1章演習問題解答
演習問題1.1 1) |− 12|< 1より、limn!1(−12)n=0.
2) √
n+1−√
nを以下のように変形する。
√n+1−√ n= (√
n+1−√ n)(√
n+1+√
√ n)
n+1+√
n = 1
√n+1+√ n したがって、limn!1(√
n+1−√ n) =0.
3) limn!1n+1
n =limn!1(1+ 1n) =1 4) 定理1.1を用いる。
n!1lim
¯¯
¯¯an+1
an
¯¯
¯¯= lim
n!1
1 3(1+ 1
n) = 1 3 < 1 このことから、limn!1 n
3n =0.
演習問題1.2 limh!0 h>0
|0+h|−|0|
h =1であり、limh!0 h<0
|0+h|−|0|
h = −1である。両方の極限が一致しな いので、y=|x|は、x=0で微分不可能。
演習問題1.3 1) 9x2+2x−1
2) f(u) =eu、u=3x+2とおく。dudf =eu、dudx =3より、dxdf = dudfdudx =3eu=3e3x+2 3) 関数の積の微分のルールを適用する。(xex)0= (x)0ex+x(ex)0=ex+xex
4) 3x+2x+3 =3− x+37 である。f(x) = u1、u=x+3とおき、 dfdx = dudfdudx = −u12
を得る。よって、 ¡3x+2
x+3
¢0
= (x+3)7 2. 5)
µq
1 x
¶0
=³ x−12´0
= −12x−32.
6) ax=exlogaなので、(ax)0 =logaexloga=logaax.
7) logax= loglogax である（logは対数の底としてeをとっており、logaは対数の底として aをとっていることに注意）。したがって、(logax)0= xlog1 a.
演習問題1.4 1) y=f(x) =x+exとおく。逆関数は、x=f−1(y)である。dyd f−1(y) = df(x)1 dx
=
1 1+ex.
2) y=f(x) =x2+3とおく。dydf−1(y) = df(x)1 dx
= 2x1. 演習問題1.5 成長率は、ff(t)0(t) で与えられているので、(eett)0 =1.
