2007.10.1.
線型代数・同演習B （S-1クラス）
担当：原 隆（数理学研究院）：六本松3-312号室，tel: 092-726-4774, e-mail: hara@math.kyushu-u.ac.jp, http://www.math.kyushu-u.ac.jp/˜hara/lectures/lectures-j.html
Office hours: 月曜の午後３時〜５時頃，僕のオフィスにて（10/15は都合により早めに切り上げ）．なお，講義終
了後にも質問を受け付けます．
概要：春学期の続きで，理学部物理学科の学生さん向けに，「線型代数」を講義する．通年講義なので，１年が終 わった時点で（１）「行列」「逆行列」，「行列式」などの計算ができるようになり，（２）「固有値と固有ベクトル」「行 列の対角化」も使いこなせる（３）「線型空間」「一次独立」などの重要な概念も理解する，の３点を目標とする．
キーになる概念：行列，逆行列，行列の基本変形，線型空間，線型独立，線型写像，（行列式），（固有値と固有ベ クトル），（行列の対角化）．括弧の中は主に後期の内容．
内容予定：大まかに言って，教科書の５章〜９章の内容です．「内積」と「対角化」の順序は逆にするかも．
1. 連立一次方程式（少し復習）と逆行列の計算 2. 行列式
3. 行列の固有値と固有ベクトル 4. 行列の対角化
5. 内積
2か3の後で中間試験の予定．
教科書（春学期に同じ）：
• 内田・高木・剣持・浦川「線型代数入門」裳華房
参考書（春学期に同じ）：
• 斉藤正彦「線型代数入門」（東大出版会）．少し難しいだろうが，今でも定番の教科書．物理学科（特に理論 を目指す人）にはこのくらいは理解して欲しい．
• Feynman Lectures in Physics, vol. 3（邦訳は「ファインマン物理学第５巻」）これは量子力学に関する本だ が，僕は線型代数の本質をこの本から学んだ．量子力学の数学的構造はほとんど線型代数だから，これは不思 議なことではない．
評価方法（春学期と同じ）：中間試験 と 期末試験 の成績を総合して評価し，ボーダー付近ではレポートの成績も用いる．
• 最終成績は一旦，１００点満点に換算してから，この大学の様式に従ってつける．
• その１００点満点（最終素点）は，以下のように計算する．
– まず，「中間試験の点」「期末試験の点」をそれぞれ100点満点で出す．
– 次にこの２つを以下の式で「平均」し，一応の総合点を出す：
（総合点A）= 0.40×（中間の点）+ 0.60×（期末の点）
– ただし，上の計算式の重みを若干変更する可能性はあることを承知されたい（例えば，総合点Aで，中間と期末の 比を5 : 5にするなど）．
– 最終素点は
（最終素点）= max{（総合点A）,（期末の点）} とする．つまり，（総合点A）と（期末の点）を比べて，良い方をとる のだ．
• 上の「最終素点」をよく見て，必要ならば全体に少し修正（例：全員に下駄をはかせるとか）を加えたものをつくり，こ れをこの大学の基準と合わせて最終成績を出す．
• 上の出し方では合格基準に少し足りない人は，それまでに出題したレポートがあるなら，その結果も参考にして判断する．
（期末一発逆転を可能にする理由）この講義では（上位10%の人だけがわかるような）進んだ話題はあまり扱わない．そのた め，「できる」人が退屈することも考えられる．そのような人には自主的な学習を奨める意味で，「期末で一発逆転」も可能なよう にした．ただし，「期末の一発勝負」がうまくいく人はそれほど多くないだろう（期末試験は中間試験やレポートよりは難しい）
から，あくまで自己責任で やってくれ．期末の一発勝負で成績が悪くても，苦情は一切受け付けないからね！（できる人が少な いだろうけどもこの形式をとるのは，僕の美学にこだわっているからである．）
「学習到達度再調査」（？）について：
この大学には「学習到達度再調査」なる変な制度があるらしい．これに変に期待する人がいるかもしれないので，
ここではっきり宣言しておく．
「再調査」は行わない可能性が高い（ご存知の通り，春学期には行わなかった）．もし行うとしても，その権利 を得るのはギリギリで不合格になった人だけだ．誰を再調査の対象とするかは，こちらの一存で（もちろん，
公平に，しかし厳しく）決めさせていただく．また，再調査をしてもダメな人も出現しうる（過去にもたくさ ん存在した）．
（再調査とは独立に，正規の理由があれば追試験は行うのでご安心を．）
更に付言するならば，再調査をする方が，こちらとしては厳しく点を付けやすい（厳しく採点して，誰を助ける かは再調査できちんと確かめれば良いから）．だから，このようなものには頼らず，期末試験でちゃんと合格でき るよう，しっかり学習して下さい．期末試験までなら皆さんの学習を助ける努力は惜しまないつもりで，質問など にも忍耐強く相手することを保証する．
なお，言うまでもないことであるが，いくら進級や卒業がかかっていても，単位の出せないものは出せないこと は理解されたい．（いわゆる「泣き落とし」は通用しないばかりか，逆効果であるからそのつもりで．）下の合格基準 に述べるように，普通に勉強してれば十分に単位が取れる仕組みにはしてあるから姑息なことは考えないように．
合格（最低）基準：合格のための条件は，講義中に出題する例題（やレポート問題）と同レベルの問題が解けること である．具体的には今学期は大体，以下のようになるだろう（進度の都合で若干の変更があることをご了承願い たい）．
• 一次方程式が解ける．解が不定や不能の場合ももちろん，含む．
• （逆行列が求められる）
• 与えられた行列の固有値，固有ベクトルが計算できる．
• 与えられた行列が対角化可能か判定でき，さらに（対角化可能なら）対角化できる．
• 内積の基本的事項を理解している．
• 一次従属，一次従属，基底など線型空間の基本概念が理解できている．
• 写像が線型であること，また線型写像の像や核の概念がわかっている（計算できる）．
特に一言：春学期よりも具体的な計算が多くなると思います．しかし，逆に，春学期での「線型空間」「線型写 像」の概念がわかっていないと，何をやってるのかわからないことになりかねません．決して甘く見ずに，着実に 学習すること（春学期の復習も含めて）をお奨めします．なお，参考書として掲げた「ファインマン物理学」は案 外，役に立つかもしれません．なお，答えの丸暗記はお奨めしない．遠回りに見えても，どんなに苦しくても，納 得するまで考えることが最短の道である．
この科目に関するルール（春学期と同じ）：世相の移り変わりは激しく，僕が学生だったときに は想像すらできなかったことが大学で行われるようになりました．そのうちのいくつかは良いことですが，悪いこ ともあります．オヤジだとの批判は覚悟の上で，互いの利益のために，以下のルールを定めます．
• まず初めに，学生生活の最大の目的は勉強すること であると確認する．
• 講義中の私語，ケータイの使用はつつしむ．途中入室もできるだけ避ける（どうしても必要な場合は周囲の邪 魔にならないように）．これらはいずれも講義に参加している 他の学生さんへの 最低限のエチケットです．
• 僕の方では時間通りに講義をはじめ、時間通りに終わるよう心がける．
• 重要な連絡・資料の配付は原則として講義を通して行う（補助として僕のホームページも使う——アドレス は最初に載せた）．「講義に欠席したから知らなかった」などの苦情は一切，受け付けない．
• レポートを課した場合，その期限は厳密に取り扱う．
• E-mailによる質問はいつでも受け付ける（hara@math.kyushu-u.ac.jp）ので積極的に利用するように．ただ，
回答までには数日の余裕を見込んで下さい．
１０月１日：今日は連立方程式の解法の復習から入ります．かなりの人が期末では連立方程式が解けないため に苦しんでいたので，しつこくやることにしました．レポートも連立方程式の練習です．
第１回レポート問題：連立方程式に慣れてもらうために，練習問題です．いやがらずにやってくださいね．
後で「固有値と固有ベクトル」を求める際に必要になりますよ．
問1： 次の連立方程式を解け（未知数はx1, x2, x3, x4）．
(a)
x1+ 2x2+x3+x4= 0 3x1 + 5x3−x4= 0 x1−x2+ 2x3= 0
(b)
5x1+ 3x2+ 5x3+ 12x4= 0 2x1+ 2x2+ 3x3+ 5x4= 0 x1+ 7x2+ 9x3+ 4x4= 0
番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．
レポート提出について：
上の問に解答し，
10月5日（金）14:00（時刻は24時間制）までに，原の部屋（六本松３号館3-312）の前の箱に
入れてください．整理の都合上，用紙はA4を使ってください（B5だとなくなっても知らんぞ）．また，２枚以上 にわたる場合は何らかの方法（クリップは不可）で綴じてくだされ．
１０月１５日：今日は連立方程式のまとめと，逆行列の求め方です．
第２回レポート問題：今日は逆行列を求める問題です．ちょっと計算が大変だけど，まあ，一回くらいは やっておきましょう．レポート問題は学期を通して番号をつけますので，今日は問２からになります．レポート問 題は少な目に出しているから，足りないと思ったら各自，教科書の問題などで補ってください．
問2： 次の行列A, Bの逆行列をそれぞれ求めよ．
A=
3 0 −1
0 1 0
−5 1 2
, B=
1 0 0 1 1 1 1 0
−1 0 0 −2 0 1 0 1
番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．
レポート提出について：
上の問に解答し，
10月19日（金）17:00（時刻は24時間制）までに，原の部屋（六本松３号館3-312）の前の箱に
入れてください．整理の都合上，用紙はできるだけA4を使ってください（B5だとなくなっても知らんぞ）．また，
２枚以上にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ．
————————————————— 先週のレポートの略解 —————————————
問1： ともかく行の基本変形を繰り返します．ちょっとうっかりして，「定数項」がゼロの問題ばかりになってし まいました．
(a)行の基本変形の一例：
1 2 1 1 | 0
3 0 5 −1 | 0 1 −1 2 0 | 0
−→
1 −1 2 0 | 0
1 2 1 1 | 0
3 0 5 −1 | 0
−→
1 −1 2 0 | 0 0 3 −1 1 | 0 3 0 5 −1 | 0
−→
1 −1 2 0 | 0 0 3 −1 1 | 0 0 3 −1 −1 | 0
−→
1 −1 2 0 | 0 0 3 −1 1 | 0 0 0 0 −2 | 0
−→
1 −1 2 0 | 0 0 3 −1 1 | 0
0 0 0 1 | 0
−→
1 −1 2 0 | 0 0 3 −1 0 | 0
0 0 0 1 | 0
最後の段階を連立方程式として書くと
x1−x2+ 2x3= 0 3x2−x3= 0 x4= 0
となっているので，x1, x3をx2で表してx1=−5x2, x3= 3x2, x4= 0が得られる（x2は任意）．ベクトルの形で
書けば
x1
x2 x3
x4
=t
−5 1 3 0
（tは任意）
というのが答え．
(b)同様に解くと，
5 3 5 12 | 0 2 2 3 5 | 0 1 7 9 4 | 0
−→
1 7 9 4 | 0 2 2 3 5 | 0 5 3 5 12 | 0
−→
1 7 9 4 | 0
0 −12 −15 −3 | 0
5 3 5 12 | 0
−→
1 7 9 4 | 0
0 −12 −15 −3 | 0 0 −32 −40 −8 | 0
−→
1 7 9 4 | 0 0 4 5 1 | 0 0 4 5 1 | 0
−→
1 7 9 4 | 0 0 4 5 1 | 0 0 0 0 0 | 0
これは連立方程式
x1+ 7x2+ 9x3+ 4x4= 0 4x2+ 5x3+x4= 0
を意味する．分数が出るのも構わず，第２の式をx2について解くと，x2=−54x3−14x4 となるので，これを第一 の式に入れてx1=−7x2−9x3−4x4=−14x3−94x4 となる（x3, x4は任意）．ベクトルの形で書くと（分数が出 てくるのがいやなので）x3/4, x4/4をs, tと書いた）
x1
x2 x3
x4
=s
−1
−5 4 0
+t
−9
−1 0 4
（s, tは任意）
というのが答え．
x1〜x4のうち２つが任意なので，それをどれにとるかで，他にもいろいろな表し方がある．（実際，x1, x4をx2, x3 で表すようにした方が，分数がでなくて良いでしょう．）別の言い方をすると，この連立方程式の解の空間は２次元 だから，その基底の取り方が何通りもある，ということだ．上のはその１例．他の例も挙げると，解空間の基底は 下のベクトルのうちの任意の２つである．
9 1 0
−4
,
11
0 1
−5
,
1 5
−4 0
,
0 11
−9 1
重要な注意かつ警告： この問題はほとんどの人が満点だろうと思っていたが，半分くらいの人がそうではな かったので，正直，驚いています．いくつかの注意点：
• まず，出て来た答えが元の方程式を満たしているかどうかは代入すればチェックできるから，必ずやるよ うに．
• 一応，解いたところでも「x2, x3は任意」などと書いていない人多数．書かないと全くわかんないぞ．
• 基本変形の途中で死んだ人もかなりいた．階段型にするにはどうすべきか，もう一度復習すべし．
• そもそも，「方程式を解く」ことがわかってない人も多数．「解く」というのは，x1=..., x2=...などと 表すことだ．その前の段階で止まっているものは「解いた」とはいえない．
ともかく連立方程式がきちんと解けないと，今学期の単位は苦しいかもしれませんよ．ちゃんと出来るように なってください．（春学期の線型空間などに比べれば，簡単なはずで，やればできるんだから．）
１０月２２日：今日は新しい題材「行列式」です．どこまで進めるかわからないので，レポートはお休み．
————————————————— 先週のレポートの略解 —————————————
問2： ともかく行の基本変形を繰り返して左半分が単位行列の形になるようにします．
(a)行の基本変形の一例：
3 0 −1 | 1 0 0 0 1 0 | 0 1 0
−5 1 2 | 0 0 1
−→
3 0 −1 | 1 0 0 0 1 0 | 0 1 0
−15 3 6 | 0 0 3
−→
3 0 −1 | 1 0 0 0 1 0 | 0 1 0 0 3 1 | 5 0 3
−→
3 0 −1 | 1 0 0 0 1 0 | 0 1 0 0 0 1 | 5 −3 3
−→
3 0 0 | 6 −3 3 0 1 0 | 0 1 0 0 0 1 | 5 −3 3
−→
1 0 0 | 2 −1 1 0 1 0 | 0 1 0 0 0 1 | 5 −3 3
よって
A−1=
2 −1 1
0 1 0
5 −3 3
のはずである．実際，AA−1を計算してみると（計算の詳細は略）I3になっているので，検算O.K.
(b)同様に解くと，
1 0 0 1 | 1 0 0 0 1 1 1 0 | 0 1 0 0
−1 0 0 −2 | 0 0 1 0 0 1 0 1 | 0 0 0 1
−→
1 0 0 1 | 1 0 0 0 1 1 1 0 | 0 1 0 0 0 0 0 −1 | 1 0 1 0 0 1 0 1 | 0 0 0 1
−→
1 0 0 1 | 1 0 0 0 1 1 1 0 | 0 1 0 0 0 0 0 −1 | 1 0 1 0 0 1 0 0 | 1 0 1 1
−→
1 0 0 1 | 1 0 0 0 0 1 0 0 | 1 0 1 1 1 1 1 0 | 0 1 0 0 0 0 0 −1 | 1 0 1 0
−→
1 0 0 0 | 2 0 1 0 0 1 0 0 | 1 0 1 1 1 1 1 0 | 0 1 0 0 0 0 0 −1 | 1 0 1 0
−→
1 0 0 0 | 2 0 1 0
0 1 0 0 | 1 0 1 1
0 1 1 0 | −2 1 −1 0 0 0 0 −1 | 1 0 1 0
−→
1 0 0 0 | 2 0 1 0
0 1 0 0 | 1 0 1 1
0 0 1 0 | −3 1 −2 −1 0 0 0 −1 | 1 0 1 0
−→
1 0 0 0 | 2 0 1 0
0 1 0 0 | 1 0 1 1
0 0 1 0 | −3 1 −2 −1 0 0 0 1 | −1 0 −1 0
よって
B−1=
2 0 1 0
1 0 1 1
−3 1 −2 −1
−1 0 −1 0
のはず．実際に検算するとBB−1=I4となっていてO.K.
しつこく注意： 今回，かなりの人がちゃんと出来ていました．また出来ていなくても「検算したら答えが合 いません」と明記した人も何人かいて，それはそれで良かったとおもいます．（本当は計算をやり直して正しい 答えを出してほしかったけど．．．）
しかしそれでも，検算した形跡もなく，間違った答えを堂々と書いている人が何人かいました．そんな人はみ んな「C」にしました．
実のところ，答えがあっていた人の中にも検算してない人もいるのではないかと疑っております．今回はたま たま計算間違いをしなかったけど，将来やってしまうかもしれないから，ともかく検算はやるように．（中には 検算をしたけど，その過程をレポートに書かなかった人もいるとは思うのだけど．
１０月２９日：今日は行列式の性質と行列式の求め方です．
第３回レポート問題：今日は行列式の計算です．
問3： 次の行列A, B, Cの行列式をそれぞれ求めよ（a, bは定数）．行列Bは前回のレポート問題と同じだ．ま
た，Cの答えはできるだけ因数分解することが望ましい．
A=
1 1 2 −1
2 2 1 −1
1 −1 −1 1
−1 1 3 −1
, B=
1 0 0 1
1 1 1 0
−1 0 0 −2
0 1 0 1
, C=
a b b b
b a b b b b a b
b b b a
Cはちょっと大変かも知れないが，結果は割合きれいに因数分解できる．
番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．
レポート提出について：
上の問に解答し，
11月2日（金）17:00（時刻は24時間制）までに，原の部屋（六本松３号館3-312）の前の箱に
入れてください．整理の都合上，用紙はA4を使ってください（B5だとなくなっても知らんぞ）．また，２枚以上 にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ．
１１月５日：今日は「行列式」の展開とクラメールの公式
第４回レポート問題：今日はもう一回，行列式を求める問題．
問4： 以下の行列式を求めよ（a, b, c, d, xは定数）．Bの方は先週のCほどには簡単になりませんが，ある程度 は因数分解できます．また，b=c=dのときには先週のCに帰着できるから，検算も少しはできます．
A=
1−x 1 1 1
1 2−x 1 2
1 0 2−x 0
1 0 1 1−x
, B=
a b c d
b c d a
c d a b
d a b c
番外問題：これまでの講義内容で改善したらよいと思うところ，わかりにくかったところ，講義への要望などがあ れば自由に書いてください．また，質問があれば，それもどうぞ．この番外問題は成績には一切関係ないことを保 証しますから，次回からの講義を良くするつもりで書いてくださると助かります．
レポート提出について：
上の問に解答し，
11月9日（金）17:00（時刻は24時間制）までに，原の部屋（六本松３号館3-312）の前の箱に
入れてください．整理の都合上，用紙はA4を使ってください（B5だとなくなっても知らんぞ）．また，２枚以上 にわたる場合は何らかの方法で綴じてくだされ（クリップは不可）．
————————————————— 先週のレポートの略解 —————————————
問3： ともかく行や列の基本変形を繰り返して，簡単な（上半三角または下半三角）形にします．その際，符号 の変化に特に注意すること．
(a)基本変形の一例：
det
1 1 2 −1
2 2 1 −1
1 −1 −1 1
−1 1 3 −1
４行に３行を足す
= det
1 1 2 −1
2 2 1 −1
1 −1 −1 1
0 0 2 0
３列と４列入れ替え
= −det
1 1 −1 2 2 2 −1 1 1 −1 1 −1
0 0 0 2
=−2×det
1 1 −1 2 2 −1 1 −1 1
1列に2=列を足す−2×det
2 1 −1 4 2 −1 0 −1 1
2列に3=列を足す−2×det
2 0 1 4 1 −1 0 0 1
=−2×1×det
"
2 0 4 1
#
=−2×1×(2−0) =−4
(b)同様に解くと，
det
1 0 0 1
1 1 1 0
−1 0 0 −2
0 1 0 1
4列から1列を引く
= det
1 0 0 0
1 1 1 −1
−1 0 0 −1
0 1 0 1
= 1×det
1 1 −1 0 0 −1 1 0 1
2行と3行入れ替え
= −1×det
1 1 −1 1 0 1 0 0 −1
=−1×(−1)×det
"
1 1 1 0
#
= det
"
1 1 1 0
#
=−1
