2008 年度前期・「自然と情報の数理」期末レポート

(1)

2008 年度前期・「自然と情報の数理」期末レポート

木村巌

以下の要領でレポートを提出すること：

•

^期日：

2008

年

8

月

25

日（月），

17:00.

•

提出先：教養教育棟レポート提出箱．

•

解答要領：理学部以外の学部に在籍の受講生は「理学部以外向け」から

2

問，理学部に在籍の受講生は「理学部向け」から

2

問をそれぞれ選び，解答せよ．

1

問につき，

A4

用紙

1

枚（表裏使用可）程度にまとめること．手書きでもワープロなどで浄書したものでも良い．

•

提出要領：学籍番号，氏名，所属学部を明記し，提出するレポート用紙全てを，左上

1

箇所で

1

部に綴じて提出すること．レポートは返却しない．

•

その他：書籍，ウェブ等を問わず，参考文献など出典を明記すること．また，他の受講者のレポートを参考にした場合もその旨を明記すること．

•

講義の際のプレゼン資料などは，木村のウェブページに掲載する．この講義のシラバスの最後尾にリンクがある．また，アドレスは

QR

コードで次の通り：

理学部以外向け

理学部以外の受講生は，下記のうち

2

問を解答すること．

(2)

問

1. 1.

ミレトスのターレス（

624–546BC

）の頃の地中海世界の様子を，アテネを中心として簡潔に述べよ．

2.

ターレスは，二通りの方法でピラミッドの高さを測定したという．測定法を二つ述べ，なぜその方法で高さが求まるのかを説明せよ．

問

2. 1.

ピタゴラスの略歴を簡潔に述べよ．

2.

ピタゴラスの定理（三平方の定理）を述べ，証明せよ．

問

3. 1.

ペロポンネソス戦争について簡潔に述べよ．

2.

ギリシャ三大難問を述べよ．

3.

ギリシャ三大難問が，どのように解決したか，それぞれの問題について解説せよ．

問

4. 1.

カイロネイア戦争，アレクサンドロスによる帝国建設とその崩壊を中心に，ヘレニズム時代を簡潔に解説せよ．

2.

ユークリッドの「原論」により，三角形の合同条件「二辺とその挟む角が等しい二つの三角形は合同である」を証明せよ．

問

5. 1.

二つの自然数の最大公約数を求めるユークリッドの互除法を述べよ．

2.

ユークリッドの互除法により，

55

と

81

の最大公約数が

1

であることを示せ．

問

6.

素数が無限個存在することを示せ．

問

7. 1.

完全数の定義を述べよ．

2.

完全数の例を複数挙げ，それらが完全数であることを計算により確かめよ．

（「原論」

9

巻命題

36

）

問

8.

円の面積が，直径の

2

乗に比例することを，ユークリッド「原論」

12

巻命題

2

に従って示せ．

問

9. 1.

アルキメデスの生涯について簡潔にまとめよ．

2.

アルキメデスの「円の計測」の命題

1

を述べよ．

3.

アルキメデスの「螺旋について」の命題

18

を述べよ．

4.

「円の計測」命題

1

と，「螺旋について」の命題

18

との関係を述べよ．

問

10.

放物線

y = x

²と，直線

y = a(x + 1) + 1, (a > −2)

とが囲む領域を図示し，面積を求めよ．

(3)

問

11.

エラトステネスの篩により，

100

以下の素数をすべて求めよ．

問

12. x

²

+ y

²

= z

²を満たす有理数

(x, y, z)

の例を

3

つ挙げよ．ただし

(x, y, z) = (0, 0, 0)

は除く．例えば

(x, y, z) = (16/5, 12/5, 4)

がそうである．

問

13.

放物線

y = kx

²（

k > 0

は定数）と，円

(x − r)

²

+ y

²

= r

²（

r > 0

は定数）との交点として，

3

次方程式

k

²

x

³

+ x − 2r = 0

の実解が得られることを説明せよ．

問

14. 1.

ピサのレオナルド（フィボナッチ）の人となりについてまとめよ．

2.

フィボナッチ数の定義を述べ，初めの

20

項を計算せよ．

3.

隣り合うフィボナッチ数は互いに素であることを示せ．このとこから，素数が無限個存在することを結論せよ．

問

15.

ムハンマド・イブン・ハサン・カラジーによる次の公式を示せ：

1

³

+ 2

³

+ · · · + n

³

= (1 + 2 + · · · + n)

²

.

問

16.

二項定理と数三角形について，それらが世界各地で発見・研究されていた経緯について簡潔にまとめよ．

問

17.

カルダーノによる

3

次方程式の解法．

f (x) = x

³

+ px + q = 0, p, q

は実数，という方程式を考える．

1. u, v

を変数とすると，

f (u + v) = (u

³

+ v

³

) + (3uv + p)(u + v) + q

2.

もし

u

³

+ v

³

= q, uv = −p/3

なら，

u + v

は

f (x) = 0

の解の一つを与えている．

3. u

³

, v

³が

2

の条件を満たすなら，

u

³

, v

³は

2

次方程式

g(y) = y

²

− qy − p/3 = 0

の解である．

問

18. 4

次方程式

x

⁴

+ x

³

+ x

²

+ x + 1 = 0

を解け（ヒント：両辺を

x

²で割り，

x + x

⁻¹ の二次式にまとめる）．

問

19. 1.

数学者アーベル（

N. H. Abel

）の生涯と業績についてまとめよ．

2.

数学者ガロア（

E. Galois

）の生涯と業績についてまとめよ．

参考：高木

[9].

問

20. 1.

シーザー暗号，換字式暗号の原理を述べよ．

2.

上記二つの暗号に対する解読法を説明せよ．

(4)

理学部向け

理学部の受講生は，下記のうち

2

問を解答すること．

問

21. 1.

プラトンの正多面体

5

個を述べ，概形を図示せよ（手書きでも，パソコンによる描画でもよい）

問

22. 1.

カイロネイア戦争，アレクサンドロスによる帝国建設とその崩壊を中心に，ヘレニズム時代を簡潔に解説せよ．

2.

ユークリッドの「原論」により，三角形の合同条件「二辺とその挟む角が等しい二つの三角形は合同である」を証明せよ．

3.

同じくユークリッドの「原論」により，三角形の合同条件「三辺が等しい二つの三角形は合同である」を証明せよ．

問

23. 1.

二つの自然数の最大公約数を求めるユークリッドの互除法を述べ，証明せよ．

2.

ユークリッドの互除法により，

55

と

81

の最大公約数が

1

問

24. 1. √

2

が無理数であることを示せ．

2. m

が平方自由（

1

より真に大きい自然数の

2

乗では割り切れない）ならば，

√ m

は無理数であることを示せ．

問

25. 1.

素数が無限個存在することを示せ．

2. { p

₁

= 2, p

₂

= 3, p

₃

= 5, . . . , p

_N

}

^{を，最初の}

N

個の素数とする．

3

から

p

₁

p

₂

· · · p

_N

+ 1

の間に，少なくとも

2

つの素数が存在することを示せ．（ヒント：

p

₁

p

₂

· · · p

_N

− 1, p

₁

p

₂

· · · p

_N

+1

は互いに素なので，それぞれの素因数全体には共通部分がない）．

問

26. 1.

完全数の定義を述べよ．

2. p = 1 + 2 + · · · + 2

ⁿが素数ならば，

2

ⁿ

p

が完全数である．逆に，偶数の完全数はこの形である．

（「原論」

9

巻

36

節）

問

27. 4

で割って

3

余る素数が無限個存在することを示せ．

問

28. 1.

半径

1

の円に内接する正方形の面積を求めよ．

2.

同じく半径

1

の円に外接する正方形の面積を求めよ．

問

29.

円の面積が，直径の

2

乗に比例することを，ユークリッド「原論」

12

巻命題

2

に従って示せ．

問

30. 1.

アルキメデスの生涯について簡潔にまとめよ．

(5)

2.

アルキメデスの「円の計測」の命題

1

を述べ，証明せよ．

問

31.

アルキメデスの，「螺旋について」の命題

18

を述べ，証明せよ．

問

32. 1.

アルキメデスの螺旋を極座標表示せよ（

xy

平面の原点を始点とし，時計回りに

2π

回転したときに

(2π, 0)

を通るものとする）．

2.

上記のアルキメデスの螺旋について，原点から偏角

θ

に於ける点までの長さを

θ

で表せ．

問

33.

アルキメデスによる放物線の切片の求積法を説明せよ．（ヒント：高木

[8]

の第三章冒頭，若しくは齋藤

[6]

の

p. 57–

）．

問

34.

エラトステネスの篩により，

100

以下の素数をすべて求めよ．

問

35. 1. xy

平面での直線

y = t(x + 1)

と原点を中心とし，半径

1

の円

x

²

+ y

²

= 1

の交点を求めよ（実数

t

はパラメタ）．

2.

円

x

²

+ y

²

= 1

上の全ての有理点を求めよ．

問

36. 1.

ピサのレオナルド（フィボナッチ）の人となりについてまとめよ．

2.

フィボナッチ数

F

_mの定義を漸化式の形で述べ，初めの

20

項を計算せよ．

3.

フィボナッチ数の一般項を求めよ．

4. m, n

が自然数でそれらの最大公約数が

r

なら，

F

_m

, F

_mの最大公約数が

F

_rであることを示せ．このとこから，素数が無限個存在することを結論せよ．

問

37. 1.

イブン・ハイサムによる次の公式を示せ：

(n + 1)

∑

n i=1

i

^k

=

∑

n i=1

i

^k+1

+

∑

n p=1

(

_p

∑

k=1

i

^k

)

.

2.

上の等式を用いて，

∑

n

i=1

i

⁴を

n

の多項式で表せ（

n

の

5

次式になる）．

問

38. Jacob Bernoulli

による巾和の公式について調べ，まとめよ．

問

39.

カルダーノによる

3

次方程式の解法．

f (x) = x

³

+ px + q = 0, p, q

は実数，という方程式を考える．

1. u, v

を変数とすると，

f (u + v) = (u

³

+ v

³

) + (3uv + p)(u + v) + q

2.

もし

u

³

+ v

³

= q, uv = − p/3

なら，

u + v

は

f (x) = 0

の解の一つを与えている．

3. u

³

, v

³が

2

の条件を満たすなら，

u

³

, v

³は

2

次方程式

g(y) = y

²

− qy − p/3 = 0

の解である．

u

³

, v

³を求めよ．

(6)

4. 3

次方程式

x

³

+ 6x − 20 = 0

を解け．

問

40. 4

次方程式

ax

⁴

+ bx

³

+ cx

²

+ bx + a = 0, (a 6= 0)

を解け（ヒント：両辺を

x

²で割り，

x + x

⁻¹の二次式にまとめる）．

問

41. 1.

公開鍵暗号の原理について調べ，簡潔にまとめよ．

2.

公開鍵暗号の実例として，

RSA

暗号について調べ，簡潔にまとめよ．

参考：シン

[10] 6

章．

参考文献

[1]

彌永昌吉他著，「数学の歴史ギリシャの数学」，共立出版

[2] C.

カジョリ，石井省吾訳注「カジョリ数学史上巻」，津軽書房

[3]

宮崎正勝「早わかり世界史」，日本実業出版社

[4] B.

アルトマン著，大屋建正訳「数学の創造者ユークリッド原論の数学」，シュプリ

ンガー・フェアラーク東京

[5]

中村幸四郎他訳，「ユークリッド原論」，共立出版

[6]

斎藤憲，よみがえる天才アルキメデス，岩波科学ライブラリー

117 [7]

ネッツ・ノエル共著，吉田晋治監訳，解読！アルキメデス写本，光文社

[8]

高木貞治，解析概論，岩波書店

[9]

高木貞治，近世数学史談，共立出版

[10]

サイモン・シン著，青木薫訳「暗号解読」，新潮社（文庫本あり）

2008 年度前期・「自然と情報の数理」期末レポート