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制動放射によるエネルギー損失は σ ∝ 𝑟𝑒2= (𝑒2⁄𝑚𝑐2)2 で表される為、質量に大きく依存する。 Ex) 電子の次に質量の小さいミューオンの制動放射によるエネルギー損失 𝑚𝑒≃ 0.5 𝑀𝑒𝑉 , 𝑚𝜇≃ 106 𝑀𝑒𝑉 𝜎𝑒 𝜎𝜇 =(𝑒 2 𝑚 𝑒𝑐2 ⁄ )2 (𝑒2 𝑚 𝜇𝑐2 ⁄ )2= 𝑚𝜇2 𝑚𝑒2 = (106 0.5) 2 ~ 40000 ∴ ミューオンが受ける制動放射によるエネルギー損失は電子の 1 40000 しかない！ 以上より、制動放射によるエネルギー損失を受ける粒子は電子と陽電子だけである。 また入射粒子が核から離れたところにあるとき、軌道電子のクーロン場が核のクーロン場を遮 蔽してしまうため、制動放射によるエネルギー損失は、この遮蔽効果を考慮する必要がある。 遮蔽効果は以下の様に示される。 ξ =100𝑚𝑒𝑐2ℎ𝜈 𝐸0𝐸𝑍 1 3 (2.67) 𝐸0∶ 始状態の全エネルギー, 𝐸 ∶ 終状態の全エネルギー , ℎ𝜈 ∶ 放射光子のエネルギー , Z ∶ 原子番号 遮蔽効果は、入射粒子のエネルギー ℎ𝜈 と入射の的となる材料の原子番号 Z に依る。 また (𝐸0− 𝐸) は、古典電子半径 𝑟𝑒 と関係しており、(𝐸0− 𝐸) が小さいと ξ ≃ 0 、大きいと ξ ≫ 1No screening (ξ ≫ 1) Complete screening (ξ ≃ 0)
§ 2.4.2 Energy Loss by Radiation : Bremsstrahlung
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テキストの式(2.12)より数 MeV 以上のときの制動放射断面積は以下の様に示される。 dσ = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈{(1 + 𝜀 2) [𝜙1(𝜉) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)] − 2 3𝜀 [ 𝜙2(𝜉) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)]} (2.68) 𝛼 ∶ 1371 , 𝑓(𝑍) ∶ クーロン補正 , 𝜙1(𝜉), 𝜙2(𝜉) ∶ 𝜉 による遮蔽効果 (Born 近似で計算) 𝜙1(𝜉) = 20.863 − 2 ln[1 + (0.55846𝜉)2] − 4[1 − 0.6exp(−0.9𝜉) − 0.4exp(−1.5𝜉)] 𝜙2(𝜉) = 𝜙1(𝜉) −23(1 + 6.5𝜉 + 6𝜉2)−1 (2.69) 𝑓(𝑍) ≅ 𝛼2[(1 + 𝛼2)−1+ 0.20206 − 0.0369𝛼2+ 0.0083𝛼4− 0.002𝛼6] (2.70) ε = 𝐸 𝐸⁄ 0 No screening (ξ ≫ 1) 𝜙1(∞) = 𝜙2(∞) → 19.19 − 4 ln 𝜉 より dσ = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 {(1 + 𝜀 2) [𝜙1(𝜉) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)] − 2 3𝜀 [ 𝜙2(𝜉) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)]} = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 {(1 + 𝜀 2) [𝜙1(∞) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)] − 2 3𝜀 [ 𝜙2(∞) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)]} = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 (1 + 𝜀 2−2 3𝜀) [ 𝜙1(∞) 4 − ln 𝑍 1 3− 𝑓(𝑍)] = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 (1 + 𝜀 2−2 3𝜀) [ 19.19 4 − ln 𝜉 − ln 𝑍 1 3− 𝑓(𝑍)] = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 (1 + 𝜀 2−2 3𝜀) [ 19.19 4 − ln 100𝑚𝑒𝑐2ℎ𝜈 𝐸0𝐸 − 𝑓(𝑍)] = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 (1 + 𝜀2− 2 3𝜀) [ 19.19 4 − ln 200 − ln 𝑚𝑒𝑐2ℎ𝜈 2𝐸0𝐸 − 𝑓(𝑍)] = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 (1 + 𝜀 2−2𝜀 3) [ln 2𝐸0𝐸 𝑚𝑒𝑐2ℎ𝜈 −1 2− 𝑓(𝑍)] ∴ (2.71) Complete screening (ξ ≃ 0) 𝜙1(0) = 𝜙2(0) + 2 3= 4 ln 183 dσ = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 {(1 + 𝜀 2) [𝜙1(𝜉) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)] − 2 3𝜀 [ 𝜙2(𝜉) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)]} = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 {(1 + 𝜀 2) [𝜙1(0) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)] − 2 3𝜀 [ 𝜙2(0) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)]} = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 {(1 + 𝜀 2) [𝜙1(0) 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)] − 2 3𝜀 [ 𝜙1(0) −23 4 − 1 3ln 𝑍 − 𝑓(𝑍)]} = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 (1 + 𝜀2− 2 3𝜀) [ln 183 − ln 𝑍 1 3− 𝑓(𝑍)] −2 3𝜀 [− 2 3 1 4] = 4𝑍2𝑟 𝑒2𝛼 𝑑𝜈 𝜈 {(1 + 𝜀 2−2𝜀 3) [ln(183𝑍 −1 3⁄ ) − 𝑓(𝑍)] +𝜀 9} ∴ (2.72)3
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制動放射断面積を 𝜈 で積分することで制動放射によるエネルギー損失は以下のようになる。 − (𝑑𝐸 𝑑𝑥)rad= 𝑁 ∫ ℎ𝜈 𝑑σ 𝑑𝜈(𝐸0 ,𝜈)𝑑𝜈
(N = 𝜌𝑁𝑎⁄𝐴 , 𝜈0= 𝐸0⁄ℎ) 𝜈0 0 (2.73) 上式は、 − (𝑑𝐸
𝑑𝑥)rad= 𝑁𝐸0𝛷rad, where 𝛷rad= 1 𝐸0∫ ℎ𝜈 𝑑σ 𝑑𝜈(𝐸0 ,𝜈)𝑑𝜈 (2.74) と表すことができ、だいたい 𝑑σ 𝑑𝜈∝ 𝜈 −1 であるため 𝛷 rad は 𝜈 から独立している。 𝛷rad= 4𝑍2𝑟𝑒2𝛼 (ln 2𝐸0 𝑚𝑒𝑐2− 1 3− 𝑓(𝑍)) for 𝑚𝑒𝑐 2≪ 𝐸 0≪ 137𝑚𝑒𝑐2𝑍−1 3⁄ , ξ ≫ 1 (2.75) 𝛷rad= 4𝑍2𝑟𝑒2𝛼 [ln(183𝑍−1 3⁄ ) + 1 18− 𝑓(𝑍)] for 𝐸0≫ 137𝑚𝑒𝑐 2𝑍−1 3 ⁄ , ξ ≅ 0 (2.76) 電子-電子制動放射断面積は、上に記した 𝛷rad の式中の 𝑍2 を Z と書き換えれば同様に与え られる。よって、制動放射全断面積は上式の 𝑍2 を Z (𝑍 + 1) とすればよい。
§ 2.4.3
Electron‐Electron Bremsstrahlung
Leo Fig. 2.10
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臨界エネルギーは (𝑑𝐸 𝑑𝑥)rad= ( 𝑑𝐸 𝑑𝑥)coll 𝑓𝑜𝑟 𝐸 = 𝐸𝑐 (2.77) となるときのエネルギーであり、𝐸
𝑐=
800 𝑀𝑒𝑉 𝑍+1.2 (2.78) で与えられる。以下に代表的な臨界エネルギーを示す。Leo Table. 2.2
放射長とは、制動放射によってエネルギーが 1 𝑒 ⁄ に減少するまでに通過する平均距離のこと。 放射長をパラメーターとして使用することで散乱角標準偏差が簡単な関数になる。 また、放射長は次式で表される。 1 𝐿𝑟𝑎𝑑≅ [4𝑍(𝑍 + 1) 𝜌𝑁𝑎 𝐴 ] 𝑟𝑒 2𝛼[ln(183𝑍−1 3⁄ ) − 𝑓(𝑍)] (2.81) 上式は、電子と電子の制動放射の寄与を含み小さい定数項は無視しているため、もっと簡単 に計算するためには以下のような近似式を用いる。𝐿
𝑟𝑎𝑑=
716.4 𝑔 𝑐𝑚⁄ 2𝐴 𝑍(𝑍+1) ln(287 √𝑍⁄ ) (2.82) 𝐴:通過する物質の質量数, 𝑍:通過する物質の原子番号, 𝜌:通過する物質の密度, 𝑁𝑎:アボガドロ数 この近似式で得られる値は、ヘリウムの結果を除くと 2.5 % 内に含まれる。 しかし、ヘリウムの結果は 5.0 %も低くなる。混合物の場合は Bethe-Bloch の公式の時と同様 に記述することができる。 1 𝐿𝑟𝑎𝑑= 𝑤
1(
1 𝐿𝑟𝑎𝑑) + 𝑤
2(
1 𝐿𝑟𝑎𝑑) + ⋯
(2.84)§ 2.4.4 Critical Energy
§ 2.4.5 Radiation Length
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様々な媒体による放射長の値を以下の表に示す。
