小学校教員養成過程の学生の

(1)

岡山大早耳致 .数学教育学会誌

『パピルス』第L号 (1994年 )85日〜94頁

小学校教員養成過程の学生の

図形領域の公理的構成に対する感覚について

‑ 学生の定義の理解を通しての考察 ‑

3‑橋敏雄岡山大学教育学部

小学校算数科においては､どのような事柄をどのように教えるべきなのであろうかOそもそも､中学校以降は数学と呼ぶ科目を､小学校では何ゆえに算数と呼ぶのだろうか｡これについては色々な考え方があることと思うが､私は次のように考えている｡数学は､いくつかの基本法剛を公理とし､公理から論理的な推論 (論証 ) によって色々な定理を導き出して一つの学問体系を構成する､所謂一積み上げ式ーの学問である｡然しながら､小学生に公理を押し付けることはもちろん､論理的な推論を要求することも不可能であろう｡それゆえ小学校では､日常身の回りにある具休的な事柄に注目させ､各々の考えを発表させ､具休的な操作､思考実験､議論をさせて共通の認識にまで高めさせ､納得させ､そしてその結果を定理とするのである｡従って､それ等の定理には数学的な公理の義付けが無く､数学の定理とは言い難いのである｡このような方法は､中学校の2年の中頃まで操り返される｡その後､論証の何たるかを教え､それまで納得して作り上げた定理を基に.論理的な推論を行なって､定理を積み上げていくのである.言い換えれば､小学校から中学校 2年までの間は､誰でもが自然に其理であると認めることのできる公理系を作っているのである｡それ故､小学校では数学ではない算数なのである､と私は思っている｡

本稿は､小学校での､上のような意味での算数が､数字的な根拠を持っていることを解説する目的で､学校教育に配慮した平面鴇何の構成を行なった講義の結果についての考察である｡

1｡はじめに｡

平面幾何は､平面上の点､直線､半直線 . 線分､三角形､四角形､円などからなる図形の性質を研究する字間であるAユークリ

ッド幾何では､始めに生壁と呼ばれるいくつかの基本法剛を定める｡そして公理から出発して論理的な推論によって星空と呼ばれるいろいろな法則を蔀き出していくO定理を導き出していく推論が延盟であるo このとき､公理や定理や証明を述べるために

‑ 85‑

用いる術語の意味をはっきり定めておかなければならない｡術語の意味を､既に意味が分かっている術語を用いて説明するのが星垂であるD ところが､一つの開語を定義しようとすると､既に定義された用語を用いて定義しなければならない｡用語の定義をするために､このようにさかのぼって行くと､最も基本的な用語に到達せざるをえない｡これらの基本的な用語は､定義しないで用いる｡これらを無定義弔請というO

(2)

平面幾何では､ "点''､ ■■病根" ､ー平面"

"通る■'､ ●●間にある''､繊分の ●●長さ'●I 角の ''大きさ''等を無足並

別

語とす ()"

一帖に､いくつかの載本法則を公理とし､

公理から論理的な推論 (論証 )によっていろいろな定理を碩き出して一つの学問体系を捕成することを公理的横桟とい J)0 19 世紀末にヒルベルトによって､屍も完桟度が高いといわれるユーク 1)ッド幾何の公坪的構成がなされた. ヒルベルトの公理系では､点､直線､平面は､単なる3伸輔の異なる物であ r)､それらは一連の公理系を満たしていさえすれば何でも良いとされている｡しかしながら､彼の書評には､至るところに図が描かれており､これ等の図は､

述べている申柄の内容を埋解する̲Lで不可決のものであるように思われる｡このことからヒルベルトは､具休的･直観的なtii柄が数学を理解する上で不可欠であると思っていたのではないかと思われる｡このことは､小学校や中学校で算数･数学を理解させ､納得させる上で大変重要なこを示唆しているものと思われる｡

私は､将来小学校の先生になるなる学生を対象に､小学数学Cという講義を開講し､

拙著のレクチャ‑ ノートを用いて､学校教育に配慮したユークリッド幾何の公理的構成を行なうと共に､実際の教科書ではどの

ように取り扱われているかを解説している｡

この時､無定義用語とは､改めてその意味を定義するまでもなく､その愚昧があらかじめ誰でも直感的に分かっていて､共通の作解がある､あたりまえな用語であると見徹すことにしている｡その後､期末試験で色々な用語の定義を述べさせた.受験した学生は 8 1名であった｡本稿では､その試験の結果を分析し､今後の講義に際して注意すべきこと等について考察してみたい｡

2｡試験間窺｡

‑ 86 ‑

19 93年9月 28Elに行なった試験の問題は次の10問である｡

(l)純分の註兼を述べよO (2)半平面の定義を述べよ｡

(3)=角形の内部の足並を述べよ.

(4)運動 (合同変換 )の定義を述べよ｡

(5)二つの三角TF三が合同の定滝を述べよO (6)i7111角と同位角の定義を述べよ｡

(7)四辺形の定義を述べよO (8)平行綿の定義を述べよO (9)等脚台TF/I/の定義を述べよn

(lO)辛/(rFq辺JF三の足先を述べよ∩

以下の節で､誹題の流れに沿って訊歳の内零を解説しながら

I

T解を述べ､その後､

'tF/ItのiiPt吉例を紹介し､何ゆえに斯かる誤答が/i‑'.したのかについて､その理由を苛烈する｡

30問E3(1)に‑)いて.

'一点 '' ●‑直綿一､

‑

平面一一●通る■'､

日間にある【等の用語は､誰でもその意味がはっきり分かっているものとして､これから考える点や直線等は､全て同

‑

0)平面上にあるものとし､次の公理を与える｡

公理 1 . 相異なる点A

,

Bが与えられたとき､ Aと Bを通る直線がただ

‑一つ存在する｡これを直

線A

Bという｡』

公千里 2 . 直線 AB上に､ Aとち Bとも異なる点Cを取れば､次の(i).(ii).

(iii)のいずれか一･つだけが成り立つO

( i )

CはA とBの間にある｡

(ii) AはCと tiの問にある｡

Hii) Bは八とC

の

^{問にある｡』}

これ等の公理0)下に､両線 A Bの､ Aと B の間にある部分に､点 A とBとを付けノJUえたものを積分 A̲Bといい､記号

旦

里で表すことにしている｡従って､問迦 (1)の回答は､次のようになる｡

【解答 (1)】垣根 A Bの､ Aと Dの間にある部分に､点AとBとを付け加えた

(3)

ものを線分A Bという｡』

4｡問遵 (2)について｡

平面が､一つの直綿によって二つの部分に分割されることに傑ルて､次の公理 (バッシュの公理と呼ばれている)を採用する｡

公理

3 .

直線mが三

点A.B,

Cのいずれをも通らない時､mは.三つの綿分A B. BC. CAのいずれとも交わらないか､または､そのうちの二つとだけ交わる｡』

この公理に基づいて､次のように定盤することができる｡

≡巨

義 1 . 直線mと､mの上にない二点A. Bを考える.純分 ABが直線m と交わらないとき.直綿 mに関して Aと B はM にある､または､ Aと Bは直線m の且旦皿にあると言うQ線分ABがmと交わるとき､直線mに関してAとBは反旦皿にある､または､Aと Bは直線mの反丑劇にあると言うo』

この定義の下に､次の定理が成り立つ｡

芸

巨埋 3 . 1 . 直綿 mと､rnの上にない三点

A.B.C

に対して､

(1)mに関して. BとAが同じ側にあり､ CもAと同じ側にあれば､ BとCは同じ側にある｡

(2)mに関して､ BとAが反対側にあり､ CもAと反対側にあれば､ BとCは同じ側にある｡

(3)mに関して､ BとAが同じ側にあり､ CがAと反対側にあれば､ BとCは反対側にある｡』

この定理により､直線mの上にない二つの点が. mに関して同じ側にあるという関係は同値関係であることが解り､直線mは平面を､ mに関して互いに反対側にある二つの部分 (同値類 )に分けることがわかる.

これらの各々の部分を､ mが定める豊里画と言う｡従って､問題 (2)の解答は､次

‑

⁸⁷ ^‑

l ̲L

のようになる｡

【解答 (2) 】平面は､一つの直線によって互いに反対側にある二つの部分に分けられる｡これ等の各々の部分を半平面という｡』

5｡問題 (3)について｡

三点

A,B.C

が同一直線上にないとき､

三つの線分AB. BC.CAからなる図TFIJ を三角形ABCといい､△ A BCで表わす｡

三つの点A.a,Cを△ ABCの退畠､三つの線分AB. BC. CAを△ A BCの辺という｡このような約束の下に､次のように定義する｡

定義 4 △ A BCにおいて .点 P が､直線BCに関しては頂点 Aと同じ剛にあり直線CAに関しては頂点 Bと同じ側にあり､直線A Bに関しては頂点Cと同じmEJ にあるとき､点Pは△ A BCの内

部

̲にあう

という｡△ ABCの内部にある点全体を

△ A BCの凸型という｡』

従って､問

遺 (3

)の解答は､次のようになる｡

【解答 (3) 】 △ ABCにおいて､

点Pが､直線BCに関しては頂点Aと同じ側にあり､直線CAに関しては頂点 Bと同じ側にあり､直線A Bに関しては頂点 Cと同じ側にあるとき､点Pは△ A BCの内部にあるという｡△ A BCの内部にある点全体を△ A BCの白墨という｡』

運動 (合同変換 )について述べるためには､まず､線分の長さと角の大きさについて説明しなければならない｡先にも述べたように､棉分の "長さーと角の ̀大きさは､その意味が誰でも明確に解っているものとみなす無定義用語である｡そのうえで､

次のように説明する｡

各線分には､星三､と呼ばれる正の実数

(4)

が対応する｡線分 A Bの長さを､線分を表わすのと同じ記号旦旦で表わす｡ A Bが綿分を表わしているのか､線分の長さを表わしているのかは､その前後の文脈によって明らかであって､混同する恐れはない｡例えば､等式 A B‑ CDは､二つの線分 A B と CDの長さが等しいことを表わす｡ A B

‑ CDは､ A Bと CDは等しい､と読む｡

すなわち,二つの線分が等しい､というときは､二つの綿分の長さが等しいことを意味する｡線分 A Bの長さを､二点 A, B間の星巨塵ともいう｡線分 A Bと線分 BA とは同じ線分であるから､ A B= BAであるO 色の意味は既に解っているものとして､

次のように定義する｡各角には､左皇三､と呼ばれる正の実数が対応する｡ ∠AOB の大きさを､角と同じ記号 ∠AO Bで表わす｡ ∠ A O Bが角を表わしているのか､角の大きさを表わしているのかは､その前後の文脈によって明らかであって､混同する恐れはない｡例えば等式 ∠AOB‑∠ C PD は､∠ A O Bと∠ CPDの大きさが等しいことを表わす｡ ∠ AO B=∠ CPDは

∠ AO Bと∠ CPDは等しい､と読む｡すなわち､二つの角が等しい､というときは､

二つの角の大きさが等しいことを意味する｡

∠ AO Bと∠ BOAは同じ角であるから

∠A O B=∠ BOAである｡これ等の了解の下に､問題

(4

)の解答は次のようになる｡

【解答 (4) 】平面からそれ自身の上への一対一の点対応 (これを変旗という) 中が次の3つの条件を満たすとき､変換中を選勉 (または合同変換 ) と言う｡

(1)直線の､◎による像はまた直線である (2)任意の二点 A. Bに対して､

￠ (A)￠ (ら) =A B (3)任意の角 ∠ AO Bに対して､

∠￠ (A)￠ (0) ￠ (B)‑∠ AOB』

一 88‑

了｡問題 (5)について｡

運動の定義の後､すぐに次の定義をする｡

ただし､呈直線の愚昧は既に解っているものとする｡

公理 6 2つの三角形 △ A BCと

△ DEFが与えられたとき､次の条件を満たす運動中がただ一つ存在する｡

(1)点￠ (A)は点Dと一致する｡

(2)半直線 A Bの､￠による像は､

￠ (A)を端点とする半直線で､半直線 DEと一致する｡

直線 A Bが定める二つの半平面のう点Cのある側の半平面の￠による像直線 DEが定める二つの半平面のうち､点Fのある側と一致する｡』

二つの運動を続けて行なった変換はまた通勤であり､運動の逆変換もまた運動であるから､次のように定義することができる｡

定

義 6 二つの図形 ∧,∑に対して､ ∧を ∑に移す運動が存在するとき､図形 ∧と図形 ∑とは皇且であるといい､記号

△̲

主

^{星で表わす｡』}

従って問題 (5)の解答は次のようになる｡

【解答 (5) 】二つの三角形 △ A BC と△ DEFに対して､△ ABCを△ D EF に移す運動が存在するとき､△ A BCと

△ DEFは合同であるという｡』

8

｡問題

(6

)について｡

伏図のように､二つの直線m.nが第三の直線 A Bと相異なる二点で交わっているとする｡このとき,(塾と⑧ および③ と6)杏, それぞれ一組の藍色といい､O と⑤ ､② と

⑥ ､③ と⑦ および④ と⑧ を､それぞれ一組の且位負という｡

(5)

四点A,B,C.Dで､どの三点も同一直線上にないものを考える｡四つの根分 A B. BC,CD. DAのうち､線分 A B と線分C Dが交わらず､綿分 BCと線分 DA が交わらないとき､四つの線分

AB.BC.

CD, DAから成る図形を､四辺形 A BCD といい,四点A. B. C. Dをその温点､四つの綿分AB, BC. CD. DAをその辺､二つの線分AC. BDをその生色塵という｡四辺形において､隣り合っていない辺同士を互いに他の塾辺といい.隣り合っていない角同士を互いに他の生色という｡』

従って､問題 (7)の答えとしては､上の文章の前半を書けば良いことになる.

完

三森 7 相異なる二直線m,nが交点を持たないとき､この二直線は生垣であるといい､記号

E i

LL且で表す｡』

問題 (8)の答えとしては､上の定義をそのまま苔けば良いのであるが､ユーク

リッド幾何においては､ "平行線の公理トが本質的な役割を果しているので､これについて少し詳しく述べてみることにする.

相異なる二直線が第三の直線と相異なる二点で交わっていて一組の錯角が等しければ､この二直線は平行であることは､比較的容易に証明することができる｡しかしな

ー 89 ‑

がら,この逆の命韻を証明する試みは､

2

00

0年にもわたって続けられたが､ついに証明することができず､次の公理を必要とするに到ったのである｡

公理 7 直線外の任意の点を通り､

この直線に平行な直線はただ‑つしかない』

この公理があれば､状の定理を証明することができる｡

元≡埋 A ̲

(1)平行な二直根の一方に交わる直線は､

他方にも交わる｡

(2)平行な二直線に第三の直線が交わって出来る錯角は等しい｡』

この定理を用いて､次の定理を証明することができる｡

定理 B . 三角形の内角の和は二直角に等しい｡』

更に､この定理を用いて､次の定理を証明することができる｡

≡巨理

C .

^{相異なる二直線}m. ∩ が､第三の直線と､相異なる二点P.Qで交わっているとする｡このとき､一組の同傍内角の和が二直角より小さければ､二直綿は第三の直線に関して､同傍内角の和が二直角より小さい側で交わる｡』

公理7を用いて定理Aが証明され､定理A の主張だけを用いて定理 Bが証明され､定理Bの主張だけを用いて定理Cが証明された｡更に我々は､定理Cの主張だけを用いて公理 7を証明することができるのである｡

従って､公理7､定理A､定理B､定理C は同値であることが解るのである｡この事実を､小学校の先生になろうとしている学生諸君には､ぜひとも理解しておいてほしいものである｡

1 1｡問題 (9)､ (10)について｡

四辺形ABCDにおいて､直線 A Dと 8Cとが平行であるとき､辺 A Dと辺 BC は平行であるという｡一組の対辺が平行な

(6)

四辺形を立並とい ')｡台形において､平行でない一組の対辺が等しいとき. この台形を特に等脚

台

形という｡二組の対辺が平行な四辺形を平行四辺形といい､平行四辺形 A らCDを記号ロ A BCDで表わす｡

以上で､講義の流れに沿った､試験問題の解答がどうあるべきかについては理解してもらえたものと思う｡

次の節からは､学生の誤解答と､それ等に対する考察を行なってみたい｡

12｡問題 (1)に対する学生の誤答例と考察｡

この試額に対する受頼生は､先にも述べたように､ 81名であった｡そして､この問題 (日に対する誤答者は30名であった｡以下に､その典型的な誤答例を述べる｡

(例

1)

『異なる二点

A.B

があるときに､

AとBを結ぶ直線を線分 A Bという｡』

これと本質的に同じ解答をした学生は6 名であった｡小学校2年では､直線と線分の区別はしないで､『まっすぐな綿を直線といいます』と定義しているので､このような解答が表われるのはやむを得ないのかもしれないが､私の大学での講義ではその区別を明確にし､更に､レクチャーノートでも､その点を注意し､きちんと線分の定義したのであるが､かかる解答が多数あったことは甚だ残念であるO

(例2)『直線mのある部分に点A.Bをとり､その点 Aから点 Bを結ぶ線を線分 A B という｡』

これと本質的に同じ解答をした学生は6 名であった｡綿という概念は､小学生にとっては当り前な概念であろうが､私の講義では､精々直線が無定義用語で出てくるだけで､『綿』という概念は出てこないのである｡言い換えれば .学生は､大学での講頚の内容は , これを無視し､彼等の知識の中には､小学校で習ったことだけが絶対的な

‑ 90一

L

技理として存在しているのではなかろうか｡

彼等にとって､大字教育は全く必要無いのかも知れない｡

(例 3) 『直線 A B上に異なる 2点､点 A､

点 Bをとるとき､ Aと Bの問の部分を線分 A Bという｡』

これと本質的に同じ解答をした学生は8 名であった｡これは､ "以上‑ とか以下"

とかのような用語と同様に､普段良く使う

"問にあるーという言葉を､数学の用語として用いるときに生ずる危険性を意味しているのではなかろうか｡

(例4)『直線 A B上に二点 Aと 13を付け J]nえたとき､線分 ABという｡』

これと類似の解答をした学生は5名であった｡これは､例 1のような解答をした半生と同じように､直線と線分の区別がはっきりしていない学生ではなかろうかと思われる.

13｡問題 (2)に対する学生の誤苫例と考察｡

この間題に対する学生の解答のバターンは少なく､正解が39名､『1つの直線によって2つの部分に分けられた平面の各々を半平面という』､とした学生が29名､解答を軽いていない学生が7名､その他の誤答を百いた学生が6名であった｡同じ側

とか反対側とかいう概念は､小学校にも中学校にも出てこないようであるが､それは､

その意味が分かり切っている平面と直線の関係から明らかであるからであろう｡しかし､『3本の直線でかこまれた形を三角形/

といいます』､『4本の直線でかこまれた形を四角形といいます』と言っているように､間接的ながら､側の概念は使われているのである｡更にまた､別の議論を疎かにすると､全ての三角形は二等辺三角形であることが証明できたりするので､注意が必要である｡従って､fRIJの概念をはっきり用

(7)

いて半平面の定義をしてはしかったのである｡

14｡問題 (3)に対する学生の誤答例と考牢｡

PuliEi(2)において､mlJの概念に触れた学生は38名だけたったのに､問題 (3) においては､60名近くの学生が側の概念を正確に用いて解答しているのである｡そのうち､ 27名の学生は､問籍 (2)では誤答を述べ､問題 (3)では正解を述べているのである｡なお､問題 (2)では正解を述べ､問題 (3)では誤答を述べている学生は4名､問題 (2)､問題 (3)共に間iBえていた学生は 15名であった｡典型的な誤答例は『三角形 A BCで､線分 A B.

BC, CAで囲まれた部分を三角形 A BC の内部という』と言うものだった｡

問題 (2)と問題 (3)に対する正解数の多寡は､レクチャーノ‑ 卜に､はっきり定義と等いてあったかなかったかの追いに依るものであろうか｡

平面からそれ自身への点対応で､任意の二点間の距離を変えないものを等長変換というQ三角形は､三角形の三辺合同定理を用いることにより､等長変換によってそれと合同な三角形に移されることが解り､このことから､等長変襖は､角の大きさを変えないことが解り､従って実は､等長変換は､【解答 (4)】で述べた合同変換 (逮動 )であることが示されることを､諦轟の終りの方で述べた｡ (このことについての詳しい説明は､例えば､那須俊夫先生の

｢変換捜何入門｣ (共立出版 )を参照されたい｡ ) このため､採点は甘くした｡その結果､誤答は 23名､その内 10名が白紙で､ 6名が何となく解っているような､解っ

‑ flL‑

ていないような､フラフラした答案だった｡

7名は､ほとんど何も解っていない､いい加減な答案だった｡従って.特に紹介に値するような誤答例はなかった｡

16｡FITl題 (5)に対する学生の;,Pt.苔例と考察｡

この間祖は､定義6の .一般の図形に対する合同の定義を､三角形の場合に翻訳してもらうものである｡結果は思いも寄らず 64名の誤解答があった｡最も多かった誤解苔は､

(例日『三角形の合同定理』を苔いたもので､30名であった｡

(例 2) 『二つの三角形△ A BC､△ DEF において､ A B‑ DE. BC= EF. CA

= FD.∠ A‑∠ D,∠ B‑∠ E.∠ C

=∠ Fが成り立っていれば､△ A BCと

△ DEFは合同であるという｡』

このように解答した学生は 15名であった｡確かに､非ユークリッド幾何学を含めて､三角形の合同の定劫をこのようにすることがある｡従って､一般論としては､これでも正解であるが,運動の概念を用いて合同の概念を定点している講義の中での試験であることから､ (例1)ち (例

2

) も､

これ等は誤解苔とせざるを得ないのである.

ところで､小学校5年の教科書では､『きちんと塵ね合わすことのできる2つの図形は合同であるといいますQ』､『一方をうら返しにして2つの図形がきちんと重なるときも､合同であるといいます｡』と､運動を用いて合同を定遜しているのである｡

そのうえで､『合同な図形では､対応する辺の長さは等しく､対応する角の大きさも等しくなっています｡』と､例2の解答で述べていることを､合同な図形の性質として述べているのである｡更にそのうえ､中学校でも同様に,運動を用いて合同を定弟し､合同な図形の性質を述べているのであ

(8)

る｡

その他､一般の図形に対する合同の定義を苫いたものが 6名､三角形や一般の図形に対して､合同の定義を述べてはいるが､変換中に対しての説明が全く無かったものが6名 .意味不明の解答が4名､三角形の合同定理の逆を等いたものが3名であった｡

特発すべきことは､ 90点をとった学生が 19名いたが､そのうち､問題 5だけを問迎えた学生が12名も居たことであった｡

そのうち､例2の学生が4名､例 1の学生が3名､一般の図形に対する合同の定義を空事いた学生が3名であった｡

錯角や同位角については中学校2年で学習し､この講義での定義と全く同じであることから､この問題については､ほぼ全員が正解だと思っていたのだが､ 34名もの誤解等があった｡最も多かった誤解苔は､

(例 l) 『平行な二直線に第3の直線が交わって出来る角のうち. ･･｡』とい

うもので､ 21名もあった｡

錯角を間違えたものが5名､白紙だったものも5名､その他3名だった｡錯角や同位角の概念は､平行線に開通して表われるために､このような結果が出たものと思われる｡

この問題の第‑ のポイントは

､4

点

A,

B. C. Dのどの 3点も同一直線上にはないということであり､第二のポイントは､

線分 A BとCDが交わらず､綿分 BCとDA が交わらないことである｡第‑のポイントに全く触れなかった学生は19名であった｡

そのほかの誤解苔はバラエティに富んでいたが､それらの合計は11名であった｡図

‑ 92‑

を描けば､誰もが直ちに納得するような単純な図形であっても､それを数学の言葉で正確に表現しようとすると､つい､見落としが出てしまうということであろうか｡

19｡問題 (8)に対する学生の誤答例と考等｡

講義における平行線の定義と､小学校の教科筈における平行線の定義とは異なっているにもかかわらず､誤答者はわずかに6 名であった｡

(例 1) 『異なる 2直綿が決して交わらず､等しい間隔を保っていれば平行線という』

とした学生が2名｡これは､前半は良いのであるが､後半はユークリッド幾何の平行線の性質を述べたものであり､平行線の定義ではないのである｡

そのほか､小学校で習った平行線の感じから抜け切れずにいた学生が2名､全くの勘通いと白紙がそれぞれ 1名あった｡

20｡問題 (9)に対する学生の誤苔例と考察｡

台形の概念は､小学校4年に沸人されるが､等脚台汗壬という用語は､私が調べた小学校･中学校関係の本には見当たらなかった｡数学教育の世界から等脚台形という用語は消滅してしまったのであろうか｡御存

じの方のご教示を頂ければ幸いである｡

(例1) 『台形のうち､一組の対辺が等しいものを等脚台形という｡』

これと類似の解答をした学生は15名であった｡台形なるものの形が目に焼き付いているために､自然にこのような解答になってしまったものと思われる｡これいがいの誤解苔は6名だけであった｡

2 1.問題 (10) に対する学生の誤答例と考察｡

平行線の定轟の場合とは逆に､平行四辺

(9)

L.二

形の定義は､小学校4年の教科哲では『向かい合った2組の辺が平行な四角形を､平行四辺形といいます｡』と､私の訴頚のものと実質的に全く同じであったにも拘らず､

誤解苔は28名もあった｡

(例1) 『四辺形 ABCDで､AB‑CD, A B//C D. BC‑AD. BC//ADを満たしているものを平行四辺形という』といった解答が最も多く17名であった｡確かに､

実際､運動の定義のように､本質的で無い性質をも定義の中にいれて､以後の議論をし易くすることがあるから､これを定弟に採用しても悪いことは無いが､小学校4年で行なう定義よりも多くの性質を､大学で行なう定義の中にいれる必要は無いものと思われる｡

(例2) これは､上の例 1についても同じことであるが､定義と同値な命題を､改めて定義として採用することができる｡然しながら.講義の後での試族では､謙頚で与えた定義を定義として述べてもらいたい｡

平行四辺形の定義と同値な命題を解苔とした学生は､例1の17名の他に6名あった｡

22

｡おわりに｡

小学校で取り扱う教材は､定義も公理も定理も､誰もがごく自然に､当り前のこととして認めることができるような串柄であるため､意識的にこれらを区別することはほとんど無いと思われるが､教師は､これらを明確に区別しておかなければ､無意識のうちに循環論法に陥ってしまう危険があるため､十分な注意が必要である｡

図で描いて説明すれば､誰でもが簡単に納得するような単純な図形､例えば､梯分､半平面､三角形の内部､四辺形等を､数学の用語を用いて正確に蓑規しようとすると､

いかに困難であるかが､この試族の結果に表れている｡

図形領域の題材は､よく研究授業に取り上

‑ g3‑

けちれ､色々と議論の的になる｡これは､

図形領域の指導方法に定説がないことも一因ではあろうが､平面幾何の公理的な構成を無視し､数字用語の意味を明確にとらえていないことも原因の一つになっているのではないかと恐れている｡それ故､教職に就こうとする学生は､図形領域に関しては､

平面幾何の公理的構成を積極的に意識し､

数学用語の正確な意味を､明確に把握しておく必要があるものと思われる｡

試験の結果の一覧表を次頁に掲載して本稿を終えることにする｡

参考文献

[1]新しい算数､1年〜 6年､東京昏箱.

[2

1小学校指中春算数将,文部省｡

[3]小学校算数手斗 (図形領域 )の基礎､

‑その理論的背景‑ ､講義録｡

(10)

小芋数学C 試験結果 1993年9月28E]

( ○ は正解苔､轟は誤解等を表す )

番号 12345678910 点数

0

1

〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇

100 02

0000●00000

90 03

0000■00000

90 04

0000■〇〇〇〇〇

90 05

0000■00000

90 06

0000{00000

90 07

〇〇〇〇 ^■○( ^⊃000

⁹⁰

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(平成6年3月31日受理 )

小学校教員養成過程 の学生 の