NDC 501．3
場の問題における逆解析技術の研究 （境界区分仮定法の提案）
岩城 嵩＊ 平田 賀一† 伊藤 修二‡
A Study of lnverse Method for Field Problems
（A Proposal of New Boundary Division Method）
Takashi IWAKI＊ Norikazu HIRATAt Shuji lTOHi
The most ambigueus factor in solving concrete且eld problems is the es七imation of the boundary values． In ナ
this paper，the inverse method￡or estima七ing七he boundary condition from measured values is proposed as the application of負nite element method and the method of least square，and an error analysis is carried out for simple problems．
The method is applied to heat condution problem in the piston model ofellgine and the e擢ects ofestilnatillg parameters are clarified．
1 はじめに
LaplaceやPoissonの方程式で表される場の問題（Field Problems）の範囲は広く、工学でよく出会う問題として、熱 伝導、多孔物質を通る浸透流、理想流体の非回転流れ、電 気（磁気）ポテンシャル分布、一様断面棒のねじりなどがあ る。本報告で述べる解析法はこれらの問題ヘー般的に応用 可能であるが、具体的な応用対象として熱伝導問題を取り 扱う。図1．1に示すように、場の問題では、領域とその境 界、支配方程式、境界条件および物体の物性値を既知とし、
応答結果を導くことを境界値順問題といわれ、領域とその 境界、支配方程式、境界条件および物性値のうちどれか一 つでも未知量であれば逆問題である1）・2）。この場合、応答 結果の一一部である観測データがなければ逆問題は成立しな い。 一般に構造解析において、熱を外力とする問題は集 中力あるいは圧力等を外力とする問題と比較して外力の評 価が困難であり、例えば内燃機関の場合、機関運転条件等 が複雑に物体表面の熱的境界条件に関与しており、外力に 対する応答解析の精度を低下させている。
二次元定常問題において、複数の物体内部点での観測デー タから境界値を求める逆解析法は、著者の一人が既に発表 しているが3）、そこでは物体の形状等に起因する熱的境界条 件の分布の形の不連続性を考慮することができなかった。
本報で提案する 境界区分仮定法 は、境界を解析者の工
＊情報工学科
†情報工学科平成6年度卒業現在NTT（株）
‡情報工学科平成7年度卒業現在岡山県立大学 平成8年8月31日受理
学的観点から適当に分割し、その区分点での温度連続条件 式と複数の物体内部点での観測データの一一致条件式を異精 度の間接測定における最小二乗法4）に電子し、前述の問題 点を解決したものである。
具体的な応用例として、エンジンのピストン冠モデルをと りあげその有効性を示している。
入力
川頃聞平
田問題
図L1：順問題と逆問題
2 境界値の逆解析法
力
既に広く用いられている有限要素法による熱伝導解析技術 5）・6）・7）を応用して、定常時の有限個の実測温度データから 熱的境界条件を逆解析する方法を述べる。
図2ユに示すような物体の内点j＝1，2，…，k；の実測温度 Tjを既知とする。また、求めようとする境界条件をいくつ かの境界区分に分割し、それぞれの区分内温度分布を適当 な関数で仮定し、そこに導入された未定係数を実測データ から求める方法を 境界区分仮定法 と称し、以下にその
手順を述べる。
s＝＝o
〈一一一一一c
s＝L
−●
ek実測点
e4
図2．1温度実測例 2．1 問題の設定
図2．2のように全周を適当に区分点で分割した2次元熱伝 導モデルの境界の一部を考える。
区分点p−1
・魏＿2
・ケース2．n次のフーリエ級数（正弦項のみ、余弦項 のみ、正弦項＋余弦項を選択可能）
れ
tf。u（X ）＝＝・∫・＋ΣW・・πiX＝
i＝1
区分点p 区間P−1・
Sp X T（S）
区分点P＋1 区間P
長さLp
区間p＋1
図2．2：境界区分仮定法 モデルの一部
内記ゴ篇1，2，…，kの実測温度を既知とし、この外周に沿う s軸（全長L）上の温度分布をT（8）とする。このs軸上にあ
る点の温度tp（s）は次のように表される。
T（s）＝tp（x）＝tp（t ）＝t，（i1＝ 一｝121；i一｛t：II） tl＝ILi） （1）
ここで、
P−1 P
Σム1≦・≦ΣL、，o≦x≦1
をロ ゴニエ
炉裏・・，一区間・の・軸，・，一区間・の全長 P
2．2 仮定する関数
境界区分毎に仮定する境界上の温度分布として次の5つの 関数を考える。（0≦x≦1）
・ケースエ．断熱条件 未知数の数0
れ
＋Σ・∫・sinπ（i−n）XE 乞＝π十1
未知数の数n＋1個（正弦項のみ、余弦項のみ）、
2n＋1個（正弦項＋余弦項）
・ケース3．n次多項式
れ め。。・ω一・凶＋Σ・，・♂
i＝1 未知数の数＝n＋1個 。
・ケース4．n項の指数関数 れ
t。xp（・）一・。・＋Σ・。・・ e・p（Kix）
i＝：1 ハ
＋Σ・。・・e・p｛一三一咽 i＝n十1
未知数の数：2n＋1個
Kはユーザによって指定される任意の定数
●ケース5．n項の対数関数 ハ
tl。9（X）一…＋Σ…1・9（κi＋・T）
i＝1 未知数の数：n十1個
κはユーザによって指定される任意の定数
（2）
（3）
（4）
（or）
2．3 連続条件
区間pでの物体の境界面での温度をち、＠）（ただし0≦x≦1
）とすると区分点pにおいて、
tp−i（1）＝tp（O） （6）
が成立する。ただし、どちらかが断熱条件である場合この 等式は必要ない。tp（0）， tl、（1）は前述で述べた区間p内で仮 定する関数により次式で表される。
ケー一一ス2．
アし乙，（0）一tf。。（0）一・∫・＋Σ・ノ・
㌃l
t，（1）一tf。u（1）一・∫・＋Σ・∫・（一1）t 』1 i＝1
ケース3．
tP（O） ＝ tl）Ot （O） ＝
tp（1）＝1・pot（1） ＝＝
禦
2 airi i＝o
（7）
（8）
（9）
（10）
場の問題における逆解析技術の研究（境界区分仮定法の提案） 岩城・平田・伊藤
ケース4．
tp （O） ＝ temp （O） ＝ ゆ
Σ・。・
i；0
古P（1）＝ t。mp（1）
ロし
一・。・＋Σ・。ie・p（κの ￠＝1
れ
＋Σ・，i・xp｛一雌一n）｝
iin＋1
（11）
（12）
ケース5．
れ
t，（0）一tl。，（0）一・ど・＋Σ・li 1・9κ乞 （13）
㌃1
孟，（1）土量。9（1）■…＋Σ・ti・1・9（Ki＋1）（14）
i＝：1 が成立する。
ここで、例えば区間pがフーリエ級数、区間p．1が多項式 で仮定されだとすると（6） （7） （9）式より、
， ） VLp n∫ ．
Σ・，i ・∫・＋Σ・fi （15）
ゼ藷O i＝1
が成立する。この様な連続条件の関係式が断熱条件の点を 除いた区分点の数Mだけ成立する。
2．4 正規方程式
すべての区間における仮定式の未定：係数aPt、に一連の添字 をつけαゴとする。未定係数の総数をNとしαiの最確値は実 測点温度から間接測定における最小二乗法を用いて求める
ことができる。
物体境界面の温度を未定係数αF1、その他の未定係数 a，1＝0と仮定し、仮定式から境界条件を作成し、別途開発 した有限要素法により実測点ゴ（ゴ＝1，一一・，勘における温度 姉をi＝1からi＝＝Nまで求める。また、その点の実測温 度をTjとすると、熱伝導の基礎式は線形であることから、
重ね合わせの原理が適用でき、
Tl ＝ tl，］ al 十 tl，2a2 ＋ ・
一1−tl，NaN
T2 ＝＝ t2，lal ＋ t2，2a2 ＋ 一
十t・2，NaN
男＝ε」，1α1＋tゴ，2α2＋．
十ち，Nα1V
Tk ＝＝ tk，lal 十tk，2a2 十一
十tk，NaN
・＋孟1沸＋・
・十孟2，iα乞十・
・十ら，乞α霊十・
． 十 tk，iai 十 ・
（16）
が成立する。また、連続条件の式（1。r）をaiの係数が（16）
式と関連を持つよう転ゴとして変形・整理するとM個の連続 条件方程式
O ＝： tle＋1，lal ＋ tk＋1，2a＞ ＋ 一
＋th＋1，NαN
O＝tk＋2，・a1■＋ tk＋2，2α2＋・
＋th＋2，NaN
・十tk＋1，iai十・
・＋tk＋2，iai＋・
0＝Z研砿1α1刊紆M，2α2＋．・・＋tk＋M，ia・i 十… 十 tk＋nf，NaN
（17）
が得られる。ただし区間pとp＋1以外のti ゴの値はすべて0 なので実際にはもっと簡潔な式となる。ここで測定点での 等式（16）と連続条件式（17）を用いて予測される誤差を 最小にしょうとするのであるが、測定点では計測誤差、測 定位置誤差等の不確定要素がある一一方、境界区分点での連 続条件はできるだけ厳密に一致することが望ましい。従っ て、本来後者の誤差は前者のそれに比べて、高精度で最適 化することが妥当であると考えられる。 そこで、これら の点を考慮した異精度の間接測定における最小二乗法を採 用する。連続条件式に重みPを乗じると（16） （17）式よ
り、あわせて佃一M個の測定方程式が成立する。
一般にk＋M≧1Vとしてa．iの最確値をAiとすると残差方 程式は
Vl Tl rm （t・1，IA t ＋tl，2A2 ＋・
＋一一・十tl，nAN）
V2二二一（t2，IAI＋t2，2A2＋．
一ト・．・一トt2，n／41＞）
． ＋ tl，，iAi
・一ge2， iAi
・vk ＝ Th 一 （tk・，1Al ＋ th，2A2 ＋ ． ． ， ＋ th，iAi
＋・・一十tk，nAN）
妬＋1＝0−P2（th＋1，1／11十tk＋1，2〆i2十．＿
＋tk＋1，iAi＋…十tk＋1，nAN）
・vh，＋M ＝ O 一 P2（tk＋AtlAl ＋ tk一， M，2A2 ＋ ， ． ，
＋ 蔚M，凶＋…＋tk＋M，nAN）
で示される。最小二乗法の原理より
廻＿廻＿．．．＿廻＿o OA2
0AN aAl
（18）
（．t9）
ここで［vv】＝残差平方和、Σ話耀の極小条件から正規方程式
［嫡］A1＋［ 1 2】A2＋．．．＋［五1司ん＋．．
十［t1L，，］AN ＝ ［1，17 ］
lt2ti］Ai ＋ ［t，t2 t．2］A2 ＋ ． ． ． ＋ ［t2ti］Ai ＋ ． ．
＋［ 2t司AN＝［ 2T］
［LNti］Ai ＋ ［t，Nt，2］A2 ＋ ． ． ． ＋ ［t．Nt，i］Ai ＋ ． ．
＋（t・Nt．1？一IN ＝＝ ［tN7／
（20）
を得る。ここで 3 応用例
3．1 扇形モデルの解析
k ん十ルf
圖一2 t，，蘇＋P2Σ孟あ蘇
」＝1 ゴ＝ん十1
（21） 検証に使用した扇形モデル（要素数98）を図3．1に示す。図 中AB，CDには断熱条件を与えた。
B
コ．﹂ 7 ら・Σ戸
篇
山 峰
（22）
を得る。式（20）では方程式の数はnで未知数の数と等し いから、これを解いて最確値んを求めると、仮定式より表 面温度分布が求められ、また実測点以外の内点の温度も求 められる。これらの結果を用いて熱的境界条件として熱流 束分布、雰囲気温度を仮定することによって熱伝達係数の 分布等を求めることができる。また誤差評価値Aの標準偏 差4）も求めた。
c
図3．1：分割数98の扇形モデル
D
2．5 プログラム
ス 実測点 測点 理論に基づいてモデルのデータ、境界条件の仮定データ、実
測点温度データから逆解析を行い境界条件を求めるプログ ラム群を制作し8）。その概略フロー…を図2．3に示す。
x
図3．2＝実測点位置
境界区分毎に 境界温度関数を仮定
連続条件 単位入力温度関数による 実測点での応答を求める
図3．2に示す扇形モデルにおいて、内・外径より距離π，にあ る2点E，Fでの温度を測定し、その値から境界条件を求め る。測定値は内外径の温度が一定（To＝4、152，Tf＝0）と した時のE，F点の計算値を用い、かつそれらを実際に測定
を行うことを想定し、有効桁数2で扱う。未知数は外径，内 径の温度7b，T」である。図3．3に実測点の境界からの距離
と求められた境界条件との関係を示す。
測定方程式
最小二乗法による温度関数の 最確値と誤差を求める
6
5 遡4 3
境界条件の導出
図2．3境界区分仮定法 処理の流れ
2
1
o
一1
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 境界からの距離〔mm］
図3．3鏡界からの距離と境界温度の関係
理諭値 TO＝4． 152
理論値 TI昌0． 0
場の問題における逆解析技術の研究（境界区分仮定法の提案） 岩城・平田・伊藤
図3．3から、実測点が境界から離れるに従い誤差が大きく なっていることがわかる。また、境界から実測点が近い場 合にも誤差が大きくな．っていることがわかる。また、境界 から実測点が近い場合にも誤差が大きくなっているが、こ れは有効桁数が小さいため、変化の急な部分で正確な測定 値がとれなかったためと思われる。すなわち、実測点の位 置が精度に影響することがわかる。
3．2 ピストンモデルの解析
現実的な問題への応用としてここでは図3．4に示すピスト ンを模したモデルを対象とする。また、実測点を15点、
境界区分数を5と設定し前章で述べた等精度と重みP＝10 とした異精度の逆解析を行った。
区分点5 区分5 区分点1
区分1
区分点2
表3．2；ピストンモデルの温度誤差
区分4
区分点4
× 区分2
e実測点
区分点3 区分3
図3．4：ピストンモデル
表3．1に示すように、各区分の仮定する温度関数に多項式 を採用し、その未知数の数を3種類に変えて等精度・異精 度の逆解析を行う。
表3、1：ピストンモデルの解析条件
区分 条件1 条件2 条件3
− ∩∠ 00 4 5
断熱条件
ｽ項式 ｽ項式 ｽ項式 ｽ項式
断熱条件 ｽ項式 ｽ項式 ｽ項式 ｽ項式
断熱条件 ｽ項式 ｽ項式 ｽ項式 ｽ項式
未知数 8 12 16
連続条件 3 3 3
漁… 艦1 一1 ノ2 ノ Q ∠3 ノ3
番号 （等） （異） （等） （異） （等） （異）
1 0．06 0．06 0．1 0．07 一〇，0002 一〇．0002
2 一〇．05 一〇．07 一〇．14 一〇．14 0，001 0，001
3 一〇．6 一〇．6 一〇．08 一〇．08 0，007 0，007
4 0．4 0．4 L1 1ユ 一〇．07 一〇．07
5 一1ユ 一ユ．1 一1．2 42 0．23 0．23
6 0．3 0．3 ．0．3 一〇．31 一〇．08 一〔〕，08
7 ．0．34 一〇．3 ．0．9 一α95 一〇．22 一〔〕．22
8 2．2 2．2 1．8 1．8 0．13 0．13 9 ，1．1 一1．1 一〇3 一〇．3 0．02 0．02
10 1．2 1．2 0．6 α64 0，O16 0，016
11 一〇．2 ，02 一〇．7 一〇．7 一〇．29 一〇．29
12 1．3 L3 0．8 0．78 0．39 0．39 13 4．3 一L3 一〇．9 一〇．9 一〇．7 一〇．7
14 0．9 0．9 1．3 1．3 L56 L56
15 一1．4 一1．4 一】．0 一1．0 一〇．99 一〇．99
りbい ノー1 ル1 2 2 z3 条ま 3
番目 （等） （異） （等） （異） （等） （異）
1 一〇．006 一〇．001 0，006 0．0006 0．000002 0．0000002 2 0，012 0，001 0，006 0．0006 一〇．000002 一〇．000〔〕〔〕02
3 ．0．2 一〇．02 一〇．11 一〇、Oi1 一〇，008 一〇．〔｝008
図3．5（c）をみると、 i＝5，6ところが極端に大きくなってい るが、これはピストンモデルの区分3における最確値を示 しており、ここは温度変化が激しいところではないので、次 数を大きくしても意味がなく1次、2次の最確値の値が大 きくなったと考えらる。従って図3．o「（c）のi＝J ，6の標準偏 差の値が大きくなっていることが分かる。
次に、表3．2では等精度と異精度では連続点で…桁の違いが でているが、実測点誤差の有効桁数の範鶏口では違いがあ
らわれていない。これは、連続点での等精度と異精度の差 が小さい値なので、実測点の方に違いがあらわれなかった と考えられる。また、表3．1より未知数総数の大きい条件3 は条件1と比較して一般に温度誤差は小さくなるが、実測 点11，14では大きくなっていることがわかる。また最確値 の標準偏差は、等精度よりも短精度の方が精度がよく、次 数が増えるにつれてそれだけ不確実であることを表してい る。つまり、未知数を大きくすればよいというわけでなく、
温度誤差と標準偏差の両方の関係から最適な未知数の数を 考える必要がある。
解析結果として各条件の実測点、区分点における温度誤差 を表32に示し、等精度と異精度の場合の最確値とその標 準偏差を比較し図3．5（の〜（f）に示す。ここで図中iは区分
！から区分5に至る窺知係数の通し番号を表す。
Ai
IO
一le
o
leO
2 4 8
．．．k． 剞ｸ度
一〔一 O精度
IOUI
等精度
・・一 ﾙ精度
v
i一
e一一一u i 一u一｛一
ト騨
．
図3．5（a）：最確値の比較（ピストン）条件1
2 4 6 8
i
図3．5（b）：標準偏差の比較（ピストン）条件1
一A i
100
o
一100
…等精度
一一一・…ﾙ精度
a
董oo
o
IO一
ぬ
俄、／ 〜
P b
、 等精度
」． ♂ …暫異精度
i
図3．5（c）：最確値の比較（ピストン）条件2
醒丁一
．
10 i
図3．5（d）：標準偏差の比較（ピストン）条件2
1000
Ai o
一1000
一2000
o lol
loo
1
．… 剞ｸ度
一一一ﾙ精度
図3．5（e）：最確値の比較（ピストン）条件3
IO−1
10−2
●
！
度度
主目主目＊＊→等異
〆，
A、
、
01〆
「刃、
一
℃
●
6
10 1
図3．5（f）：標準偏差の比較（ピストン）条件3
場の問題における逆解析技術の研究（境界区分仮定法の提案） 岩城・平田・伊藤
4 まとめ
本報告では、場の問題（特に温度場）における境界条件を 求める逆解析法として境界区分仮定法を提案し、二、三の 応用例に適用した結果以下の点が明らかになった。
1，実測点での整合式（16）および、境界区分点での連続式 （15）は統一的な記述で正規方程式（20）を構成できる。
ここで両式の工学的意味の差を異精度の取扱いにより 表現できる。
2．境界区分に適切な関数を採用することにより、より少 ない未知定数で高精度の逆解析が可能である。
3．実測点の数が同一でも、その位置を適切に選定する必 要がある。
4．未知数の次数は増加すれば精度が向上するとは必ずし も言えず、実測点数や予測される温度変化を考慮して 決める必要がある。
5，一般に異精度解析が等精度より高精度な解を得る。
本研究では2次元熱伝導問題を対象としたが、まえがきに 述べた他の場の問題へも容易に適用できるものである。
参考文献
［i｝久保，逆問題，培風解（1992）
［2］村瀬・小山・石田、逆解析入門、森北出版（1990）
〔31岩城、熱荷重と構造設計、日本機械学会第3！2回座 談会資料（1980）
【41本間・春日屋，次元解析・最小2乗法と実験式，p144−
p151，コロナ社（1960）
i51戸川、有隈要素法へのガイド、サイエンス社（1979）
［6］太田、数値解析技術の応用（差分法・有限要素法の比 較）、平成6年度卒業研究報告書（1995）
［7］初心者のための有限要素法、日本材料学会f編・発行 （1 98 5）
［8］奥村，C言語による最新アルゴリズム事典，技術評論 率上，（1991）
