一般相対論

一般相対論

 Einstein (1915a,b, c,d)



等価原理



一般相対性原理



一致の原理



曲がった時空

 目次へ

等価原理



重力の普遍性

–

ガリレイの実験（ピサの斜塔）

–

慣性質量＝重力質量

3

d

I dt G

m m GM

  r

v r



重力は慣性力と等価

–

重力は普通の意味での力ではない



重力は座標変換で（１点で）消去 可能

–

エレベーター仮想実験

–

重力は時空の曲がりを表現

一般相対性原理



物理法則は一般座標変換に対して 不変



一般座標変換 ^x

^{ x x}

 



加速度運動

（偽の）重力

 次へ

一般相対性原理（続き）

ˆ

 

ˆ 1

ˆ x ˆ , x ˆ

E E E

x x

 

  

    

  

  

 



テンソル

–

座標変換に伴う変化＝ヤコビ行列との 積

–

ヤコビ行列＝基底変換行列

 戻る



物理法則はテンソル形式で表現される

テンソル



０階：スカラー



１階：ベクトル



２階：行列

U

d d u x

 

 

 x

  



 次へ

g ^

テンソル（続き）

g_





3 ˆ

ˆ 0

u

E u

 

 

 戻る

g ^



共変（＝上つき）テンソル



反変（＝下つき）テンソル



混合（＝上下）テンソル



逆テンソル



テンソル変換

逆テンソル



単位テンソル



２階：クロネッカーのデル タ



テンソルの逆





3 0

g g^ _ ^{ }









 戻る

クロネッカー

 Kronecker



線形代数



整数論

 戻る

ヤコビ

 C.G.J. Jacobi

 1804-1851



楕円関数



偏微分方程式



行列式



三体問題

 戻る

曲がった時空



リーマン幾何学



計量テンソル



曲がった空間の例：球面



測地線＝直線の一般化：大圏航路



測地線運動＝等速直線運動の一般化



慣性の法則の拡張

–

「力が働かない質点は測地線運動を行う」

 戻る

リーマン

 G.F.B. Rieman n

 1826-1866



結核で若死



非ユークリッ ド幾何学



リーマン面

計量テンソル

 

0 0

ds g_ d dx x^{ }

   





 

diag 1, 1, 1, 1

     

g_

 

g_  g_ x^



２次形式の係数行列



ミンコウスキー計量：特殊相対論



位置座標の関数

 戻る



リーマン空間の距離