) a + b = i + 6 b c = 6i j ) a = 0 b = c = 0 ) â = i + j 0 ˆb = 4) a b = b c = j + ) cos α = cos β = 6) a ˆb = b ĉ = 0 7) a b = 6i j b c = i + 6j + 8)

物理手習ひ帖 力学偏 略解

第

1

章

基本的なベクトルの計算

【問 1】 (1) a + 3b = i + 6k ，b − 2c = −6i − j (2) |a| =√10，|b| =√5，|c| =√10 (3) ˆa = i√+ 3j 10 ，ˆb = −j + 2k √ 5 (4) a · b = −3 ，b · c = 2 (5) cos α =− 3 5√2 ，cos β = √ 2 5 (6) a · ˆb = − 3√ 5 ，b · ˆc = 2√10 (7) a × b = 6i − 2j − k ，b × c = −i + 6j + 3k (8) a × b |a × b| = 6i − 2j − k √ 41 ， b × c|b × c| = −i + 6j + 3k √ 46 (9) |a × b| =√41，(a × b) · c = 17 【問 2】ˆr = √xi + yj + zk x2_{+ y}2_{+ z}2 【問 3】x_∥= (x · e)e ，x_⊥=x − (x · e)e.

1.1

力ベクトルの表し方

【問 4】F = fi − µ′_{Ni + Nj − mgj} 【問 5】F = kℓj − mgj 【問 6】F = ρV gj + bvj − mgj 【問 7】

(1) F = N sin θi −µ′N cos θi +N cos θj +µ′N sin θi −mgj

(2) F = −µ′Ni′+ Nj′+ mg sin θi′− mg cos θj′ 【問 8】 (1) F = 1 2πε0 xi + yj + zk (x2+ y2+ z2)3/2 (2) F = − 1 63/2_πε 0 i 【問 9】F = − 4₅k 【問 10】 (1) ( i′ j′ ) = ( cos θ sin θ − sin θ cos θ ) ( i j ) (2) ( i j ) = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( i′ j′ )

(3) F =(Fxcos θ + Fysin θ −Fxsin θ + Fycos θ) (i ′

j′

)

(4) √(Fxcos θ + Fysin θ)2+ (−Fxsin θ + Fycos θ)2 を整

理する. 【問 11】 (1) F1= 3i (2) F2= 2i + 2 √ 3j (3) F3= 5i + 2 √ 3j, F3= √ 37 (4) ( i′ j′ ) = ( 1 2 √ 3 2 −√3 2 1 2 ) ( i j ) (5) F3= ( 11 2 − 3√3 2 ) ( i′ j′ ) 【問 12】F = Fx′i′+ Fy′j′と書けるので，これとi′,j′との 内積をとればよい． 【問 13】F = Fx′i′+ Fy′j′+ Fz′k′ と書けるので，これと i′_,j′_,k′_{との内積をとればよい．}

1.2

力のモーメントの計算

【問 14】問題の整数値が厳密値であるとして計算すると時計 回りに N0= 100 √ 3 + 150 [N m] 【問 15】NA= 0.27g [N m], NB= 0.14g [N m], NC= 0.055g [N m]. 問題の整数値が厳密値であるとして g = 9.80[m/s2] の有効数字 3 桁に合わせて答えると NA= 2.65 [N m], NB= 1.37[N m], NC = 5.39× 10−1 [N m]. アームを鉛直下向き に下ろすと，各関節周りでの重力のモーメントはいずれも ゼロ． 【問 16】背筋を伸ばした方が楽． 【問 17】荷物を腰椎に近づけた方が楽．

1.3

外積を用いた力のモーメントの計算

【問 18】 (1) N = (RFycos θ− RFxsin θ)k (2) |N| = R |Fycos θ− Fxsin θ| 【問 19】 (1) N0=−2k (2) N0=0

(3) N0=0 (4) N0= 2k 【問 20】 (1) NA= 2k, NB=−k. (2) N0= (−1 − x + 2y)k (3) (x, y) = (₅ 3, 4 3 ) 【問 21】 (1) N0P = 2j − 4i (2) (x, y) = (−2, −4) 【問 22】 (1) N0P+N0Q = 8j − 7i (2) (x, y) = ( − 8 5,− 75 )

1.4

静力学の問題

(1)

静止してつりあう

系

【問 23】 (1) k = 50g [N/m]. 有効数字 1 桁で答えると k = 5× 102 [N/m]. (2) 有効数字 1 桁で答えると mB= 4× 10−1[kg] 【問 24】 (1) kA= k1+ k2 (2) kB= k1k2 k1+ k2 【問 25】T1= mg cos ϕ sin(θ + ϕ), T2= mg cos θ sin(θ + ϕ). 【問 26】F = 1 2M g 【問 27】F ≥ √ 2Rh− h2 2R− h M g 【問 28】x = 1 [m]. 【問 29】問題の整数値が厳密値であるとして計算すると 105%. 【問 30】cos θ = kR2 (R + ℓ)mgθを満たす θ 【問 31】x = L M (√ 3µ(m + M )− 1 2m ) 【問 32】 (1) 重心は，A と，BC の中点 M を 2 : 1 に内分する点． (2) 各々の力は 1 3M g 【問 33】問題の整数値が厳密値であるとして計算すると F = √ 3 [kN]. 【問 34】T = 525g [N]. 問題の整数値が厳密値であるとして g = 9.80[m/s2] の有効数字 3 桁に合わせて答えると T = 5.15× 103_[N]. 【問 35】T1= T2= mg 1 + cos θ, N = sin θ 1 + cos θmg. 【問 36】 (1) 水平方向右向き，鉛直方向上向きの単位ベクトルをそれ ぞれi, j とするとBG =−→ 1 4 ( 3 2li + √ 3 2 j ) (2) 重心が，支点の真下に来るように傾く． (3) x = 3 2l 【問 37】R = ( _l d − 1 ) W 【問 38】F1= 24g [N], F2= 36g [N]. 有効数字 1 桁で答える と F1= 2× 102[N], F2= 4× 102 [N]. 【問 39】F = 100g [N]. 問題の整数値が厳密値であるとして g = 9.80[m/s2] の有効数字 3 桁に合わせて答えると F = 9.80× 102_[N]. 【問 40】F = √ 30g 2 sin 13◦ [N]. 問題の整数値が厳密値である として，sin 13◦= 0.225の有効数字 3 桁に合わせて答える と F = 9.24× 102 _[N]. 【問 41】有効数字 2 桁で答えると x = 9.0× 10−1 [m]. 【問 42】問題の整数値が厳密値であるとして計算すると F = 120 [N]. 【問 43】 (1) L 2 (2) 3 4L (3) 11 12L 【問 44】R = mg tan θ 【問 45】 (1) 左手は上向きに 6g [N] の力をかけ, 右手は下向きに 3g [N]の力をかける. 問題の整数値が厳密値であるとして g = 9.80[m/s2_{]の有効数字 3 桁に合わせて答えると，そ} れぞれ 5.88× 101 [N], 2.94× 101 [N]. (2) FL= 6g + 4M g, FR= 3g + 3M g. (3) 問題の整数値が厳密値であるとして 0.5 [m] の有効数字 1桁に合わせて答えると M < 9 [kg]. 【問 46】 (1) NL = L2 L1+ L2 mg，NR= L1 L1+ L2 mg.

(2) fL= µ L2 L1+ L2 mg，fR= µ L1 L1+ L2 mg. (3) 左手の指

1.5

静力学の問題

(2)

等速直線運動する

系

【問 47】 (1) F = µmg cos θ + µ sin θ (2) tan θ = µを満たす θ (3) F = µ′mg cos θ + µ′sin θ (4) tan θ = µ′を満たす θ 【問 48】Nr= 1 2mg− hℓ F cos θ, Nf = h ℓF cos θ− F sin θ + 1 2mg, µ ′ ₌ F cos θ mg− F sin θ. 【問 49】前輪の周りのトルクのつり合いより

1.6

静力学の問題

(3)

等加速度運動する

系

【問 50】m(a + g) 【問 51】tan θ = a g 【問 52】tan θ = a g 【問 53】 (1) NR+ NL= mg (2) NR− NL= h l ma (3) NR= 1 2 ( mg + h l ma ) , NL= 1 2 ( mg− h l ma ) , a = l hg.

1.7

静 力 学 の 問 題

(4)

円 運 動 す る 系

（カーブする系）

【問 54】n = 10 π [rps]. 有効数字 1 桁で答えると n = 3 [rps]. 【問 55】v > √0.6g[m/s]. 問題の整数値が厳密値であると して g = 9.80[m/s2_{] の有効数字 3 桁に合わせて答えると} v > 2.42[m/s]. 【問 56】v >√rg 【問 57】 (1) n = 1 2π √ _g l cos θ (2) N = mg− m(l cos θ)(2πn)2 【問 58】cos θ = g r(2πn)2 【問 59】 (1) v <√3g [m/s]. 有効数字 1 桁で答えると v < 5 [m/s]. (2) 有効数字 1 桁で答えると v < 1× 101 _[m/s] 【問 60】v <√rg

【問 61】F = mlω2_{sin θ cos θ, T = mlω}2_cos2_θ.

【問 62】 (1) v = 2 √ 10g 4 √ 3 [m/s]. 問題の整数値が厳密値であるとし て g = 9.80[m/s2_{] の有効数字 3 桁に合わせて答えると} v = 1.50× 101 [m/s], v = 5.42× 101 [km/h]. (2) v = √ 1 +√3µ √ 3− µ 40g [m/s]. µ = 0.1は有効数字 1 桁だ が，上の式には引き算で入っているので v の有効数字は 2桁となり v = 1.6× 101[m/s]. v = 6.0× 101 [km/h]. 【問 63】 (1) dy dx = xω2 g (2) y = ω2 2gx 2_{+ C} 【問 64】 (1) dy dr = A2 r3_g (2) y =− A2 2g 1 r2 + C 【問 65】h = 4.0× 105_{[m]として g}′ _{= g}(_{1 +} h R )−2 . hの有 効数字は 2 桁だが，上の式には足し算で入っているので，g′ の有効数字は 3 桁となり g′= 8.72 [m/s2]. 宇宙ステーショ ン内では遠心力が働き，万有引力と相殺するから． 【問 66】h = 2.0× 107_{[m]として T = 2π}(R + h)_√ 3/2 GM . 有 効数字 2 桁で答えると T = 4.3× 104_{[s]. 時間で答えると} T = 1.2× 101_[h]. 【問 67】h = 3 √ GM ω2 −R, v = (R+h)ω. 注意文の有効数字 3 桁 に合わせて答えると h = 3.58×107[m], v = 3.07×103[m/s]. 【問 68】g′=√g2− (2gRω2− R2_ω2_{) cos}2_{θ,赤道上での遠心} 力の割合は Rω 2 g− Rω2. 注意文の有効数字 3 桁に合わせて答 えると 0.346[%].

1.8

基礎用語確認問題

【問 69】作用点，大きさ，向き． 【問 70】大きさと向きがあるので． 【問 71】力の大きさ． 【問 72】始点を自由に動かしていいかどうか． 【問 73】F = Fxi + Fyj + Fzk と表現できるので． 【問 74】外積r × F の大きさは，rF sin θ（θ は r と F のなす 角）で，これは（腕に垂直な力の成分）×（腕の長さ）を意 味する．また，外積の向きは力が点 P を回転させる向きを， 右ねじの規則でベクトルの向きに対応させたものである． 【問 75】腕の向きと力の向きが同じである場合．支点に力を 加えている場合． 【問 76】力のモーメントをできるだけ大きくするため． 【問 77】そうでないと支点の周りの重力のモーメントがゼロ にならず，ゆれてしまう． 【問 78】大きさが変形しない物体．剛体は理想的な物体でこ の世に存在しない． 【問 79】力のつりあいと，或る点の周りの力のモーメントの つりあい．両者が成り立っていても等速で平行移動したり， 等速で回転できる． 【問 80】奥行きの構造が無視できる剛体．平面内で上下左右 の力のつりあいと，平面内の或る点の周りの力のモーメン トのつりあい．

第

2

章

2.1

基本事項確認問題

【問 1】 (1) F = −mgj (2) ( ˙vx, ˙vy) = (0,−g) (3) (vx, vy) = (v0cos θ,−gt + v0sin θ) (4) (x, y) = (v0cos θt,−1₂gt2+ v0sin θt) (5) y =− 1 2 g v2₀cos2θx 2_{+ tan θx} (6) x = v 2 0 g sin 2θ (7) θ = π 4 【問 2】 (1) F = mgi − bvi (2) m ˙v = mg− bv (3) v(t) = mg b ( 1− e−(b/m)t). (4) t→ ∞ で v(t) は v_∞= mg b に漸近する． 【問 3】 (1) F = −kx(t)i (2) F = +k|x(t)|i = −kx(t)i (3) m¨x =−kx 【問 4】 (1) T = 1 n, ω = 2πn (2) v = 2πRn (3) θ(t) = 2πnt

(4) r(t) = R cos 2πnti + R sin sin 2πntj

2.2

運動の記述と運動の法則

【問 5】 (1) 問題の整数値が厳密値であるとして計算すると a(A) = 2, a(B) = 0, a(C) =− 4 3, a(D) =−1, a(E) = 23．単位 は [m/s2_] (2) 変位は 4 + 8 + 6− 2 − 4 − 3 = 9[m]. (3) 移動距離は 4 + 8 + 6 + 2 + 4 + 3 = 27[m]. 【問 6】 (1) 問題の整数値が厳密値であるとして計算すると T = 6 [s], ν = 1 6 [Hz]. (2) ω = π 3 [rad/s], A = 2[cm] (3) x(t) = 2 sin ( π 3t ) (4) v(t) = 2π 3 cos (_π 3 t ) (5) a(t) =−2 π2 9 sin (_π 3 t ) 【問 7】 (1) 問題の整数値が厳密値であるとして計算すると T = 4 [s], ν = 1 4 [Hz]. (2) v(t) = 5 2 sin (_π 2t ) (3) a(t) = 5π 4 cos (_π 2 t ) (4) x(t) = 2− 5 π cos (_π 2 t ) + 5 π 【問 8】 (1) r(t) = ti + 2tj, v(t) = i + 2j, a(t) = 0, r(0) = 0, v(0) = i + 2j, |v(t)| =√5,|a(t)| = 0. (2) r(t) = ti − 1 2t 2_{j, v(t) = i − tj, a(t) = −j, r(0) = 0,} v(0) = i, |v(t)| =√1 + t2_,|a(t)| = 1. (3) r(t) = ti + t2_{j + 4k, v(t) = i + 2tj, a(t) = 2j, r(0) =} 4k, v(0) = i, |v(t)| =√1 + 4t2_{, |a(t)| = 2.}

(4) r(t) = 3 cos 2t i + 3 sin 2t j, v(t) = −6 sin 2t i + 6 cos 2tj, a(t) = −12 cos 2t i − 12 sin 2t j, r(0) = 3i, v(0) = 6j, |v(t)| = 6, |a(t)| = 12.

(5) r(t) = 3 cos 2t i + 3 sin 2t j + tk, v(t) = −6 sin 2t i + 6 cos 2tj+k, a(t) = −12 cos 2t i−12 sin 2t j, r(0) = 3i, v(0) = 6j + k, |v(t)| =√37,|a(t)| = 12.

(1) a(t) = 0, r(t) = (vxt)i + (vyt)j, (2) a(t) = ai + αj, r(t) =(a 2t 2_{+ bt})_{i +}(α 2 t 2_{+ βt})_j 【問 10】衝突する条件は t = l vA = h vB . 衝突しない時，最 も近づく時間は t = vAl + vBh v2 A+ vB2 . 【問 11】r(t) = h 1_{tan θ}i + hj, v(t) = −h θ˙ sin2θi. 【問 12】

(1) OP = (R + a cos θ)−→ j − a sin θi.

(2) y(t) = R + a cos ωt.

【問 13】

(1) v = −Rω sin ωti + Rω cos ωtj より v · r = 0 (2) a = −Rω2cos ωti − Rω2sin ωtj = −ω2r (3) 大きさは mRω2_{,向きは円の中心方向．}

【問 14】

(1) r = R cos θi + R sin θj

(2) v = −R ˙θ sin θi + R ˙θ cos θj より |v| = R ˙θ = Rω (3) a = −R( ˙θ)2_{cos θi −R( ˙θ)}2_{sin θj−R¨θsin θi +R¨θcos θj.}

a_⊥= R( ˙θ)2_{= Rω}2_{, a} ∥= R ¨θ = Rdω_dt . (4) F_⊥= mRω2,F_∥= mRdω dt . 【問 15】 (1) F_∥= 0より ω は一定値をとるので. (2) F_⊥ = mRΩ2，F_∥ = 0 (3) F_⊥ = mRα2_t2_，F ∥= mRα 【問 16】 (1) y(t) = 0.1 sin ( 2π T t ) (2) v(t) = 0.12π T cos (_2π T t ) , a(t) =−0.1(2π) 2 T2 sin (_2π T t ) . (3) g′ = g− 0.1(2π) 2 T2 sin (_2π T t ) (4) T > √2π 10g [s]. 有効数字 1 桁で答えると T > 6× 10 −1 [s].

2.3

運動方程式の立式

【問 17】mdv dt = mg 【問 18】mdv dt = mg− cv 2_(t) 【問 19】mdv dt = f− µ′mg 【問 20】mdv dt = mg sin θ− µ ′_{mg cos θ} 【問 21】md 2_y dt2 = mg− ky(t) 【問 22】y(t) = x(t) + ℓ より md 2_x dt2 =−kx(t) 【問 23】mdv dt = mg− ρV g − bv(t) 【問 24】mdv dt =−mgj 【問 25】mdv dt =−mgj − bv(t) 【問 26】md2r dt2 =−GMm r|r|3 【問 27】md2r dt2 = qq0 4πε0 r − r0 |r − r0|3 【問 28】mdvx dt = vyB，m dvy dt =−vxB，m dvz dt = 0.

2.4

運動方程式の解法

(1)

等加速度運動

【問 29】mdv dt = mg sin θ − µ ′_{mg cos θ, v(t) = g(sin θ −} µ′cos θ)t, x(t) = 1 2g(sin θ− µ′cos θ)t 2_. 【問 30】 (1) T1= v0 g(sin θ + µ′cos θ), L = 1 2 v20 g(sin θ + µ′cos θ). (2) tan θ > µ (3) T2= v0 g √ sin2θ− (µ′)2_cos2_θ 【問 31】v(t) = qV mdt

2.5

運動方程式の解法

(2)

放物運動

【問 32】(¨x, ¨y) = (0,−g), (x, y) = ( v0cos θt,− 1 2gt 2_{+ v} 0sin θ t ) , y =− 1 2 g v2 0cos2θ x2_{+ tan θ x.} 【問 33】 (1) t = v0sin θ g (2) y = v 2 0sin 2_θ 2g

(3) t = 2v0sin θ g (4) x = v 2 0sin 2θ g (5) T = √ 2(H + L tan ϕ) g , v0= √ gL1 + (2H/L + tan ϕ) 2 2(H/L + tan ϕ) , θは tan θ = 2H/L + tan ϕ を満たす角度. 【問 34】 (1) t = 2v0sin θ g cos ϕ (2) L = v2 0 sin(ϕ + 2θ)− sin ϕ g cos2_ϕ (3) θ = π 4 − ϕ 2 , L = v2 0 g(1 + sin ϕ). 【問 35】 (1) v0≥ √ gR (2) r = √ v2 0 g ( 3v 2 0 g − 2R )

2.6

運動方程式の解法

(3)

終端速度

【問 36】 (1) ρV dv dt = ρV g− ρ0V g− bv (2) v(t) = 1 b (ρ− ρ0)g ( 1− e−b/(ρV )t) 【問 37】ρV dv dt = ρ0V g − ρV g − bv, v(t) = 1b(ρ0 − ρ)g(1− e−b/(ρV )t). 【問 38】mdv dt = mg− cv 2_{(t), v} ∞= √_mg c とおくと v(t) = v_∞tanh √_cg mt.

2.7

運動方程式の解法

(4)

単振動

【問 39】 (1) 2¨x(t) =−4x(t)

(2) (c)：x(t) = cos(√2t)と (f)：x(t) = cos(√2t)+2 sin(√2t) (3) 問題の整数値が厳密値であるとして計算すると T =√2π [s], ν = √1 2π [Hz], ω = √ 2 [rad/s]. (4) x(t) = 2 sin(√2t + π 2 ) . 有効数字 2 桁で答えると振幅 2.0,初期位相 1.6[rad]. (5) x(t) = 2√2 sin(√2t), 整数値 4[m/s] は厳密値であると して答えると x(t) が最大になる時間は t = π 2 + 2mπ （m は自然数）. 【問 40】 (1) m¨x(t) =−kx(t) (2) x(t) = A sin ωt,振幅は A = v0 ω , ω ≡ √ k m,初期位相 はゼロ. (3) グラフは省略. 【問 41】接触している時間は 1 2T = √ 3π 20 [s]. 有効数字 1 桁 で答えると 1 2T = 3× 10 −1_[s]. 【問 42】問題の整数値が厳密値であるとして答えると (1) k = 200[N/m] (2) m = 450 π2 [kg] 【問 43】 (1) おもりのつり合いの位置を原点とし，下向きに y 軸をと ると m¨y(t) =−ky(t) (2) ω = √ k m として y(t) = ℓ cos ωt (3) v(t) =−ωℓ sin ωt (4) T = 2π√m k , ν = 1 2π √ k m 【問 44】kB= kA 4 【問 45】 (1) 鉛直上向きの単位ベクトルをj とすると F = −ky(t)j. (2) m¨y(t) =−ky(t) (3) ω = √ k m として y(t) = A sin(ωt + ϕ) 【問 46】 (1) k = 4π2_{× 10}3 _{[N/m]. 有効数字 2 桁で答えると k =} 3.9× 104_[N/m]. (2) ν = √ 10 3 [Hz]. 有効数字 2 桁で答えると ν = 1.8 [Hz]. (3) k′= 1.2π2× 103[N/m]. 有効数字 2 桁で答えると k′= 1.2× 104_[N/m]. 【問 47】 (1) l1: l2= k2: k1

(2) 右向きの単位ベクトルをi とすると F = −(k1+ k2)xi (3) m¨x(t) = −(k1 + k2)x(t) を 解 く と x(t) = A sin (√ k1+ k2 m t + ϕ ) (4) ν = 1 2π √ k1+ k2 m 【問 48】 (1) l = m ρS (2) F = −ρSgy(t)j (3) m¨y(t) =−ρSgy(t) (4) ν = 1 2π √ ρSg m 【問 49】 (1) テーブルの変位する方向（図の上向き）の単位ベクトル をi とすると F = −2T x l2_{+ x}2i (2) m¨x(t) =−2T x l2_{+ x}2 (3) T = 2π ω = 2π √ ml 2T 【問 50】 (1) T = mg 2 √ l2_{+ h}2 h (2) 鉛 直 下 向 き の 単 位 ベ ク ト ル を j と し て F = mg ( 1− ( 1 + y h ) √_{1 + (h + y)}2_/l2 1 + h2_/l2 ) j (3) ν = 1 2π √_g h 【問 51】 (1) ω ≡ √ K M − ( _b 2M )2 ≈ √ K M として x(t) = e−b/(2M)t(C sin ωt + D cos ωt) (2) x = v0 ω e−b/(2M)tsin ωt, v =− b 2M e −b/(2M)tv0 ω sin ωt + e −b/(2M)t_v 0cos ωt.

2.8

運動方程式の解法

(5)

強制振動

【問 52】m¨y(t) =−ky(t) + f0sin Ωt,

y(t) = f0 k− mΩ2 sin Ωt + A sin (√ k mt + ϕ ) . 【問 53】 (1) 鉛直上向きの単位ベクトルをj とすると F = −ky(t)j + ky0(t)j

(2) m¨y(t) =−ky(t) + kA sin Ωt

(3) Ω = √ k m 【問 54】 (1) T = λ v , Ω = 2π λ v. (2) v = λ 2π √ k m 【問 55】特殊解を xp(t) = A sin(Ωt + ϕ) とおくと A = F √ (K− MΩ)2_{+ (bΩ)}2, tan ϕ =− bΩ K− MΩ2.

2.9

運動方程式の解法

(6)

円運動

【問 56】mdv dt = f，m v2 R = T 【問 57】問題の整数値が厳密値であるとして計算すると F = 125 108 × 10 5_{[N],ブレーキの力は f =− 5} 3 × 10 4_[N]. 【問 58】 (1) t = vmax 50 = 1 √ 5 [s]. 有効数字 1 桁で答えると t = 4× 10−1 [s]. (2) x = 5 [m] (3) 5 2π 回転. 有効数字 1 桁で答えると 8× 10−1回転. 【問 59】 (1) v = ldθ dt (2) ml ¨θ =−mg sin θ，ml( ˙θ)2_{= T − mg cos θ.} (3) ml ¨θ(t) ≈ −mgθ(t) より θ(t) = α cos(√g l t ) , Tn = 2π √ l g. 張力は T = mgα 2(_sin2_{ωt− 1} 2 cos 2_ωt)_+mg. 【問 60】g = π2 _[m/s2_{]. 問題の整数値が厳密値であるとして} 計算すると g = 9.87 [m/s2_]. 【問 61】 (1) mR ¨θ(t) =−mg sin θ(t) ≈ −mgθ(t) (2) T = 2π √ R g 【問 62】 (1) F_∥=−kLθ − mg sin θ, F_⊥= T− mg cos θ. (2) mL¨θ =−(kL + mg)θ. (3) ν = 1 2π √ k m + g L

【問 63】 (1) mL¨θ =−mg sin θ, mL( ˙θ)2_{= T− mg cos θ.} (2) 1 2mL 2_{( ˙θ)}2_{− mgL cos θ = 1} 2mv 2 0− mgL. (3) T = mv 2 0 L − 2mg + 3mg cos θ (4) v0> √ 5gL 【問 64】 (1) mL¨θ = mg sin θ, mL( ˙θ)2_{= T + mg cos θ.} (2) 1 2mL 2_{( ˙θ)}2_{+ mgL cos θ =} 1 2mv 2 0+ mgL (3) T = mv 2 0 L + 2mg− 3mg cos θ (4) T = mv 2 0 L + 5mg, v = √ v2 0+ 4gLで水平方向に投げ出 され放物運動する．

第

3

章

3.1

仕事の計算

【問 1】(b) は非保存力. (a)(c) については，これだけでは断 定できない． 【問 2】 (1) Wa= 3，Wb= 3. (2) Wa=− 3 2，Wb=− 32. (3) Wa= 1，Wb= 1. (4) Wa= 1，Wb= 1. (5) Wa= 1，Wb= 0．非保存力. (6) Wa= 1，Wb= 3 2．非保存力. 【問 3】 (1) W =−mgh (2) W =−mgh (3) (1)(2)の比較からは非保存力であるとは言えない．実際 は保存力． 【問 4】 (1) W =−µ′mgl (2) W =−7µ′mgl (3) 非保存力 【問 5】 (1) N = 50g [N].問題の整数値が厳密値であるとして g = 9.80[m/s2_{] の有効数字 3 桁に合わせて答えると N =} 4.90× 102_[N]. (2) mgh = 22.5g [kJ]. 有効数字 3 桁で合わせて答えると mgh = 2.21× 102 _[kJ]. (3) 熱の仕事当量を J = 4.19[J/cal] として 225g J [kcal]の熱 量が必要. 1[kg] の体脂肪の燃焼に 9.0× 104[kcal]必要 なので 225g 9.0J × 10 −4_{[kg]燃焼する. 有効数字 2 桁で答} えると 5.8 [g]. 【問 6】床からの垂直抗力がなした仕事は mgh = 22.5g[kJ] で 重力のなした仕事は−mgh = −22.5g[kJ]. 有効数字 3 桁で 合わせて答えると 2.21× 102 _[kJ]. 【問 7】 (1) P Sdl (2) W = c log V1 V0

3.2

仕事とポテンシャル

【問 8】Fx = − ∂U ∂x ，Fy = − ∂U∂y から ∂Fx ∂y = − ∂ 2_U ∂x∂y ， ∂Fy ∂x =− ∂ 2_U ∂y∂x．x, y の偏微分は順序入れ替え可能なので 両者は等しい．残りの証明も同様． 【問 9】(Fx, Fy) = (−x, −y), W = −10. 【問 10】W =− 7 2 【問 11】 (1) 保存力. U =− (₁ 2x 2₊ 1 2y 2)_. (2) 保存力. U =−xy. (3) 非保存力. (4) 保存力. U =−x2_y. (5) 保存力. U =− 1 2x 2_y2_. (6) 保存力 U =− 1 3kx 3_{− ky}2_. 【問 12】F = − ∂ ∂x (₁ 2kx 2)_{i を計算する.} 【問 13】問題の整数値が厳密値であるとして計算すると U = 0.125[J]. 【問 14】F = − ∂ ∂z(mgz)k を計算する. 【問 15】− ∂U ∂x = mGM x r3. y, zも同様にする.

3.3

仕事とエネルギーの収支

【問 16】 (1) 問題の整数値が厳密値であるとして答えると 500 [J] (2) −25µ′g [J]. µ′= 0.3の有効数字 1 桁で答えると−7×101 [J]. (3) ∆K = 500− 25µ′g [J]. µ′= 0.3の有効数字は 1 桁だが， 上の式には引き算で入っているので ∆K の有効数字は 2桁になり ∆K = 4.3× 102 _[J]. (4) v = √ 2∆K 5 [m/s]. 有効数字 2 桁で答えると v = 1.3× 101 _[m/s].

【問 17】v > v0 √ d a 【問 18】W = 5 4 × 10 5_{[J]．必要なエネルギーは E =} W 0.15 = 5 6[MJ]. 必要なガソリンは 34.6[MJ/ℓ] で割って，有効数字 3桁で 2.41× 10−2[ℓ]. 【問 19】 (1) F = mg tan θ. (2) W = mgL(1− cos α)． 【問 20】 (1) 空気抵抗力は，進行方向と逆向きなので，行きも帰りも 仕事は負． (2) 同じ高度で比較すると運動エネルギーは帰りの方が小さ い．ゆえに，同じ高度で比較すると速度も帰りの方が小 さい． (3) 帰りの方が時間がかかる． 【問 21】µ′= kd 2 2mgL. 【問 22】 (1) x0= mg k . (2) x1= 2x0= 2mg k . (3) 1 2mv 2₌ 1 2 (mg)2 k (4) (1)は垂直抗力が仕事をするが，(2) では垂直抗力によ る仕事はない.

3.4

仕事率に関する問題

【問 23】P = µ′mg 1 + µ′tan θv. 【問 24】v = 100 g [m/s]. 問題の整数値が厳密値であると して g = 9.80[m/s2_{] の有効数字 3 桁に合わせて答えると} v = 1.02× 101[m/s]. 【問 25】P = 75g[W]. 問題の整数値が厳密値であるとして g = 9.80[m/s2] の有効数字 3 桁に合わせて答えると P = 7.35× 102_[W]. 【問 26】v = P F = 5 4[m/s]. 【問 27】 (1) v(t) = √ 2P t m (2) x(t) = √ 2P m 3 2t 3/2 (3) (1)(2)のから証明できる. 【問 28】 (1) mdv dt =−R v(t)− v_∞ v(t) ここで v∞≡ PR (2) t→ ∞ で v(t) → v_∞= P R (3) t =− m Rv∞ (₁ 2 − log 2 )

3.5

力学的エネルギー保存則

【問 29】d = √ 2mgh k . 【問 30】 (1) k = 2mgL (L− ℓ)2 (2) k = 20 7 g [N/m]. 問題の整数値が厳密値であるとし て g = 9.80[m/s2_{] の有効数字 3 桁に合わせて答えると} k = 2.80× 101 [N/m]. 【問 31】 (1) 重力のなした仕事 mgl sin θ, 垂直抗力のなした仕事は ゼロ. (2) mgl sin θ. (3) 非保存力は仕事をしていないのでゼロ. 【問 32】v =√2gl(1− cos θ), T = mg(3 − 2 cos θ). 【問 33】 (1) mL( ˙θ)2= T− mg cos θ (2) 1 2mL 2_{( ˙θ)}2_{+ mgL(1− cos θ) = 1} 2mv 2 0 (3) v0> √ 5gL. 【問 34】θ0> π 3 【問 35】 (1) mR( ˙θ)2= mg cos θ− N (2) 1 2mv 2 0+ mgR(1− cos θ) = 1₂mR2( ˙θ)2 (3) cos α = 2 3 + v2 0 3gR を満たす α 【問 36】v0> √ 2GM R . 有効数字 3 桁で答えると v0> 1.25× 104 _[m/s]. 【問 37】 (1) v0= √2 3 √ GM R (2) v = √1 3 √ GM R

【問 38】 (1) v = √ GM r . (2) E =− 1 2G M m r (3) Eは r の単調増加関数なので E が減少すると r も減少 する.

3.6

エネルギー法を用いた運動方程式の

立式

【問 39】mgh = 1 2mv 2_{(t) + mgy(t)の両辺を時間微分する.} 【問 40】自然長から鉛直下向きに y 軸をとるとき 1 2mv 2_{(t) +} 1 2ky 2_{(t)− mgy(t) = E の両辺を時間微分する.} 【問 41】 (1) d = mgL ka (2) U = 1 2kd 2₊ 1 2ka 2_θ2 (3) K = 1 2mL 2_{( ˙θ)}2 (4) ω = √ k m a L. 【問 42】 (1) U = k(aθ)2_{− mgL(1 − cos θ) ≈ ka}2_θ2_{− 1} 2mgLθ 2 (2) K = 1 2mL 2_{( ˙θ)}2 (3) 2ka2_{> mgL} 【問 43】 (1) U = ρSgy2 (2) K = 1 2ρSl( ˙y) 2 (3) ω = √ 2g l 【問 44】 (1) U =− 1 2σgy 2 (2) K = 1 2σl( ˙y) 2 (3) y = A e√g/l t_{+ B e}−√g/l t

3.7

基本事項確認問題

【問 45】物が移動しているときに，物に何か力がかかってい たとすると，その力のなした仕事は，力ベクトルと物の変位 の内積で定義される． 【問 46】mdv dt =F と物体の変位 dr の内積をとると「仕事-エネルギー定理」になる. 【問 47】物が水平面を動いている場合に，垂直抗力や重力の なした仕事はゼロ. 物が水平面を動いている場合に，動摩擦 力のなした仕事は負. 【問 48】運動エネルギーの変化率は，仕事率と等しい． 【問 49】 (a) 重力は保存力なので，同じ場所で受け止めると，重力の 仕事はゼロ. (b) 空気抵抗力は保存力ではないので，仕事はゼロでない. 【問 50】 (a) 重力は保存力なので，一周すると，重力の仕事はゼロ. (b) 空気抵抗力は保存力ではないので，仕事はゼロでない. (c) バケツを引っ張る力は，常にバケツの進行方向と直交し ているので仕事はゼロ. 【問 51】力のなした仕事が，物の動いた経路に依らず，始点 と終点によってのみ決まるとき，これを「保存力」という． 保存力がした仕事にマイナスを付けたものをポテンシャルエ ネルギーの変化という．例えば，重力（万有引力）は保存力 で，そのポテンシャルエネルギーを位置エネルギーという． 【問 52】 (1) 手による力のなした仕事 mgh, 重力のなした仕事−mgh. (2) 運動エネルギーの変化はゼロ. これは仕事の総量と等 しい. (3) 位置エネルギー mgh の分だけ，力学的エネルギーが増 加する. これは非保存力（手による力）のなした仕事 mghと等しい. 【問 53】 (1) 手による力のなした仕事 F l = µ′mgl cos θ + mgl sin θ, 重力のなした仕事 −mgl sin θ, 動摩擦力のなした仕事 −µ′_{mgl cos θ.} (2) 運動エネルギーの変化はゼロ. これは仕事の総量と等 しい. (3) 位置エネルギー mgl sin θ の分だけ，力学的エネルギー が増加する. これは非保存力（手による力と動摩擦力） のなした仕事の総量と等しい.

第

4

章

4.1

多質点系の運動方程式

【問 1】 (1) mAa = mAg− T ，mBa = T− mBg. (2) a = mA− mB mA+ mB g 【問 2】 (1) mAa = mAg− T , mBa = T− µ′mBg. (2) a = mA− µ′mB mA+ mB g 【問 3】 (1) ma = mg sin θA− T , ma = T − mg sin θB. (2) a = 1 2(sin θA− sin θB)g 【問 4】a = g sin θ, A = m M g sin θ cos θ. 【問 5】 (1) m¨x2= mg sin θ− k(x2− x1− d), m¨x1= mg sin θ + k(x2− x1− d). (2) m¨xG = mg sin θ, m¨xr=−2k(xr− d). (3) xG= 1 2g sin θt 2_{+ Ct + D,} xr= d + A sin (√ 2k mt + ϕ ) . 【問 6】 (1) m¨x2=−k(x2− x1)− kx2, m¨x1= k(x2− x1)− kx1. (2) m¨xG =−kxG, m¨xr =−3kxr. それぞれ固有角振動数 √ k m, √ 3k m の単振動

4.2

重心の運動方程式

【問 7】 (1) xG(0) = M l m + M (2) (m + M )¨xG = 0より xG(t) = xG(0) (3) X = M− m M + ml 【問 8】 (1) xG(0) = M l m + M (2) (m + M )¨xG = (m + M )g sin θより xG(t) = xG(0) + 1 2g sin θt 2 (3) T = 2 √ m m + M l g sin θ (4) 板が動かないためには f = M g sin θ で歩けばよい

4.3

力積と運動量変化

【問 9】(v0cos θ, ev0sin θ) 【問 10】 (1) v = √120g[m/s]. 空気抵抗がなければ落下速度は質 量に依らない. 問題の整数値が厳密値であるとして g = 9.80[m/s2_{] の有効数字 3 桁に合わせて答えると} v = 3.43× 101 [m/s]. (2) 空き缶は f = 2√1.2g[N],携帯電話は f = 10√1.2g[N]. それぞれ有効数字 1 桁で答えると f = 7× 100_{[N], f =} 3× 101[N]. 【問 11】 (1) v0 = √ 120g [m/s]. 問題の整数値が厳密値であるとし て g = 9.80[m/s2_{] の有効数字 3 桁に合わせて答えると} v0= 3.43× 101 [m/s]. (2) 衝突前の速さは v = 160 3.6 [m/s] で，力積は f ∆t = 0.15{(√60g + v)i +√60gj}. その大きさは f ∆t = 0.15√120g + 2v√60g + v2_{. 有効数字 3 桁で答えると} f ∆t = 1.09× 101 [N s]. (3) ∆t = 1.0× 10−3 [s]なので有効数字 2 桁で答えると f = 1.1× 104_[N]. 【問 12】 (1) f ∆t = m(1− e)v (2) ρSv∆t m (3) ∴ ftotal= ρS(1− e)v2

4.4

多質点系の運動量保存則

【問 13】 (1) 問題の整数値が厳密値であるとして答えると V = 5 3[m/s].

(2) f = 20 9 ×10 4_[N]. 有効数字 1 桁で答えると f = 2×104 [N]. 【問 14】問題の整数値が厳密値であるとして答えると v = 250[m/s] 【問 15】v0= m + M m √ 2gh 【問 16】v = 12 [m/s] で反対側にレンチを投げる必要がある. 有効数字 1 桁で答えると v = 1× 101_[m/s]. 【問 17】(V′, v′) = (_{M− m} M + mV, 2M M + mV ) . 【問 18】 ( 0, 1 9V, 4 9V, 4 3V ) 【問 19】運動量保存則 mvAsin α = mvBsin βと運動エネル ギー保存則 1 2mv 2 A+ 1 2mv 2 B= 1 2mv 2_{から証明する.} 【問 20】K = 1 2M (p 2 1+ p22+ 2p1p2cos θ) 【問 21】 (1) mv = (m + dm)(v + dv)− dm(v − V ) から証明する. (2) dm dt =−b, m = m0− bt. (3) v(t) = v0− V log1 − b mt   (4) v(T ) = v0+ V log 2

4.5

基本事項確認問題

【問 22】mdv dt = F の両辺を時間で積分すると m∆v = ∫ Fdt. 【問 23】鉛直上向きの単位ベクトルをj とすると e = − v′· j v · j 【問 24】e =− v ′ 2− v1′ v2− v1 【 問 25】内 力 を F(t), −F(t) とし，m1∆v1 = ∫ Fdt， m2∆v2=− ∫ Fdt を足し合わせる. 【問 26】 (1) 弾性衝突 (2) 完全非弾性衝突 (3) e = 1, 0≤ e < 1, e = 0

第

5

章

5.1

角速度と角運動量

,

角運動量保存則

【問 1】問題の整数値が厳密値であるとして答えると 10[s], θtotal= 50回転. 【問 2】問題の整数値が厳密値であるとして答えると α = π 3 [rad/s 2_{], θ} total= 75回転. 【問 3】 (1) L = 0 (2) L = −mk (3) L = mωR2_k 【問 4】L = 2ml2_ω 【問 5】L = 1 3M l 2_{ω, L =} 4 3M l 2_ω. 【問 6】ω = m m + M v l 【問 7】ω = ( mva m +1₂M)R2 【問 8】Ω = mr2 (mr2_{+ M R}2₎ω. 【問 9】 (1) mvl = mv′l + Ioω′ (2) V′= lω′ (3) M′= Io l2 【問 10】 (1) mv = mv′+ M V (2) mvl = mv′l + IGΩ (3) V′= V + lΩ (4) 1 M′ = 1 M + l2 IG 【問 11】ω = 2(l− a) a2_{+ (2l− a)}2v 【問 12】 (1) mR2ω− 1 2M R 2_{Ω = 0} (2) Φ = m m +M 2 2π 【問 13】 (1) dLo dt = τo= 0より Loは一定 (2) Lo= mR2ωより ω は一定 (3) ω = √ GM R3 (4) T = 2π √ R3 GM 【問 14】 (1) m¨r = mrω2_{, r = l cosh ωt.} (2) N = 2mlω2sinh ωt (3) コリオリ力と垂直抗力のつり合い

5.2

剛体の運動方程式の解法

(1)

一定の

トルクがかかる場合

【問 15】問題の整数値が厳密値であるとして答えると (1) τ = π 3 [N m] (2) 10倍 【問 16】問題の整数値が厳密値であるとして答えると (1) t = 2[min] (2) τ =− π 12 [N m] (3) 10倍 【問 17】 (1) 問題の整数値が厳密値であるとして答えると 300[N]. (2) 27 [N m]. 有効数字 1 桁で答えると 3× 101 _{[N m].} (3) t = 100π 27 [s]. 有効数字 1 桁で答えると t = 1× 10 1_[s]. 【問 18】問題の整数値が厳密値であるとして答えると τ = 200 [N m] 【問 19】 (1) I dω dt = τ− fr (2) JdΩ dt = f R (3) rθ = RΘを時間で微分すればよい． (4) ˙Ω = _R τ rI + r RJ .

5.3

剛体の運動方程式の解法

(2)

滑らず

条件の使用

【問 20】 (1) mdv dt = mg− T (2) 1 2M dv dt = T (3) a = m m +1₂M g (4) T = mM m +1₂M g 【問 21】a = τ R− mg m +1₂M 【問 22】 (1) m1dv dt 1 = T1− m1g，m2dv dt 2 = m2g− T2. (2) 1 2M a = T2− T1 (3) a = m2− m1 m1+ m2+1₂M g < m2− m1 m1+ m2 g 【問 23】 (1) M dv dt = F − f, 12M dv dt = f . (2) a = 2F 3M (3) f = 1 3F (4) µ > F 3M g 【問 24】 (1) M dv dt = M g sin α− f, 25M dv dt = f . (2) a = 5 7g sin α (3) f = 2 7M g sin α (4) µ > 2 7 tan α 【問 25】a = g sin α, a = 5 7g sin α. 【問 26】円柱（円筒と円柱の慣性モーメントはそれぞれ IG = M R2_，I G = 1 2M R 2_） 【問 27】a = 2 3g 【問 28】 (1) M Rdω dt = F− f, 25M R dω dt = f . (2) f = 2 7F (3) µ > 2 7 F M g 【問 29】 (1) M Rdω dt = F − f, 25M R dω dt = h RF + f . (2) f = 2 7 ( 1− 5h 2R ) F (3) h = 2 5R

5.4

剛体の運動方程式の解法

(3)

固有振

動数をもつ系

【問 30】1 3M L 2_θ¨_{≈ − 1} 2M gLθ, ωn= √ 3g 2L. 【問 31】M ( h2₊ 1 12L 2)_θ¨_{≈ −Mghθ,} ωn= √ gh h2+₁₂1L2. 【問 32】M ( (l + R)2+ 2 5R 2)_{θ¨≈ −Mg(l + R)θ,} ωn= √ g(l + R) (l + R)2₊2 5R 2. 【問 33】M ( a2+ 1 2R 2)_{θ¨≈ −Mgaθ,} ωn= √ _ga a2₊1 2R 2. 【問 34】 (1) Io= 5 4ml 2 (2) τo=−mg l 2 sin θ (3) ωn= √ 2g 5l 【問 35】 (1) d = √ 2M g k (2) 4 3M l 2_{θ =¨ √}1 2kl 2_{θ, ω} n= √ 3k 4√2M . 【問 36】ωn= a L √ k m 【問 37】2ka2_{> mgL, ω} n= √ 2ka2_{− mgL} mL2 . 【問 38】 (1) d = mg k (2) 1 2M dv dt = T − k(x + d) (3) ωn= √ k m +1₂M 【問 39】M dv dt =−kx − f, 12M dv dt = f , ωn= √ 2k 3M .

5.5

剛体の運動方程式の解法

(4)

複数の

固有振動数をもつ系

【問 40】 (1) ρ = M Sl . (2) ωn= √ 5gl 2a2 (3) ωn= √_g l なのでねじれ振動の方が速い 【問 41】 (1) M ¨y =−2ky, ωn= √ 2k M . (2) ωn= √ 6k M (3) それぞれ Tn= 2π √ M 2k, Tn= 2π √ M 6k . 有効数字 2 桁 で答えると，それぞれ Tn= 3.1×101[s], Tn= 1.8×101 [s]. 【問 42】 (1) 2m¨y =−2ky, ωn= √ k m. (2) ωn= √ k m (3) ２つの固有角振動数は ωn = √ k m +1₂M ，ωn = √ k m +2₃M で，ねじれ振動の方が速くなる. 【問 43】 (1) ml2_θ¨ 2=−ka2(θ2−θ1)−mgl sin θ2，ml2θ¨1= ka2(θ2− θ1)− mgl sin θ1. (2) ml2_Θ¨ _{≈ −mglΘ より ωn =} √ g L. 一方 ml 2_Φ¨ _≈ −2ka2_{Φ− mglΦ より ω} n= √ mgl + 2ka2 ml2 .

5.6

剛体の力学的エネルギー保存則

【問 44】ω = √ 3g 2l cos θ 【問 45】ω = √ 3g 2l 【問 46】v = √ 4gh 3 【問 47】円柱（円筒と円柱の慣性モーメントはそれぞれ IG = M R2，IG = 1 2M R 2 ） 【問 48】h = 7 10 V2 0 g 【問 49】v = √ 2mgh m +1₂M 【問 50】h = m + 1 2M 2mgh R 2_ω2

5.7

基本事項確認問題

【問 51】位置ベクトルとそのベクトルの外積を計算する．ベ クトルの回転に関する量を引き出す． 【問 52】mdv dt =F の両辺と位置ベクトルの外積をとる. 【問 53】角運動量の大きさは，2m× 面積速度を表す. 角運動 量の向きは，質点の回転を右ねじの規則でベクトルの向き に対応させたものである. 【問 54】中心力であればNo=r × F = 0. ゆえに角運動量は dLo dt = 0を満たし保存する. 【問 55】r × L = 0 が証明できれば良い. 【問 56】Lz= (mr2+ mR2)ω 【問 57】剛体とは，形の変形しない物体．自由度は６個． 【問 58】奥行きの構造が無視できる剛体．自由度は３個． 【問 59】連続体の各部分の質量を mi,軸からの距離を ri,軸周 りの角速度を ωiとすると，全角運動量は L = ∑ imir 2 iωi. 剛体の場合，どの部分の角速度も同じなので，これを ω と おくと L =(∑imiri2 ) ω. この比例係数が軸周りの慣性モー メント Io. 【問 60】L = Ioωを用いると，回転の運動方程式から Io dωo dt = τo が導出される． 【問 61】回転の慣性．つまり，角速度の変化させにくさ． 【問 62】右図 【問 63】左図 【問 64】左図 【問 65】トルクは（ほとんど）働かないので，軸周りの角運 動量 Lo= Ioωは保存する. 腕を縮めると，慣性モーメント は減少するので，その分角速度 ω が増加する. 【問 66】重心は等速直線運動し，かつ剛体の重心周りの或る 軸のまわりで等速回転する.