異なる 個から異なる 個を選ぶ総数 n r 次の値を求めなさい。

例題

解

C の計算 ①

＞ 第１章 場合 数 確率 ＞ 第１節 場合 数 ＞ 第５講：組合 数 A

Cの計算公式

異なる 個から異なる 個を選ぶ総数 n r ^{次の値を求めなさい。}

6

C

C

C

C

(1)

(3) (2)

(1) (2) (3) (4)

r 個

6

C

例

= ⁿP_r

r!

= n (n − 1)(n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (n − r + 1) r (r − 1)(r − 2) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

n

C

また， 0! = 1 , nC₀ = 1 ^{と定めると，}

n

C

= n!

r!(n − r)!

日付 (        月         日        曜日  )   名前 (       ）

練習問題１ 練習問題２

解

 次の値を求めなさい。ただし，

 をつかって  答えてもよい。

50

C

C

C

C

(1)

(3) (2)

(4)

(1) (2) (3) (4)

解

次の値を求めなさい。

3

C

C

C

C

(1)

(3) (2)

(4)

(1) (2) (3) (4)

C の計算 ①

例題

解

C の計算 ②

＞ 第１章 場合 数 確率 ＞ 第１節 場合 数 ＞ 第５講：組合 数 A

Cの計算の性質

異なる 個から異なる 個を選ぶ総数 n r ^{次の値を求めなさい。}

6

C

C

C

C

(1)

(3) (2)

(1) (2) (3) (4)

C

例

= ₁₀₀ C

8 C ₇ = ₈ C ₁

n C _r = _n C _n−r

日付 (        月         日        曜日  )   名前 (       ）

練習問題１ 練習問題２

解

 次の値を求めなさい。ただし，

 をつかって  答えてもよい。

20

C

C

C

C

(1)

(3) (2)

(4)

(1) (2) (3) (4)

解

次の値を求めなさい。

8

C

C

C

C

(1)

(3) (2)

(4)

(1) (2) (3) (4)

C の計算 ②

例題

解

 8人の男性から３人を選ぶとき，選ぶ総数を求めな さい。

例

組合せの総数 ①

組合せ C

１ ２ ３ のカードから２枚選ぶ総数

１ ２ ３

２ １ ３

３

１ ２

＞ 第１章 場合 数 確率 ＞ 第１節 場合 数 ＞ 第５講：組合 数 A

異なる 個から異なる 個を選ぶ総数 n r

n C _r

 個から 個つくる組合せ という意味n r

で表す。これは，

３ １ ２

日付 (        月         日        曜日  )   名前 (       ）

練習問題１ 練習問題２

解

次のような選び方の総数を求めなさい。

(1) (2)

９個の玉から６個の玉を選ぶ。

12色の色鉛筆から８色を選ぶ。

(1)

(2)

解

次のような選び方の総数を求めなさい。

(1) (2)

トランプカード54枚からジョーカーを２枚選ぶ。

生徒７人から学級員２人を選ぶ。

(1)

(2)

組合せの総数 ①

例題１ 例題２

解

 正六角形について，３つの頂点を結んでできる

三角形の個数を求めなさい。 正六角形について，対角線の本数を求めなさい。

解

＞ 第１章 場合 数 確率 ＞ 第１節 場合 数 ＞ 第５講：組合 数 A

組合せの総数 ②

例題３

解

 正六角形について，３つの頂点を結んでできる 二等辺三角形の個数を求めなさい。

組合せの総数 ②

練習問題１ 練習問題２

順列の総数 ②

＞ 第１章 場合 数 確率 ＞ 第１節 場合 数 ＞ 第３講：順列 数 A

解

 正十二角形について，４個の頂点を結んででき る四角形の個数を求めなさい。

 正十二角形について，３つの頂点を結んででき る二等辺三角形の個数を求めなさい。

解

日付 (        月         日        曜日  )   名前 (       ）

例題２

例題１

組合せの総数 ③

解

 ９人の生徒を４人，３人，２人の組に分けると き，分け方は何通りあるか求めなさい。

 ９人の生徒を５人，２人，２人の組に分けると き，分け方は何通りあるか求めなさい。

解

組合せの区別あり・区別なし

通りの区別あり そのまま

n

通りの区別なし

n n! ^でわる

名前 (       ）

例題３ 例題４

＞ 第１章 場合 数 確率 ＞ 第１節 場合 数 ＞ 第５講：組合 数 A

組合せの総数 ③

 ９人の生徒を３人ずつの３組に分けるとき，分 け方は何通りあるか求めなさい。

解  ９人の生徒を３人ずつA，B，Cの３つの組に分

けるとき，分け方は何通りあるか求めなさい。

解

日付 (        月         日        曜日  )   名前 (       ）

練習問題１ 練習問題２

組合せの総数 ③

 10人の生徒を５人，３人，２人の組に分けると き，分け方は何通りあるか求めなさい。

解

 10人の生徒を４人，３人，３人の組に分けると き，分け方は何通りあるか求めなさい。

解

名前 (       ）

練習問題３ 練習問題４

＞ 第１章 場合 数 確率 ＞ 第１節 場合 数 ＞ 第５講：組合 数 A

組合せの総数 ③

 10人の生徒を５人ずつA，Bの組に分けると き，分け方は何通りあるか求めなさい。

解

 10人の生徒を５人ずつ２組に分けるとき，分け 方は何通りあるか求めなさい。

解

日付 (        月         日        曜日  )   名前 (       ）

例題

解

 internet の８文字を使って１列に並べるとき，次の並べ 方は何通りあるか求めなさい。

例

組合せの総数 ④

同じものを含む順列と組合せ

 a が 個，b が 個，c が 個あるとき， 

それら全部を１列に並べる順列の総数は

p q r

n

C

=

C

=

C

= n!

p! q! r!

ただし， n = p + q + r

abaab という文字を一列に並べるときの並べ方の総数は，

a a a b b

まずaを決めるためには５つのうちに３こ選べばいいので，

5

C

残りのbは残りの２こを選べばいいので，自動的に決まる

(1) (2)

すべての並べ方

どの t も，どの e より左にある並べ方

(1)

(2)

名前 (       ）

練習問題１ 練習問題２

解  a，a，b，b，c，d，e，f の８文字を一列に並べる

とき，文字列はすべてで何通りあるか答えなさい。

解

組合せの総数 ④

＞ 第１章 場合 数 確率 ＞ 第１節 場合 数 ＞ 第５講：組合 数 A

 a，a，b，b，c，d，e，f の８文字を一列に並べる とき，母音３つが連続して並ぶ文字列は何通りあるか 答えなさい。

日付 (        月         日        曜日  )   名前 (       ）

練習問題３ 練習問題４

解

 a，a，b，b，c，d，e，f の８文字を一列に並べる とき，同じ文字が連続して並ぶ文字列は何通りあるか 答えなさい。

解

 a，a，b，b，c，d，e，f の８文字を一列に並べる とき，a と b がすべて偶数番目にくる文字列は何通 りあるか答えなさい。

組合せの総数 ④

例題

解

 右の図は，ある地域のAからBまで の道を直線で示したものである。 

最短経路のうち，AからBまでの道順 の総数を求めなさい。

例

組合せの総数 ⑤

最短距離の求め方

＞ 第１章 場合 数 確率 ＞ 第１節 場合 数 ＞ 第５講：組合 数 A

(縦の移動数)! (横の移動数)!

(縦の移動数 ＋ 横の移動数)!

A A地点からB地点に行く B

縦に３回，横に４回進めば よいので， 

(７本中３本を選ぶ）

合計で進む線は７本

※^{通行不可の問題は，余事象で考える• • •}

P Q R A

B

日付 (        月         日        曜日  )   名前 (       ）

例題２ 例題３

解

 右の図は，ある地域のAからBまで の道を直線で示したものである。 

最短経路のうち，Pを通ってQRを通 らない道順の総数を求めなさい。

P Q R A

B

解

 右の図は，ある地域のAからBまで の道を直線で示したものである。 

最短経路のうち，Pを通らない道順 の総数を求めなさい。

P Q R A

B

組合せの総数 ⑤

練習問題１ 練習問題２

解

 右の図は，ある地域のAからBまで の道を直線で示したものである。 

最短経路のうち，P地点を通る経路 の総数を求めなさい。

組合せの総数 ⑤

＞ 第１章 場合 数 確率 ＞ 第１節 場合 数 ＞ 第５講：組合 数 A

A

B

P Q

解

 右の図は，ある地域のAからBまで の道を直線で示したものである。 

最短経路のうち，Q地点を通る経路 の総数を求めなさい。 _A

B

P Q

日付 (        月         日        曜日  )   名前 (       ）