The clock number of a knot

The clock number of a knot

阿部 由紀子

東京工業大学・大学院理工学研究科・数学専攻

1

Kauffman

[1]

,

state

,

Alexander

.

[1]

,

,

.

, state

lattice

. lattice

, Kauffman

, Alexander

state

.

,

lattice

.

,

lattice

clock number

,

.

,

clock number

.

,

clock number

,

.

2

初めに

,

clock number

, [1]

.

定義

2.1 ([1]).

,

4

, universe

. universe

1

.

図

1 universe

注意

2.2.

1

, universe

knot

link

.

2.3 ([1]). universe

2

( ∗ )

,

marker(

2)

, state

.

(i). ( ∗ )

marker

.

図

2 marker

(ii). marker

1

. (iii). marker

0

1

.

state

3

.

図

3 state

注意

2.4.

, ( ∗ )

marker

.

, ( ∗ )

,

state

.

定義

2.5 ([1]). state

( ∗ )

2

, string state

. ( ∗ )

,

state

, string state

.

図

4 state

string state

特に

,

universe

string state

,

5

.

図

5 string state

注意

2.6. input point, output point

, boundary point

.

定義

2.7 ([1]).

2

,

,

marker

,

それらの

marker

,

state

state

.

この操作を

, transposition

.

図

6 transposition

transposition

marker

,

clockwise transposition

,

counterclockwise transposition

.

,

6

S

S

transposition

clockwise transposition

, S

S

transposition

counterclockwise transposition

.

2.8 ([1]). state

,

transposition

clockwise transposition

clocked state

,

transposition

counterclockwise transposition

counterclocked state

.

clocked state

counterclocked state

7

.

図

7 clocked state

counterclocked state

以上の定義を用いて

, Kauffman

.

定理

2.9 ([1]). U

universe

,

2

( ∗ )

.

, U

state

.

(i). clocked state

counterclocked state

,

.

(ii). clocked state

state

, clockwise transposition

.

(iii). counterclocked state

state

, counterclockwise transposition

.

, ( ∗ )

state

,

8

.

8

,

clocked state,

counterclocked state,

clockwise transposition

.

lattice

. clock number

,

lattice

.

図

8 lattice

3 clock number

clock number

,

lattice

.

定 義

3.1 (clock number). K

, K ˜

K

, K ˆ

K ˜

universe, R

, R

, . . . , R

K ˆ

(

c( ˜ K)

K ˜

.), R

R

.

, R

R

( ∗ )

lattice

, clocked state

coun- terclocked state

transpositions

, 1

, p( ˜ K; i, j)

.

さらに

, p( ˜ K; i, j)

, clock number p(K)

.

p(K) := min { p( ˜ K; i, j) | K ˜ :

, R

, R

:

} .

4 clock number

crossing number

実は

, clock number

crossing number

.

,

4.1

.

定理

4.1. K

, c(K)

K

crossing number(

)

.

, p(K)

c(K)

,

.

p(K) ≥ c(K).

定理

4.1

, [1]

Kauffman

.

, cloked state

counterclocked state

marker

transposition

,

marker

string state

,

.

補題

4.2 ([1]). K

, ˜ K

K

, ˆ K

K ˜

universe

, ˆ K

2

( ∗ )

state

.

, clocked state

counterclocked state

transposition

, ˆ K

string state

, input point

output point

marker

1

,

2

boundary point

marker

2

,

marker

4

.

注意

4.3.

, removable point(

9)

.

図

9

補題

4.2

, clock number

.

定理

4.1

.

, input point

output point

, 1

transposition

marker

2

.

,

2

boundary point

c( ˜ K) − 2

, 2

transposition

marker

c( ˜ K) − 2

.

,

p(K) ≥ 1 + 1 × 2 + 2(c( ˜ K) − 2)

2 = c( ˜ K) ≥ c(K)

,

.

それでは

,

4.1

,

.

5

定理

4.1

,

5.1

.

定理

5.1 (

). K

, p(K) = c(K)

, K

,

.

定理

5.1

,

.

補題

5.2. K

, ˜ K

K

, ˆ K

K ˜

universe, R

, R

, . . . , R

K ˆ

, R

R

.

, R

R

2

.

証明

.

,

1

2

, R

R

10

.

,

10

2

1

図

10

ているとすると

,

R

R

,

11

. ((A)

, R

R

, (B)

, R

R

合である

. ) (A)

,

,

universe

図

11

立しない

.

(B)

,

,

.

,

,

2

2

図

12

とが示された

.

補題

5.3. K

, ˜ K

K

, ˆ K

K ˜

universe, R

, R

, . . . , R

K ˆ

, R

R

, r

R

.

, p( ˜ K; i, j) = p(K)

,

.

p(K) + r

+ r

≥ 2c(K) + 2.

証明

. state

( ∗ )

string state

boundary point

,

5.2

, ( ∗ )

2

, r

+r

− 2

.

, ( ∗ )

2

2

, string

input point

output point

, input point

output point

boundary point

r

+ r

− 4

.

, 1

transposition

する

marker

2

, 2

transposition

marker

r

+ r

− 4

,

4

transposition

marker

c( ˜ K) − (r

+ r

− 2)

.

4.2

,

.

p(K) ≥ 1 × 2 + 2(r

+ r

− 4) + 4(c( ˜ K) − (r

+ r

− 2))

2 + 1.

これを整理して

, c( ˜ K) ≥ c(K)

,

p(K) + r

+ r

≥ 2c(K) + 2

,

5.3

.

命題

5.4. K

, ˜ K

K

, ˆ K

K ˜

universe, R

, R

, . . . , R

K ˆ

, r

R

.

,

2

R

, R

r

+ r

= c(K) + 2

, K

.

証明

.

2

R

, R

, r

+ r

= c(K) + 2

,

5.2

, R

, R

2

, R

, R

,

universe

,

13

.

13

,

universe

,

図

13

うことを示せば十分である

.

(i). 1

, 4

.

(ii).

universe

. (iii).

,

.

そこでまず

, R

R

2

1

,

.

,

図

14

の終点となりうる頂点は

,

2

.

,

2

,

16

,

.

,

,

.

, 1

2

,

,

図

15

図

16

図

17

点の隣の頂点

,

.

,

,

2

.

,

,

18

universe

.

18

,

(

図

18

box

. )

,

19

.

,

R

universe

,

,

19

,

.

, universe

,

18

,

.

, ˆ K

, K

,

.

ここで

,

5.1

.

図

19

図

20

定理

5.1

.

, p(K)

c(K)

,

, p( ˜ K; i, j) = p(K)

,

K ˜

,

2

R

, R

.

,

5.3

p(K) = c(K)

,

r

+ r

≥ c(K) + 2

.

,

5.2

,

r

+ r

= c(K) + 2

が得られる

.

,

5.4

, K

.

次に

, K

,

,

21

2

. box

.

,

22

( ∗ )

,

clocked state

図

21

と

counterclocked state

23

, clocked state

counterclocked state

1

transposition

marker

2

, 2

transposition

marker

c(K) − 2

.

,

図

22

図

23

p(K) = 1 + 1 × 2 + 2(c(K) − 2)

2 = c(K)

となる

.

, box

,

5.1

.

参考文献

[1] L. H. Kauffman, Formal knot theory, Mathematical Notes, vol. 30, Princeton University Press, Prince-

ton, NJ, 1983. MR MR712133 (85b:57006)