比率の推定の区間推定とサンプルサイズの決め方

(1)

.

... 比率の推定の区間推定とサンプルサイズの決め方

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆演習

II L14(2013-07-17 Wed)

今日の目標

.

..

1 確率

(

母比率

)

を区間推定できる

.

..

2 希望の精度で推定するために必要なサンプルサイズが見積もれる

http://hig3.net

樋口さぶろお (数理情報学科) L14比率の推定の区間推定とサンプルサイズの決め方計算科学☆演習II(2013) 1 / 12

(2)

区間推定

Quiz

解答

:

区間推定

A.

標本平均値

= 135

不偏分散

=

₄₋¹₁

× 6 = 2.

よって

,

母平均値

µ

の信頼係数

95%

で信頼区間は

135 − 1.96 × √

2

4

<µ < 135 + 1.96 × √

2 4

135 − 1.39 <µ < 135 + 1.39 133.61 <µ < 136.39

B.

標本平均値

= 136

不偏分散

=

₄₋¹₁

× 24 = 8.

(3)

区間推定

よって

,

母平均値

µ

の信頼係数

95%

で信頼区間は

136 − 1.96 × √

8

4

<µ < 136 + 1.96 × √

8 4

136 − 2.78 <µ < 136 + 2.78 133.22 <µ < 138.78

C.

標本平均値

= 135

標本分散

=

₈₋¹₁

× 12 = 1.71.

よって

,

母平均値

µ

の信頼係数

95%

で信頼区間は

135 − 1.96 × √

1.71

8

<µ < 135 + 1.96 × √

1.71 8

135 − 0.91 <µ < 135 + 0.91 134.09 <µ < 135.91

Quiz

解答

:

区間推定

(4)

区間推定

.

1

..

7000

10000

= 0.7.

. ..

2 確率を

p

とすると

,

7000

10000

− 2.58 × √

0.7(1−0.7)

10000

< p <

₁₀₀₀₀⁷⁰⁰⁰

+ 2.58 × √

0.7(1−0.7) 10000

.

よって

, 0.688 < p < 0.712.

(5)

比率の推定の区間推定とサンプルサイズの決め方確率(母比率)の推定

ここまで来たよ

1

...

区間推定

2

...

比率の推定の区間推定とサンプルサイズの決め方確率

(

母比率

)

の推定

(6)

確率 (母比率) の推定

1000

回ランダムウォークしたうち

,

条件を満たしたのは

15

回

.

条件を満たす確率は

?

100

個白玉を作った中で

,

和菓子屋さんの仕様を満たしたのは

67

個

.

仕様を満たす白玉が製造される確率は

?

母分布の確率

=

母比率

p

(7)

考え方 1:先週と同じ推定方法

X

が条件を満たす確率を

p

とする

.

確率変数

Y

を考える

.

Y =

{

1 (X

が条件を満たす

) 0 (X

が条件を満たさない

) Y

の母平均値

E(Y ) = 1 × p + 0 × (1 − p) = p.

Y

の母分散

V(X) = (1 − p)

²

× p + (0 − p)

²

× (1 − p) = p(1 − p).

サイズ

N

のサンプル中

, k

回条件を満たすとき

,

標本平均値

X ¯ =

_N¹

[1 + | · · · {z + 1 }

k

+ 0 + | · · · {z + 0 }

N−k

] =

_N^k

.

標本分散いまは考えないでおく…

. 確率の推定 ..

...

確率

p

の推定値

Y ¯ =

_N^k

中心極限定理より

,

推定値

Y ¯

は

,

平均

p,

分散 _N¹

p(1 − p)

の正規分布に従う_{樋口さぶろお}

.

_{(数理情報学科)} _L14比率の推定の区間推定とサンプルサイズの決め方計算科学☆演習II(2013) 7 / 12

(8)

確率の区間推定

分散 ^σ_N²

=

_N¹

p(1 − p)

は

,

確率

p

を推定値 _N^k で置きかえて

, 1

N k

N (1 − k N ) .

. 確率の区間推定 ..

...

信頼係数

95%

の信頼区間は

k

N

− 1.96 × √

1 N

k

N

(1 −

_N^k

) < p <

_N^k

+ 1.96 × √

1 N

k

N

(1 −

_N^k

)

信頼係数

99%

の信頼区間は

k

N

− 2.58 × √

1 N

k

N

(1 −

_N^k

) < p <

_N^k

+ 2.58 × √

1 N

k

N

(1 −

_N^k

)

(9)

. Quiz(区間推定) ..

...

ある確率に従う乱数

R

について

,

条件

0 ≤ r < 0.5

を満たす確率を推定したい

.

サイズ

50

のサンプルを作ったところ

, 20

個のデータが条件を満たした

. R

が条件を満たす確率について考えよう

.

. ..

1 信頼係数

95%

の信頼区間で区間推定しよう

. .

..

2 信頼係数

95%

の信頼区間が長さ

0.2

以下となるように推定したい

.

サンプルサイズはどれだけであればよいと見積もれるか

.

. Quiz(区間推定) ..

...

ある確率に従う乱数

R

について

,

母平均値を推定したい

.

サイズ

100

のサンプルを作ったところ

,

標本平均値が

35.4,

標本分散が

36.0

だった

.

. ..

1 母平均値を

,

信頼係数

99%

の信頼区間で区間推定しよう

. .

..

2 母平均値を

, ‘

小数点以下第

1

位まで信じられるように

’

推定したい

.

サンプルサイズはどのくらいあればよさそうか

.

(10)

ご連絡

予習復習問題今日以降の予習復習問題は

,

講義後

,

演習後とも

,

一切ありません

.

授業アンケート今日は講義の学期末授業アンケート

.

総合演習の受講者で

,

企業研究プレゼンテーションをしない予定の人は

,

総合演習の学期末授業アンケートにもお答えください

.

用紙には科目の区別があって混ぜてはいけないことになっているのでご注意

.

休講

/

補講

/

プチテスト計画

2013-07-19

金

2

演習の夏のプチテスト

. 35

ピーナッツ

.

2013-07-26

金

2

は予備日

(

休講の超有力候補

)

2013-07-31

水

3

講義のファイナルトライアル

. 50

ピーナッツ

.

(11)

演習の夏のプチテスト出題計画

提出はぜんぶ

R

ドライブ

+ (

あれば

)

紙の手渡し提出

. Mahara

は使いません

.

連続値乱数の生成

.

ヒストグラムと確率密度関数

p(x)

を重ねて描く

(cont3,cont8. E(R),V(R)

の手計算は不要

(

講義のファイナルトライ

アルほうでやるので

))

連続値ランダムウォークの確率シミュレーション

(sim2)

CSV

から平均値と比率の区間推定

(est3, CSV

ファイルでデータを与えるのでプログラムの実行の方法は再現できなくてもいい

)

(12)

講義のファイナルトライアル出題計画

出題に関係するかどうかはともかく上側確率の表は提供します

.

外部記憶ペーパーが使用可能であることに注意

.

連続型確率変数について

,

平均値

,

分散

,

期待値

,

確率を求める連続型確率変数について

,

平均値

,

分散

,

期待値

,

確率を求める逆変換法で

r=g(y)

を求める

標本から平均値の区間推定標本から比率の区間推定中心極限定理の応用正規分布の形正規分布の確率

q = f (r)

の確率密度関数

q = f (r)

の確率