多柱基礎構造物一地盤i系の動的相互作用に関する考察
（昭和54年10月6日 原稿受付）
開発土木工学科高西照彦
Considerations on the dynamic interaction of soil and multi−piles foundation system
by Teruhiko TAKANISHI
Abstract
In this paper， it is discussed that an approximate method proposed by the author is more useful than the precise one in analyzing the dynamic interaction of soH加d multi−piles founda−
ti◎n sy§tem．
Theρr◎p◎sed method ls the one acc◎unting f◎r◎nly the effec垣f the dynamlc displacement
◎fs◎il layer to that of the structure and neglecting the e∬ect of the dynamic displacement of the structure to that of soil layer， for it is able to assume that the kinetic energy of the bridge structure is negligibly small compared with that of soil layer，
It is proved by comparing both results from numerical analyses that the proposed method gives a go◎d agreeme就with the precise one．
1．まえがき 者の計算結果を比較検討して 本論で取上げたような多 柱基礎構造物にっいては，その地震応答を求めるとき，
地下に根入れされたケーソン基礎等の大型土木構造物 後者の考え方に従って，すなわち，多柱基礎構造物が周 に対する地震応答を計算する場合には，周辺地盤との動 辺地盤に及ぼす影響は，これを無視して応答計算を行っ 的相互作用を考慮しなければならないことはよく知られ てもよいことを示した。
ており，相互作用を考慮したいろいろな計算法が提案さ
れている。ここで相互作用とは調辺地盤⑫齢髄 2・多縫鶴造物一地盤系のモデル化
物の変位に及ぼす作用と，逆に構造物の変位が周辺地盤 多柱基礎構造物一地盤系の動的相互作用の問題を解明 の変位に与える反作用の両者の作用を意味している。 するために，本論では，本州四国連絡橋の児島一坂出ルー 多柱基礎構造物についても，その地震応答を計算する ト中に建設される番ノ州高架橋の橋脚基礎として採用さ 場合には，厳密には，周辺地盤との相互作用を考慮しな れた多柱基礎を取上げて，これを図ヨに示すようにモデ ければならないことはいうまでもない。しかし，多柱基 ル化した。図中，①，②等は節点番号を，1，2等は要 礎構造物は大型ケーソン基礎等に比べて，その重量及び 素番号を示す。また，1，II等は上層地盤の層番号であ 剛性が共に小さいので，上述の相互作用のうち，多柱基 る。
礎構造物の変位が周辺地盤の変位に及ぼす影響はあまり 厳密には，多柱基礎構造物一地盤系は3次元的拡がり 大きくはないと考えられる。本論では，（〕）地盤と構造 をもっ振動系として取扱わなければならないが，本論で 物との相互作用を考慮する場合と（ii）地盤の変位が構造 は，同系を有限要素法を利用して解析する関係上，計算 物の変位に及ぼす影響のみを考慮して，その逆の作用は 機の容量制限その他から，これを奥行き方向には変形は
これを無視する場合との2通りの場合について，それぞ すべて一様であるとして2次元解析を行った。さらに，
れ多柱基礎構造物の地震応答計算を行った。得られた両 地盤にっいても，厳密にはその水平方向の拡がりは有限
2
「上部工 ① sアー部
@頂板
1ε293⑫
yL、
⑤ 1
⑥ n
⑦ 皿 ξぶ
⑧1
1▽
⑨1
▽
⑪1⑲ 144 rn w
図一1 多柱基礎構造物一地盤系の振動モデル（単位m）
ではないが，本論ではこの場合も上記と同じ理由で，図 多柱基礎構造物一地盤系の有限要素法解析において採 一1に示すように，上層地盤の厚さの4倍の拡がりを有す 用した諸条件は次の通りである。
る領域を解析の対象とした。このように，地盤を有限な 番ノ州高架橋の多柱基礎は，図一2に示すように配置さ 振動系に置換して取扱うためには，一般にその両端の鉛 れた5×6＝30本の鋼杭から構成されている。本論の解 直境界面に何らかの物理的処理を施して，この境界面に 析においては，計算機の容量を考慮して，これらの群杭 おいて波動の反射及び屈折が生じないようにしなければ を図一2の点線で示すように，仮想的な3本の杭に置換し ならない。しかし，本論の目的が，多柱基礎構造物一地 て取扱った。この仮想杭の1本当りの断面積と断面2次 盤系の地震応答解析において，多柱基礎構造物の変位が モーメントは，これらの実杭がラーメンとして変形する 周辺地盤の変位に及ぼす影響を無視できるかどうかを検 ものとして，次式によって定めた。
討することであることを考えれば，図一1に示すように，
地盤の拡がりを相当大きくとった振動系を採用すること
@ 1：；；1淵 （1）
はぜひ必要であるが，その鉛直境界面において反射およ
び屈折が生じないように，そこに特別な物理的処理を施 ここに，・4・，1。はそれぞれ実杭1本当りの断面積及び すことは，いまの場合必ずしも必要でないと思われる。 断面2次モーメントである。、
一般に，地盤の拡がりが有限である場合の方が，無限で 地盤は平面歪状態にあるとして，これを長方形要素に ある場合に比べて，相互作用の影響は大きく現われると 分割した。多柱基礎構造物のピアー部及び前記の仮想杭 考えられる。 は共に曲げ及び伸縮変形を行う梁要素と考えた。また頂 板は平面歪状態にある長方形要素とした。
39 L旦 地盤の水平方向の鉛直境界においては，水平方向の変
8品［：え8二
○○0
12．0
○○○
位は自由とし，上下方向の変位は拘束した。また，上層 地盤は，堅固な水平基盤上に存在すると仮定した。
3．有限要素法による多柱基礎構造物一地盤系の振動 特性の解析
12．0 3．1． 振動方程式
｛ （a）多柱基礎構造物一地盤系の振動方程式
図＿2 多柱基礎の配置および 有限要素法を用いて多柱基礎構造物一地盤系の振動方 仮想杭（単位m） 程式を得るためには，同系を有限要素に分割したときに，
その各要素に対する剛性マトリクス及び質量マトリクス ことができる。
を求めなければならない。 さて，このようにして各要素の剛性マトリクス及び質 既に前節で述べたように，地盤及び頂坂は図一3に示す 量マトリクスが得られれば，系全体の剛性マトリクスκE
ような長方形の有限要素に分割した。この長方形要素に 及び質量マトリクス1脆は，これらをすべて重ね合わせ 対する変位関数としては，次式に示すように，元，夕に関 ることによって与えられる。
する2次の多項式を用いた。 いま，各節点のκ及びy方向の変位ベクトルを肱と すれば，図一1に示す振動系に対する非減衰自由振動方程
鷹已：‡1：㌶麗｝ ｛2）式は
〜lfε∬E十KE〃E＝ 0 （4）
2 Y 1 と書くことができる。ここに，上付添字・・は時間に関す る2階微分を表わす。
o X ωを非減衰自由振動の円振動数，γ》ηを節点の変位振 3 4 幅ベクトルとして
肪＝γ￡ア｝si品≠ （5）
図一3 長方形要素
とおいて，式（4）に代入すれば
ここに，μ，〃は要素内各点のX及び夕方向変位，αゴは （κ6一ω2〃E）γ官＝0 （6）
節点変位によって定まる未定係数である。変位関数の形 となる。これより与系の振動数方程式が得られて が与えられれば，要素の剛性マトリクスK劉を求めるこ 区亡ω2」臨1＝0 （7）
とは容易である。また，この長方形要素に対する質量マ 上式を満足するωを求めて，これを次武のように表わ トリクス泌s｝は，式②で表わされる変位関数を用いてコ す。
二lil灘三撫㌶；2i…籔 叶》」 幅）
な多項式を用いた。 ここに，批・は多柱基礎構造物一地盤系の第γ次の固 有円振動数，」VEは自由度の数である。
三；影藻｝③麟鱒購2籔≧
る。
Mi・ei亨 M▲ γ。＝｛γ 1・γe・・…γ差凡）｝
N・Ui NレUj y γ γ一⇒ X ε11 ￡12 EIM
゜・・V・
@ Qj・Vl ＝y…… i （9）
↑
図一4 梁要素
ここに，μ，〃，θはそれぞれ梁要素内各点の軸方向変 （b）上層地盤の振動方程式
位，軸直角方向変位，回転角である．また，駕は軸方向の 図一1において，多柱基礎構造物を取り除いて上層地盤 座標，夕は中立軸からの距離である。地盤要素の変数は のみを考えた場合に，その上層地盤の固有円振動数及び μ，0だけであるが，梁要素の変数には回転をいれて％， 振動型を有限要素法を用いて求めるには，（a）の場合と全 頃 釦，θとしている。したがって，地盤と梁とは節点以外で く同様にすればよい。
は一般に連続の条件を満足していないことになる。上式 非減衰自由振動方程式は
．の変位関数を用いれば，梁要素の剛性マトリクスX㌍及 Mぱ＋κcω＝0 ⑯ びコンシステント質量マトリクス凪b）は容易に求める これより固有円振動数及び振動型を求めれば
4 人
耽＝｛∵∴｝ ω灘輪i灘㌶璽翼
0，12，32，57，92，202m），深さ方向に6分割（0，一 σニ｛σ吻《2）…σ｛ガG）｝ 15．5，−33，−50，−69，−87，−97m）して10×6＝
；／：∵∴…1灘羅1織1三
ここに，〃c，κo，11はそれぞれ上層地盤のコンシステ mであり，単位体積重量は2．5t／m3，弾性係数は2．7×
ント質量マトリクス，剛性マトリクス，節点の変位ベク 106t／m2である。したがって，図一2に示した仮想杭の断面 トルである。また，批書，ξふはそれぞれ第力次の固有円 積及び断面2次モーメントは，式ωより
振動数，第ρ次の第ノ番目の自由度に対する振動型の大 、4＝2×5×π（3．02−1．82）／4＝45．2rn2 きさを表わす。 ∫＝2×5×π（3．04−1．84）／64＝34．6m4
3．2．固有周期及び振動型の数値計算 となる。なお，杭は図一1に示すように，これを4分割し 3．1で述べた方法に従って，図一1に示した多柱基礎構 た（5．0，0，−15．5，−33，−5◎ln）。
造物一地盤系及び上層地盤の固有周期並びに振動型を求 頂板の大きさは24m×5mで，これを2等分して12 めた。 m×5m×2（要素）とした。単位体積重量は3．7t／m3，
表一1 地盤層の弾性係数
地盤層 深 さ（m） 弾性係数
it／m2）
1 0 〜 −15．5 480◎
H 一15．5 〜 −33．0 7200
皿 一33．0 〜 −50．0 7200
IV 一50．0 〜 −69．0 9600
V 一69．◎ 〜 −87．◎ 12◎◎◎
w 一87．0 〜 −97．◎ 6◎◎oo
表一2 ピアー部の断面積と断面2次モーメント 要 素 高 さ（m） 断 面積
@（m2）
断面2次
a[メント
@（m4）
1 34．9 〜 52．2 0，296 0．98
2 2◎べ 〜 34．9 99．21 1179◎
3 5．0 〜 20ユ 133．4 1652◎
ボアソン比は0．167，弾性係数は2．7×106t／m2である。 した。
ピアー部は長さ47．2mであり，これを3分割（5．0，20． このようにすれば，多柱基礎構造物一地盤系に対して 1，34．9，52．2m）した。各要素の断面積及び断面2次モー は，節点数47，自由度79・要素数は上層地盤30・頂板1・
メントは表一2に示す通りである。 杭8，ピアー部3の合計42となる。また，上層地盤に対 上部工は図一1に示すように，自由度2の1質点に置換 しては，節点数42，自由度60・要素数は30となる。
した。その重量は5000tである。 多柱基礎構造物一地盤系の第14次までの固有円振動 解析に当っては，図一1に示す振動系の対称性を考慮し 数及び固有周期を表一3に・上層地盤の第13次までのそれ て，解析は与系の右半分のみについて行った。さらに， を表一4に示す。また・多柱基礎構造物一地盤系及び上層 与系がその基盤から水平方向の強制変位を受ける場合に 地盤の振動型をそれぞれ図一5及び6に示す。
ついて考えれば，与系には対称振動のモードは誘起され 表一3と4を参照して・図一5と6とを比較すると・多柱基 ないので，ここでは逆対称振動のモードのみを求めるこ 礎構造物一地盤系の第1次振動はピアー部の第1次の固
とにした。したがって，対称軸上の各節点については，そ 有振動であり・また第2・3・……9次振動の振動型は・
の水平変位友び回転は自由，上下変位のみを拘束した。 それぞれ上層地盤の第1 2・……8次振動が卓越する振 また，対称軸上の重量及び剛性はすべてもとの値の％と 動型であることがわかる。
表一3 多柱基礎構造物一地盤系の固有周期 表一4 上層地盤の固有周期
振動
汾
固有円振動数
@ （rad／s）
固有周期
@ （s）
1 1，635 3，844
2 2，337 2，689
3 3，770 1，667
4 4，355 1，443
5 5，456 1，152
6 6，451 0，974
7 6，836 0，919
8 7，713 0，815
9 8，564 0，734
10 10．13 0，620
11 11．19 0，562
12 11．67 0，538
13 11．86 0，530
14 12．11 0，519
振動
汾
固有円振動数
@ （rad／s）
固有周期
@ （s）
1 2，377 2，643
2 3，942 1，594
3 4，411 1，424
4 5，663 1，109
5 6，804 0，923
6 6，850 0，917
7 7，912 0，794
8 9，244 0，680
9 10．32 0，609
10 11．29 0，557
11 11．57 0，543
12 11．71 0，537
13 12．41 0，506
6
1 1
1 1
1
1
1
1
1 1 1 レー，1
1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1
1
1
（a）1次 （b）2次 （c）3次
ドロ@ロ ド ア ロ トロコ ロヨ ロ ロ ふテ ア ド テ マ テ
il−一‡⊃…i…−i l烈一｝…1…−i ll棒」∋
≡ トー一一 トー一一一 F−一一≡・・一 一一一・．・一←，一 ． ■… 」一・．・・ 一 一一 一・一一一一一一一一 一≡，
（d）4次 （e）5次 （f）6次
l F ［
…，一ｨ一i 1 惑lll…li：…il： ；…≡i …：顯三；≡；；：］il：：
1…「…l l i…i 甲i… 1 ・…i・ ・
（9）7次 （h）8次 （i）9次
1ｧ…r 一「一一1−… −1 m≡］一ミこ「二iiil 参］
ll− o一一一一： l l ll ‥1…．r …一一一一… ； L−一一L−一 一…− 1 LI− i−一一一一一一一一一…一…
ト L −一→ 一一一一4−一一一一一 一一一 ト ， 一一一一一一一一一一一一
（j）10次 （k）11次 （1）12次
㈲ 13次
図一5 多柱基礎構造物一地盤系の振動型
1 1
一，，一一一一一@ 一一→→ ト ー一◆一 ，一一
（a）1次 （b）2次 （c）3次
「一 ≡ 一T 一曽一 u l l
1
一一一● 一一 一 一一←
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@ ＿一＿＿≡一一一一一≡
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一T D一F二玉；三三：．］ ［コー工こ］ ＿三L二＿一＿一． … 1… i l l ．｜
コ く ロ コ コ ト
「l i l l l ll l l l l ri−，一一一」 ・一
（d）4次 （e）5次 （f）6次
（9）7次 （h）8次
図一6 上層地盤の振動型
という）と（ii）周辺地盤の変位が構造物の変位に及ぼす
影響のみを考慮して，構造物の変位が周辺地盤の変位に である。さらに，1は単位ベクトルを表わす。
与える影響は小さいとしてこれを無視した場合の多柱基 入力地震波勿9ωが与えられれば，式03）を用いて刻々 礎構造物の応答解析（以下B法という）の2通りの場合 の節点変位佐を求めることができる。しかし，節点数が に対する解析を行って，両者の結果を比較した 多い場合には，式⑬を用いて応答計算を行うことは得策 4．1． A法による応答解析法 ではない。本論では，3．で求めた多柱基礎構造物一地 図一1に示す多柱基礎構造物一地盤系が，基盤から一様 盤系の固有円振動数と振動型とを用いて，振動型解析法
な地震波μ9（r）を受けたとき，その振動方程式は次のよ によって与系の応答解析を行った。
うに表わすことができる。 いま，基準座標ベクトルをψEとすれば，節点変位は式 〃E〃ε＋CE〃E＋κ￡〃E＝一∬g（『）〃E1 （13） （9）の振動型マトリクスを用いて
ここに，〃E，κE，班は3．で定義されたコンシステン 〃EニγεψE （15）
ト質量マトリクス，剛性マトリクス，節点変位ベクトル と書くことができる。上式を式0①に代入し，左から訂 である。また，CEは減衰係数マトリクスで を掛けて，基準化された振動型の直交性
8
γ∫〃εれ＝∫ （単位マトリクス） （16） ある。また，Ccは上層地盤に対する減衰係数マトリクス を用いれば で，次のように表わせる。
φE＋γκEy左ψE＋r畜κErEψE＝一∬9（∫）r9〃E1（17）
三灘糠∴iα一ti☆1：1．∴］㈱
辺第3項のψFの係数マトリクスは，式（6）の関係を用い 4．1と同様にして，上層地盤に対する振動型解析法の れば 基礎式を導くことができて，それは次のように表わせる。
η』 ＝＝ 】r2『KE rE （19） μ ＝ 〃ψG （24）
と表わせる。さらに，右辺のμg（r）の係数ベクトルをβE φ。＋2抗πcψG＋η2ψG＝一∬g（のβc ㈱ とおけば，式06）を用いて ここに，σ，πGはそれぞれ式ω，式ODで定義された振動 βEニγ『〃E1＝（γZ〃εrε）−1r『〃E1＝若11 （20） 型マトリクス，固有円振動数マトリクスである。ψcは基
の関係が得られる。βεは刺激係数ベクトルと呼ばれる。 準座標ベクトルを表わす。また，抗は
以上に示した関係式を用いれば，式0のは，次のように 2玩ηc＝σ7CcL「 （2θ 書き改めることができる。 で定義された減衰定数マトリクスである。さらに，βGは φε＋2輪ηε砲＋π2ψE＝一〃g（『）βE （21） 刺激係数ベクトルで
刻々のμθ（ ）が与えられれば，上式からψEを求める βG＝σ一11 （27）
ことができる。さらに，このψEを式05）に代入すれば， と表わすことができる。
刻々の節点変位悔が得られる。 刻々の入力地震波ぬ（のが与えられれば，式㈱からψG いまここで，減衰定数マトリクス玩が対角マトリク が求められ，これを式（24）に代入すれば上層地盤の節点変
スであれば，式（21）はそれぞれ独立な」VE個の2階常微分 位μが得られる。
方程式を表わすことになる。したがって，適当な個数の （b）多柱基礎構造物の地震応答解析法
基準座標ψ」を採用して与系の応答計算を行うことがで 図一1に示すような多柱基礎構造物一地盤系におい きる。採用すべき基準座標の個数は，入力地震波の周波 て，周辺地盤の変位が構造物の変位に及ぼす影響のみを 数成分や必要な精度等を考慮して，すべての振動次数の 考慮して，構造物の変位が周辺地盤の変位に与える影響 中から，求めようとする応答値に寄与する割合が大きい を無視した場合に対する構造物の振動方程式を導くこと 振動次数を選んで，適当に定めればよい。 を考える。
一般に，減衰定数マトリクス玩について，その対角要
素の値が他の要素の値に比べて非常に大きい場合，ある 1
得ることができる。 ． 4．2． B法による応答解析法
（a）上層地盤の地震応答解析法 ，，
上層地盤が基盤から一様な地震波妬（τ）を受けたと き，その振動方程式は次のように表わすことができる。
いは玩が対角マトリクスであるような場合には，式（15） ① と式⑳とを用いて応答計算を行う振動型解析法は，式q3）
＿ 2 をそのまま用いて応答計算を行う解析法に比べて，はる
かに少ない計算量で，必要な精度を有する時刻歴応答を 3 ④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨ U1⑩
11
U2
U312
U4 X 〃、∬＋C、元＋、K。μ＝一∬。（の〃、1 （22） 13
ここに，〃G，κc，μは3．1で定義されたコンシステント
図一7 地盤中の多柱基礎構造物の 質量マトリクス，剛性マトリクス，節点変位ベクトルで 振動モデル
図一7に示すように，多柱基礎構造物の地中部における 物の地震応答を計算する方法（B法）を示す。
各節点が，周辺地盤と接する点に，それぞれ水平及び上 さて，まず静止地盤中における多柱基礎構造物の固有 下方向に作用する一つのばね花∫を導入して，周辺地盤 円振動数及び振動型を求めるために，式㈱において の変位はすべてこのぼねκGぶを通して構造物に力を及 Cs；0，翫∫＝0，∬g（彦）；◎
ぼすものと考える。図一1に示す多柱基礎構造物一地盤系 とおき，さらに，】r§のを節点変位ベクトルとして
をこのように振動モデル化して考えれば，多柱基礎構造 跳＝γ㍗sinぴ ⑳ 物の振動方程式は，次のように表わすことができる。 とおいて，これを同式に代入すると
〃8∬、＋Cs〃s＋κ、〃、＋κGS（〃s一ω、、）＝一〃。（r）〃s1 ｛（κ，＋κ。、）一ω2妬｝γ〜γ｝＝0 （32）
㈱ を得る。この同次方程式を満たすωの値を求めて，これ ここに，虹s，頁sは多柱基礎構造物に対するコンシステ を編とすれば
戴灘藷驚辮欝総 砺］∵」 倒
造物の自由度を勿とすれば，〃2×勿の正方マトリクスで が得られる。ここに，κ、。は静止地盤中の多柱基礎構造物 ある。 の第グ次の固有円振動数である。また，〃2は自由度の数 κGSは前述のように，構造物と地盤との共通節点の間 である。いま得られたη、，を式（32）に代入すれば，多柱基 を結ぶ地盤のばね定数マトリクスで・それは地中部分の 礎構造‡刎こ対する第夕次の振動型が得られて，それをマ 杭の各節点において，この節点の単位変位に対して抵抗 トリクス表示すれば，次式のように表わせる。
する地盤の節点反力を表わすものである。地中部分の杭
の節点の全泊度を9け城劇ま次のように劫 左酬頚2㌦ ㍗り すことができる◎ 編y・・ズ ° 垣
κcs＝
゜、碗゜
κcぶ1 κGS2 0 Kc5￠
伽 つぎに，上層地盤が第力次の振動型ぴρ）に等しい静変 位を行う場合を考える。このとき，その地盤の静変位に よって強制された多柱基礎構造物の静変位を顧タ）とす なお，XGSの各要素の定め方については，次項で述べ れば，このi「§ρ｝は次式によって求めることができる。す る。 なわち，σ総を地盤中の杭の各節点における地盤の第ρ 拓 は多柱基礎構造物の各節点の変位ベクトルである。 次の振動型（これはび㈲から適当にその要素を選ぶこと μ6sは杭の地中部分の各節点と接している地盤の節点 によって得られる〉として，式㈱において
変位と（〃2一σ）個の0とから構成された地盤変位ベクト 仇5＝｛0……OI1ε劉＝㊨総 （35）
ルで，次式のように書かれる。 （〃トの個 翫S＝｛0…・0μ境2・…繭戸 ㈱ μ5＝y営）
（〃z一の個 とおき，さらに，時間に関する項をすべて0として 砒Sは式（24）と式㈱とから求めることができる。 （πs十κGS）飛ρ）＝頁csσε留 （3⑤ いま，刻々の洗（のが与えられれば，式閻と式㈱から が得られる。上式において，ρ＝L2，……〜Vε（上層地盤
翫sは計算できるので，式㈱を用いて多柱基礎構造物の における節点の全自由度）とすれば，上層地盤の各次数 各節点の刻々の変位〃sを求めることができる。しかし， の振動型に対する多柱基礎構造物の静変位型γ8が求め 4．1で述べたと同じ理由で，式⑳を用いて多柱基礎構造 られて
物の地震応答を計算するのは得策とはいえない。そこで 芸＝（κ5十頁6s㌍1頁csむGS 日力 本論では，以下に，振動型解析法を用いて多柱基礎構造 ここに，
10
η1 ＝ 】r∫（K5一トκcs） 】r5 （45）
忌＝㊤D亘 …亘∂｝ と書｝ナる。
σGS＝｛〃総σ総……σ陛）｝ れば
ぐll｝一）個
Ucs21 Ucs12……σGSINc σGS21 UCS22
σGS・1………σc59N6
γ♂〃sγs＝（γ∫〃5rs）−1γ∫〃5】「5
＝ 】r↓「1 】rs （47）
と表わせる。
（39） （v）右辺第3項のψ、の係数マトリクスは，式（40と式㈲
を用いれば
r∫Cs｝「s＝r♂Csγsγξ1｝「5
＝2ぬsη5γ；1r5 08）
ここで，上式のσcsを用いれば，式釧のμG5は，式（25） （vi）右辺第4項と5項については，第5項のμGSに式 の基準座標ψGを用いて ㈲の関係式を用いてこれを整理すれば
μc5ニσc5ψc ㈲ 一r∫（κ5十κcs）γsψc十r∫Kcsμcs と表わせることに注意しておく。 ；一γ♂｛（κ5＋κcs）γs一κG5〃cs｝ψc 式（34）及び式（38）に示すような，多柱基礎構造物の振動型 となる。ここで，式0θの関係を用いれば，上式は0となる 及び静変位型を用いれば，多柱基礎構造物の各節点の変 ことがわかる。すなわち，
位ベクトル〃sは，次式のように表わすことができる。 右辺第4項＋第5項＝0 09）
〃s＝γsψ5＋γsψc ㈲ 以上の関係式を用いれば，結局，式（43）は次式のように また，このときの上層地盤の各節点の変位は，式⑳に 表わすことができる。
よって与えられる。上式において，ψs，ψGは基準座標べ φs＋2λ∫ηsψ∫＋π』ψs
クトルであり，ψGは式（25）によってこれを求めることがで ＝一∬g（r）βs一γ51アsφG−2苑5ηs｝rξ1】「5φG ⑨ きる。ψsについては以下に述べる。 上式において，右辺の第2項と第3項とが，周辺地盤 式（41）を式（28）に代入した後，左から官を掛けて，基準化 の変位が多柱基礎構造物の変位に与える影響を表わす項
された振動型の直交性 である。
「∫ sγ∫＝∫ 02） 刻々の入力地震波μg（r）が与えられれば，式（24），（25）か を用いれば ら上層地盤の変位μを，式（41），㈹から多柱基礎構造物の ψsヰγζC5「sψs＋γ罰κ8＋κc5）「sψs 変位〃s［を求めることができる。
＝一∬、（ ）「∫ s1−「♂妬1「5φc−｝！∫Csアsψc 一般に，上層地盤が浅くて，多柱基礎構造物において 一「∫（κ5＋KGS）1『sψc＋γ♂KGSμGS O3） 杭の空中部分が長いときは，式（41）の右辺第1項が支配的
を得る。上式の各項にっいて となり，また，杭が上層地盤中に深く根入れされていて，
（i）左辺第2項のψsの係数マトリクスは，次式で定義 しかも地盤が比較的固い場合には，地盤変形の影響が大 される減衰定数マトリクスを用いた係数マトリクスに置 きくなり，したがってこの場合は第2項が大きく利いて き換えることができる。 くるようになる。
2んsηs＝「♂Cs】「s ω 本節に述べた解析法（B法）は，このような特長を有 ここに，πsは式（33）に示す固有円振動数マトリクスであ すると同時に，この解析法に従えば，採用すべき振動次 る。 数を上層地盤及び多柱基礎構造物のそれぞれについて適
（ii）左辺第3項のψsの係数マトリクスは，式（42）の関係 当に選ぶことができるので，同一精度の応答計算値を得 を用いて，式（32）を参照すれば るために採用すべき振動次数の数を比較的少なくするこ
とができる。したがって，図一1に示すような多柱基礎構 によって，まず最上層の地盤のばね定数を定める。ここ 造物一地盤系の地震応答解析に必要な計算時間が少なく に，1（ξs，，Q♂睨は節点⑤における地盤のばね定数，地 てすむことになる。 盤の反力，地盤の変位を表わす。他の記号についても同 4．3．地盤のばね定数および減衰定数 様である。
｛a）ばね定数 つぎに，地中部分の杭の各節点における地盤iのばね定 図一1に示すような多柱基礎構造物一地盤系の地震応 数については，それぞれ当該節点の真上にある節点⑤或 答を求めようとするとき，これを図一7に示すような多自 は節点⑬の地盤のばね定数を基準として，次式に示すよ 由度系に置換して取扱う場合には，地盤のばね定数マト うに，当該節点が属する地盤層のせん断弾性定数の重み リクス頁のを合理的に定めることが必要になる。 付平均値（重みとして層厚を採用した）に比例するとし 厳密に考えれば，すなわち周辺地盤との相互作用を考 て，これを定めた。例えば，節点⑦のズ方向の地盤のば 慮する場合には，各節点における地盤のばね定数K鰯 ね定数は
㌶藤㌶翻1：㌫叢三二㌫ κあ＝艦ピ㍍ （52）
てそれぞれその値が変化するものとして処理されなけれ によって求められる。ここに，1n，1mはそれぞれ第2層 ばならない。多柱基礎構造物と地盤の動的な変位の型は， 及び第3層の層厚。仰，斑 は周じく層のせん断弾性定 強制振動の振動数に応じて変化するので，地盤のばね定 数である。
数κGS」は振動数によって変化することになる。すなわ 以上のようにして定めた各節点の地盤のばね定数を表 ち，κGSゴは振動数特性を有することになる。このことに 一5に示す。なお，（）内の節点番号は図一7のそれに対応 関しては，稿を改めて論ずることにする。本論では，地 している。
盤のばね定数KG5ゴは振動数には無関係な一定の定数で （b）減衰定数
あるとして取扱うことにした。そして，その値は次のよ 4＞及び4．2で示した多柱基礎構造物一地盤系の振動 うにして定めた。 方程式中に現われた減衰係数マトリクスCε（式00）
図一1に示す多柱基礎構造物一地盤系において，その頂 Cs（式（28））及びCG（式（23））については，本論では，以下 板中の節点⑤に水平方向の荷重を加えたとき（図唱参 に述べるような理由から，次式に示すような関係式を満 照），それぞれ節点⑤と節点⑬における上層地盤の水平 たすものとして，これらの値を定めた。
方向及び上下方向の変位と節点反力とを求めて，両者の 実際の振動系に対しては，本来減衰係数を理論的に定 比をとり めることが不可能であることはよく知られているが，本
：ζ認㌶憲／δ払｝（51）翻：ご㌫灘鶏；膿（鷲灘
1 を無視してもよいかどうかを数値計算によって明らかに ｛ することにあるので（i）理論的取扱いが便利であるこ
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i 表一5 地盤のばね定数κε5
図一8 多柱基礎構造物一地盤系の静変位
ばね定数 κcs（×106kg／m）
節 点 X方向 Y方向
⑤ 5．64
⑥ 7．13
⑦ 8．45
⑧ 8．45 一
一
⑬（⑩） 32．2 103．0
⑭（⑪） 40．8 131．0
⑮（⑫） 48．3 155．0
⑯（⑬） 48．3 155．0
12
と，（ii）実際の振動系がそうであるように，高次振動に と表わすことができる。
対しては減衰が大きくなるようにすること，（iii）振動型 4．4．多柱基礎構造物の振動型ならびに静変位型の 解析法の特長を生かして，減衰項による各振動次数間の 数値計算
連成が生じないようにすること等を考慮して，各減衰係 前節で求めた地盤のばね定数κGSを用いて，式（32）に 数マトリクスは，それを含む振動方程式の剛性マトリク よって，図一7に示す多柱基礎構造物の固有周期および振 スに比例すると仮定した。すなわち，それぞれα蒼，パ，α6 動型を計算した。固有周期を表一6に，振動型を図一9に示 を定数として す。
i遼一｝ ⑬遼㌶灘㌶：㌶鷲嘉：
と表わすことができると仮定した。 上の図表には，多柱基礎構造物の振動数と振動型につ 上式の関係を式⑱の右辺に代入すれば いては，第4次振動までを，静変位型については第8次 2ゐEηE＝躍CεrE＝α差γ『κE rE＝雄π蒼 （54） までを示した。
を得る。したがって，減衰定数マトリクス玩は
ゐ、一（1／2）。差。、 （55） 表一6多柱鑓髄物の固有醐
と表わすことができて，玩は対角行列となることがわか る。同時に，砿が与えられれば，上式からゐεを定める ことができる。
同様にして，ゐs及び力Gは式㈲及び式㈱を用いて，そ れぞれ
〃s＝（1／2）αきπ、 （駈）
7εG＝ （1／2）αξπc （57）
振 動 氈@数
固有円振動数
@（rad／s）
固有周期
@（s）
1 1，641 3，828
2 6，370 0，986
3 11．84 0，530
4 16．03 0，392
l l i l
l l I l ｜ I I
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トコひ レロヨ
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l l 1 l l l I コ コ コ コ コ
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11 1i い
l l l l
（a） 1次 （b）2次 （c）3次 （d）4次 図一9 地盤中の多柱基礎構造物の振動型
ii li ｝ 川 ii ii ii 川
（a）1次（b）2次（c）3次（d）4次 （e）5次（f）6次（9）7次 （h）8次
1 ｜ I l
｜ l l I l l l l
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トー トー l l I l l l ニ
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1 ｝ I l l ⑪ l l ｜ 1 ｝ l I l l I l I l l l I l I I ］ 1 l l I l l l l l I l I l I
｜ l l I l l I ‖ 1 ｜ ｜
トコ トで ロっ ヨ トコ ヨ トコ トコ ト づ づ トロ ト
ii ii ii N ii i…
図一10 多柱基礎構造物の静変位型
4．5．応答計算結果並びに考察 一地盤系における節点番号⑫の点に対応する点である。
4．1（A法）及び4．2（B法）に述べた解析法に従って， さらに，図中のん＝0．05は・前述のように・多柱基礎 入力波がそれぞれ正弦波地動である場合及び実在地震波 構造物一地盤系の第1次振動に対する減衰定数として0・05 である場合に対して，図一1に示す多柱基礎構造物一地盤 を採用したことを示す。他の次数の振動に対する減衰定 系の応答計算を行って，A， B両方法による計算結果を 数は式㈹を用いて定めた値を採用した。
比較した。 図一11にはそれぞれん＝0．05及び0．1の場合につい 数値計算で採用した減衰定数は，次のようにして定め て，代表的な節点①，⑤，⑫（⑨）の水平方向変位に対
た。すなわち，まず，式⑬において，比例定数α＊はすべ する共振曲線が示されている。他の節点に対してもほと て等しいとした。 んど同様な共振曲線が得られる。
α1＝αξ＝α引＝α8とおく） （5θ 同図から，カ。＝0．05の場合に対して，節点①一κにつ っぎに，このαδは，図一1に示す多柱基礎構造物一地盤 いては2．3rad／s附近に，節点⑤一κ及び節点⑫（⑨）一κ 系の第1次振動の減衰定数が一定の定数んに等しくな については4〜9rad／sに・A・B両法による計算結果の
るように定める。このようにすると，式岡を用いて 差が多少みられるが，共振曲線におけるこの程度の差は，
α8＝2ぬ・／ηE、 （59） 本論で取上げた多柱基礎構造物一地盤系の地震応答を考 の関係式が得られる。ここに，ηE・は多柱基礎構造物一地 える上にはほとんど無視しても差支えないものと考えら 盤系の第1次の固有円振動数である。 れる。また，拓＝0．1の場合に対しては，いずれの節点 したがって結局，ん。を定めれば式㈲からα3が得られ についても両者の差はきわめて小さい。
る。このα8を用いれば，数値計算に必要な減衰定数マト 以上のことから，A法及びB法による計算結果は全体 リクスはすべて求めることができて，式㈲，（5θ，㈱より としてよく一致しているといってもよいであろう。
⊇ii自㈹灘搬曇竃黙㌔
と表わせる。 ＼ い，各節点の変位及び加速度の時刻歴応答を求めた。
基準となる減衰定数力。としては，ん。＝0．05と0．1の 減衰定数としては前節の場合と同じく拓＝0・05・0・1 2通りの値を採用した。 の2通りの場合を採用した。
A法，B法のいずれの場合についても，振動型解析法 入力実地震波としては， EL CENTRO，SAN FER において，固有円振動数が12rad／s以下の振動次数のも NANDO， TAFTの合計3種類のものを用いた。
のを採用した。したがって，A法においては第13次振動 数値計算には，ニューマークのβ法を用いて数値積分 まで，B法においては地盤振動については第12次振動ま を実行し，積分の時間刻みは△『ニ0・02秒を採用した。
で，多柱基礎構造物については第3次振動までの振動次 計算結果の一部を図一12〜14に示した。図には節点① 数を採用した。 一κと節点⑤一πに対する加速度及び変位の応答計算結果 （a）正弦波地動に対する応答計算結果 のみしか示していないが，他の節点に対してもほとんど 多柱基礎構造物一地盤系がその基盤から正弦波地動 同じ結果が得られている。
μg（『）＝（αg9／ω2）sinωr ㈹ 同図から，いずれの場合もA法及びB法による計算結 を受けたときの応答計算をA法及びB法によって行い， 果は互によく一致していることがわかる。
各節点の変位の応答倍率を求めた。上式において，α9は したがって，以上のことから，多柱基礎構造物一地盤 水平震度，9は重力の加速度，ωは円振動数である。 系の地震応答を計算するのに，構造物と周辺地盤との相 計算結果の一例を図一11に示す。図中，例えば，記号① 互作用を考慮する場合と周辺地盤が構造物に及ぼす影響
才は図一1に示した多柱基礎構造物一地盤系における節 のみを考慮する場合とが，その結果においてほとんど差 点番号①の水平方向の変位を意味する。また，記号⑫ がないことが示されたことになる。
（⑨）一κ中の⑨は，図一7に示した多柱基礎構造物におけ る節点番号を意味するもので，これは多柱基礎構造物
14
14 12応 答 倍10 率
8 6 4
7 ①一X 6
＝；蔭 馨，
倍 h。・0．05 率4
3
2
1
0246810 0
2 4 6 8 10 ω（r。d s●C） ω（r。d sec）
（a） （d）
4 ⑤一x
⑤一x
l： … 1： ㎏ω
2
0 246810 0246810
ω（rqd／sec） ω（rqd sec）
（b） （e）
8 4
⑫（⑨）＿x ⑫（⑨）−x
l6 … 警・ 睦卯
4 率2 2
0 246810
0 246810
ω（r。d／sec） ω（rqd sec）
（c） （f）
図一11 多柱基礎構造物一地盤系の共振曲線
0 4 8 12 16… 0 4 8 12 16sec
gql
gql 400
ジ゜°
@ 麟；駆で法 y㎜ ‥一餉一
一一・法 蹴 1 溺
i ¶‥
一・
@ 庁。。5 −2°ll印㎏゜°5冒
一40
−400
（a） （c）
0 4 8 12 16se・ 0 4 8 12 16sec
loocm 40
y EL CENTRO ①一x DIS・ y EL CENTRO ⑤一X DIS・
50 20
直 、 、
o ・ 「 O×． ＼＼
．50 、 −2 h・＝0・05
ho＝0．05
−100 ＿4
の （d）
図一12 多柱基礎構造物一地盤系の地震応答曲線（EI Centro）
0 4 8 12 16 … 0 4 8 12 16 sec
gol ジ SAN FERNANDO ①一X ACC・
200（m。・1509d） F l
h・＝0・1 ・ ．1
−200
−400
（a） （c）
0 4 8 12 16 se・ 0 4 8 12 16 sec
20 SAN FERNANDO ⑤一X D！S・ li γ100
y，。sAN FER・AND・①一x DI・ ケ ， y10 n（n
一 へ穴 7i！ ！
一50
−100
》 〉， 川li
、〜 −10 ho＝0．1 N7 i 、、 ． ，
、 −20
（b） （d）
図一13 多柱基礎構造物一地盤系の地震応答曲線（San Fema皿do）
16
0 4 8 12 16 gec O 4 8 12 16 sec
200 y ジ
一1
−20
一10
−200
（a） （c）
0 4 8 12 16 5■c O 4 8 12 16 sec
cm cm
20 y
10
一10
一20
20 了AFT①一X DIS グ y ソ グ ， 10
ho＝01 、、 ， ㌔ 一10
一20
．込 TAFT ⑤一X DIS
（b） ω
図一14 多柱基礎構造物一地盤系の地震応答曲線（Taft）
5．結 論 謝 辞
以上の数値計算の結果から，次のような結論を得るご 本論文は，九州大学工学部教授小坪清真先生の懇切で とができる。 しかも適切な御指導のお蔭で仕上げることができまし 図一1に示すような多柱基礎構造物一地盤系に対して， た。長年にわたっていつも変らぬ懇切な御指導をいただ
A法（構造物と地盤との相互作用を考慮した解析法）及 いております小坪先生に心から感謝致します。
びB法（周辺地盤の変位が構造物の変位に与える影響の
みを考慮した解析法）を用いて，地震応答解析を行った 参 考 文 献
結果，A， B両解析法による与系の応答曲線がよく一致 1）土質工学会編：土と構造物の動的相互作用・土質工学会，
することがわかった・したがって・図一1に示すような多2醗㌶嵩西照彦、繊の相互作用を考慮した多柱 柱基礎構造物一地盤系の地震応答解析を行う場合には， 基礎構造物の地震応答計算法，土木学会第33回年次学術講 構造物の変位が周辺地盤の変位に及ぼす影響を無視し 演会講演概要集第1部・昭和53年9月・
て，地盤の変位が上部構造物の変位に与える影響のみを 考慮するだけでよいということになる。このように考え てもよいとすれば，多柱基礎構造物一地盤系に対する地 震応答解析が非常に簡略化されることになる。
