0 j,k. Q : hj,k の台をなす 2 進区間 . i) Q ∩ Qi = ∅ ii) Q ⊆ Qi iii) Qi Q i) : hj,k bi = 0 ii) : hj,k(x) = 0. iii) : bi の cancellation より， hj,k bi = 0 (hj,k |Qi = 定数). よって， λ ≤ |T b| > 2 . C . f L1 Qi ≤ λ. .

(31) (30). 特異積分作用素の代表的な例：. Lipschitz 曲面上の Cauchy 積分擬微分作用素. a(x, ξ) : S m クラスの表象: a(x, ξ) ∈ C ∞(Rd × Rd) β α ∂x ∂ξ a(x, ξ) ≤ Cα,β (1 + |ξ|)m−|α| d d (x, ξ) ∈ R × R Taf (x) =. . 1 d. (2π). a(x, ξ)F [f ](ξ)dξ Rd. a(x, ξ) が S 0 クラスの表象をもつ擬微分作用素ならば，Calder´ on-Zygmund 作用素. 0 なお S1,1 クラスの表象をもつ擬微分作用素で，標準核. をもつ特異積分作用素だが，CZO でないものがある．. Wavelet に関する Bergman 型 (？ ) 作用素.

(32) (31). 3 Littlewood-Paley 理論 {φj } : L2 の正規直交基底 f =. . cj φ j. βj ∈ R (|βj | ≤ 1) h=. . βj cj φj. Plancherel の等式より. h L2 ≤ f L2. h Lp ≤ C f Lp ？ p = 2. (9). {φj } : Lp の無条件基底 ⇐⇒ (9) 成立 Fourier 基底は Lp (p = 2) の無条件基底ではない．.

(33) (32). f ∈ L1(T ) に対して第 n Fourier 部分和 sn(f ; x) =. n . ck (f )eikx. k=−n. を考える．これに対して， ∞ 2 2 s2n+1−1(f ; x) − s2n −1(f ; x) g(f )(x) =. 2 ∞ inx = cn(f )e n=0 2n ≤|k|≤2n+1 −1 n=0. によって定義される関数 g(f )(x) を. Littlewood-Paley の g 関数という．. 定理 17. (Littlewood-Paley). 1 < p < ∞ のとき Cp f Lp ≤ g(f ) Lp ≤ Cp f Lp ただし c0 =. 1 2π. . π. f (x)dx = 0 −π.

(34) (33). 各ブロック 2n ≤ |k| ≤ 2n+1 − 1 の範囲内で一定の数であるような βk (|βk | ≤ 1) を掛けても，. h Lp ≤ Cp f Lp が成り立つ．.

(35) (34). 定義 18 (滑らかな単位の分解) d ϕj ∈ S R (j = 0, 1, 2, · · · ) で. (1) supp ϕ0 ⊂ {|x| ≤ 2}. j−1. j ≤ |x| ≤ 2 (2) supp ϕj ⊂ 2 (3) |∂ αϕj (x)| ≤ cα2−j|α| ∞ ϕj ≡ 1 (4). j = 1, 2, · · ·. j = 0, 1, 2, · · ·. j=0. d をみたすもの全体を Φ R とおく．. ∆j f (x) = F −1 [ϕj F [f ]] g 関数の類似: G(f )(x) =. . . 1/2 |∆j f (x)|2. j∈Z. 定理 19. 1 < p < ∞ に対して Cp f Lp ≤ G(f ) Lp ≤ Cp f Lp.

(36) (35). G(f ) を次のように変形: 1/2 2 s sj G (f )(x) = , 2 |∆j f (x)| j∈Z. −∞ < s < ∞. このとき. Cp f H s ≤ Gs(f ) Lp ≤ Cp f H s , p. p. 1 < p < ∞, −∞ < s < ∞ ただし • H s は s 次の Lp Sobolev ノルム: p " !s −1 2 2 F [f ] 1 + |ξ|. f H s := F p. Lp. この特徴づけを一般化して導入された関数空間が. Triebel-Lizorkin 空間： 1/q q s sj Gq (f )(x) = , 2 |∆j f (x)| j∈Z. −∞ < s < ∞. Gs∞(f )(x) = sup 2sj |∆j f (x)| , −∞ < s < ∞ j∈Z. としたとき， # s s Fp,q (Rd) = f ∈ S (Rd) : f Fp,q s = Gq . Lp. <∞. $.

(37) (36). s Gq . Lp. 1/q sj q = 2 |∆j f (x)| j∈Z. Lp. Bq ノルム Lp ノルムこの順序を逆転させたもの : Besov ノルム. −∞ < s < ∞, 0 < p, q ≤ ∞ に対して 1/q q sj. f Bp,q = 2 ∆j f (x) Lp s j∈Z. f Bs. p,∞. = sup 2sj ∆j f (x) Lp j∈Z. #. s Bp,q (Rd) = f ∈ S (Rd) : f Bp,q <∞ s. s = Cs B∞,∞. s>0. (H¨ older 空間の Littlewood-Paley 分解). $.

(38) (37). 注意 1. 滑らかな単位の分解の例：. d ψ∈S R を 1 ≤ |x| ≤ 2 , supp ψ ⊂ 2 √ 1 ψ(x) > 0 √ ≤ |x| ≤ 2 2 をみたすようにとる．. ψ(2−j x) (j = 1, 2, · · · ) , ϕj (x) = ∞ ψ(2−k x) k=−∞ ∞ . ϕ0(x) = 1 −. ϕj (x). j=1. とすれば，これが求める関数の例である．.

(39) (38). 注意 2. 定理 19 の証明は次の B2 値の H¨ ormander-. Mihlin マルチプライヤー定理による．定理 20. 1 < p < ∞ とする．mk,j ∈ L∞(Rd)，. fj を可測関数とする (j, k = 0, 1, 2, · · · ) とする．このとき，次の不等式が成り立つ：. ∞ % ∞ &21/2 −1 mk,j F [fj ] F p k=0 j=0 L ∞ 1/2 ≤ Cp,m |fk (x)|2 k=0. Lp. ただしここで. Cp,m. . = c sup R>0 0≤|α|≤[d/2]. である．. . R2|α|−d R/2≤|x|≤2R. ∞ . 1/2 |Dαmk,j (x)|2dx. j,k=0.

(40) (39). フーリエ変換を用いない L-P 理論定義 21. 0 < ε ≤ 1 とする．次の条件を満たす. 関数族 {Sk(x, y)}k∈Z を単位の近似列という :. |Sk(x, y)| ≤ C2kd Sk(x, y) = 0. ( |x − y| ≥ C2−k ). |Sk(x, y) − Sk(x , y)| ≤ C2k(d+ε) |x − x | |Sk(x, y) − Sk(x, y )| ≤ C2k(d+ε) |y − y |. ε. ε. |[Sk (x, y)−Sk(x , y)]−[Sk(x, y )−Sk (x, y )]| ≤ C2k(d+ε) |x − x| |y − y | Sk (x, y)dx = Sk (x, y)dy = 1 ε. ε. (x, y ∈ Rd). そして，. Dk (x, y) = Sk (x, y) − Sk−1(x, y) とする．. f ∈ S に対して Dk f (x) = Dk (x, ·), f . とおく．. (k ∈ Z).

(41) (40). Han, Jawerth, Taibleson, Weiss (1990): Dk f は Sk f の代用品として使える. 構成方法. h ∈ C ∞ ([0, ∞])，supp h ⊂ [0, 2]，h(x) = 1, (x ∈ [0, 1/2]) なるものをとる． k kd Tk f (x) := 2 h 2 |x − y| f (y)dy とする．(→ C −1 ≤ Tk 1 ≤ C).. 1. f (x), Tk 1(x) "−1 1 (x) f (x), Wk f (x) := Tk Tk 1 S k = Mk T k W k T k M k. Mk f (x) :=. Sk (x, y) : Sk の積分核 Sk(x, y) =. 1 m(x)m(y). . t(x, z)t(z, y) w(z). dz. ただし. m(x) = Tk 1(x), t(x, y) = 2kdh(2k |x − y|), "−1 1 w(x) = Tk (x) Tk 1.

(42) (41). • 等質型空間上でも単位の近似列が構成できる (ただし ε は擬距離に依存)． • したがって，等質型空間でも Littlewood-Paley 理論が展開できる．. 次のことが成り立つ．定理 22 (Han, Jawerth, Taibleson, Weiss, 1990). −ε < α < ε，1 ≤ p, q ≤ ∞ に対して， % &1/q q . f α· ≈ 2kα |Dk f | Fp.q %. f. ·. α Bp,q. ≈. k∈Z. p kα 2 Dk f Lp. Lp. &1/q. k∈Z. 等質型空間 · · · Han and Sawyer (1994).

(43) (42). 定理 23. (Han, Lu, Yang (等質型空間), 1999). −ε < α < ε，1 ≤ p, q ≤ ∞ に対して， % &1/q q . f Fp,q 2kα |Dk f | α ≈ %. f Bp,q α ≈. Lp. k∈Z +. . kα. 2. k∈Z +. ただし D0 = S0 とする．. Dk f Lp. q. &1/q.

(44) (43). 定義 24 (Coifman, Weiss, 1971). (X, ρ, µ) が等質型空間であるとは，X を局所コンパクト Hausdorﬀ 空間，ρ が擬距離で，µ は X 上の. Radon 測度で， 0 < µ (Bρ (x, 2r)) ≤ Cµ (Bρ (x, r)) < ∞ をみたす．ここで. Bρ(x, r) = {y : ρ(x, y) < r} で，{Bρ(x, r)}r>0 は X の基本近傍系になっているとする．. 例 25. X1, · · · , Xm : H¨ ormander 条件をみたす Rd 上の C ∞ ベクトル場 =⇒ (U, ρ, dx) : 等質型空間 (Nagel, Stein, Wainger, Feﬀerman, Phong · · · ) (ρ はユークリッド距離とは一般には同値ではない ).

(45) (44). 例 26. (X, g) : Cartan-Hadamard 多様体， −∞ < −b2 ≤ K ≤ −a2 < 0. S(∞) : Eberlein-O’Neil 境界 (無限遠境界), ω : 調和測度 (on S(∞)) =⇒ (S(∞), ρ, ω) :等質型空間 (Anderson, Schoen; see also A [8]). 応用退化楕円型偏微分方程式，CR 多様体上の解析，多変数複素解析，負曲率多様体の調和関数，調和写像，非線形近似論 etc..

(46) (45). 参考文献 [1] J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Math. vol. 29, Amer. Math. Soc. 2001. [2] J. Garc´ıa-Cuerva and J. L. Rubio de Fracncia, Weighted Normn Inequalities and Related Topics, North-Holland, 1985. [3] E. Hernandez and G. Weiss, A First Course on Wavelets, CRC Press, 1996. [4] E. M. Stein, Harmonic Analysis, Real Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton Univ. Press, 1993. [5] 新井仁之，実解析学の発展とその解析学への応用，数学，50 (1997), 29-55..

(47) f (x)dx ≤ |f (x)| dx .

(48) ψ,ψ ∗ ∈ C(R) |ψ(x)| ≤. c. (1 + |x|)1+α c |ψ ∗(x)| ≤ (1 + |x|)1+α |ψ(x + h) − ψ(x)| ≤ |h|β |ψ ∗(x) − ψ ∗(x + h)| ≤ |h|β ψ(x) = ψ ∗(x) = 0 Tη f =. . ηj,k2j f, ψ ∗(2j x − k)ψ(2j s − k). j,k. =⇒Tη. CZO. CZ-norm ≤ C η B∞.

(49)