高レイノルズ数における流量計測
産業技術総合研究所 計量標準総合センター
古 市 紀 之*
Flow rate measurement at high Reynolds number
Noriyuki FURUICHI,
National Institute of Advanced Industrial Science and Technology*E-mail for correspondence: [email protected]
1 はじめに 流量は，言うまでもなく生活・産業基盤において非 常に重要な計測量である．発電所等における出力管 理といった大規模な計測から，上下水やガス，ガソリ ンといった生活インフラにおいて流量計測値が取引 に直結しているものも非常に多い．産業技術総合研 究所は，水，石油，空気等の流量に関して，国家標準 として試験設備を構築し，それらの値の標準供給を 行っている．国際的に見ても，産業技術総合研究所の 流量標準値の供給対象や供給範囲は最大規模であり， 不確かさに関しては最小クラスである． そのような中，著者らは2004 年からバルクにして 10 の 7 乗という高レイノルズ数域における水の高精 度流量試験設備を開発してきた1)．開発の発端は，原 子力発電所における給水流量計測の高精度化である． 米国において，原子力発電所の効率的利用のために 1900 年代後半から増出力が積極的に行われた．いく つかある増出力の手法のひとつに，MU（Measurement Uncertainty）型と呼ばれるものがある．これは，従来 から使用されている給水流量計（差圧式流量計）を超 音波流量計にリプレースすることにより，最大2%弱 の増出力を可能とする手法である．従来2%と言われ る流量計測の不確かさを，より小さい不確かさを持 つ超音波流量計に置き換え，減じた不確かさ分，定格 熱出力を増加するという考え方である．この増出力 方法の国内への導入にあたり原子力学会における議 論が行われ，新規に設置される超音波流量計に対し ては実流に近い条件にて校正を行うことが望ましい ことが結論として盛り込まれた2)．こうして，上記を 実現するための新たな流量標準の構築が必要である と考えられたのである．しかしながら，原子力発電所 における主給水の流動条件は流量こそ大きくないが， 200 C 以上の高温であるため，まったく同じ条件に おける流量校正のための試験設備を構築することは， 従来から行われている方法（例えば静的秤量法）では 多くの困難が予想された．そこでレイノルズ数を校 正の根拠とする試験設備を構築した．対象とされた 超音波流量計は，測定線上の線平均速度を求め，実際 の流速分布に補正する．この補正のための係数は理 論的または実験的に求められるが，管内の流速分布 型はレイノルズ数に依存することから，補正係数は レイノルズ数に対する何らかの関数となると考えら れる．実際にはある一定の不確かさを見込む必要は あるが，この考え方は十分に成立しうる． 本報では，構築された設備を紹介し，超音波流量計 の実験を行った結果の一部を紹介する．また，本設備 を用いたいくつかの実験的研究の成果についても紹 介する． 2 高レイノルズ数実流試験設備 2.1 高レイノルズ数実流試験設備（Hi-Reff）概説 構築された高レイノルズ数実流試験設備は，その 英語名称 “High Reynolds number actual flow facility” から，“Hi-Reff” と呼称する．当設備は，産業技術総 合研究所のつくば北サイトに設置されており，2004 年から 2008 年にかけて構築された．設備としては， 従来から存在した水流量に関する流量校正設備を拡 張して構築されている．図 1 にHi-Reff のフロー図を 示した．Hi-Reff は図の中央部における単純な閉ルー プにより構成される．循環用のポンプが 4 台設置さ れており，それぞれ最大0.83 m3/s の流量を吐出する ことができる．各ポンプから吐出された水は試験部 上流において合流し，最大3.33 m3/s の流量となる． 試験配管の呼び径は600 mm を基本としているので， 〔特集〕ここまでできた，流体計測 © 2017 日本流体力学会 ながれ36（2017）315−320 315
配管内水温が20 C の場合，レイノルズ数 ReDは7106 となる．しかしながら，緒言で述べた発電所の給水配 管におけるレイノルズ数は，107オーダーにまでなる． そこで実プラントと同等規模のレイノルズ数を得る ために，Hi-Reff の最高水温は 75 C とした．これに より，最大 2.0107のレイノルズ数を達成している． 試験中の流量の安定性は高く，最大流量近辺におけ る流量変動は1%以内，また実験中の水温は0.2 C 以 内，圧力は10 Pa 以内において制御されている． ここまで述べたように，Hi-Reff は流量に関する試 験設備（流量計の校正設備）である．流量の精度をど のように担保するかが最も重要なポイントとなる． Hi-Reff においては，基準となる流量計（Reference flowmeter，以下，参照流量計と呼ぶ）を用いて流量計 測を行っているが，この参照流量計は，静的秤量法と 体積法を用いて校正される．そして，校正された状態 から着脱されることなく試験に用いることにより， 高い精度を担保している． ここで，静的秤量法と体積法について解説する．静 的秤量法とは，秤量タンクを用いた，古典的ではある が一般的に用いられる流量校正方法である．秤量タ ンクに蓄積された水の質量を，蓄積時間で除するこ とにより質量流量を求める手法である（ここで求め られる流量とは，ある一定時間の平均流量であるこ とに注意されたい）．この静的秤量法は高い精度にて 流量を計測できる一方で，高温に適用するには技術 的な困難が多い．特に，開放系であるが故の蒸発によ る計測誤差は不可避である．水温特性（またはレイノ ルズ数特性）を有しない流量計はなく，そのため実使 用における水温での校正を行う必要があるが，本設 備での要求水温（70 C）近辺では，参照流量計を静 的秤量法では校正できない． そこで，体積法（本設 備ではプルーバーと呼ばれる校正設備を使用．図 1 参 照．）により水温特性を担保している．体積法とは， あらかじめ求められた基準体積分（図 1 の Prover System 灰色部）の作動流体が流量計を通過する体積 と置き換えて流量を算出する手法である．プルーバ ーは閉鎖系のため，秤量法にみられる蒸発の影響は ない．そのため，水温をパラメータとした流量校正を， 常温とさほど変わらない精度にて実現できる．一方 で，体積法を大流量に適用するためには，相当規模の 設備が必要となり，またその割に秤量法と比すると 精度がやや落ちるという欠点がある．そのため，本設 備は静的秤量法と体積法のそれぞれの利点を組み合 わせることにより高精度での参照流量計の校正を実 現しているのである．校正手順は複雑なものの1)，最 大レイノルズ数での流量の計測の拡張不確かさ（k=2） は0.081%を達成している． 2.2 給水流量計（超音波）実験 Hi-Reff を用いて実際に超音波流量計を実験した結 果を紹介する．流量計の配管直径は呼び径において 600 mm で，上流側には直径の 50 倍以上の直管長さ を設置した．ここでは，水温をパラメータとして，20 C～70 C において実験を行った．実験中の水温変動 は0.2 C である．それぞれの水温における実験結果 を図 2 に示す．縦軸 E は参照流量からの偏差を示す． また，図の見やすさのために，エラーバーは20 C と 70 C の結果にのみ付した． 最大レイノルズ数は1.4107であり，実プラントと 同等規模のレイノルズ数における実験を行うことが できている．本実験結果は，超音波流量計における参 図 1 高レイノルズ数実流試験設備（Hi-Reff）フロー図
照流量値との偏差（補正係数）が，明確にレイノルズ 数の関数となることを示している．したがって，レイ ノルズ数を根拠とした超音波流量計の校正方法は， 妥当であると言える．ただし，この結果は一例であり， 全ての超音波流量計に適用できるわけではない．よ り高い精度を求めるには，校正をより実使用環境条 件に近い形で実施することが必要である．これは流 速分布に影響を与える上流側の配管レイアウトにつ いても同様である．Hi-Reff においては上流側を立体 的な配管レイアウトとすることも可能である．詳細 については別稿を参照されたい3)． 3 Hi-Reff を用いた高レイノルズ数における研究 3.1 スロートタップ式フローノズル スロートタップ式フローノズル（以下，フローノズ ルとする）とは，古典的な差圧式流量計の一種であり， 原理的に特別な特徴はないが，発電所における，特に 高レイノルズ数条件下においてよく用いられている． このフローノズルはASME において明確に規格化さ れており4)，規格に基づけば比較的小さな不確かさで 流出係数が求めることできる．ASME では，流出係数 の特性式は次のように示される． 8 . 0 d 2 . 0 d A 361239 1 185 . 0 0054 . 1 Re Re C (1) ここで，CAは流出係数，Redはスロート部の内径 d を 元にしたレイノルズ数である．この式は境界層の発 達式を元に，半理論的に求められたものである5)．し かしながら，高レイノルズ数領域における実証実験 はこれまでされておらず，その信頼性は高いとは必 ずしも言えない． フローノズルの構造を図 3 に示した．最も大きな 特徴は，絞り部において低圧側の静圧測定孔（以下， タップ）が設置されている点である．キャビテーショ ンの影響を受けにくいという特徴があるが，差圧計 測において上流タップと下流タップ位置における流 動条件が異なる．一般的に，タップ内には壁面せん断 応力に応じた二次流れが発生し，圧力計測値に影響 を与える．Shaw は，次の関係式に基づく計測誤差が 発生するとしている6)． t c t t t w , , , d d d l d d Re f e (2) ここで e は静圧の測定誤差，wは壁面せん断応力， Retはタップ径と摩擦速度によるレイノルズ数，dtは タップ径，l はタップの深さ，dcは圧力計測機器に接 続される配管の径である．l/dtについては2 以上確保 されれば測定誤差は無視できるほど小さいとされ6)， また dc/dtについても測定誤差は無視できるほど小さ いことから，静圧計測誤差は壁面せん断応力とタッ プ径の関数となる．壁面せん断応力については，ノズ ルの上下流配管にタップが設置されていれば，この 誤差は概ねキャンセルされる．しかしながら，フロー ノズルの構造上，両タップ位置での壁面せん断応力 の差は，差圧計測に影響を与えるほどに大きく，無視 できない． そして最も重要な点が，タップ径が静圧の測定誤 差 に 与え る影 響 であ る．ASME では タッ プ 径を 3~6mm の間で許容しているが，この範囲で出力に影 響がないものとして扱われている．ここで，根拠とな っているのが Shaw の実験結果である．Shaw は e/w が，あるレイノルズ数以上では一定値となることを 示している．タップ径を代表長さとしているため，静 圧測定誤差はタップ径に依存しないことになる．し かしながら，Shaw の実験は低レイノルズ数において 図 2 超音波流量計の実験結果 105 106 107 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 ReD E [%] : 20 °C : 30 °C : 40 °C : 50 °C : 60 °C : 70 °C 図 3 フローノズル概略 古市紀之 317
のみ実施されている一方，近年のMcKeon ら7)の実験 結果は，高レイノルズ数域においてはそのような普 遍性がないことを示している．したがって，Shaw の 実験結果はタップ径の影響がないとする根拠には必 ずしもならない． 以上のような背景から，異なるタップ径を持つフ ローノズルに対する実験を高レイノルズ数条件にお いて行った．実験結果を図 4 に示す．流出係数 Cx は 以下から算出される． p πd q Cx 8(1 4) 2 (3) ここで，q は体積流量，は拡大比，は作動流体の密 度，p は差圧である．本実験における流出係数の計 測の拡張不確かさ（k=2）はおよそ 0.1%であり，体積 流量計測による寄与が最も大きい． 本実験は二つの異なるスロート内径のフローノズ ル（d=165.22 mm, 99.89 mm）に対して実施した．前 者のフローノズルの低圧タップ径は dt =2, 3.5, 5, 6 mm とした．後者については dt =3.5 mm のみであり， d=165.22 mm の 6 mm のタップと dt /d に対してほぼ 同じ値となっている．d=165.22 mm のフローノズルの 結果から明らかなように，タップ径が大きくなるほ ど流出係数が大きくなり，その影響は無視できない． また，dt /d により流出係数が整理可能なことが示唆さ れる結果となっている．このような高レイノルズ数 域における流出係数の明確な実験結果についてはこ れまで得ることができなかったが，Hi-Reff によりは じめて実現された．最終的には本実験結果から，流出 係数の特性式を導いているので，別稿を参照された い8)．本結果において最も重要な点は，高レイノルズ 数領域においてはASME の提示している特性式とは 傾向が異なることである．Red>3.0106においては， 流出係数のレイノルズ数に関する傾きが本実験結果 の方が大きく，仮に式(1)を元に低レイノルズ数の実 験結果（例えば，Red=1.0106~3.0106の範囲）から外 挿し，流出係数を求めた場合には，大きな誤差を生じ る可能性がある． d=165.22 mm のフローノズルの実験結果からは，静 圧測定誤差を推定することができる．その結果を図 5 に示す．導出方法については，別稿を参照されたい9)． 比較に示されたReader-Harris ら10)のベンチュリに対 する推測値や，McKeon ら7)による完全発達流におけ る実験結果とは，傾向としては非常によく一致して おり，静圧測定誤差は高レイノルズ数で一定とはな らず，レイノルズ数と共に増加する．この結果は高レ イノルズ数域における式(1)と実験結果との差の要因 を明確に示しているものである． 3.2 管摩擦 完全発達した円管流れにおける管摩擦係数に対す る式は，対数則による流速分布を壁面から管中心ま で適用すると仮定した場合，次のようになる．
Re
C ln D 2 2 1 1 (4) ここで，はカルマン定数，は管摩擦係数，ReDは直 径を元にしたレイノルズ数，C は定数である．この式 に実験データをあてはめ，C を調整した結果，
0.8 log 0 . 2 1 D Re (5) というPrandtl の式が非常によく知られるところであ 図 4 フローノズルの流出係数 105 106 107 0.97 0.98 0.99 1.00 1.01 Red Cx , CA d = 165.22 mm, dt /d = 0.012 d = 165.22 mm, dt /d = 0.021 d = 165.22 mm, dt /d = 0.030 d = 165.22 mm, dt /d = 0.036 d = 99.89 mm, dt /d = 0.035 CA 図 5 静圧測定誤差 102 103 104 100 101 Ret e / w: McKeon and Smits : Reader-Harris et al. : dt/d=0.012
: dt/d=0.020
: dt/d=0.030
る．陰関数でありながら最も一般的な管摩擦係数と レイノルズ数の関係式であると言える．この Prandtl の式に対して，Princeton 大学のグループが近年，新 しい定数を提案した．Superpipe と呼ばれる高圧条件 下での流れにより，ReD=3.0107という高レイノルズ 数条件での実験を行い，次の式を提案している11)．
0.537 log 930 . 1 1 D Re (6) この結果は，Prandtl の式より算出される管摩擦係数 より ReD=1107において約3%大きい．また，カルマ ン定数は流速分布の計測結果と合わせて 0.41～0.42 程度と報告されている．この実験結果への関心は高 く，発表後から数多くの議論が続いている． 実験では，管摩擦係数は下記により算出される． 2 b 2 LU p D (7) ここで，D は配管直径，L は静圧測定孔間の流れ方向 距離，p は差圧，Ubは管断面平均速度である．ここ で管断面平均速度の計測がポイントとなる．管断面 平均速度は，流速分布を積分するか，流量から算出す ることになる．流速分布の積分が一般的に見えるが， 実際には容易ではない．特に高レイノルズ数になる ほど計測における空間分解能の問題が顕著に出てく るため，壁面近傍の流速分布を精度良く計測するこ とが困難になる．その点，Hi-Reff では流量を高精度 で計測することが有利に働く．管断面積さえ精度良 く求めることができれば，管断面平均速度にも高い 精度を期待することができる． 実験は異なる径の配管に対して実施した．直径100 mm と直径 387 mm の二種類である．ともに内面を研 磨した配管で，Ra 値でそれぞれ 0.1 m，0.2 m，Rz 値で0.8 m，1.7 m である．また，直径のばらつき はそれぞれ10 m，25 m 以下である．配管には差圧 計測のための静圧測定孔を周方向に4 個所設置した． これらを導圧チューブで接続し，均圧した結果を使 用することにより，測定孔ごとの偏差を極力小さく した．差圧計測は，分解能が 0.1 Pa のデジタルマノ メータによって行った．この他，配管直径，測定孔間 の距離については，配管材の線膨張係数による補正 を行っている．また密度は，使用している水の純水か らの偏差量を補正している． 式(7)に基づく管摩擦係数の計測のバジェットシー トを表 1 に示す．差圧計測と流量計測の寄与が支配 的であることが分かる．差圧計測については，各静圧 測定孔の個別計測結果に差が観測されているため， これを不確かさの中に組み込んだ．この点を除くと， 流量計測による不確かさが支配的になる． 実験結果を図 6 に示す．387 mm の配管に対しては， 20 C および 70 C において実験を行っている．Prandtl の式に比すると，高レイノルズ数において小さな管 摩擦係数が得られている．さらに詳細に結果を確認 するために，Prandtl の式から得られる管摩擦係数と の比を図 7 に示した．本図から，Prandtl の式とは明 確 に 異 なる 結果 が 得ら れ てい るこ と が分 か る． ReD<7104の低レイノルズ数領域では，本実験結果は Prandtl の式より大きく，それより大きいレイノルズ 数領域では小さくなる結果となった． 本実験結果には数多くのことが示唆されている． まず本実験結果としては，異なる直径の配管，また異 なる水温における実験結果が非常によくオーバーラ ップしていることが確認できる．各条件における実 験結果が整合していることから，実験の妥当性が示 されていると考えられる． Superpipe の実験結果とは ReD<105の低レイノルズ 数領域では比較的一致するものの，ReD>105の高レイ ノルズ数域においてはまったく異なる結果が得られ ている．Superpipe との差は，ReD=1107において6% 図 6 管摩擦係数 104 105 106 107 0.01 ReD : 100 mm, T=20 °C : 387 mm, T=20 °C : 387 mm, T=70 °C 0.04 : Prandtl 表 1. 管摩擦係数計測の不確かさバジェットシートUncertainty sources Uncertainty
D=387 mm Uncertainty D=100 mm Differential pressure 0.401 % 0.401 % Pipe diameter 0.162 % 0.162 % Density of water 0.005 % 0.005 % Flow rate 0.452 % 0.400 % Tap distance 0.008 % 0.008 % Expanded uncertainty (k=2) 1.18 % 0.89 % 古市紀之 319
ほどとなり，計測の不確かさを考慮しても有意な差 である．理由は十分に明らかではないが，管断面平均 速度の計測の信頼性の他，配管径に対する表面粗さ の影響等についても考察が必要であると考えられる． 本実験結果から得られる管摩擦係数とレイノルズ 数の相関式は，最小二乗によるフィッティングを ReD >4.7104範囲に適用すると，次のようになる．
1.176 log 092 . 2 1 D Re (8) 本式と実験結果の偏差は，-0.64%～0.77%である．本 式は低レイノルズ数域ではチャネル流のDNS とも非 常に良い一致をみせており 12)，よく研磨された滑管 への適用性は高いと考えている．本研究においては， 管摩擦係数の計測とともに流速計測を行い，カルマ ン定数等に関する成果を報告している．詳細につい ては，別稿を参照されたい13)． 4 まとめ 本稿では，産業技術総合研究所における高レイノ ルズ数流量試験設備（Hi-Reff）と，この設備によるい くつかの研究成果を紹介した．高レイノルズ数にお ける流動場は発電所のみならず，ガスや石油の供給 といった場面でも非常に多く存在する．今後，エネル ギー供給のさらなる高効率化が必要な場面で高レイ ノルズ数における流動場は増えるものと推測され， そこでの流量計測の重要性も高くなると予想される． また，本稿で紹介した管摩擦係数の実験にあるよう な高レイノルズ数における乱流の実験は，その普遍 性について考察することに対し非常に有効である． 今後，本設備が産業界や乱流研究にさらに寄与する ことを期待し，本稿をまとめることとする． 引 用 文 献1) Furuichi, N., Sato, H., Terao, Y., and Takamoto, M.: A new calibration facility of flowrate for high Reynolds number, Flow Meas. Inst., 20-1 (2009) 38-47.
2) Okamoto, K., and Kikura, H.: NPP power uprates using ultrasonic flowmeter, J. At. Energy Soc. Japan, 49-1 (2007) 39-44.
3) Furuichi, N., Terao, Y., and Takamoto, M.: Actual flow calibration of feedwater flowmeter using high Reynolds number facility in NMIJ, Nucl. Eng. Des., 239-7 (2009) 1304-1313.
4) Steam turbines, Performance test codes, ASME (2004) 5) Murdock, J.W. and Keyser, D.R.: Theoretical basis for extrapolation of calibration data of PTC 6 throat tap nozzles, J. Eng. Gas Turb. Power, 113 (1991) 228-232. 6) Shaw, R.: The influence of hole dimensions on static pressure measurements, J. Fluid Mech., 7 (1960) 550-564.
7) McKeon, B. J., and Smits, A. J.: Static pressure correction in high Reynolds number fully developed turbulent pipe flow, Meas. Sci. Technol., 13 (2002) 1608-1614.
8) Furuichi, N., Terao, Y., Nakao, S., Fujita, K., and Shibuya, K.: Further investigation of discharge coefficient for PTC 6 flow nozzle in high Reynolds number, J Eng. Gas Turb. Power, 138 (2016), 041605. 9) Furuichi, N., and Terao Y.: Static pressure measurement error at a wall tap of a flow nozzle for a wide range of Reynolds number, Flow Meas. Inst., 46 (2015) 103-111. 10) Reader-Harris, M., Brunton, W.C., Gibson, J.J., Hodges, D., and Nicholson, I.G.: Discharge coefficients of Venturi tubes with standard and non-standard convergent angles, Flow Meas. Inst., 12 (2001) 135-145.
11) McKeon, B.J., Li, J., Jiang, W., Morrison J.F., and Smits, A.J.: Further observation on the mean velocity distribution in fully developed pipe flow, J. Fluid Mech., 501 (2004) 135-147.
12) Abe, H., and Antonia, R.A.: Relationship between the energy dissipation function and the skin friction low in a turbulent channel flow, J. Fluid Mech., 798 (2016) 140-164.
13) Furuichi, N., Terao, Y., Wada, Y., and Tsuji, Y.: Friction factor and mean velocity profile for pipe flow at high Reynolds numbers, Phys. Fluids, 27 (2015) 095108.
図 7 管摩擦係数（Prandtl の式に対する相対値） 104 105 106 107 -6 -4 -2 0 2 4 6 ReD ( -Pran dt l )/ Pra ndt l : 100 mm, T=20 °C) : 387 mm, T=20 °C) : 387 mm, T=70 °C) : McKeon et al. [%]
