自然と情報の数理レポート課題
担当：木村巌（理学部数学科）
提出要領 以下のテーマから
3
題以上を選び，それぞれについてA4
用紙1
〜2
枚でまとめ よ（各テーマごとに別紙にして，学部・学籍番号・氏名を明記すること）．理学部・工学部の受講者は，「理学部・工学部の受講者向け課題」から少なくとも
1
題以上選 択すること．締め切り
8
月9
日(
月)17:00
提出場所 教養教育棟レポート提出箱
参考文献 レポートの作成に用いた資料（書籍，
web
などすべて）は明記すること．無断盗 用厳禁．その他 この用紙は，木村の
web page
にも掲載する．シラバスのページから辿って下さい．一般向けの課題
全般的な参考文献としては，ボイヤー
[2],
カジョリ[3],
カッツ[4]
などを参照せよ．1.
バビロニアの粘土板YBC7289
について述べよ（[5, 1
章]
）．2.
「二つの三角形が，それぞれ互いに等しい二つの辺を持ち，それらの等しい二辺のな す角も互いに等しいならば，底辺同士も等しく，三角形同士も等しくなる．互いに等 しい辺に対する角がそれぞれ等しくなるのである（二辺挟角の合同定理）」を用いて，「二等辺三角形の底辺の所にある両角は互いに等しい．また，等しい辺をのばすとき，
底辺の下に出来る角は，互いに等しい」を示せ．（
Euclid
原論については，[1], [6]
を 参照．）3.
円の面積は，直径の2
乗に比例することを説明せよ（ユークリッド「原論」12
巻[6], [1, 27
章]
）．4.
アルキメデスの次の逸話について調べよ：ヒエロン王が職人に金の王冠を作らせた が，それは銀の混ぜものがされているという噂がたった．アルキメデスが呼ばれ，噂 の真偽を確かめることを求められたが，王冠を傷つけてはいけない……．（以下アル キメデスについては，ネッツ・ノエル[7],
斎藤[8]
などを参照のこと）．5.
アルキメデスの「梃子の原理」を述べ，応用例を調べよ．6.
アルキメデスによる，放物線の切片の求積を説明せよ．7.
アルキメデスの「方法」について，特に写本の伝承についてまとめよ（ネッツ・ノエ ル[7]
）．8.
エラトステネスの篩による素数の列挙について調べよ．100
以下の素数を，エラトス テネスの篩により求めよ．9.
エラトステネスによる，地球の周長の計算について説明せよ．10.
アポロニウスの円について調べよ．11.
チェバの定理，メネラウスの定理について調べよ．12.
ディオファントスの「数論」と，それに対するフェルマーの注釈について調べよ．（フェ ルマーの最終定理）．13.
三角形の面積に関する，ヘロンの公式について調べよ．14.
ブラマグプタ（ブラーマグプタとも）の数学的な業績について調べよ15.
中国の剰余定理（中国式剰余定理とも）とは何か調べよ16.
アル・フワリズミの数学的な業績について調べよ17.
オマル・ハイヤームの数学的な業績について調べよ18.
フィボナッチ（ピサのレオナルド）の数学的な業績，特に「フィボナッチ数列」につ いて調べよ理学部，工学部の受講者向け課題
1.
ユークリッドの互除法を説明し，385, 623
の最大公約数を求めよ．2.
算術の基本定理を述べ，証明せよ．3.
素数が無数に存在することの証明を，3
通り述べよ．4. p = 1 + 2 + 2
2+ . . . + 2
nが素数なら，p2
nは完全数であることを示せ．また逆に，偶 数の完全数はこの形であることを示せ．5.
アルキメデスによる放物線の切片の求積を次の状況で示せ．y = ax
2という放物線C
を，その上の2
点A(x
0, ax
20), B(x
1, ax
21)
を結ぶ弦が切り取る切片の面積が，A, B
な らびに点C((x
0+ x
1)/2, a((x
0+ x
1)/2)
2)
が作る3
角形の面積の4/3
倍である．6.
アルキメデスによる円周率の近似計算を説明せよ．2
7.
アルキメデスによる，梃子の原理を用いた求積（例えば放物線の切片の求積）につい て説明せよ（ネッツ・ノエル[7]
参照）．8.
数平面上の，原点を中心とし，半径が1
の円周C
を考える．C
上の点で，x
座標もy
座標も有理数であるような点を全て求めよ．（ヒント：点( − 1, 0)
を通る傾きt
の直線 と，C
との交点を求めよ）．参考文献
[1] B.
アルトマン著，大屋建正訳「数学の創造者 ユークリッド原論の数学」，シュプリンガー・フェアラーク東京
