を求めよ。

となる。すなわち

dsnu

du = cnudnu

である。特に

k = 0

なら、周知の

(sinu)^′ = cosu

である。さらに、

dcnu du = d

√(1−sn²u) = −2 snu 2√

1−sn²u dsnu

=−snudnu

(k = 0

のときは

(cosu)^′ =−sinu) ddnu

du = d du

√1−k²sn²u= −2k²snu 2√

1−k²sn²u dsnu

=−k²snucnu

が得られる。公式としてまとめて書いておこう。

定理 3.1 (ヤコビの楕円関数の微分)

(snu)^′ = cnudnu (cnu)^′ =−snudnu (dnu)^′ =−k²snucnu

問題 3.8 snu, cnu, dnu

について

u = 0, u =±K

での導関数の値を求めよ。これから周期関数として拡張した関数の滑らかさが確かめられる。

問題 3.9 d²snu

du² , d²cnu

du² , d²dnu

ることができる。次のように計算する。

(cnu)^′ =−snudnu

=−√

1−x²√

1−k²(1−x²) (here, x= cnu) dx

du =−√

1−x²√

1−k²(1−x²)

=−√

1−x²√

k^′²+k²x² (wherek^′² = 1−k²) u=−

∫ _x

√ dx

(1−x²)(k^′²+k²x²)

(

積分の下端

x= 1

は

u= 0

のとき

x= cn 0 = 1

であるから

) u=

∫ ₁

√ dx

(1−x²)(k^′² +k²x²)

と計算できる。また、dn

²u= 1−k²sn²u

より

sn²u= 1

k²(1−dn²u) cn²u= 1−sn²u= 1

k²(dn²u+k²−1)

= 1

k²(dn²u−k^′²) (here, k^′² = 1−k²)

なので、(dn

u)^′ =−k²snucnu

より

du =−k²1 k

√1−x²1 k

√

x²−k^′²

=−√

(1−x²)(x²−k^′²) (wherex= dnu) u=−

∫ x 1

√ dx

(1−x²)(x² −k^′²)

(

積分の下端

x= 1

は

u= 0

のとき

x= dn 0 = 1

であるから

)

∫ 1 x

√ dx

(1−x²)(x²−k^′²)

と計算できる。積分表示をまとめておこう。

定理 3.2 (楕円関数の逆関数の積分表示) sn⁻¹(x, k) =

∫ x 0

√ dx

(1−x²)(1−k²x²) cn⁻¹(x, k) =

∫ 1 x

√ dx

(1−x²)(k^′²+k²x²) dn⁻¹(x, k) =

∫ 1 x

√ dx

(1−x²)(x²−k^′²) (wherek^′² = 1−k²)

第

種楕円積分

F(k, φ) =

∫ φ 0

√ dφ

1−k²sin²φ

は、変数変換

u= sinφ

により、

du= cosφ dφ

なので

F(k, φ) =

∫ _u

√ du

1−u²√

1−k²u²

と表された。すなわち、

F(k, φ) = sn⁻¹u

であり、第

種楕円積分は

snu

に他ならない。第

種、第

種楕円積分についてはどうだろうか？

第

種楕円積分

E(k, ϕ) =

∫ ϕ 0

√

1−k²sin²ϕ dϕ

において

sinϕ = snu

と変換すると、cos

ϕ= cnu

に注意して

cosϕ dϕ= cnudnu du

なので

dϕ= dnu du

である。また、

√

1−k²sin²ϕ=√

1−k²sn²u= dnu

より

E(k, ϕ) =

∫ u 0

dn²u du

が得られる。ここで、積分の上端

は

sinϕ= snu

により定まっている。

ここに現れた

ε(u) =

∫ u 0

dn²u du

をヤコビのエ

(イ)プシロン関数という。

第

種楕円積分

π(k, n, φ) =

∫ φ 0

dz (1 +nz²)√

(1−z²)(1−k²z²)

については

z = snu

とおくと

dz = cnudnu du=√

1−z²dnu du 1

(1 +nz²)√

(1−z²)(1−k²z²) = 1 (1 +nsn²u)√

1−z²dnu

より

π(k, n, φ) =

∫ _u

du 1 +nsn²u

と表される。

まとめておこう。

定理 3.3 (楕円積分の表示式)

F(k, ϕ) = sn⁻¹u (第1

種楕円積分)

E(k, ϕ) =

∫ _u

dn²u du (第2

種楕円積分)

π(k, n, φ) =

∫ _u

1 +nsn²u (第3

種楕円積分) 楕円

x² a² + y²

b² = 1 (a≧b >0)

に戻って、楕円関数を用いてその性質を調べよう。

パラメータ

を用いて、この楕円を

x=asinϕ, y=bcosϕ

とパラメータ表示する。パラメータの意味は次の図のようになっている。

ϕ= am(u, k)

とおくと

x=asin(am(u, k)) =asn(u, k) y=bcos(am(u, k)) = bcn(u, k)

と表される。ここで母数

0≦k <1

は任意である。微分については

dx=acnudnudu

dy=−bsnudnudu

なので、弧長の線素は

ds=√

a²cn²u+b²sn²udnudu

となる。特に

k² = a²−b²

a²

と選ぶと

ds=a

√

1− a²−b²

a² sn²udnudu

より

ds=adn²udu

となる。これを用いると弧長は

s=a

∫ _u

dn²u du

=aε(u) = aE(k, ϕ)

と表される。楕円の弧長を求めようとして楕円積分、楕円関数の考察をはじめたのであったことを思い起こすと、当然の結果であるといえる。

楕円のパラメータ表示

x=asn(u, k), y =bcn(u, k)

において

k² = a²−b²

a²

とする。このとき

√a²−b²

a =e

を離心率

(eccentricity)

という。

0≦e <1

である。

e= 0

のときが円、

が大きくなるに従って楕円は長く伸びて行く。

点

S(ae,0), S^′(−ae,0)

を楕円の焦点

(focus)

という。

図の記号を用いる。

BS =√

a²e²+b² =√ a² =a OS =ae

である。

P(x, y)

を楕円上の点とすると

P S² = (OS−x)² +y²

= (ae−asnu)²+b²cn²u

=a²(e−snu)²+b²(1−sn²u)

=a²(e−snu)²+a²(1−e²)(1−sn²u)

=a²(1−2esnu+e²sn²u)

であるから

P S² =a²(1−esnu)²

である。また、

P S^′² = (OS+x)² +y²

=a²(e+ snu)²+a²(1−e²)(1−sn²u)

=a²(1 + 2esnu+e²sn²u)

であるから

P S^′² =a²(1 +esnu)²

である。これより

P S+P S^′ =a(1−esnu) +a(1 +esnu)

= 2a :一定

が得られる。楕円の最も基本的な性質である。

次の図を見てほしい。

ℓ

を

を通る

に垂直な半径とする。

OB =b=a√

1−e² =ae^′ (where e^′ =k^′ =√

1−e²)

である。

P S⊥OS

となる楕円上の点

P(x, y)

について

x=asnu=OS =ae

より

e= snu

であるから

ℓ

の長さは

P S =ℓ =y=bcnu=ae^′√

1−sn²u

=ae^′²

と求められる。

次の図を見ながら、原点から接線への距離

(接線におろした垂線の長さ)

を求めよう。

円のときと異なり、楕円上の点

P(x, y)

での接線に原点からおろした垂線の足は

とは一致しない。

x =asnu, y =bcnu

と表されているので、

接線の傾きは

dx = dy/du dx/du =−b

a snu

cnu =−e^′snu cnu

であり、接線の方程式は

y−bcnu=−e^′snu

cnu(x−asnu) bcnu+ae^′sn²u

cnu = ae^′

cnu(cn²u+ sn²u)

= ae^′ cnu

より

y=−e^′snu

cnux+ ae^′ cnu

となる。一般に直線

y =px+q

への原点からの距離は

√|q|

1 +p²

であったから

ℓ² =

a²e^′² cn²u

1 +e^′^{2 sn}_cn²2^uu

= a²e^′² cn²u+e^′²sn²u

= a²e^′²

1−(1−e^′²) sn²u = a²e^′² 1−e²sn²u

= a²e^′²

dn²u (note that k² =e²)

と計算できて、

ℓ

の長さは

ℓ = ae^′ dnu

と求められる。

ところで、焦点を「焦点」と呼ぶ理由を知っているだろうか？図を見ながら計算しよう。

いつもの通り、楕円上の点を

P(x, y)

とし、パラメータ表示

x = asnu, y=bcnu

を用いる。先ほど計算したように

dx =−e^′snu cnu

である。これより

法線の傾き:

cnu

e^′snu = tanθ₀ SP

の傾き

: bcnu

asnu−ae = e^′cnu

snu−e = tanθ+

S^′P

の傾き

: bcnu

asnu+ae = e^′cnu

snu+e = tanθ₋

と求められるので

tan(θ₀−θ_±) = tanθ₀−tanθ_± 1 + tanθ0tanθ_±

= snucnu∓ecnu−e^′²snucnu e^′snu(snu∓e) +e^′cn²u

= (1−e^′²) snucnu∓ecnu e^′∓ee^′snu

= ecnu(esnu∓1)

e^′(1∓esnu) =∓e e^′ cnu

である。すなわち、

S,S^′

は

での法線の両側の等しい角度の上にある。

従って、

から出て

に達した光はここで反射して

(

入射角と反射角が等しい)、

S^′

に達する

(vice versa)。これが「焦点」と呼んだ理由である。

注意: (ここからの小さい文字の部分は、時間があれば話すことにする。）

例題 3.1 (^{ザイフェルト}¹⁰^{の球面螺旋}) ^半径Rの球面上の点を極座標で(R, θ, φ) と表す。

x=Rsinθcosφ y=Rsinθsinφ z=Rcosθ である。

球面上の曲線 s(t) ^は

s(t) = (Rsinθ(t) cosφ(t), Rsinθ(t) sinφ(t), Rcosθ(t)) と表される。線素は

( ds)²= ( dx)²+ ( dy)²+ ( dz)²

= (Rcosθcosφdθ−Rsinθsinφdφ)² + (Rcosθsinφdθ+Rsinθcosφdφ)² +R²sin²θ( dθ)²

=R²sin²θ(dφ)²+R²( dθ)² と求められる。r =Rsinθ ^と書くと

10Seifert (??—??)

( ds)² = (rdφ)²+ (Rdθ)² であり、r の定義から

dr=Rcosθdθ なので

( dr)² =R²cos²θ( dθ)²

=R²(1−sin²θ)( dθ)²

= (R²−r²)( dθ)² となり

( ds)² = (rdφ)²+ (Rdr)² R²−r² と書き直せる。

この球面上で、弧の長さ s(t)^が φに比例するスパイラルを考える。

Rφ(t) =ks(t) と表される。

k ^{は比例定数で、}

k= 0 のとき φ(t) = 0 だからこれは x 軸の上にある子午線である k= 1 のとき s(t) は大円の弧長に等しい

k <0^は k >0 ^{と対称である}

という性質があるから、考えるべきk の範囲は 0≦k≦1 である。曲線を微分の形で表すと

dφ= k Rds なので、線素の表現から

(ds)² = k²r²

R² ( ds)²+ (Rdr)² R²−r² (ds)² = R⁴

(R²−r²)(R²−k²r²)(dr)² ( ds)²

R² = R²( dr)² (R²−r²)(R²−k²r²) となる。ここで、

x= r R

とおく。( dr)²=R²( dx)² に注意すると ( ds)²

R² = R⁴( dx)² (R²−r²)(R²−k²r²)

= ( dx)² (1−x²)(1−k²x²) であるから、 θ= 0 (極) から積分して

s R =

∫ _x

√ dx

(1−x²)(1−k²x²) である。逆関数をとると

(x) = r

R = sn s R であり、また、

z² =R²−r² =R²cn² s R なので

R = cn s R dn s

R =

√

1−k²sn² s R =

√

1−k²r² R²

√R²−k²r² R と求められる。

幾何学的な様子がよく分かるようにk を消去したい。線素の式より R⁴

(dr ds

= (R²−r²)(R²−k²r²) Rdr

ds =√

R²−r²

√R²−k²r² R であり、また、球面上の線素の式より

dr dθ =√

R²−r² である。したがって

Rdr ds =

√R²−k²r² R

dr dθ Rdθ

ds =

√R²−k²r² R となる。

Rdθ

ds ^は半径 R の球面上の極からみた角 θ を曲線に沿って微分したものである。図のように

α を曲線と子午線の交わる角度とすると Rdθ

ds = cosα と表される。したがって

sn s R = r

R cn s

R = z R dn s

R = cosα

とすべてスパイラルの幾何学的量で表すことができた。

4 ^{なわとびのひも}

準備として、楕円関数のグラフで定まる曲線 y =bsnx

c ^{の長さを計算する。}

b,cを定数として関数 y=bsnx

c ^{を考える。}

dy dx = b

ccnx c dnx

である。弧長 sについては、 ( ds)² = ( dx)²+ ( dy)² より (ds

dx )2

= 1 + (dy

dx )2

= 1 + (b

c )2

cn² x cdn²x

c (cn²u= 1−sn²u= 1− 1

k²(1−dn²u)) (dn²u= 1−k²sn²u≧1−k²)

= 1− (b

c )₂

1−k² k² dn² x

c + (b

c )₂

1 k²dn⁴ x

c と計算できる。ここで特に、b= 2k

1−k²c^ととると (ds

dx )2

= 1− 4

1−k² dn²x c +

( 2 1−k²

dn⁴ x c となる。符号に注意すると

dx = 2

1−k²dn² x c −1 が得られる。原点からの弧長は

∫ _x

ds dxdx

∫ _x

( 2

1−k²dn² x c −1

) dx

= 2 k^′²

∫ _x

dn² x

c dx−x (where k^′²= 1−k²) と表せる。もう少し準備の計算を続ける。

ε(u) =

∫ _u

dn²u du

で、積分の変数変換

sinϕ= snu を考える。

√

1−k²sin²ϕ= dnu

cosϕ dϕ= cnudnu du cosϕ=

√

1−sin²ϕ=√

1−sn²u= cnu であるから

dϕ= dnu du である。これより

ε(u) =

∫ _u

dn²u du=

∫ _u

dnudnu du

∫ _ϕ

√

1−k²sin²ϕ dϕ=E(k, ϕ)

と第2種楕円積分を用いて計算できる。(同じ計算をすでにしたような気がする。) 積分の端点と積分変数の混乱を避けて

∫ _x

dn² ξ cdξ と表すと

c =u, dξ=c du ξ: 0→x, u: 0→ x

から ∫ _x

dn² ξ cdξ=c

∫ _x/c

dn²u du=cε (x

c )

となる。これより、先ほどの弧長について s= 2c

k^′²ε (x

c )−x

と表せることがわかる。

x= 0 の次に曲線が x 軸と交わる点をx= 2aとする。

x= 2a⇔snu= 0

⇔u= 2K(k)

と対応しているので

x c = 2a

c = 2K(k)

である。ただし、K(k)は第1種完全楕円積分である。したがって 1

c = K(k) a が成り立ち、変数の対応は

x: 0→2a⇔u: 0→2K(k)

⇔ϕ: 0→π (by sinϕ= snu) となっているので、第2種楕円積分は

E=E(k) =

∫ _π/2

√

1−k²sin²ϕ dϕ

∫ _K

dn²u du=ε(K) である。よってx＝0から x= 2aまでの弧長の全長は

ℓ= 2c

k^′²2E−2a

= 4aE Kk^′² −2a と求められる。

話題を変える。質点が

x(t) =rcosωt y(t) =rsinωt に従って運動しているとする。

x²+y² =r²: 定数 ω: 定数

であるから、この運動は等速円運動である。ω を角速度という。また振幅: r, 周期: T = 2π

ω , 振動数: ν = ω 2π である。この運動の速度は

v(t) = (x^′(t), y^′(t))

= (−rωsinωt, rωcosωt)

=rω(−sinωt,cosωt)

と求められ、方向は円の接線方向、速度の大きさがrω である。また、この質点に働く加速度は

f =v^′(t) =−rω²(cosωt,sinωt) であり、円の中心に向かう方向で大きさrω² である。

質点に働く力は(質量)×f で求められる。これを向心力という。その反作用が遠心力で、円の中心から外側に向かう方向に、大きさ(^質量)×rω² ^で働く。

なわとびのロープの形を考える。両端を固定し、その両端を結ぶ直線をx 軸としてロープが一定の角速度で回転しながら、常に平面内にあるとする。回転している平面内のロープの形を考えることで単純化されたなわとびを考えている。

固定端を結ぶ直線をx 軸、固定端をx = 0,x = 2aとする。ロープの線密度を ρとし、角速度 ω で回転しているとする。

ロープの各点に働く力のつり合いを考える。各点に働く力は次の通りである。

張力 T: これは接線方向に働く

遠心力: ^{これは今の仮定から} y ^{軸方向に働く} ロープに働く重力は考えないものとする。

これらがx 軸方向、y 軸方向でそれぞれつり合っている。

x 軸方向のつり合い：

弧長パラメータsを用いてロープの曲線は(x(s), y(s))^{と表され、}(x^′(s), y^′(s)) は単位接ベクトルになっている。従って

Tcosψ=Tdx ds

が張力 T のx 方向の成分になっている。ロープは回転のみで x 方向には変化しないので、力のつり合いは

ds(Tcosψ) = d ds

( Tdx

ds )

より

Tcosψ=Tdx

ds =一定≡T₀ となる。

y 軸方向のつり合い：

ロープの長さ dsの小さな部分に働く遠心力は、質量がρ ds,半径 y なので f =ρω²y ds

である。

長さ ds の小部分に働く張力の y 成分は、その左端では −Tdy

ds ^{で、右端では} Taylor展開の第1項までをとって

Tdy ds + d

ds (

Tdy ds

) ds である。

この張力が遠心力とつり合うので ρω²y ds=−d

ds (

Tdy ds

) ds より

d ds

( Tdy

ds )

+ρω²y= 0

となる。y を未知関数とする微分方程式が得られたように見えるが、T ^も未知なので、このままでは解けない。

d ds

( Tdy

dx dx ds

)

+ρω²y= 0 と書けることと、Tdx

ds =T₀ より d ds

(dy dx

) +ρω²

T₀ y = 0 である。ここで

p= dy dx と未知関数をとりかえると

dp ds = dp

dy dy ds = dp

dy dy dx

dx ds =pdp

dy dx ds pdp

dy dx ds +ρω²

y= 0

であり、また ( ds dx

)₂

= ( dx)²+ ( dy)²

(dx)² = 1 +p² であることから

√ p 1 +p²

dy =−ρω² T0

が得られる。これがロープの形を決める微分方程式である。未知関数はp(y) である。

この微分方程式は変数分離形なので

∫ p

√1 +p² dp=−ρω² T0

∫ y dy

√1 +p² =−ρω²

2T₀y²+C

が得られる。 C は任意定数であるが、 p = 0となるときが dy

dx = 0となるとき、すなわち極大点(y の最高点)なので、これを b として

C = 1 +ρω² 2T₀b²

ととると √

1 +p² = 1 +ρω²

2T₀(b²−y²) である。方程式としてはこれで解けたことになるが、p

(

= dy dx

)

がy で表されているのでロープの形はこの式からは分からない。

もう少し計算する。

1 +p²= 1 + ρω² T0

(b²−y²) +ρ²ω⁴

4T02(b²−y²)² より

p² = ρω² T0

(b²−y²) {

1 +ρω² 4T0

(b²−y²) }

である。この右辺を

b²

c²(1−η²)(1−k²η²)

の形にまとめたい。そのためには

k² =

ρω²b² 4T0

1 +^ρω_4T²^b²

(then 0< k <1) 1

c =

√ ρω²

T₀ (

1 +ρω²b² 4T₀

)

η = y b とおくとうまくできて

c = dη

√(1−η²)(1−k²η²) 1

c = 2k

k^′²b (k^′ =√

1−k²) が得られる。

問題 4.1 これらの関係式を確かめよ。

これより

η= sn (x

c )

すなわち

y=bsn (x

c )

である。定数の間に

b= 2k k^′²c

が成立しているので、先に弧長の計算を行っておいた関数と同じである。

両端の距離2aと定数 c には 1

c = K(k) a の関係があったから

y= sn (Kx

a )

がロープの形を表している(両端の距離を表す a とパラメータk で表されたので)。sn関数が現れている。また、その全長は

ℓ= 4a k^′²

E K −2a

である(これを計算しておいたのである)。完全楕円積分が現れている。

現実のなわとびは、ロープの長さ ℓ と両端の距離 2aが定まっているものである。この立場からパラメータを点検してみよう。

ℓ= 4a k^′²

E(k) K(k)−2a によりℓ ^から母数k が定まる。ロープの最大高さb^は

b= 2k k^′²c, 1

c = K(k) a により定まる。次に

1 c =

√ ρω²

T₀ (

1 +ρω²b² 4T₀

)

により、張力のx^成分 T0 が定まる。さらに回転数 ω

2π ^{が決まると}T0 が具体的に定まる。(速くまわすと強く引っ張られる。)

両端でロープが x 軸となす角ψ₀ は tanψ₀= dy

x=0

= b ccnx

c dnx c

x=0

= b c によって定まる。ロープの張力のx ^{軸成分は両端で}

Tcosψ0 =T0

であるから、ロープの張力は

T = T₀ cosψ0

=T₀

√b²

c² + 1 =T₀

√(2k k^′²

+ 1

と定まる。このように ℓ ^と 2a (なわとびを始める時の状態)^{から、最高点の高} さやロープを回す手の感覚(張力)が得られる。

なわとびのロープは、遠心力の位置エネルギーが最小になる形になっている。

これは

“運動はエネルギーを最小にするように実現される” という変分原理(variational principle)によっている。

なわとびのロープの形を変分原理で述べると

長さ i.e.,

∫ ds=

∫ √ 1 +

(dy dx

dx: 一定

のもとで ∫

y²ds=

∫ y²

√ 1 +

(dy dx

)₂ dx

ドキュメント内 t (x(t), y(t)), a t b (x(a), y(a)) t ( ) ( ) dy s + dt dt dt [a, b] a a t < t 1 < < t n b {(x(t i ), y(t i ))} n i ( s(t) ds ) ( ) dy dt + dt dt ( ) d (ページ 38-83)

となる。すなわち

である。特に

なら、周知の

である。さらに、

のときは

が得られる。公式としてまとめて書いておこう。

について

での導関数の値を求 めよ。これから周期関数として拡張した関数の滑らかさが確かめられる。

ることができる。次のように計算する。

積分の下端

は

のとき

であるから

と計算できる。また、dn

より

なので、(dn

より

積分の下端

は

のとき

であるから

と計算できる。積分表示をまとめておこう。

第

種楕円積分

は、変数変換

により、

なので

と表された。すなわち、

であり、第

種楕円積分は

に他ならない。第

種、第

種楕円積分 についてはどうだろうか？

第

種楕円積分

において

と変換すると、cos

に注意して

なので

である。また、

より

が得られる。ここで、積分の上端

は

により定まっている。

ここに現れた

をヤコビのエ

第

種楕円積分

については

とおくと

より

と表される。

まとめておこう。

種楕円積分)

種楕円積分)

種楕円積分) 楕円

に戻って、楕円関数を用いてその性質を調べよう。

パラメータ

を用いて、この楕円を

とパラメータ表示する。パラメータの意味は次の図のようになっている。

とおくと

と表される。 ここで母数

は任意である。微分については

なので、弧長の線素は

となる。特に

と選ぶと

より

となる。これを用いると弧長は

と表される。楕円の弧長を求めようとして楕円積分、楕円関数の考察を はじめたのであったことを思い起こすと、当然の結果であるといえる。

楕円のパラメータ表示

において

とする。このとき

を離心率

という。

である。

のときが円、

が大きくなるに従って楕円は長く伸びて行く。

点

を楕円の焦点

での導関数の値を求めよ。これから周期関数として拡張した関数の滑らかさが確かめられる。

種楕円積分についてはどうだろうか？

と表される。ここで母数

と表される。楕円の弧長を求めようとして楕円積分、楕円関数の考察をはじめたのであったことを思い起こすと、当然の結果であるといえる。

での接線に原点からおろした垂線の足は

であったから

ところで、焦点を「焦点」と呼ぶ理由を知っているだろうか？図を見ながら計算しよう。

入射角と反射角が等しい)、

4 ^{なわとびのひも}