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0

圧縮性流れの数値解法

2012.9.25 夏のターボセミナー 伊豆高原

東北大学大学院情報科学研究科

山 本 悟

0

講義の内容

・数値流体力学の歴史

・偏微分方程式の型の分類と特性の理論の適用

・１次元圧縮性オイラー方程式と特性の理論の適用

・流束分離と流束差分離

・リーマン解法とMUSCL補間

0

1950 以前 FDM Richardson(1910) Southwell(1940) Von Naumann and Richitmyer(1950)

Harlow and Welch (1965)

MAC法

Chorin(1968) Amsden and Harlow (1970)

Fractional-Step法 Simplified MAC法

AM

応用数学

特性の理論（Courant and Hilbert 1937)

Lax and Friedrichs (1954)

Godunov(1959) Lax and Wendroff (1960) MacCormack (1969) 1960 1970 非圧縮性 粘性流れ 圧縮性 非粘性流れ

0

1970 1975 1980 圧縮性 非粘性流れ 非圧縮性 粘性流れ 代数モデル

Baldwin and Lomax (1978)

Johns and Launder (1972)

Cebeci-Smith (1974)

k-εモデル

Launder and Spalding (1974) 非圧縮性 乱流 MacCormack and Baldwin (1974) 人工粘性法

MｃDonald and Briley (1975)

近似因子化法

Beam and Warming

(1978) _陰解法 圧縮性 非粘性流れ van Leer (1979)

MUSCL

∆形式近似因子化法

RANS DNS LES

0

1980 1985

陰解法 圧縮性

非粘性流れ

Steger and Warming (1981)

van Leer (1982)

流束差分離法（

Flux Difference Splitting)

流束分離法（

Flux Vector Splitting)

Roe(1981) Enquist and Osher

(1980)

近似リーマン 解法

Woodward and Colella (1984) 高次精度 リーマン解法 PPM Harten (1983)

流束制限関数（

Flux Limiter)

Yee, Davis, Roe,

Sweby, Chakravarthｙ etc.

TVD

FVS

FDS

Implicit

Osher(1981)

Pulliam and Chaussee (1981)

0

TVD 1985 _Harten(1987) 1995 高次精度 流束制限関数 ENO FVS FDS

Liou and Steffen (1992)

対流圧力分離法

AUSM

Yamamoto and Daiguji(1993) Compact MUSCL Implicit

Yoon and Jameson (1987)

0

非圧縮性流れ CFD 圧縮性流れ CFD 複雑形状 反応・燃焼流 混相流 音波・ノイズ 乱流 希薄流 電磁場・プラズマ 流体構造連成 最適 化 気象・海洋流 バイオ・マイクロ流体 前処理法 粒子法

Level Set法, CIP法 LB法 IB法

Compact差分法

特異流体 相変化 乱流遷移

0

特性方程式の根（特性曲線の傾斜）で型を分類 ２つの複素根 重根 ２つの実数根 楕円型（Elliptic) Laplace (Poisson) 方程式 放物型（Parabolic) 熱伝導方程式 双曲型（Hyperbolic) 波動方程式 楕円型方程式の差分解法 Gauss-Seidel法、SOR法 放物型方程式の差分解法 SOR法＋Crank-Nicolson法 双曲型方程式の差分解法 特性曲線法

偏微分方程式の型の分類（Type of Partial Differential Equation(PDE)

0

f

Cu

Bu

Au

_xx

 2

_xy



_yy



x

u

p







y

u

q







y

x

u

s









2

二階線形偏微分方程式（Second-order linear PDE)

特性の理論（Characteristic theory)に基づき式を変形

0

2

2



















C

dx

dy

B

dx

dy

A

and ただし これが成り立つためには

0

2

2















_

_

_



































dx

dy

f

dx

dq

C

dx

dy

dx

dp

A

C

dx

dy

B

dx

dy

A

s

0









dx

dy

f

dx

dq

C

dx

dy

dx

dp

A

0

0

2

2



















C

dx

dy

B

dx

dy

A

特性方程式(Characteristic equation) 特性方程式の根 ２つの異なる実根  双曲型（Hyperbolic) 重根  放物型（Parabolic) ２つの異なる複素根  楕円型（Elliptic) 根の符号による型の分類



2









A

AC

B

B

dx

dy

0

2

 AC



B

0

2

 AC



B

0

2

 AC



B

0

もう１つの方程式

0











f

dx

dq

C

dx

dp

A

常微分方程式に帰着 0 2                   _{ }  f dx dq C dx dp A A AC B B dx dy 0 2                   _{ }  f dx dq C dx dp A A AC B B dx dy

0









dx

dy

f

dx

dq

C

dx

dy

dx

dp

A

0

x

y

初期値 特性曲線とその勾配ならびに常微分方程式との関係 0 2                     f dx dq C dx dp A A AC B B dx dy 0 2                     f dx dq C dx dp A A AC B B dx dy

0

0





_x t

F

Q





















































u

p

e

p

u

u

F

e

u

Q

,



2







　

0





_x

t

AQ

Q

Q

F

A





























































u

u

e

ue

u

u

u

A

2

1

3

1

1

3

2

3

0

1

0

2 3 2





















1次元圧縮性オイラー方程式（1-D Compressible Euler Equations）

ヤコビ行列(Jacobian Matrix)

RT

p





状態方程式（Equation of state)

0







































































e

f

m

f

f

e

f

m

f

f

e

f

m

f

f

A

3 3 3 2 2 2 1 1 1









 

  



  

















































































3 2 1 2 2

2

1

2

3

1

,

f

f

f

m

m

e

m

e

m

F

e

m

Q

















　

 

u

u 









 

0

1



















u

f

ヤコビ行列導出上の留意点

0

AQ

F



F

_x



AQ

_x



 

AQ

_x







































































































u

p

e

p

u

u

e

u

u

u

e

ue

u

u

u

2 2 3 2

2

1

3

1

1

3

2

3

0

1

0





























x x

AQ

F



ヤコビ行列の特質

オイラーの同次関係（Euler’s homogeneity relation)

0

0

~

~

~





_x

t

A

Q

Q



_{t x}



x t

Q

N

Q

AQ

~

A

~

Q

~

















































~

u

~

u

~

u

Q

Q

~

N

2

0

1

0

0

1

2













































u

c

u

u

A

~

,

p

u

Q

~

2

0

0

0

0







　

1

~

_

 NAN

A

非保存形への変換(Transform to nonconservative form)

非保存形の未知変数(初期変数, Primitive variables)と非保存形のヤコビ行列 非保存形への変換行列 保存形と非保存形ヤコビ行列の関係































~

1

2

0

0

0

1

2 1

u

u

u

N



~







1

0

0

~



 I

A



0

0

1

0

0

2





















u

c

u

u



u







u



c







u



c









0

c

u

u





,



特性条件（固有値）の導出(Derivation of eigenvalues) ヤコビ行列の固有値（特性速度、Characteristic speeds）

u





流跡線

c

u







２つの圧縮波

u



c

u

u



c

0

c

u

c

u

u











_{2 3} 1

,



,





 





0

~

_{ I}

_

A

_k k





   k k k

A





~





     







 k  k  k



k k k k

u

c

u

u

3 2 1 2 3 2 1

0

0

0

0









































0

                 

_















































c

c

c

L

~





1

1

0

1

1

0

1

0

1

3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1





































































c

u

c

u

u

3 2 1







L

~

A

~

L

~





A

~



L

~

1



L

~



NAN

1

N

L

~

L

~

N

A



1 1



固有値、固有ベクトル、ヤコビ行列の関係





























2

2

0

2

1

2

1

0

2

2

1

~

1

c

c

c

c

L









0



Q

~

_t



A

~

Q

~

_x





0

L

~

Q

L

W

~



~





0







_x t

W

W













































































c

p

u

c

p

u

c

p

p

u

c

c

c

Q

~

L

~

W































2

1

1

0

1

1

0

1

0

1

特性変数の導出(Derivation of characteristic variables)

0









0

1

2

1

2

0

1

2

1

2

0

















































































































c

u

x

c

u

c

u

t

c

u

x

c

u

c

u

t

x

s

u

t

s

0







_x t

W

W

エントロピーとリーマン変数を未知変数とする独立した方程式系 (Equations of Entropy and Riemann variables)

0

0

0























dt

dw

x

w

dt

dx

t

w

w

w

_t



_x 熱力学の関係式 を駆使 特性速度を勾配に持つ特性曲線上で成り立つ独立した３つの常微分方程式！

1

2







c

u

リーマン変数  リーマン不変量 (Riemann invariant)

0

x

t

.

1

const

s

u

dt

dx









.

1

2

2

const

c

u

c

u

dt

dx

















初期値 特性曲線とその勾配ならびに特性変数との関係

.

1

2

3

const

c

u

c

u

dt

dx

















0



F

F



x

Q

_t





_{j1 2}



_{j1 2}



NQ

L

L

N

Q

A

F

F

F

F

~

~

₁

1





























































3

2

1

0

0

0

0

0

0









_k

_k



2

k













特性の理論に基づく流束分離式の導出

(Derivation of Flux-vector Splitting Form based on Characteristic Theory)

1



j

j

j



1

2

/

1



j

2

/

1



j

0





















































































₁

₂

₃

2

1

2

1

2

2

1

1

_



















cu

H

c

u

cu

H

c

u

u

u

F



e

p





H





)

0

(

2 1





   j j j

F

F

F



流束分離式(Flux-vector Splitting Form) Steger and Warming(1981)

たとえば超音速流れ（ ）の場合

)

0

(

₁ 1 2 1





     j j j

F

F

F



1



j

j

j



1

2

/

1



j

2

/

1



j

0

0,

,

0











u

c

u

c

u

2 / 1  j

F

F

_j1/2



 1 j

F

F

_j



0

流束差分離式(Flux-difference Splitting Form)









x

Q

A

Q

A

x

F

Q

_t j j





















    2 / 1 2 / 1 j j j

Q

Q

Q







_{1/2 1}

W

R

W

L

W

L

N

Q

L

L

N

Q

N

L

L

N

Q

A

































            

~

~

~

~

~

~

1 1 1 1 1 1 1











































































3 2 1 2

~

~

w

w

w

c

p

u

c

p

u

c

p

Q

L

W







0

                  k k k k

w

r

w

w

w

r

r

r

r

r

r

r

r

r

W

R



























































    









3 3 2 2 1 1 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 k k k k

w

r

Q

A















                 

_

























   3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1

~

r

r

r

r

r

r

r

r

r

L

N

L

R

x

r

w

r

w

x

F

Q

j k k k k j k k k k t















_















_













   





2 / 1 2 / 1





流束差分離式(つづき)

0

1

~

 j

Q

j

Q

~

1

~

 j

Q

リーマン問題（Riemann Problem) 区分的領域の境界で１次元衝撃波管問題を解く L

Q

~

R

Q

~

x

1



j

j

j



1

2

/

1



j

2

/

1



j

0

Roe 近似リーマン解法(Roe’s Approximate Riemann Solver) Roe(1981)

   











   



~

~



/

2

/

2

2

/

~

~

~

,

~

2

/

~

~

2 / k k k k R L L R R L R L j

r

w

Q

F

Q

F

Q

Q

Q

Q

A

Q

F

Q

F

F



















 



j j







 _1



 



j j j j u u u









     1 1



 



j j j j

H

H

H















  1 1



/

2



~

2 2

u

H

c







Roe平均

0

MUSCL補間(Monotone Upstream-centered Scheme for Conservation Laws) van Leer(1979) 2 / 3 2 / 1 1 2 / 1 2 / 1 ~ 4 1 ~ 4 1 ~ ~ ~ 4 1 ~ 4 1 ~ ~                    j j j R j j j L Q k Q k Q Q Q k Q k Q Q

:

1





k

2nd-order fully upwind

k



1

/

3

:

3rd-order biased upwind







*



2 / 3 * 2 / 1 1 * 2 / 1 * 2 / 1

~

~

2

6

1

~

~

~

2

~

6

1

~

~

    





















j j j R j j j L

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Compact MUSCL Yamamoto and Daiguji (1993)

2 / 3 2 / 1 2 / 1 2 / 1 3 2 / 1 3 2 / 1 * 2 / 1

~

~

2

~

~

~

6

1

~

~

      

























j j j j j j j

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

0

重要な補足事項 ・２独立変数の特性の理論は１次元圧縮性オイラー方程式にのみ厳密 ・多次元圧縮性オイラー方程式に厳密な特性の理論を適用した例は皆無 ・圧縮性ナビエ・ストークス方程式は双曲型方程式ではない ・特性の理論は等エントロピー流れを仮定

・エントロピー変化を考慮しないと膨張扇（Expansion fan）が膨張波(Expansion shock)になる ・Steger-Warmingの流束分離式は超音速領域で特性の理論に忠実 ・リーマン解法は圧縮性流れに含まれる波動である流跡線と圧縮波を分解するための方法 ・２次精度以上のMUSCL補間では不連続面(衝撃波、接触不連続面)で数値振動する ・１次精度上流差分は単調関数 ・ ・・・ 時間切れ つづく 詳しくは 大宮司久明著 数値流体力学大全 第１６章 圧縮性流れの解法 – １次元Euler方程式 http://www.caero.mech.tohoku.ac.jp/publicData/Daiguji/ もしくはGoogleで 「数値流体力学大全」を検索