支払備金に関する Mack の公式の一般化

(1)

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支払備金に関する Mack の公式の一般化

斎藤新悟

九州大学大学院数理学研究院

2009/10/24

斎藤新悟 (九大数理) Mackの公式の一般化 2009/10/24 1 / 12

(2)

はじめに

当研究成果は，筆者が

日新火災海上保険株式会社九州大学大学院数理学研究院

による共同研究に携わる中で得たものである．

本発表の概略：

目的：ランオフ三角形から支払備金

(IBNR)

^{を区間推定．}

先行研究：

Mack

^の公式．

主結果：

Mack

の公式の拡張．

(3)

. . . .

ランオフ三角形と支払備金

C _i,j =

事故年度

i

，経過年数

j

における累積支払保険金

(i, j = 1, . . . , n).

i + j 5 n + 1

^に対する

C i,j

が既知．

経過年数

j

1 2 · · · n − 1 n

事故年度

i

1 C _1,1 C _1,2 · · · C _1,n ₋ ₁ C _1,n 2 C 2,1 C 2,2 · · · C 2,n − 1

.. . .. . .. . . . . n − 1 C n − 1,1 C n − 1,2

n C _n,1

支払備金

R = (C _2,n − C _2,n ₋ ₁ ) + · · · + (C _n ₋ _1,n − C _n ₋ _1,2 ) + (C _n,n − C _n,1 ).

(4)

チェーンラダー法

チェーンラダー法は支払備金の点推定を与える．

経過年数

j

1 2 · · · n − 1 n

事故年度

i

1 C 1,1 C 1,2 · · · C 1,n − 1 C 1,n

2 C _2,1 C _2,2 · · · C _2,n ₋ ₁ .. . .. . .. . . . .

n − 1 C _n ₋ _1,1 C _n ₋ _1,2 n C n,1

Loss Development Factor

^：

f b _j = C 1,j+1 + · · · + C n − j,j+1

C _1,j + · · · + C _n ₋ _j,j .

C b i,j = C i,n+1 − i f b n+1 − i · · · f b j − 1 (i + j = n + 2).

(5)

. . . .

Mack モデル

. 問題 . .

. . . .

. .

支払備金を区間推定するにはどうすればよいか？

Mack

^{のアイデア：}

チェーンラダー法を正当化する

distribution-free

なモデルを設定．

平均

2

乗誤差を推定．

. Mack モデル .

.

. . . .

.

(1) (C _1,1 , . . . , C _1,n ), . . . , (C _n,1 , . . . , C _n,n )

は独立

（事故年度に関する独立性）．

(2) E[C _i,j+1 | C _i,1 , . . . , C _i,j ] = C _i,j f _j . (3) V (C _i,j+1 | C _i,1 , . . . , C _i,j ) = C _i,j v _j .

(6)

Mack の結果 I ：点推定について

D = { C _i,j | i + j 5 n + 1 }

^{：既知の情報量．}

推定すべきもの：

E[C i,j |D ]

^など．

. Mack の結果 I ：点推定について（チェーンラダー法の正当化）

. .

. . . .

.

チェーンラダー推定量

f b _j

は

f _j

の不偏推定量かつある意味で最良推定量（つまり分散を最小にする）．

E[ C b _i,j ] = E [

E[C _i,j |D ] ] (

= E[C _i,j ] )

←−

^{不偏性の類似．}

は

v _j

の不偏推定量：

b

v j = 1 n − j − 1

n − j

∑

i=1

C i,j

( C i,j+1

C i,j − f b j

) ₂

.

(7)

. . . .

Mack の結果 II ：区間推定について

支払備金

R = (C _2,n − C _2,n−1 ) + · · · + (C _n,n − C _n,1 ).

その推定量

R b = ( C b _2,n − C _2,n ₋ ₁ ) + · · · + ( C b _n,n − C _n,1 ).

平均

2

乗誤差

mse R b = E [

(R − R) b ² D ]

を考える（分散のようなもの）．

これを用いると例えば

95%

信頼区間は次で推定できる：

( b R − 3(mse R) b ^1/2 , R b + 3(mse R) b ^1/2 ) . . Mack の結果 II ：区間推定について（ Mack の公式）

. .

. . . .

.

mse R b

^{を次で推定する：}

∑ n i=2

( C b _i,n ²

n ∑ − 1 l=n+1 − i

b v _l f b _l ²

( 1 C b i,l

+ 1

∑ n − l m=1 C m,l

))

+ 2

n ∑ − 1 i=2

C b _i,n ( _n

∑

i

^′

=i+1

C b _i

′

,n

)( _n ₋ ₁

∑

l=n+1 − i

b v l

f b _l ² ∑ n − l m=1 C _m,l

) .

(8)

主結果 I ： Mack モデルの拡張

. Mack モデル .

.

. . . .

.

(1) (C 1,1 , . . . , C 1,n ), . . . , (C n,1 , . . . , C n,n )

^は独立．

(2) E[C i,j+1 |C i,1 , . . . , C i,j ] = C i,j f j . (3) V (C _i,j+1 | C _i,1 , . . . , C _i,j ) = C _i,j v _j .

(3)

^は分散が

C i,j

の

1

乗に比例するという仮定．

これはチェーンラダーの正当化に不可欠だが本当に妥当な仮定か？

. Mack モデルの拡張 .

.

. . . .

.

(1) Mack

^{モデルと同じ．}

(2) Mack

^{モデルと同じ．}

(3 ^′ ) V (C _i,j+1 | C _i,1 , . . . , C _i,j ) = C _i,j ^α v _j

（

α

は任意の定数）．

α = 1

の場合が

Mack

モデル．

(9)

. . . .

主結果 II ：点推定について

. 主結果 II ：点推定について .

.

. . . .

.

は

f _j

の不偏推定量かつ最良推定量：

f b _j = C _1,j ¹ ⁻ ^α C 1,j+1 + · · · + C _n ¹ ⁻ ₋ ^α _j,j C n − j,j+1

C _1,j ² ⁻ ^α + · · · + C _n ² ⁻ ₋ ^α _j,j .

は

E[ C b _i,j ] = E [

E[C _i,j |D ] ] (

= E[C _i,j ] )

を満たす：

C b i,j = C i,n+1 − i f b n+1 − i · · · f b j − 1 (i + j = n + 2).

は

v j

の不偏推定量：

b

v _j = 1 n − j − 1

n − j

∑

i=1

C _i,j ² ⁻ ^α

( C _i,j+1 C i,j − f b _j

) 2

.

(10)

主結果 III ：区間推定について（ Mack の公式の拡張）

n + 1 − i 5 j _i 5 k _i 5 n (i = 1, . . . , n)

とし，

S =

∑ n i=1

(C _i,k

_i

− C _i,j

_i

)

と定義する．

支払備金

R =

∑ n i=2

(C _i,n − C _i,n+1 ₋ _i )

は

j i = n + 1 − i, k i = n

^の場合の

S

^．次年度支払保険金

∑ n i=2

(C _i,n+2 ₋ _i − C _i,n+1 ₋ _i )

は

j i = n + 1 − i, k i = n + 2 − i

^の場合の

S

^．

(11)

. . . .

主結果 III ：区間推定について（ Mack の公式の拡張）

. 主結果 III ：区間推定について（ Mack の公式の拡張）

. .

. . . .

.

mse S b

^{を次で推定する：}

∑ n i,l=1

b

φ ² _i,l A b _i,l + 2 ∑

1 5 i<i

^′

5 n

∑ n l=1

b

φ _i,l φ b _i

′

,l B b _l .

ただし，

A b _i,l = b v _l f b _l ²

( 1

C b _i,l ² ⁻ ^α + 1

∑ _n ₋ _l

m=1 C _m,l ² ⁻ ^α )

, B b _l = b v _l f b _l ² ∑ _n ₋ _l

m=1 C _m,l ² ⁻ ^α ,

b φ _i,l =

 



 

C b _i,k

_i

− C b _i,j

_i

(n + 1 − i 5 l < j _i ), C b _i,k

_i

(j i 5 l < k i ), 0

（それ以外）

.

(12)

まとめ

Mack

モデルの仮定のうち，必ずしも自然な仮定とはいい難いものを拡張した．

次年度支払保険金などを含む様々な量に対して平均

2

乗誤差の推定量を与えた．

支払備金に関する Mack の公式の一般化

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