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個人の意思決定

～期待効用最大化～

期待効用最大化

中村國則

(東京工業大学)

オムレツの問題

• 妻がオムレツを作っていたが、途中で外出しな

ければならなくなった。そこでオムレツ作りを途

中から引き受けたが、台所には

5つの卵の殻と

ボールの中で混ぜられた卵 そして割られず

ボ ルの中で混ぜられた卵、そして割られず

に残された卵が1つある。あなたはどうするか?

ありえる可能性

1. 6個目の卵を割ろうとしていて、途中で外出しなけ ればならなくなった 2. 6個目の卵は多すぎると考え、残しておいた 3 最後の卵は実は賞味期限切れで、これを使うとオ 3. 最後の卵は実は賞味期限切れで、これを使うとオ ムレツが台無しになるから捨てようと思っていた もう1つの卵を使うべきか? 捨てるべきか?

どう考えたらいい?

• それぞれの可能性の見込みはどれくらいだろうか? • オムレツが出来たときどれくらいうれしいだろうか? 見込みを表すのが確率 うれしさを表すのが効用 見込みを表すのが確率，うれしさを表すのが効用 確率と効用を状況を整理して考え、自分に最もよいと 思われる決定をしよう 卵が5個使われて、 1つあまっている 余った1個を使う 腐ってる 腐ってない オムレツ台無し オムレツ台無し 6 6個分のオムレツができる個分のオムレツができる 決定に伴う結果 余った1個を使わない 5 5個分のオムレツができる個分のオムレツができる 腐ってる 腐ってない 5 5個分のオムレツができる，個分のオムレツができる， しかし卵 しかし卵11個無駄個無駄 自分の決定 どのくらいの可能性?

意思決定に必要なこと

• 一番良いものを選ぶ

• “

不確実さ

と

良さ

を見積もり，その見積もりで

一番良いを決めなければいけない

“

番良い

”を決めるには

ある物差し

の上で

• “一番良い”を決めるには，

ある物差し

の上で

何かが一番大きいことが示されなければならない

R Q P

期待値(Expected value)

考えてみよう:パッチョリの問題

• 先に６勝した方が賭け金を全額得るという，と

いうゲームを２名でやっているとする

• ある事情で，Aが5勝，Bが3勝したところで中止

になってしまった

になってしまった

• 賭け金はどのように分配したらよいだろう?

勝 勝 勝 勝 勝 勝 勝 勝 勝 勝 勝 勝 Ａ Ｂ

色々な考え方

• 5勝３敗なのだから、

5対3がいい

(パッチョリと

いう人の答え)

• ６対1がいい

(カルダノという人の答え，根拠は

よく分からない)

よく分からない)

• 確率的に考えて，

7対1がいい

(パスカルという

人の答え

)

パスカルの答え

• ゲームが続いたと考えて，最終的に2人が勝

つ確率がどの程度になるかを考えよう

• 最終的な決着パターン

Aが最終的に勝利

• Aが最終的に勝利

– Aが次に勝つ – Bが次に勝って，その次にAが勝つ – Bが２連勝した後，その次にAが勝つ

• Bが最終的に勝利

– Bが3連勝

パスカルの答え

• Aが最終的に勝つ確率

：７/8

– Aが次に勝つ＝1/2 – Bが次に勝って，その次にAが勝つ＝1/2×1/2=1/4 – Bが２連勝した後 その次にAが勝つ＝Bが２連勝した後，その次にAが勝つ 1/2×1/2×1/2=1/8

• Bが最終的に勝つ確率：

1/8

– Bが3連勝＝1/2×1/2×1/2=1/8

• 確率の比で考えると7：1なので，賭け金もこの配分

にすべし

期待値という考え方

• 不確実性と結果の大きさとを掛け合わせたも

のを評価対象とする

• 確率と確率変数の積の総和をとる

例えば サイ ロの目の期待値は – 例えば，サイコロの目の期待値は, 1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6 =(1+2+3+4+5+6) ×1/6=21/6=3.5 – 偏りのないコインを投げて，表が出たら1000円， 裏が出たら500円貰える賭けの期待値は 1000×1/2+500×1/2=750円

便利であることは確か

• 期待値が高い選択をすべき

という議論は非常に

説得的

– 偏りのないコインを投げて，表が出たら2000円貰え， 裏が出たら1000円失うという賭けを 400円払ったら 裏が出たら1000円失うという賭けを，400円払ったら 出来るとする．この賭けには乗った方がいいか? – 期待値は2000×1/2+(-1000)×1/2=500円 – 期待値で考えれば，乗った方が得になる しかし・・・・・

聖ペテルズブルグのパラドクス

• 偏りのないコインを何回も投げる。もし一度目に

表が出たら、200円もらえる。もし一度目が裏で、

二度目で初めて表が出たら、400円もらえる。も

し一度目も二度目も裏で 三度目で初めて表が

し 度目も二度目も裏で、三度目で初めて表が

出たら、800円もらえる。つまり、n度目で初めて

表が出たとき、200×2

n－1

_{円もらえる。あなたは}

このゲームに対して

どのくらいまで参加費を

払っていい

と思うか？

答え：∞円払ってもいい

• 1回目で終わる場合：1/2×200＝100

• 2回目で終わる場合：1/2×1/2×400＝100

• 3回目で終わる場合：1/2

3

_×200×2

3

₌₁₀₀

・・・・・・

• ⇒期待値はこのまま無限に足し合わせた値

なので，総和は∞円になる

• 期待値だけに従って行動を決めると変なこと

になる

期待効用(Expected utility)

ダニエル・ベルヌイの答え

• 期待

効用

という考え方

– 結果の大きさそのものではなく，その結果から見 出す物事の良さを指標とする，その良さを効用と 呼ぶ，効用に確率を掛けた期待値が期待効用 呼ぶ，効用に確率を掛けた期待値が期待効用 – 金額の大きさを適切に変換する関数(効用関数) を設定し，その関数に従って物事を決める – 例えば，聖ぺテルスブルグのパラドクスも，効用 関数として対数(log (金額))をとると，現実的な答 えになる

対数をとると

• 1回目で終わる場合：1/2×200＝100

• 2回目で終わる場合：1/2×1/2×400＝100

• 3回目で終わる場合：1/2

3

_×200×2

3

₌₁₀₀

・・・・・・

• ⇒期待値はこのまま無限に足し合わせた値

なので，総和は∞円になる

• 期待値だけに従って行動を決めると変なこと

になる

対数をとると

• 1回目で終わる場合：1/2×

log200

＝2.7

• 2回目で終わる場合：1/2×1/2×

log400

＝1.5

• 3回目で終わる場合：1/2

3

_×

_log800

_=0.8

・・・・・・

– 期待値をこのまま無限に足し合わせても有限 6 7 8 9 10 4 5 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 ちなみに，対数のグラフ

ここで1つ注意

• 効用関数が

対数でなければいけない理由はど

こにもない

，対数で効用を表現すれば聖ぺテル

スブルグのパラドクスを解決できることがあると

いうだけである

いうだけである

• ポイントは飽くまで期待値だけで考えると不都合

が多いので，

より一般的な効用関数

を考えよう，

ということ

その人にとっての効用を知りたい

• ある選択肢の効用が

どれくらいの大きさか

を

測りたい

• 物事の良さは比べた結果しか分からない

– リンゴとみかん，どちらがどれくらい好きかを知りた くとも，実際にはどちらを好きかしか分からない

• 序数的効用

から

基数的効用

を知りたい

– 序数：順序をあらわす，数の差には意味はない – 基数：大きさを表す，差に意味がある

順序から物差しを作るために

• 不確実性を含む意思決定の結果から基数的な尺

度が構成されるためには，決定結果が下の

4つの

性質を満たさなければならない

完備性：好き嫌いをはっきりしなければいけない – 完備性：好き嫌いをはっきりしなければいけない – 推移性：堂々巡りになってはいけない – 独立性：関係ないものを気にしてはいけない – 連続性：穴があってはいけない

完備性(Completeness)

• 全ての選択対象xとyについて，x

ｙあるい

は

y

xが必ず成り立つ

• どっちが好きか(あるいは全く同じに好き)はは

っきりとわかっていなければいけない

≥

≥

っきりとわかっていなければいけない

• 「比べらんなーい」は許されない

推移性(Transitivity)

• 全ての選択対象x，y，zについて

ｘ

yかつｙ

ｚならば必ずx

zである

• ジャンケンのような

堂々めぐりの関係

が成り

立っていてはいけない

≥

≥

≥

立っていてはいけない

A < B < C 小 大 A B > C

完備性と推移性だけでは×

• 完備性，推移性を満たすと序数尺度が成立

する，しかし，

基数尺度は成立しない

– 例えば，“確率0.4でx，確率0.6でy”と“確率1でz” を比較する場合 u(x)=5 u(y)=1 u(z)=2 の場 を比較する場合，u(x) 5, u(y) 1, u(z) 2, の場 合と，u(y)=1, u(z)=3, u(x)=5とでは，序数的効用 を満たすが基数的効用は満たさない

独立性(Independency)

• P

Qならば，任意の確率pに対して

pP+(1-p)R

pQ+(1-p)Rである

• まったく同じものが加わったならば，

好みの関係は一緒でなければならない

≥

≥

P Q P Q R R

連続性(Continuity)

• P

Q

Rならば，pP+(1-p)RとQが無差別

になる(全く同じになる)確率pが存在する

– P=9，Q=7，R=5とすると，0.5*5+0.5*9=7

存在しないと

PとRとの間に穴があることに

≥ ≥

• 存在しないと，PとRとの間に穴があることに

なる，効用を測る物差しの中に絶対測れない

点がある

R Q P

期待効用最大化仮説

• 確実な選択対象xに対して効用が対応し，リ

スクを含む選択対象の選好順序は効用の期

待値の大小に従う

意思決定者は期待効用を最大化する選択肢

• 意思決定者は期待効用を最大化する選択肢

を選択する

以上の4つの性質を満たす時

• 期待効用仮説が成立するような効用関数が

存在する

• さらに，選好順序が期待効用仮説を満たす時，

選好順序に対応する効用関数(ノイ

選好順序に対応する効用関数(ノイマン‐モル

ゲンシュテルン効用関数)は正一次変換を除い

て一意に定まる

常識じゃないか!!

• “あるものが別のものより好まれるか，同じか

のどちらか”とか，特別なことじゃないじゃん!!

• その特別でないことが満たされないと

おかしなこと

が起きます

おかしなこと

が起きます

• Dutch book argument とよばれています

Dutch book argument:必敗の状況

• ある人が仮に という選好を有しているとすると，

.

,

,

and

B

C

and

C

A

B

A

_p

_p

　

_p

BとAを1円で取り替える (Bを持っている) ⇒CとBを1円で取り替える(Cを持っている) ⇒AとCを1円で取り替える(Aを持っている) ⇒最初に戻る というループが成立する．これは無限に繰り返せるこれは無限に繰り返せる．

確率(Probability)

比較的新しい概念

• 定式化が始まったのは18世紀くらいから

– 未だに「確率とは何か」という問題には決着がついて いない

• とにかく「

物事の起こりやすさ

物事の起こりやすさ

」を表す量

• とにかく「

物事の起こりやすさ

物事の起こりやすさ

」を表す量

– 最初は賭けの問題(パッチョリの問題)から始まる – とりあえず20世紀にKolmogorovによって体系化

確率の考え方

• 古典的定義：互いに等可能な事象の，総数に対

する比

• 頻度的定義：多数回の試行Nに対するある性質

を持った試行結果nの比（n/N）

を持った試行結果nの比（n/N）

• 主観的定義：物事の生起に対する主観的確信

の程度

•• まだどれがいいかははっきりと定まっていない

まだどれがいいかははっきりと定まっていない

古典的定義

• 互いに等可能な事象の，総数に対する比

– 無差別の原理 • 互いに背反で全ての可能性を尽くす等確率の基本事 象を数え上げる 次に確率を求めたい任意の事象を実現する「好都合」 • 次に確率を求めたい任意の事象を実現する「好都合」 な事象を数え上げる • 全ての基本事象の数で割る

• 2つの問題点

– 等確率の基本事象はあるの? – 等確率をどう決めるの?

無差別の原理の問題点

• 有る正方形の一辺の長さが0~20cmであるこ

とが分かっている。では、この正方形の一辺

の長さが

10cm以下である確率は?

50%?

• 長さで考えると、50%が自然?

• しかし、面積で考えると25%になる

20×20=400 10×10=100 10cm以下というこ – 20×20=400，10×10=100，10cm以下というこ とは400の中で100が占める比率ということで 25%になる

• 面積で考えるべきか、長さで考えるべきかを

決める基準は

無差別の原理の中にはない

ケインズの指摘

• ここにワインと水の混合物があり、1/3≦ワイン/水≦ ３であることだけが分っているとする。ワイン/水の値は 、1/3と３との間において決めかねる程度が同じである から 無差別の原理を適用して 同区間中 均 に分 から、無差別の原理を適用して、同区間中、均一に分 布していると仮定出来る。そうすると、ワイン/水の値が ２以下である確率P（ワイン/水≦２）は、 • P（ワイン/水≦２）＝（2－1/3）/（3－1/3）＝5/8．

ケインズの指摘

• しかし、一方、1/3≦ワイン/水≦３であれば、1/3≦水/ ワイン≦３であるが、これもそれだけしか分らないので 、無差別の原理を適用して、先程と同様に、水/ワイン の値が1/2以上である確率P（水/ワイン≧1/2）は の値が1/2以上である確率P（水/ワイン≧1/2）は、 • P（水/ワイン≧1/2）＝（3－1/2）/（3－1/3）＝15/16． しかし、ワイン/水≦２ということは、水/ワイン≧1/2という ことであり、同じことに対して2つの確率が導かれる。

頻度的定義

• 多数回の試行Nに対するある性質を持った試行

結果nの比（n/N）

– 相対的頻度の極限値が確率 – 確率を統計的な性質から考える

• 問題点

– 確率を有限の証拠から推測しなければならない – 単一の事象に対して確率を割り振ることができない

主観説

• 物事の生起に対する主観的確信の程度

– 値は主観的であっても構わない，しかし確率の公 理に従うものでなければならない – 一回限りの事象に対する確率も割り振れる – 回限りの事象に対する確率も割り振れる

• “賭け” によって確率の大小を決める

– “表が出れば300円受取り，裏が出たら200円払 う”という賭けを公平と考えているならば，この人 は表が出る可能性を40%と考えている

• 問題点：

主観的である

確率の公理

) 2 ( 1 ) ( 0 ) 1 ( A P ≤ ≤ をΩとして, 起こりうる全ての事象 全ての事象について, 　 L L L ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( 1 ) ( 3 2 1 3 2 1 A A P A P A P A A P P + + = ∪ ∪ = Ω に対し, A , A , 互いに排反な事象A_{1 2 3}

ベイズの定理

• 確率の公理から論理的に導き出される定理

) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( H P H D P H P H D P H P H D P D P H P H D P D H P + = = ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) (D PD HPH PD HPH P + が正しい確率 が正しくない時に が正しい確率 ， それぞれ が正しい確率 が与えられた時に H D D H P D H D P H P H D D H P : ) | ( : ) ( ), ( : ) | (

例題

• 3つの壺がある(壺A,B,C)、外から見るとどの壺かわからない • Aには赤3個、白1個 • Bには赤1個、白1個 • Cには赤1個、白2個 • ある壺から玉を抜いた時、赤であった • 玉を抜いたのがAだった確率は何％? • 玉を抜いたのがAだった確率は何％?

A

B

C

答え

• D:赤い玉を抜き出した • H_A：Aから玉を抜き出した， H_B ：Bから玉を抜き出し た，HC：Cから玉を抜き出した、とすると、 • P(D| HA)=3/4、 P(D| HB)=1/2、 P(D| HC)=1/3 • さらにP(H )= P(H ) = P(H ) 1/3と仮定すると • さらにP(HA)= P(HB) = P(HC) 1/3と仮定すると

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

19 9 3 / 1 3 / 1 2 / 1 3 / 1 4 / 3 3 / 1 4 / 3 3 / 1 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( = + + = + + = C C B B A A A A A H D P H P H D P H P H D P H P H D P H P D H P

A

B

C

赤が現れた、ということは・・・・

A

Aから出た=3/43/4

B

Bから出た=1/21/2

C

Cから出た=1/31/3

便利じゃないか!

• 様々な局面で使われている

• 例：疫病診断

– 病気に感染しているかどうかを調べるためにある 検査をした．この病気は1000人に1人の割合で 検 を 病気 感染していることが知られており，さらに検査は 99％の確率で正しい結果を返してくれることが知 られている． – この検査で陽性反応が出た．では，実際に病気 に感染している可能性は?

A

B

病気に懸かっ ているときに 陽性＝0.99 病気に懸かっていな いときに陽性＝0.01 0.001 0.999 陽性 090164 . 0 01 . 0 999 . 0 99 . 0 001 . 0 99 . 0 001 . 0 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( = × + × × = + = 罹っていない 陽性 罹っていない 罹っている 陽性 罹っている 罹っている 陽性 罹っている 陽性 罹っている P P P P P P P

期待効用という考え方の限界

期待効用が分かれば決められる?

• そうはいかない：期待効用を

どのような視点

で定めるべきか

には議論がある

• 2つの著名なパラドクス

N のパラドクス – Newcomeのパラドクス – 封筒問題

Newcomeの問題

• 目の前に2つの箱A，Bがある．Aは透明で，中に10万円入っ ているのが分かっている．もう１つのBは中が見えない． • ここで，予知能力抜群の神がいる．この人がいうには， “あなたがBだけをとる時に１億円を入れておくが， あなたがAをとるときにはBを空にしておく．” • このとき，あなたは以下の2つのうちどちらを選びますか?

1.Bだけを取る

2.A，B両方取る

10万円 1億円?

考えられる答え

1. 神様のほぼ全能な予知能力を前提とすると，

両方をとった場合には10万円しか入らない

が，Bだけを取った場合は1億円入るため，B

だけを取る

だけを取る

2. 神の予測は過去のある時点ですでに行われ

ているに違いないのだから，両方とる方がB

だけを取るよりも10万円余計にとれる

•

期待効用最大化原理自体はこの問に対して

答えを与えてくれない

封筒問題(Envelop problem)

• ここに、2つの封筒があります。それぞれの封筒に幾ら 入っているか分かりませんが、片方の封筒には、もう片 方の封筒の2倍のお金が入っていることが分かってい ます。 • あなたは1つの封筒を手にし もう1人がもう片方の封 • あなたは1つの封筒を手にし，もう1人がもう片方の封 筒を手にしました。あなたが自分の封筒を開けると、そ こには1万円入っていました。あなたは封筒を変えるこ とができます。 • ここで、もう片方の封筒に代えますか?

考えられる答え

• もう片方の封筒には､2,0000円か5000円のど

ちらかが入っている。

• どちらかが可能性が高いということはないの

で 期待値は (20000＋5000)/2=12500円とな

で､期待値は､(20000＋5000)/2=12500円とな

り､手持ちの金額1,0000円よりも多い。従って、

交換したほうがいい。

• どちらにとっても交換した方がいいことになる