テンソル ( その ) テンソル ( その ) スカラー ( 階のテンソル ) スカラー ( 階のテンソル ) 階数ベクトル ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) 行列表現シンボリック表現 [ ]

(1)

Tensor n n n n m k m k m k k k k m m m

Q

A

′

₁ ₂_L

=

₁ ₁ ₂ ₂

_L

₁ ₂_L

nth-order tensor by indicial expression

quotient rule by symbolic expression

B

A

X

⋅

=

2

3 A

₁₁₂

A

₁₂₂

A

₁₃₂

A

₁₁₃

A

₁₂₃

A

₁₃₃

A

₁₁₁

A

₁₂₁

A

₁₃₁

A

₂₁₂

A

₂₂₂

A

₂₃₂

A

₂₁₃

A

₂₂₃

A

₂₃₃

A

₂₁₁

A

₂₂₁

A

₂₃₁

A

₃₁₂

A

₃₂₂

A

₃₃₂

A

₃₁₃

A

₃₂₃

A

₃₃₃

A

₃₁₁

A

₃₂₁

A

₃₃₁

1 third-order tensor

contraction

ii j i ij

A

⎯

⎯→

=

(2)

テンソル

（その１）

テンソル

（その１）

スカラー（０階のテンソル）

ベクトル（１階のテンソル）

[ ]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

3 2 1

a

_i 行列表現

a

i

a

1 a

₂

a

₃

1 a

0

階数

a

指標表現シンボリック表現

(3)

2

3 テンソル（

その２）

テンソル（

その２）

２階のテンソル

３階のテンソル

[ ]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

33 32 31 23 22 21 13 12 11

A

_ij 行列表現 ijk

A

ij

A

₁₁₂

A

₁₂₂

A

₁₃₂

A

₁₁₃

A

₁₂₃

A

₁₃₃

A

₁₁₁

A

₁₂₁

A

₁₃₁

A

₂₁₂

A

₂₂₂

A

₂₃₂

A

₂₁₃

A

₂₂₃

A

₂₃₃

A

₂₁₁

A

₂₂₁

A

₂₃₁

A

₃₁₂

A

₃₂₂

A

₃₃₂

A

₃₁₃

A

₃₂₃

A

₃₃₃

A

₃₁₁

A

₃₂₁

A

₃₃₁

1 A

₁₁

A

₂₁

A

₃₁

A

₁₂

A

₂₂

A

₃₂

A

₁₃

A

₂₃

A

₃₃

2

1 A

A

(4)

2

3 テンソルの成分数

テンソルの成分数

n

m

n

1 成分数

2 以上

1

0 階数

m

n (

≥2)

n (

≥2)

n (=1)

次元

n

テンソル

（m階のテンソル）

ベクトル

（1階のテンソル）

スカラー

（0階のテンソル）

a

₁

a

₂

a

₃

a

A

₁₁

A

₂₁

A

₃₁

A

₁₂

A

₂₂

A

₃₂

A

₁₃

A

₂₃

A

₃₃

A

₁₁₂

A

₁₂₂

A

₁₃₂

A

₁₁₃

A

₁₂₃

A

₁₃₃

A

₁₁₁

A

₁₂₁

A

₁₃₁

A

₂₁₂

A

₂₂₂

A

₂₃₂

A

₂₁₃

A

₂₂₃

A

₂₃₃

A

₂₁₁

A

₂₂₁

A

₂₃₁

A

₃₁₂

A

₃₂₂

A

₃₃₂

A

₃₁₃

A

₃₂₃

A

₃₃₃

A

₃₁₁

A

₃₂₁

A

₃₃₁

(

n = m1, = 0

)

(

n = m3, =1

)

(

n = m3, =2

)

(

n = m3, =3

)

1

2

1

0 n個

n個

m方向

(5)

テンソルの和と差

和 ijk ijk

B

A

+

差 ijk ijk

B

A

−

A

₁₁₂

A

₁₂₂

A

₁₃₂

A

₁₁₃

A

₁₂₃

A

₁₃₃

A

₁₁₁

A

₁₂₁

A

₁₃₁

A

₂₁₂

A

₂₂₂

A

₂₃₂

A

₂₁₃

A

₂₂₃

A

₂₃₃

A

₂₁₁

A

₂₂₁

A

₂₃₁

A

₃₁₂

A

₃₂₂

A

₃₃₂

A

₃₁₃

A

₃₂₃

A

₃₃₃

A

₃₁₁

A

₃₂₁

A

₃₃₁

B

₁₁₂

B

₁₂₂

B

₁₃₂

B

₁₁₃

B

₁₂₃

B

₁₃₃

B

₁₁₁

B

₁₂₁

B

₁₃₁

B

₂₁₂

B

₂₂₂

B

₂₃₂

B

₂₁₃

B

₂₂₃

B

₂₃₃

B

₂₁₁

B

₂₂₁

B

₂₃₁

B

₃₁₂

B

₃₂₂

B

₃₃₂

B

₃₁₃

B

₃₂₃

B

₃₃₃

B

₃₁₁

B

₃₂₁

B

₃₃₁

A

₁₁₂

+B

₁₁₂

A

₁₁₁

+B

₁₁₁

A

₁₁₃

+B

₁₁₃

A

₁₂₁

+B

₁₂₁

A

₁₂₂

+B

₁₂₂

A

₁₂₃

+B

₁₂₃

A

₁₃₁

+B

₁₃₁

A

₁₃₂

+B

₁₃₂

A

₁₃₃

+B

₁₃₃

A

₂₁₂

+B

₂₁₂

A

₂₁₁

+B

₂₁₁

A

₂₁₃

+B

₂₁₃

A

₂₂₁

+B

₂₂₁

A

₂₂₂

+B

₂₂₂

A

₂₂₃

+B

₂₂₃

A

₂₃₁

+B

₂₃₁

A

₂₃₂

+B

₂₃₂

A

₂₃₃

+B

₂₃₃

A

₃₁₂

+B

₃₁₂

A

₃₁₁

+B

₃₁₁

A

₃₁₃

+B

₃₁₃

A

₃₂₁

+B

₃₂₁

A

₃₂₂

+B

₃₂₂

A

₃₂₃

+B

₃₂₃

A

₃₃₁

+B

₃₃₁

A

₃₃₂

+B

₃₃₂

A

₃₃₃

+B

₃₃₃

＋

＝

同じ階数のテンソルについてのみ和が取れる．

B

A

+

同じ階数のテンソルについてのみ差が取れる．指標表現シンボリック表現指標表現シンボリッ

B

A

−

(6)

テンソルのスカラー倍

スカラー倍 ijk

cA

₁₁₂

cA

₁₂₂

cA

₁₃₂

cA

₁₁₃

cA

₁₂₃

cA

₁₃₃

cA

₁₁₁

cA

₁₂₁

cA

₁₃₁

cA

₂₁₂

cA

₂₂₂

cA

₂₃₂

cA

₂₁₃

cA

₂₂₃

cA

₂₃₃

cA

₂₁₁

cA

₂₂₁

cA

₂₃₁

cA

₃₁₂

cA

₃₂₂

cA

₃₃₂

cA

₃₁₃

cA

₃₂₃

cA

₃₃₃

cA

₃₁₁

cA

₃₂₁

cA

₃₃₁

A

₁₁₂

A

₁₂₂

A

₁₃₂

A

₁₁₃

A

₁₂₃

A

₁₃₃

A

₁₁₁

A

₁₂₁

A

₁₃₁

A

₂₁₂

A

₂₂₂

A

₂₃₂

A

₂₁₃

A

₂₂₃

A

₂₃₃

A

₂₁₁

A

₂₂₁

A

₂₃₁

A

₃₁₂

A

₃₂₂

A

₃₃₂

A

₃₁₃

A

₃₂₃

A

₃₃₃

A

₃₁₁

A

₃₂₁

A

₃₃₁

×

＝

c

A

c

×

(7)

テンソルの内積

（テンソル同士の積）

テンソルの内積

（テンソル同士の積）

B

A

C

=

⋅

jk ij ik

A

B

C

=

テンソル

A

₁₁

A

₂₁

A

₃₁

A

₁₂

A

₂₂

A

₃₂

A

₁₃

A

₂₃

A

₃₃

B

₁₁

B

₂₁

B

₃₁

B

₁₂

B

₂₂

B

₃₂

B

₁₃

B

₂₃

B

₃₃

C

₁₂

＝

・

C

₁₁

C

₂₁

C

₃₁

C

₁₂

C

₂₂

C

₃₂

C

₁₃

C

₂₃

C

₃₃

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

₂₁ ₂₂ ₂₃ 13 12 11 23 22 21 13 12 11

B

A

AB

C

行列表現指標表現シンボリック表現 jについて総和を取る 交換法則は成り立たない．

(

)

(

_T _T T

)

B

A

B

A

⋅

≠

⋅

=

⋅

２階のテン

ソル同士の

内積と行列

の積は形式

(8)

テンソルの内積

（テンソル同士の積，複内積）

テンソルの内積

（テンソル同士の積，複内積）

B

A :

=

c

ij ij

B

A

c

=

テンソル

A

₁₁

A

₂₁

A

₃₁

A

₁₂

A

₂₂

A

₃₂

A

₁₃

A

₂₃

A

₃₃

B

₁₁

B

₂₁

B

₃₁

B

₁₂

B

₂₂

B

₃₂

B

₁₃

B

₂₃

B

₃₃

＝

：

指標表現シンボリック表現 i と j の両方について総和を取る 33 33 32 32 12 12 11 11

B

A

B

A

B

A

B

A

c

=

+

_L

+

c

展開表現すべての i j の組

(9)

テンソルの内積

（ベクトルとテンソルの積）

テンソルの内積

（ベクトルとテンソルの積）

B

a

c

=

⋅

ij i j

a

B

c

=

b

A

c

=

⋅

j ij i

A

b

c

=

ベクトル

テンソル

A

₁₁

A

₂₁

A

₃₁

A

₁₂

A

₂₂

A

₃₂

A

₁₃

A

₂₃

A

₃₃

B

₁₁

B

₂₁

B

₃₁

B

₁₂

B

₂₂

B

₃₂

B

₁₃

B

₂₃

B

₃₃

a

₁

a

₂

a

₃

b

₁

b

₂

b

₃

・

行列表現指標表現シンボリック表現

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1

b

A

c

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1

B

a

＝

c

₁

c

₂

c

₃

c

₁

c

₂

c

₃ iについて総和を取る jについて総和を取る

( )

_T T B a c = 正しくは，

(10)

C

₁₁₂₃

C

₁₁₂₂

C

₁₁₂₁

C

₁₁₁₃

C

₁₁₁₂

C

₁₁₁₁

C

₁₁₃₃

C

₁₁₃₂

C

₁₁₃₁

C

₃₃₂₃

C

₃₃₂₂

C

₃₃₂₁

C

₃₃₁₃

C

₃₃₁₂

C

₃₃₁₁

C

₃₃₃₃

C

₃₃₃₂

C

₃₃₃₁

テンソル積

（テンソル同士の積）

テンソル積

（テンソル同士の積）

B

A

C

=

⊗

kl ij ijkl

A

B

C

=

テンソル

A

₁₁

A

₂₁

A

₃₁

A

₁₂

A

₂₂

A

₃₂

A

₁₃

A

₂₃

A

₃₃

B

₁₁

B

₂₁

B

₃₁

B

₁₂

B

₂₂

B

₃₂

B

₁₃

B

₂₃

B

₃₃

＝

⊗

C

₁₁₁₂

テンソル積によって得られた

新しいテンソルの階数は，元

のテンソルの階数の和になる．

12 11 1112

A

B

C

=

(11)

C

₁₁₂

a

₁

a

₂

a

₃

B

a

C

=

⊗

テンソル積

（ベクトルとテンソルの積）

テンソル積

（ベクトルとテンソルの積）

＝

⊗

jk i ijk

a

B

C

=

ベクトル

テンソル

B

₁₁

B

₂₁

B

₃₁

B

₁₂

B

₂₂

B

₃₂

B

₁₃

B

₂₃

B

₃₃

C

₁₁₂

C

₁₂₂

C

₁₃₂

C

₁₁₃

C

₁₂₃

C

₁₃₃

C

₁₁₁

C

₁₂₁

C

₁₃₁

C

₂₁₂

C

₂₂₂

C

₂₃₂

C

₂₁₃

C

₂₂₃

C

₂₃₃

C

₂₁₁

C

₂₂₁

C

₂₃₁

C

₃₁₂

C

₃₂₂

C

₃₃₂

C

₃₁₃

C

₃₂₃

C

₃₃₃

C

₃₁₁

C

₃₂₁

C

₃₃₁ 12 1 112

a

B

C

=

(12)

固体力学では，２階のテンソル

を取り扱うことが多い．便宜上，２階のテンソルの成分一覧を示す場合

は，行列と同じ

の形式で表示することとするが，基本的に行列とテンソルは異なるもの

である．

固体力学では，２階のテンソル

を取り扱うことが多い．便宜上，２階のテンソルの成分一覧を示す場合

は，行列と同じ

の形式で表示することとするが，基本的に

行列とテンソルは異なるもの

である

．

２階のテンソルの成分一覧表示

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

33 32 31 23 22 21 13 12 11

A

₁₁

A

₂₁

A

₃₁

A

₁₂

A

₂₂

A

₃₂

A

₁₃

A

₂₃

A

₃₃

(13)

x'1 x'3 e'₁ e'₂ e'₃ x₁ x₂ x₃ _A' x'2 A'11 A'12 A'13 A'22 A'33 A'32 A'31 A'21 A'23 O x₁ x₂ x₃ e₁ _e₂ e₃ A₁₁ A A₁₂ A₁₃ A₂₂ A₃₃ A₃₂ A₃₁ A₂₁ A₂₃ O

座標変換とテンソル

（テンソルの定義，その１）

座標変換とテンソル

（テンソルの定義，その１）

座標変換 kl jl ik ij

Q

A

′

=

テンソルの定義

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

₂₁ ₂₂ ₂₃ 13 12 11

A

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

=

′

₂₁ ₂₂ ₂₃ 13 12 11

A

(14)

座標変換とテンソル

（テンソルの定義，その２）

座標変換とテンソル

（テンソルの定義，その２）

座標変換 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 33 23 13 32 22 12 31 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A A A A A A A A kl jl ik ij

Q

A

′

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

33 32 31 23 22 21 13 12 11

A

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

=

′

33 32 31 23 22 21 13 12 11

A

行列表現指標表現シンボリック表現 T

Q

A

Q

A

′

=

⋅

T

QAQ

A

′

=

( ) (

)

ij T lj T kl ik kl jl ik ij Q Q A Q A A′ = = Q = Q⋅A⋅Q

(15)

A'

_{333⋅⋅⋅3}

A'

_{111⋅⋅⋅2}

A'

_{111⋅⋅⋅1}

A

_{333⋅⋅⋅3}

A

_{111⋅⋅⋅2}

A

_{111⋅⋅⋅1}

座標変換とテンソル

（

n階のテンソル）

座標変換とテンソル

（

n階のテンソル）

n n n n mk m k m k k k k m m m

Q

A

_L

_L 2 1 2 2 1 1 2 1

=

′

座標変換指標表現

3

n _個

₃

n _個 n n m m m m m m

A

′

_L

e

′

⊗

e

′

⊗

_L

⊗

e

′

2 1 2 1 n n k k k k k k

A

_L

e

⊗

e

⊗

_L

⊗

e

2 1 2 1

n

個 i i i i i m k m k m

x

Q

∂

′

∂

=

⋅

′

=

e

n m m m

A

_L 2 1

′

n k k k

A

_L 2 1

(16)

テンソルの成分と基底

3 3 33 2 1 12 1 1 11

e

A

⊗

+

⊗

+

⊗

=

⊗

=

A

_ij _i _j

L

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

1

0

1

33 11 33 32 31 23 22 22 12 12 11

A

L

２階のテンソル

A の成分を A

_ij

とするとき，

A は A

_ij

を係数とする

e

_i

⊗e

_j

の

１次結合で表される．

２階のテンソル

A の成分を A

_ij

とするとき，

A は A

_ij

を係数とする

e

_i

⊗e

_j

の

１次結合で表される．

基底

i i

a e

a

=

B

=

B

_ijk

e

_i

⊗

e

_j

⊗

e

_k ベクトル３階のテンソル

(17)

対称テンソルと逆対称テンソル

(

T

) (

T

)

A S

_A

A

=

+

=

+

−

2

1

2

1 ( ) ( )

ij

(

ij ji

) (

ij ji

)

A ij S ij

A

=

+

=

+

−

2

1

2

1 A

A

対称テンソル逆対称テンソル指標表現シンボリック表現例（２階のテンソル）

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

0

1

0

2

0

1

2

3 A

(

)

,

2

0

1

0

2

1

3

4

0

2

0

4

2

6

2

1

2

1 ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

+

=

T S

_A

A

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

0

1

0

1

0

A

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

2

0

1

0

2

1

0

3

T

A

(18)

x'1 x'2 x'3 O e'1 e'₂ e'₃ x1 x₂ x3 x₁ x2 x₃ O e1 e2 e3

等方テンソル

0 =

i

a

等方ベクトル（１階等方テンソル） ij ij

A

=

α

δ

２階等方テンソル ijk ijk

e

A

=

α

３階等方テンソル jk il jl ik kl ij ijkl

A

=

α

δ

+

β

δ

+

γ

δ

４階等方テンソル

座標変換に対して成分の

変わらないテンソル．

座標変換に対して成分の

変わらないテンソル．

(

α

:

スカラー

)

(

α

:

スカラー

)

(

α

,

β

,

γ

:

スカラー

)

n m m m

A

′

₁ ₂_L n k k k

A

_L 2 1 零ベクトル

(19)

テンソルの主値と主軸

（その１）

テンソルの主値と主軸

（その１）

f(n) を２階の対称テンソル A と単位ベクトル n（=n

_i

e

_i

）の関数

とするとき，

n を変化させたときの f(n) の極値

λ をテンソル A の主値

と言う．また，

となる単位ベクトル

n が決定する方向をテンソル A の主軸と言う．

f(n) を２階の対称テンソル A と単位ベクトル n（=n

_i

e

_i

）の関数

とするとき，

n を変化させたときの f(n) の極値

λ をテンソル A の

主値

と言う．また，

となる単位ベクトル

n が決定する方向をテンソル A の

主軸

と言う．

( )

j ij i

A

n

f

=

⋅

=

n

A

n

A

⋅

=

λ

A が２階対称テンソルであるときは，

主値＝固有値（実数）

主軸＝固有ベクトルの方向（互いに垂直）

となる．

A が２階対称テンソルであるときは，

主値＝固有値（実数）

主軸＝固有ベクトルの方向（互いに垂直）

(

n

⋅

A

⋅

n

=

λ

)

テンソルAが応力テンソルやひずみテンソルの 場合，法線ベクトルがnの面における垂直応力 あるいは垂直ひずみの値がf(n)に相当する．

(20)

x'1 x'3 e'₁ e'₂ e'₃ x₁ x₂ x₃ _A' x'2 O A'11 A'22 A'33 x₁ x₂ x₃ e₁ _e₂ e₃ A₁₁ A A₁₂ A₁₃ A₂₂ A₃₃ A₃₂ A₃₁ A₂₁ A₂₃ O

テンソルの主値と主軸

（その２）

テンソルの主値と主軸

（その２）

kl jl ik ij

Q

A

′

=

座標変換

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

33 32 31 23 22 21 13 12 11

A

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

′

=

′

33 22 11

0

0 A

A

主軸１

主軸２

主軸３

主値１

主値２

主値３

Q：直交テンソル （QT⋅_{⋅ Q = I，} I：単位テンソル）

(21)

A

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

_⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1

n

Q

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⋅

3 2 1

0

0 λ

λ

T

Q

Α

行列の対角化とテンソルの主値，主軸との関係

座標変換テンソル主軸（新たな座標軸の基本ベクトル）主値固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列を用いて行列は対角化される．行列の対角化

A

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

3 2 1

0

0 λ

λ

AP

P

T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

_⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 1 1 3 1 2 1 1

n

P

対角化固有ベクトル固有値行列主値と主軸 ( ) ( ) ( ) _⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1 e e e n n n Q Q Q Q Q Q Q Q Q ( ) ( )1 ( )1 ( )1 3 13 2 12 1 11 1 e e e e e e n n n n Q Q Q + + = + + = 転置関係行列の積＝テンソルの内積

(22)

テンソルの個々の成分は座標変換によって変化するが，座標変換によっ

て変わらないいくつか（

n 次元の場合 n 個）のスカラー（成分の演算

結果）を作ることができる．これらの量を不変量と言う．

テンソルの個々の成分は座標変換によって変化するが，座標変換によっ

て変わらないいくつか（

n 次元の場合 n 個）のスカラー（成分の演算

結果）を作ることができる．これらの量を

不変量

と言う．

テンソルの不変量

（その１）

テンソルの不変量

（その１）

kt js ir rst ijk

e

A

e

A

I

6

1 det

33 32 31 23 22 21 13 12 11 3

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

A

(

₁₁ ₂₂ ₃₃

)

1

tr

A

I

= A

=

_ii

=

+

( )

{

}

(

)

(

₁₁ ₂₂ ₂₂ ₃₃ ₃₃ ₁₁ ₁₂ ₂₁ ₂₃ ₃₂ ₃₁ ₁₃

)

2 2 2

2

1 tr

tr

2

1 A

A

I

_ii _jj _ij _ji

+

−

=

+

−

=

+

−

=

A

第１不変量第２不変量第３不変量

(23)

x'1 x'3 e'₁ e'₂ e'₃ x1 x₂ x₃ _A' x'2 A'11 A'12 A'13 A'22 A'33 A'32 A'31 A'21 A'23 O x1 x₂ x₃ e1 e₂ e₃ A₁₁ A A₁₂ A₁₃ A22 A₃₃ A₃₂ A₃₁ A₂₁ A23 O

テンソルの不変量

（その２）

テンソルの不変量

（その２）

座標変換 kl jl ik ij

Q

A

′

=

ij

A

I

変化不変

(24)

縮約

（その１）

縮約

（その１）

縮約とは，テンソルの成分の２つの添字（自由指標）を等しいとおいて

（自由指標→擬指標），それらについて和をとる操作である．縮約によっ

て，テンソルの階数は２階低くなる．

縮約とは，テンソルの成分の２つの添字（自由指標）を等しいとおいて

（自由指標→擬指標），それらについて和をとる操作である．

縮約によっ

て，テンソルの階数は２階低くなる．

ij

A

例１ ii

A

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

33 32 31 23 22 22 12 12 11

A

₁₁

+

A

₂₂

+

A

₃₃

=

tr

A

縮約０（＝２－２）階のテンソル（スカラー）２階のテンソル ( i = j )

(25)

＝

＋

縮約

（その２）

縮約

（その２）

例２テンソル積

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⊗

3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

+

=

⋅b

a

b

縮約

内積

テンソル積

縮約

１階のテンソル（ベクトル）×２２（＝１＋１）階のテンソル０（＝２－２）階のテンソル（スカラー）

(26)

＝

＋

縮約

（その３）

縮約

（その３）

例３テンソル積 33 33 12 12 11 11

:

B

=

A

B

+

A

B

+

_L

+

A

B

A

B

縮約

複内積

テンソル積

縮約

２階のテンソル×２４（＝２＋２）階のテンソル

縮約

kl ij

B

A

_ij

B

_il 縮約

A

_ij

B

_ij ２（＝４－２）階のテンソル０（＝２－２）階のテンソル（スカラー） ( k = i ) ( l = j ) ２回ドットの個数は，テンソル積を取った後の縮約の回数を表す（参考）４階のテンソルの４重内積 3333 3333 1112 1112 1111 1111 : : B = A B + A B +_L+ A B A ijkl ijklB A

B

A :

(27)

商法則

ある量

X と任意のテンソルとの内積がテンソルであるならば，X は

テンソルである．

ある量

X と任意のテンソルとの内積がテンソルであるならば，X は

テンソルである．

B

A

X

⋅

=

m階のテンソル

n階のテンソル

X の階数 k

n

m

k

+

−

2 =

(28)

1 11

x

A

∂

2 11

x

A

∂

3 11

x

A

∂

1 12

x

A

∂

2 12

x

A

∂

3 12

x

A

∂

1 13

x

A

∂

2 13

x

A

∂

3 13

x

A

∂

1 21

x

A

∂

2 21

x

A

∂

3 21

x

A

∂

1 22

x

A

∂

2 22

x

A

∂

3 22

x

A

∂

1 23

x

A

∂

2 23

x

A

∂

3 23

x

A

∂

1 31

x

A

∂

2 31

x

A

∂

3 31

x

A

∂

1 32

x

A

∂

2 32

x

A

∂

3 32

x

A

∂

1 33

x

A

∂

2 33

x

A

∂

3 33

x

A

∂

テンソル場の勾配（微分）

k j i k ij k j i ij k

x

A

e

A

⊗

∂

=

⊗

∇

=

∇

⊗

=

grad

2階のテンソル 2階のテンソル勾配 3階のテンソル 3階のテンソル

A

₁₁

A

₂₁

A

₃₁

A

₁₂

A

₂₂

A

₃₂

A

₁₃

A

₂₃

A

₃₃

は，３階のテンソルであるから，座標変換においてを満たす． ij k qj pi rk pq r

A

′

=

Q

∇

A

∇′

(

k

A

ij

e

i

e

j

e

k

)

A

=

∇

⊗

grad

任意のテンソルを微分する

と，階数が１階増加する．

正確には，この勾配を右形の勾配と言う．左形は，． k j i jk iA e e e A=∇ ⊗ ⊗ ⊗ ∇

(29)

x

₁

x

₂

x

₃

O

dS

dV

n

ガウスの発散定理

（その１）

ガウスの発散定理

（その１）

(

∫∫∫

_∫∫∫

)

∫∫

∇

=

∂

=

V i V i S i

dV

a

dV

x

a

dS

an

(

_∫∫∫

)

∫∫∫

∫∫

a

⋅

n

dS

=

∇

⋅

a

dV

=

div

a

dV

(

_∫∫∫

)

∫∫∫

∫∫

=

∇

∂

=

V i i V i i S i i

x

dV

a

dV

a

dS

n

a

スカラー場a ベクトル場a 指標表現シンボリック表現

∫∫∫

∫∫

=

∇

V S

a

n

dS

a

dV

指標表現シンボリック表現体積分体積分面積分面積分表面積S 体積V 体積要素面要素単位法線ベクトル 3 3 2 2 1 1e e e n =n +n +n

(30)

ガウスの発散定理

（その２）

ガウスの発散定理

（その２）

∫∫∫

∫∫

⋅

=

⋅

∇

V S

A

n

dS

A

dV

(

_∫∫∫

)

∫∫∫

∫∫

=

∇

∂

=

V j ij V j ij S ij j

x

dV

A

dV

A

dS

n

A

２階のテンソル場A 指標表現シンボリック表現

∫∫∫

∫∫

⋅

=

∇

⋅

V S

n

A

dS

A

dV

(

_∫∫∫

)

∫∫∫

∫∫

=

∇

∂

=

V i ij V i ij S ij i

x

dV

A

dV

A

dS

n

A

指標表現シンボリック表現左形の発散右形の発散

(31)

x

₂

x

₃

O

n

rot a

a

t

dS

ds

ストークスの定理

曲面S 閉曲線C

(

)

dS

ds

C S

∫

∫∫

rot

a

⋅

n

=

a

⋅

t

∫

∫∫

=

∂

C i i S i j k ijk

n

dS

a

dx

x

a

e

ベクトル場a 指標表現シンボリック表現面要素ベクトル

dS

大きさがdSで向きが 面の法線方向であるベクトル線要素ベクトル

ds

大きさがdsで向きが 線の接線方向であるベクトル線積分線積分面積分面積分面要素線要素単位法線ベクトル 3 3 2 2 1 1e e e n = n +n +n 単位接線ベクトル 3 3 2 2 1 1e e e t =t +t +t

(32)

x

₁

x

₂

x

₃

O

x

₁

x

₂

x

₃

O

スカラー場とベクトル場とテンソル場

スカラー場ベクトル場テンソル場場所大きさ場所大きさと方向場所方向毎の大きさと方向（場所と方向大きさと方向）

x

₁

x

₂

x

₃

テンソル ( その ) テンソル ( その ) スカラー ( 階のテンソル ) スカラー ( 階のテンソル ) 階数 ベクトル ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) 行列表現 シンボリック表現 [ ]

Q

Q

Q

A

A

′

=

L

nth-order tensor by indicial expression

quotient rule by symbolic expression

B

A

X

⋅

=

2

3

A

112

A

122

A

132

A

113

A

123

A

133

A

111

A

121

A

131

A

212

A

222

A

232

A

213

A

223

A

233

A

211

A

221

A

231

A

312

A

322

A

332

A

313

A

323

A

333

A

311

A

321

A

331

1

third-order tensor

contraction

A

A

⎯

⎯→

テンソル

テンソル ( その ) テンソル ( その ) スカラー ( 階のテンソル ) スカラー ( 階のテンソル ) 階数ベクトル ( 階のテンソル ) ベクトル ( 階のテンソル ) 行列表現シンボリック表現 [ ]

_L

₁₁₂

₁₂₂

₁₃₂

₁₁₃

₁₂₃

₁₃₃

₁₁₁

₁₂₁

₁₃₁

₂₁₂

₂₂₂

₂₃₂

₂₁₃

₂₂₃

₂₃₃

₂₁₁

₂₂₁

₂₃₁

₃₁₂

₃₂₂

₃₃₂

₃₁₃

₃₂₃

₃₃₃

₃₁₁

₃₂₁

₃₃₁

₂

₃