－1－ １ [千葉大・文] k, m, n を自然数とする。以下の問いに答えよ。 (1) 2kを7 で割った余りが 4 であるとする。このとき, k を 3 で割った余りは 2 であ ることを示せ。 (2) 4m+5nが3 で割り切れるとする。このとき, 2mnを7 で割った余りは 4 ではな いことを示せ。
－2－ ２ [九州大・理] 以下の問いに答えよ。 (1) n が正の偶数のとき, 2n- は1 3 の倍数であることを示せ。 (2) n を自然数とする。2n+ と1 2n- は互いに素であることを示せ。 1 (3) p, q を異なる素数とする。2p-1- =1 pq2を満たすp, q の組をすべて求めよ。
－3－ ３ [京都大・理] a, b, c, d, e を正の実数として整式 f( )x =ax2+bx c+ , ( )g x =dx e+ を考える。 すべての正の整数 n に対して ( ) ( ) n n f g は整数であるとする。このとき, ( )f x はg( )x で 割り切れることを示せ。
－4－ ４ [東北大・文] 次の性質をもつ数列{a を考える。 n} 1 3 a = , an+1>an, an2-2a an n+1+an+12=3(an+an+1) (n =1, 2, 3, ) (1) 1, 2, 3,n = に対し, an+an+2をan+1を用いて表せ。 (2) bn=an+1-an(n =1, 2, 3, により定まる数列) { }b の一般項を求めよ。 n (3) 数列 {a の一般項を求めよ。 n}
－5－ ５ [広島大・文] n を自然数とし, p , n q を実数とする。ただし, n p , 1 q は1 p12-4q1= を満たすと4 する。2 次方程式 2 0 n n x -p x q+ = は異なる実数解n, nをもつとする。ただし, n n < とする。cn =n-nとおくとき, 数列 { }c は n 1 2 ( 1) n n c n c+ = n n++ (n =1, 2, 3, ) を満たすとする。次の問いに答えよ。 (1) rn=log (2 n n+ n)とするとき, 2 ( 1) n n n + + をr , n rn+1を用いて表せ。 (2) c を n の式で表せ。 n (3) pn =n nであるとき, q を n の式で表せ。 n
－6－ ６ [千葉大・理] b と c をb2+4c> を満たす実数として, 0 x に関する 2 次方程式x2-bx c- = の相0 異なる解を , とする。数列{a を, n} an =n-1+n-1(n =1, 2, 3, により定め) る。このとき, 次の問いに答えよ。 (1) 数列 {a は漸化式 n} an+2=ban+1+can(n =1, 2, 3, を満たすことを示せ。 ) (2) 数列 {a の項n} a がすべて整数であるための必要十分条件は, b, c がともに整数でn あることである。これを証明せよ。
－7－ ７ [東京大・理] 数列{p を次のように定める。 n} 1 1 p = , p = , 2 2 2 1 2 n 1 n n p p p + + = + (n =1, 2, 3, ) (1) 12 2 1 1 n n n n p p p p + + + + がn によらないことを示せ。 (2) すべてのn =2, 3, 4, に対し, pn+1+pn-1をp のみを使って表せ。 n (3) 数列 {q を次のように定める。 n} 1 1 q = , q = , 2 1 qn+2=qn+1+qn (n =1, 2, 3, ) すべてのn =1, 2, 3, に対し, pn =q2n-1を示せ。
－8－ ８ [北海道大・文] x, y を自然数とする。 (1) 23 2 x x + が自然数であるようなx をすべて求めよ。 (2) 23 1 2 x y x + + が自然数であるような組( ,x y をすべて求めよ。 )
－9－ ９ [大阪大・文] 次の問いに答えよ。 (1) a を正の実数とし, k を 1 以上の実数とする。x についての 2 次方程式 2 0 x -kax a k+ - = は, 不等式 1 s 1 a - ＜ ≦ を満たすような実数解 s をもつことを示 せ。 (2) a を 3 以上の整数とする。n2+ がa an + で割り切れるような 2 以上のすべての1 整数n を a を用いて表せ。
－10－ 10 [神戸大・理] 約数, 公約数, 最大公約数を次のように定める。 ・ 2 つの整数 a, b に対して, a=bkを満たす整数k が存在するとき, b は a の約 数という。 ・ 2 つの整数に共通の約数をそれらの公約数という。 ・ 少なくとも一方が 0 でない 2 つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの 最大公約数という。 以下の問いに答えよ。 (1) a, b, c, p は 0 でない整数で a= pb c+ を満たしているとする。 (i) a =18, b =30, c = -42, p = のとき2 , a と b の公約数の集合 S, および b とc の公約数の集合 T を求めよ。 (ii) a と b の最大公約数を M, b と c の最大公約数を N とする。M と N は等しいこ とを示せ。ただし, a, b, c, p は 0 でない任意の整数とする。 (2) 自然数の列 {a を, n} an+2=6an+1+an (n =1, 2, ), a = , 1 3 a = で定める。 2 4 (i) an+1とa の最大公約数を求めよ。 n (ii) an+4をan+2とa を用いて表せ。 n (iii) an+2とa の最大公約数を求めよ。 n
－11－ 11 [東京大・文] 以下の問いに答えよ。ただし, (1)については, 結論のみを書けばよい。 (1) n を正の整数とし, 3nを10 で割った余りを n a とする。a を求めよ。 n (2) n を正の整数とし, 3nを4 で割った余りを n b とする。b を求めよ。 n (3) 数列 {x を次のように定める。 n} 1 1 x = , xn+1=3xn (n =1, 2, 3, ) 10 x を 10 で割った余りを求めよ。
－12－ 12 [九州大] 自然数 n に対して, 10nを13 で割った余りを n a とおく。a は 0 から 12 までの整n 数である。以下の問いに答えよ。 (1) an+1は10a を 13 で割った余りに等しいことを示せ。 n (2) a , 1 a , …, 2 a を求めよ。 6 (3) 以下の 3 条件を満たす自然数N をすべて求めよ。 (i) N を十進法で表示したとき 6 桁となる。 (ii) N を十進法で表示して, 最初と最後の桁の数字を取り除くと 2016 となる。 (iii) N は 13 で割り切れる。
－13－ 13 [東北大・理] 以下の問いに答えよ。 (1) 6 以上の整数 n に対して不等式 2n>n2+ が成り立つことを数学的帰納法によ7 り示せ。 (2) 等式 pq=qp+ を満たす素数の組7 ( ,p q をすべて求めよ。 )
－14－
14 [東京工大] n を 2 以上の自然数とする。
(1) n が素数または 4 のとき, (n -1)!はn で割り切れないことを示せ。
－15－
15 [京都大・理]
－16－ 16 [名古屋大・文] 正の整数 n に対して, その(1 と自分自身も含めた)すべての正の約数の和を ( )s n と かくことにする。このとき, 次の問いに答えよ。 (1) k を正の整数, p を 3 以上の素数とするとき, ( 2s kp を求めよ。 ) (2) ( 2016 )s を求めよ。 (3) 2016 の正の約数n で, ( )s n =2016となるものをすべて求めよ。
－17－
17 [一橋大]
連立方程式 x2=yz+7, y2=zx+7, z2=xy+ を満たす整数の組7 ( , ,x y z で)
－18－ 18 [北海道大・理] 自然数の2 乗となる数を平方数という。 (1) 自 然 数 a, n, k に 対 し て , n n( +1)+ =a (n k+ )2 が 成 り 立 つ と き , 2 2 1 a≧k + k- が成り立つことを示せ。 (2) (n n + +1) 14が平方数となるような自然数n をすべて求めよ。
－19－ 19 [九州大・文] 以下の問いに答えよ。 (1) 2017 と 225 の最大公約数を求めよ。 (2) 225 との最大公約数が 15 となる 2017 以下の自然数の個数を求めよ。 (3) 225 との最大公約数が 15 であり, かつ 1998 との最大公約数が 111 となる 2017 以下の自然数をすべて求めよ。
－20－ 20 [筑波大・理] 数列{a が, n} a = , 1 1 a = , 2 3 an+2=3an+12-6an+1an+3an2+an+1(n =1, 2, ) を満たすとする。また, bn =an+1-an (n =1, 2, とおく。以下の問いに答えよ。 ) (1) b ≧ (n 0 n =1, 2, を示せ。 ) (2) b (n n =1, 2, の一の位の数が) 2 であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。 (3) a2017の一の位の数を求めよ。
－21－ 21 [東京大] 2 5 p = + とおき, 自然数n =1, 2, 3, に対して, n
(
1)
n n a =p + - p と定める。 以下の問いに答えよ。ただし設問(1)は結論のみを書けばよい。 (1) a1, a の値を求めよ。 2 (2) 2n ≧ とする。積a a を, 1 n an+1とan-1を用いて表せ。 (3) a は自然数であることを示せ。 n (4) an+1とa の最大公約数を求めよ。 n－22－ 22 [九州大・理] 初項a = , 公差 4 の等差数列 {1 1 a を考える。以下の問いに答えよ。 n} (1) {a の初項から第 600 項のうち,n} 7 の倍数である項の個数を求めよ。 (2) {a の初項から第 600 項のうち, n} 7 の倍数である項の個数を求めよ。 2 (3) 初項から第 n 項までの積a a1 2anが7 の倍数となる最小の自然数 n を求めよ。 45
－23－ 23 [名古屋大・文] 次の問いに答えよ。 (1) 次の条件(＊)を満たす 3 つの自然数の組 ( , , )a b c をすべて求めよ。 (＊) a b c< < かつ 1 1 1 1 2 a+ + = である。 b c (2) 偶数 2n (n ≧1)の3 つの正の約数 p, q, r で, p q r> > とp q r+ + = を満たすn 組( , , )p q r の個数を f( )n とする。ただし, 条件を満たす組が存在しない場合は, ( ) 0n = f とする。n が自然数全体を動くときの f( )n の最大値 M を求めよ。また, ( )n =M f となる自然数n の中で最小のものを求めよ。
－24－ 24 [九州大・文] 以下の問いに答えよ。 (1) n を自然数とするとき, 2nを7 で割った余りを求めよ。 (2) 自然数 m は, 2 進法で 101 が 6 回連続する表示 101101101101101101(2) をもつ とする。m を 7 で割った余りを求めよ。
－25－
25 [京都大]
3 7 9
－26－ 26 [名古屋大・文] 次の問いに答えよ。 (1) 整数, の少なくとも一方が奇数のとき, 2+ + 2は奇数であることを示 せ。 (2) n を奇数とする。このとき2+ + 2=2nを満たす整数 , は存在しない ことを示せ。 (3) c を実数とする。このとき 3 次方程式x3-2018x c+ = の解のうち整数である0 ものは1 個以下であることを示せ。
－27－ 27 [東北大・理] 整数a, b は等式 3a-2b= ……①を満たしているとする。 1 (1) a, b はともに正となることを示せ。 (2) b > ならば,1 a は偶数であることを示せ。 (3) ①を満たす整数の組 ( ,a b をすべてあげよ。 )
－28－ 28 [千葉大・文] 初項が1 で公差が 6 である等差数列 1, 7, 13, …の第 n 項をa とし, また初項が 3n で公差が4 である等差数列 3, 7, 11, …の第 m 項をb とする。2 つの数列 {m a , {n} bm} に共通に現れる数すべてを小さい順に並べてできる数列を{ }c とし, 2 つの数列 {k a , n} {b の少なくとも 1 つの項になっている数すべてを小さい順に並べてできる数列をm} { }d とする。したがってl c = であり, また数列 { }1 7 d のはじめの 5 項は 1, 3, 7, 11, 13l となる。 (1) 数列 { }c の一般項を求めよ。 k (2) d1000およびd1001の値を求めよ。
－29－ 29 [東京大・理] 数列a1, a2, を, an = 2n+n1!Cn (n =1, 2, で定める。 ) (1) 2n ≧ とする。 1 n n a a -を既約分数 n n q p として表したときの分母p ≧ と分子n 1 q をn 求めよ。 (2) a が整数となるn n ≧ をすべて求めよ。 1
