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計算力学技術者２級

（熱流体力学分野の解析技術者）

認定試験対策講習会

認定レベル

 認定を取得した技術者は，基本的な流体力学， 熱力学（伝熱学を含む）の問題に対して，単相の 非圧縮性流／圧縮性流／層流／乱流の範囲に おいて正しく解析問題を設定することができ，解 析方法の内容を理解しており，さらに解析結果 の信頼性を自分自身で検証することができる． よって，いずれかの信頼のおけるCAE ソフトウ エアを用いて適切な解析機能を選択しながら， 基本的な熱流体問題を大はずれを出すことなく 解けるものと期待できる．

１．３（熱力学）の代表的なキーワード

 熱量・仕事  理想気体  状態方程式  熱力学の第１法則  熱力学の第２法則  内部エネルギー  エンタルピー  エントロピー  熱機関  熱効率  断熱変化  比熱比  音速  等温変化  サイクル  p -V 線図

問

3-1

1kcal（キロカロリー）は kJ（キロジュール）

単位で表すとどれだけか．

① 9.8 kJ

② 8.3 kJ

③ 4.2 kJ

④ 0.74 kJ

カロリーとジュール



1kcal

水1kgの温度を1℃上昇させるのに要する熱量 

1N

（ニュートン） 国際単位系ＳＩ

質量1kgの物体を1m/s2で加速する場合の力 

1J (=N･m)

（ジュール） 国際単位系ＳＩ

物体に1Nの力を加えてその向きに1m動かした ときの仕事 

1 kJ = 1000 J

熱の仕事当量：

Jouleの実験

 Joule の実験 Joule は図のような装置を用 いて，おもりの重力仕事によ る水の温度上昇を測定し， 系のエネルギーは，熱だけで なく，仕事によっても変化する ことを示し， 従来の単位（kcal）で表した熱 の仕事当量を求めた ．  熱の仕事当量 1 kcal = 4.186 kJ

答

3-1

1kcal（キロカロリー）は kJ（キロジュール）

単位で表すとどれだけか．

① 9.8 kJ

② 8.3 kJ

③ 4.2 kJ

④ 0.74 kJ

暗記するしかない！ ＳＩでは「Ｊ」に統一されている！

問

3-2

理想気体の状態方程式は次のうちどれか．

ここで，

_{p は圧力，}



は密度，

_{R は気体定数，}

T は温度である．

①

_{p = RT/}



②

_{p =}



_R/T

③

_{p =}



_T/R

④

_{p =}



_RT

理想気体の状態方程式



状態方程式：

p-V-T 間の関係式



pV = n

R

T

n: モル数，R :普遍気体定数 （R = 8.314J/mol・K) 

pV = mRT

m: 気体質量，R :気体定数( =R / M) M: 気体のモル質量(分子量） pV = n_RT = nMRT = mRT 

pv = RT

v: 比体積( =V / m) 

p =



R

T

密度( =m / V)

理想気体の状態状態式について

 温度一定で気体を圧縮すると圧力が上昇する （自転車の空気入れ） pV = const.  圧力一定で気体の温度を下げると体積は小さく なる V  T  これらのことを考慮すると pV = (const.)･T の形，つまり _{p = (const.)･}



_{Tと考えられる}

答

3-2

理想気体の状態方程式は次のうちどれか．

p は圧力，



は密度，

_{R は気体定数，T は温}

度である．

①

_{p = RT/}



②

_{p =}



_R/T

③

_{p =}



_T/R

④

_{p =}



_RT

問

3-3

閉じた系に対して

加えた熱量

_Q

が

外部になす

仕事

_W

と

内部エネルギーの増加



_U

に変換

されることを表す熱力学の法則

_{Q= W+}



_{U を}

何と呼ぶか．

① 熱力学の第0法則 ② 熱力学の第1法則

③ 熱力学の第2法則 ④ 熱力学の第3法則

熱力学第０法則



熱平衡



系１と系３が熱平衡



系２と系３が熱平衡



系１と系２は熱平衡



温度計（系３）の存在

熱力学第１法則



エネルギー保存則

系に加えられるエネルギー 系から取り出されるエネルギー ＋ 系に蓄えられるエネルギー 微小変化では 系 Q W



U

 Q = W +



U

δQ =δW +

ｄ

U

熱力学第１法則

（ピストン･シリンダー系）

U

W

Q







Ｑ

Ｗ





2 1

pdV

W

ｘ

_dV

_＝

_Adx

1 2

U

U

U

U

U

_{1 2}









シリンダー ピストン 熱 _{機械的仕事} 内部エネルギー

答

3-3

閉じた系に対して加えた熱量

_{Q が外部になす}

仕事

_{W と内部エネルギーの増加}



_{U に変換}

されることを表す熱力学の法則

_{Q= W+}



_{U を}

何と呼ぶか．

① 熱力学の第0法則 ② 熱力学の第1法則

③ 熱力学の第2法則 ④ 熱力学の第3法則

問

3-5

エンタルピー

_{H の定義は次のうちのどれか．}

ここで，

_{U は内部エネルギー， p は圧力，V}

は体積，

_{T は温度，S はエントロピーである．}

①

_{H = U + pT}

②

_{H = U + pV}

③

_{H = U + TV}

④

_{H = U + TS}

開いた系のエネルギー保存1



流動系で質量と共に流入する全エネルギー

  比内部エネルギu，  系の温度に関係，du=c_vdT  流動仕事，流動エネルギ，ｐv  流体を系に押込む・押出すために 必要な仕事  物質に貯蔵されるエネルギではない．  比エンタルピ h [kJ/kg]  h=u+pv , dh=c_pdT p₁,v₁, w₁,u_{1 p} 2,v2, w₂,u₂ z_{1 z} 2 Q W_t 開い た 系 m



₁ 2



2 m  u pv  w  gz 理想気体の場合 理想気体 の場合 工業仕事

開いた系のエネルギー保存２

 流動系のエネルギー保存  運動・位置エネルギを無視できる場合 p₁,v₁, w₁,u_{1 p} 2,v2, w₂,u₂ z_{1 z} 2 Q 開い た 系 m





















           _{2 1 2}2 ₁2 _{2 1} 2 1 1 2 Q m h h w w g z z W Q H H W

※

_{δQ =}

ｄ

U

+

ｐｄ

V =

ｄ

H

-

_V

ｄｐ

入熱量 内部エネ ルギ増分 絶対 仕事 エンタル ピ増分 工業 仕事 熱力学の第1法則 閉じた系 開いた系 



2 12 ₁ W pdv ₁₂ 



2 



1 1 2 t W vdp vdp 工業仕事 W_t

答

3-5

エンタルピー

_{H の定義は次のうちのどれか．}

U は内部エネルギー， p は圧力，V は体積，

T は温度，S はエントロピーである．

①

_{H = U + pT}

②

_{H = U + pV}

③

_{H = U + TV}

④

_{H = U + TS}

問

3-4

閉じた系に対して，

温度

_T

一定の下で，

熱量

Q

を与えたときのエントロピーの変化を表す法

則



_S

 Q / T

を何と呼ぶか．

① 熱力学の第0法則

② 熱力学の第1法則

③ 熱力学の第2法則

④ 熱力学の第3法則

熱力学第２法則



系の

変化の方向

を示す



熱は温度の高い方から温度の低い方に

伝わる



エントロピーの法則



dS = δQ

_rev

/ T



dS

 δQ / T



dS = (δQ / T ) + dS

_gen 熱の出入りによる エントロピー輸送 不可逆性による エントロピー生成 不可逆変化の場合（等号は可逆変化の時） dS_gen  0 可逆変化の場合

熱力学第２法則から導かれる式



dS = δQ

_rev

/ T



δQ

_rev

= TdS

⇒

_{δQ = TdS , δq = Tds}

温度T で、熱量_δQrevが系に流入した時、 系のエントロピーがdS だけ増減する。 ★ 可逆断熱変化 では ｄS = 0 可逆変化の時 変形すると 可逆変化が自明の時、revを省略 熱力学の第２法則から導かれるエントロピーの式

マクロな熱力学による エントロピーの定義

エントロピーとは？

可逆

T

Q

S





Ｑ

_Ｗ

1 2

S

S

S

S

S

_{1 2}









Ｔ

W

k

S



ln

ミクロな 状態の数 ミクロな統計力学





2 1

TdS

Q

可逆なカルノーサイクル 0 2 2 1 1    T Q T Q 可逆過程

温度の異なる２つの物体ＡとＢを接触させると（仕事をさせずに），

エントロピーとは？

0     A A T Q S

Ｑ

0          B A B A T Q T Q S S S 0    B B T Q S A T B T 2 B A C T T T   平衡状態へ ) ( 0 最大  S 2 B A C T T T   のとき B A T T  不可逆過程 AとBの 熱容量が 等しい時

答

3-4

閉じた系に対して温度

T

一定の下で熱量

Q

を与えたときのエントロピーの変化を表す法則

S



Q / T

を何と呼ぶか．

① 熱力学の第0法則

② 熱力学の第1法則

③ 熱力学の第2法則

④ 熱力学の第3法則

熱力学第３法則



絶対零度でエントロピーはゼロになる



絶対エントロピー



系のエントロピーに関しては，相対値で

状態量



熱力学的平衡状態にある系の状態を記

述する物理量

温度

_T

圧力

_p

体積

_V

密度



内部エネルギー

_U

エンタルピー

_H

エントロピー

S

等

示量性状態量と示強性状態量

 示量性状態量  体積 V  内部エネルギー U  エンタルピー H  エントロピー S  示強性状態量  温度 T  圧力 p  密度



系A 系A 系2A V_A, T_A … V_A, T_A … V_2A= V_A+V_A T_2A = T_A …

ペアになる状態量



圧力

p と体積 V

pV or pdV



温度

T とエントロピー S

TS or TdS



pV, TS ともにエネルギーの単位



（示強性状態量）×（示量性状態量）

※ 熱力学の第１法則（微小変化）

δQ

=

ｄ

U +δW 

TdS

=

ｄ

U +

ｐｄ

V

=

ｄ

H - V

ｄｐ

熱力学の 第２法則

問

3-6

図に示すように，高温熱源1から熱量Q₁をもらい 低温熱源2に熱量Q₂を捨てて外部に仕事_{W する} サイクル（熱機関）がある．このサイクルの効率



は次のどれか． ①



= Q₁ / W ②



= Q₂ / W ③



_{= W / Q1} ④



_{= W / Q2} 熱源1 熱源2 Q₁ Q₂ W

熱機関の熱効率

 サイクル（熱機関）は系に熱を加 えて，仕事を取り出すことを目的 としていることが多い．  「加えた熱量に対して，どのくら い多くの仕事を取り出せたか」 がサイクル(熱機関）の性能評価 と考えられる． 高温熱源1 低温熱源2 Q₁ Q₂ W



= W / Q₁= (Q₁ - Q₂)/Q₁ = 1- Q₂ /Q₁ (エネルギー保存則：Q₁= W + Q₂)

冷凍サイクルの成績係数

 冷凍サイクルは系に仕事を加え て，熱源2（冷蔵庫）から熱を奪 い取ることを目的としている．  「加えた仕事に対して，どのくら い多くの熱量を奪い取ることが できたか」が冷凍サイクルの性 能評価と考えられる．  成績係数 高温熱源1 低温熱源2 Q₁ Q₂ W COP = Q₂ / W (Q₁= W + Q₂)

答

3-6

図に示すように，高温熱源1から熱量Q₁をもらい 低温熱源2に熱量Q₂を捨てて外部に仕事_{W する} サイクル（熱機関）がある．このサイクルの効率



は次のどれか． ①



= Q₁ / W ②



= Q₂ / W ③



_{= W / Q1} ④



_{= W / Q2} 高温熱源1 低温熱源2 Q₁ Q₂ W

熱機関 高温熱源 Ｔ 1 Ｑ 1 系 機械的仕事 Ｑ 2 低温熱源 Ｔ 2

熱機関の原理

（永久機関とは？） ) 1 ( 1 1 2 1 2 1 カルノーサイクル T T Q Q Q W _{   }   ◎ 熱力学の第１法則：エネルギーの保存 第１種の永久機関 ◎ 熱力学の第２法則：効率の限界 第２種の永久機関 熱効率 ヒートポンプ・冷凍機 高温熱源 Ｔ 1 Ｑ 1 系 Ｑ 2 低温熱源 Ｔ 2 1 1 2 2 1 1 Q T T W Q Q W            矛盾

熱機関とエントロピー

第1法則:Q₁=W+Q₂ 第2法則:系ではS=Q₁/T₁-Q₂/T₂=0， 全系ではS_total=-Q₁/T₁ + S + Q₂/T₂ = 0 S₁ S₂ W Q₁ Q₂ 低温熱源 Ｔ 2 S₁ S₂' W' Q₁ Q₂' 第1法則:Q₁=W'+Q₂' 第2法則:系ではS=Q₁/T₁+S_gen-Q₂'/T₂=0， 全系ではS_total=-Q₁/T₁+S+Q₂'/T₂ = S_gen =(Q₂'-Q₂)/T₂=(W-W')/T₂ > 0 低温熱源 Ｔ 2 可逆サイクル 不可逆サイクル ・熱機関では 熱量とエントロピーを 高温熱源から受取り， 低温熱源へ排出し， 仕事を取出す． ・不可逆現象が生じると 系内でエントロピ生成 (S_gen>0)があるが， 系のエントロピ変化は ０なので，このエント ロピ生成分を排出する ために廃熱が増え，そ の分仕事が減る． ・系内のエントロピ変化 は０であり，不可逆過 程を含むと熱源を含む 全系のエントロピは増 加する． S_gen 高温熱源 ｻｲｸﾙ内 低温熱源 高温熱源 Ｔ 1 高温熱源 Ｔ 1

問

3-7

理想気体が断熱変化するとき状態変化を表す

式は次のどれか．

p は圧力，



は密度，

_{R は気体定数，}



は比熱

比，

_{T は温度である．}

①

p /





₌

const.

②

pT



₌

const.

③

_{p /}



 -1

=

const.

④

pT



=

const.

 1

可逆変化における状態量変化

 du =



q -



w  du=Tds – pdv  c_vdT=Tds – pdv (du =c_vdT)  h = u + pv  dh = du + d(pv) = Tds - pdv + pdv + vdp  dh = Tds + vdp  c_pdT=Tds + vdp (dh = c_pdT) 理想気体の場合 理想気体の場合 熱力学の第２法則 のエントロピーの式

状態変化のまとめ（単位質量当たり）

熱力学の第１法則（微小変化）＋第２法則

δq

=

du

+

δw

_

Tds

=

du + pdv

=

dh

-

vdp

du

=

Tds - pdv , dh

=

Tds

+

vdp

du

=

c

_v

dT

⇒

u

=

c

_v

T

dh

=

c

_p

dT ⇒ h

=

c

_p

T

c

_p

- c

_v =

R ， c

_p =γ

R

/(γ-1) ，

c

_v =

R

/(γ-1) ∵

dh

=

du

+

d

(

pv

) =

du + RdT

c

_p

dT

=

c

_v

dT

+R

dT

（dTを消去すれば上式） は比熱比 理想気体の場合

可逆断熱変化（等エントロピー変化）

 ds = 0  du=c_vdT=Tds – pdv  dh=c_pdT=Tds + vdp  c_vdT= - pdv (ds=0)  c_pdT= vdp (ds=0)  c_p / c_v=



→ c_p =



c_v 



c_vdT=



-pdv)= vdp 



pdv+ vdp = 0  dp/p +



dv/v = 0  log p +



log v = const.  log pv = const.  pv = const.  p/



 = const.  p =



RT  pT = const.1     理想気体の場合

可逆断熱変化（等エントロピー変化）

可逆断熱変化では

ds

= 0 なので

du

=

Tds - pdv

const. const. ln ) ( ln ln 1                  pv Tv v c c v R T c dv v R dT T c dv v RT pdv dT c v p v v v  1 ) (       v v p c c c 理想気体の場合 別の導出方法

答

3-7

理想気体が断熱変化するとき状態変化を表す

式は次のどれか．

p は圧力，



は密度，

_{R は気体定数，}



は比熱

比，

_{T は温度である．}

①

p /





₌

const.

②

pT



₌

const.

③

_{p /}



 -1

=

const.

④

pT



=

const.

 1

問

3-8

理想気体の断熱音速_{aを表す式は次のうちどれか．} p は圧力，R は気体定数，



は比熱比，_{T は温度} である．

①

②

③

④

RT

a



a   RT

RT

a



(





1

)

a

RT







1



音速

 微小圧力じょう乱の伝播速度  微小変化であることから，等エントロピー変化 （可逆断熱変化）と考えることができる  音速 a の定義式

const.













C

C

p

C

p

pv









 ( )_s a   p    RT 空気@300℃では， =1.4, R=287 [J/(kg·K)] → a = 347.2 m/s

音速の導出

 １次元的な微小擾乱波面が速度 a で進行  波面に固定した座標系  連続の式  運動量保存の式  二つの式から dｗ を消去して整理すると    





 





dw a a d dp dw a a d a dp p dw adw a d dp p a p         2 0 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 2                 速度 a 圧力 p 密度  ｴﾝﾄﾛﾋﾟs a + dw p + dp  + d s + ds 音波の波面を通る流れ 波面



d



a dw



a      



 





2 2 dw a d dp p a p          dw ad dw ad a dw d dw ad a a                     0 2 2 _{2 ( )} 0  dp  da  a ad  dp  da dw/a≪1，微小擾乱  d dp a   2

音速の導出

 音波を通過する時のエントロピー変化  音速 a の定義式  理想気体の等エントロピ変化では

(

)

_s

a



 

p







ln 1 ln 1 _  0                   d c p dp c s ds s _{v p} dp/p≪1， d/≪1





) ( 1 T R p RT p C C p a _S                       

_

_

C p C p pv     const.  

答

3-8

理想気体の断熱音速_{aを表す式は次のうちどれか．} p は圧力，R は気体定数，



は比熱比，_{T は温度} である．

①

②

③

④

RT

a



a   RT

RT

a



(





1

)

a

RT







1



問

3-9

p – V 線図上で理想気体の等温変化は

どのように図示されるか．

④ ① ② ③ p V p V p V p V

可逆変化（理想気体）

 等温変化(dT=0)  等圧変化(dp=0) 加えた熱量＝取り出す仕事 q w w q dT c du pv RT p RT pv v              0 const. or q vdp q pv d du dh RT p RT pv           ) ( or

答

3-9

p – V 線図上で理想気体の等温変化は

どのように図示されるか．

④ ① ② ③ p V p V p V p V pV=const. 双曲線 T：大

問

3-10

図に示すサイクルのなす仕事を表す 図はどれか． p V p V ④ ① ② ③ p V p V p V

仕事

 準静的過程(可逆過程) p p_ext p = p_ext p v W1-->2  図の青色部の面積が仕事 を表す．  仕事は状態量ではない！









 a a ext

pdV

W

pdV

dV

p

W

2 1



a a

仕事

 過程a（1→2）  過程b（2→1） p v W_a 1 2 a  サイクルの仕事 p v W_b’ 1 2 b’ 1 p v W_ｂ‘ 2 W





2 1

pdV

W

_a b b

pdV

pdV

W

W











2





_ 1 1 2 b a b a

W

W

W

W

W









_ a b

答

3-10

図に示すサイクルのなす仕事を表す 図はどれか． p V p V ④ ① ② ③ p V p V p V