比率の推定

(1)

.

... 比率の推定

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

使える統計 ! L14(2013-01-16 Wed)

今日の目標 .

..

1

標本から , 母集団の比率の点推定 , 区間推定ができる

http://hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) L14比率の推定使える統計!(2012) 1 / 16

(2)

Quiz 解答 : 区間推定 A.

標本平均 = 135

不偏分散 = ₄ ₋ ¹ ₁ × 6 = 2.

よって , ^母平均 µ ^{の信頼係数} 95% ^{で信頼区間は}

135 − 1.96 × √

2 4 <µ < 135 + 1.96 × √

2 4

135 − 1.39 <µ < 135 + 1.39 133.61 <µ < 136.39

B.

標本平均 = 136

不偏分散 = ₄ ₋ ¹ ₁ × 24 = 8.

(3)

よって , 母平均 µ の信頼係数 95% で信頼区間は

136 − 1.96 × √

8 4 <µ < 136 + 1.96 × √

8 4

136 − 2.78 <µ < 136 + 2.78 133.22 <µ < 138.78

C.

標本平均 = 135

標本分散 = ₈ ₋ ¹ ₁ × 12 = 1.71.

よって , 母平均 µ の信頼係数 95% で信頼区間は

135 − 1.96 × √

1.71 8 <µ < 135 + 1.96 × √

1.71 8

135 − 0.91 <µ < 135 + 0.91 134.09 <µ < 135.91

(4)

やりたいこと : 母比率の推定

クラスの中で , ^血液型 A ^{型の人の比率は} ? n 人に質問しただけで推定したい .

候補者 A の得票率は何 % ? n 人に質問しただけで推定したい . 工場から出荷する製品のうち , ^何 % ^が不良品 ? n ^{個だけ抜き出して調} 査したい .

このコインの表が出る確率は ? n 回投げるだけで推定したい .

母比率 =(1 ^{人取り出したときに} A ^型である ) ^確率 p.

(5)

考え方 1: 先週と同じ推定方法

量 X ^を考える

X =

{

1 (A ^型である ) 0 (A 型でない ) 母集団確率分布の平均 , 分散を使って ,

X の母平均 E(X) = 1 × p + 0 × (1 − p) = p.

X ^の母分散 V(X) = (1 − p) ² × p + (0 − p) ² × (1 − p) = p(1 − p).

標本

標本サイズ n の中で k 人が A 型のとき , 標本平均 x ¯ = ¹ _n [1 + | · · · {z + 1 }

k

+ 0 + | · · · {z + 0 }

n − k

] = ^k _n . 標本分散いまは考えないでおく…

. 比率の推定 ..

...

母比率 p ^の推定値 = _n ^k

中心極限定理より , 推定値は , 平均 p, 分散 _n ¹ p(1 − p) の正規分布に従う .

(6)

考え方 2: 2 項分布 (L08)

n ^{回の試行で} , ^確率 p ^の事象が k ^{回起きる確率} P _k ^{を与える確率分布}

P _k = _n C _k p ^k (1 − p) ⁿ ⁻ ^k

B(30, ² ₃ )

¹⁵ ²⁰ ²⁵

0.000.050.100.15

Binomial Distribution: Binomial trials=30, Probability of success=2/3

Number of Successes

Probability Mass

. 2 項分布の平均値と分散の公式 ..

...

E(k) = np

V(k) = np(1 − p)

(7)

サイズ n の標本で , k 個が該当するものであるとする . . 比率の推定

..

...

母比率 p の推定値 = _n ^k

k は 2 項分布に従う . 正規分布で近似できる .

(8)

. Quiz(比率の区間推定) ..

...

クラスからサイズ ( ) の標本をとったところ , ( ) 人中 ( ) 人が血液型 A ^{であると答え} , ^残りが A ^{型でないと答えた} .

.

1

.. クラスの , ^血液型 A ^{である比率を} ( ^点 ) ^{推定しよう} .

..

2

クラスの , 血液型 A である比率の , 信頼係数 95% の信頼区間を求めよう .

.

3

.. クラスの , ^血液型 A ^{である比率の} , ^信頼係数 99% ^{の信頼区間を求め}

よう .

(9)

比率の区間推定

標本の中で該当するものの個数 k ^の分散 = np(1 − p).

k

n の分散 = _n ¹

2

np(1 − p) = ¹ _n p(1 − p).

p を推定値 _n ^k で代用する . . 比率の区間推定

..

...

信頼係数 95% の信頼区間は

k

n − 1.96 × √

1 n k

n (1 − _n ^k ) < p < ^k _n + 1.96 × √

1 n k

n (1 − ^k _n ) 信頼係数 99% の信頼区間は

k

n − 2.58 × √

1 n k

n (1 − _n ^k ) < p < ^k _n + 2.58 × √

1 n k

n (1 − ^k _n )

(10)

言い訳

いくつか大事なことを省略してます . ^{本当は補正が必要です} .

有限母集団補正母集団のサイズと標本のサイズが同じだったら , 誤差は 0 にならないとへんなのに , 母集団のサイズが考慮されていない

不連続補正中心極限定理から 2 項分布が正規分布に近づくといっても ,

値が離散的だから , 端のところは正確じゃない

(11)

復習 : 正規分布 ( ガウス分布 ) のグラフに関係した面積をおぼえよう !

- 4 - 2 0 2 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

μ σ σ

1σ 2σ 3σ 0.6827 0.9545 0.9973

- 4 - 2 0 2 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

μ σ σ

1.96σ 2.58σ

0.9500 0.9900

(12)

. Quiz(比率の区間推定の性質) ..

...

標本からの母平均の区間推定について , 正しいのはどれ ? .

..

1

母分散が大きいほど , ^{信頼区間は大きくなる} .

2

.. 標本サイズが大きいほど , ^{信頼区間は大きくなる} .

..

3

母平均が大きいほど , 信頼区間は小さくなる .

..

4

信頼係数が大きいほど , ^{信頼区間は小さくなる}

(13)

. Quiz(比率の区間推定の性質) ..

...

標本からの母平均の区間推定で , 標本サイズを 2 倍にしたとき , 信頼区間の長さはどうなる ?

.

1

.. 4 ^倍になる

. ..

2

2 倍になる

. ..

3

1.4 ^倍になる

.

4

.. 変わらない .

..

5

0.7 倍になる

. ..

6

1/2 ^倍になる

.

7

.. 1/4 ^倍になる

(14)

. Quiz(比率の区間推定) ..

...

選挙で出口調査をしたところ , 50 人中 35 人が A 候補に投票したと答えた .

.

1

.. A ^{候補の得票率を} ( ^点 ) ^{推定しよう} .

..

2

A 候補の得票率を , 信頼係数 95% で区間推定しよう . .

..

3

A ^{候補の得票率を} , ^信頼係数 99% ^{で区間推定しよう} .

(15)

連絡

今週は授業内で Quiz ^用紙を 1 ^枚提出 ( ^{過程も書こう} )

今日およびこれまでの Quiz は , 1 号館 5 階 503 号室向かい側で返却しています .

今日およびこれまでの配布資料は , ^{発見した誤りの訂正後} , http://hig3.net > 生活の中の統計技術で再配布してます . 今日の Quiz の略解は , http://hig3.net > 生活の中の統計技術で配布してます .

履修完了宣言レポート

今週は予習復習問題はありません . e ラーニングシステム上で , 100 ピーナッツに追加 5 ^{ピーナッツとなる} , ^{履修完了宣言レポート} (200 ^字の予定 ) を書いてください . e ラーニングシステム上に説明があります . ^締切 2013-01-23 水 23:55.

(16)

ファイナルトライアル計画 ! ..

日時

2013-01-23

水

3 (60

分

)

場所いつもと同じ

3-107

形式ペーパーテスト

.

計算問題と選択肢問題の両方があります

.

関数電卓持込なし

.

参照

A4

×

1

枚両面持込可

(

教務課からの掲示では持込不可と表示していますが

,

こ

の文書の情報が正しいです

).

手書き

,

コピー等何でも

.

ただし縮小コピー

,

貼り付けは不可

.

この配布資料の大きさが

A4

です

. A4

未満の用紙は使わないでください

(

拡大コピーすればいいだけでしょ

)

A4

を縦長に置いたとき

,

右上に学籍番号と名前を書いておいてください

.

終了後に回収します

.

配点

100

点

50

ピーナッツ公欠通常の追試規定に従います

.

出題計画

(

離散的

)

確率分布が与えられたとき

,

平均値

,

分散

,

標準偏差をもとめる

(L08) (

連続的

)

確率分布

(

のグラフ

)

が与えられたとき

,

確率

,

平均値を求める

(L09)

標準とは限らない正規分布について

,

どの範囲ならこんな確率

,

こんな確率ならこの範囲

,

をもとめる

(L10,L12)

標本が与えられたとき

,

母集団の平均値

,

分散を推定する

(L12)

,

母集団の平均値を区間推定する

(L13)

,

母集団の比率を区間推定する

(L14)

問題用紙にあらかじめ書いてある情報の正規分布の面積の図

比率の推定

.