問題
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(2) （. ） 図. に示すように質量が M の小球 A と質量が M の小. 球 B が同じ長さ L の糸で同じ支点からつり下げられてい −. る。それぞれの小球の位置を鉛直線となす角 θ で表す。 で鉛直線から右側を θ ＞. 図. しており，時刻 t ＝. とする。B は点 O に静止. 0. 3. で A を θ ＝ −θ の位置から静かに. はなした。最初に A が B に衝突する時刻を t ＝ T とする。 図 問. T を L，g 等を用いて表せ。. ≦ t ≦ T の間での A の運動の様子を θ の時間変化と して図. 0. に示す。t ＝ T での衝突直後の A の速度は ．V ， −. B の速度は ．V である。また，その次の衝突直後の A の速度は−V ，Ｂの速度は. 問. （. 図. 0. 図. である。. にならって，A，B の運動の様子を T ≦ t ≦ T の範囲で解答欄に図示せよ。. ） 小球 A の質量は M ，小球 B の質量は M である。図. −. 0. 0. のように VA ＝ V ，VB ＝ −V （同じ速さで正面衝突）の とき，VA′＝. 3. となることがわかる。弾性衝突では，力学. 図. 的エネルギーの和は保存される。 図. のように，A と B が同じ長さ L の糸で同じ支点か. らつり下げられた振り子がある。図. のように，A と B. をそれぞれ，θ ＝ −θ ，θ ＝ θ の位置から，異なる時刻に −. 静かにはなしたら，θ ＝ θ の位置で同じ速さで衝突した。. 0. 3. 位置エネルギーの基準点を最下点 O とする。. 問. 0. 1. この衝突直前と直後の A の力学的エネルギーを示 図. せ。 問. 衝突後の B の運動について θ の最大値を求めよ。. 問. A，B をそれぞれ，θ ＝ −θ ，θ ＝ θ の位置から，同時に静かにはなした場合，衝突 後の B の運動について θ の最大値を求めよ。. ―. ― （２８.
(3) Ⅱ （. 空所を埋め，問いに答えよ。 （配点. ）. ） 電荷間にはたらく静電気力は，クーロンの法則で説明される。空間を隔てた電荷間に力が はたらくのは，電荷が存在する空間に 地点の. ア. ア. ア. が生じ，電荷を持ち込むとそれが置かれた. から力を受けるためと説明される。そのため，電荷分布が異なっていても，. が同じであれば，受ける力も同じである。. 空間内の. 点に着目し，無限の遠方からこの点まで＋. 限遠点を基準とするその点の. イ. C の電荷を運んでくる仕事を，無. という。点電荷 q 〔C〕から l〔m〕離れた点 の. イ. は，クーロンの法則の比例係数を k〔N・m ／C 〕として， q k l である。 イ の等しい点を集めてできる面を ウ 面という。この面の形状から， ア. （. ） 図. を決めることができる。. 金属球. のように，真空中に半径 a〔m〕の接地され. た金属球がある。正の電 気 量 Q〔C〕を も つ 電 荷 （以 下，電 荷 Q と 呼 ぶ）を，金 属 球 の 中 心 か ら R〔m〕 （＞ a）の点に置くと，. エ. 電荷 . とよばれ. る現象により，金属球面上に負の電荷が現れる。電 荷 Q は，金属球の中心の向きに力を受けると考え られるが，どのように電荷が分布するかが分からな. 図. ければ，力の大きさを求めることはできない。. （. ） そこで，この接地された金属球を電気量−q〔C〕 （q ＞ ）をもつ点電荷（以下，電荷 q と呼ぶ）に置きかえて，電荷 Q にはたらく力を計算しよう。 金属球の中心があったところを原点 O とし，電荷 Q の位置（以下，この点を A とする） を通る向きに x 軸をとる。電荷 q は，x ＝ r〔m〕 （＜ a）の点 B にあるとする（図 無限遠点を基準とする点 x での 表面は，. イ. が. えられるためには， 面上で. Vの. を φ（x）と表すことにする。接地された金属球の. イ ウ. 参照） 。. 面と考えられる。金属球を電荷 q の点電荷に置きか. つの電荷 Q と q による. イ. を重ね合わせたとき，半径 a の球. V となるように q と r を決める必要がある。以下で，このようなことが可能かを調. べてみよう。 まず，図. 問. の x 軸上での φ（x）を考える。. つの電荷 Q と q による φ（a）を文字式で表せ。 −. − 図 ―. ― （２８.
(4) φ（a）＝ φ（−a）＝. V とすると，q と r が次のように決まる。 a a Q ，r ＝ R R. q＝. ①. φ（x）のグラフの概形を，x ＜ r の範囲で解答欄に描け。ただし，r ＜ x のグラフは与. 問. えた。. 次に，半径 a の球面上の一般の点 C での. イ. を計算してみよう。図. は，点 A，B，. C を含む平面を示したものである。. 図 図. の よ う に，AC，BC の 長 さ を そ れ ぞ れ L〔m〕 ，l〔m〕と す る と，点 C に お け る. イ. は以下のようになる。. ! Q （−q）" # %L ＋ l $ &. ②. L ＝ a ＋ R − aR cos θ. ③. k. ∠AOC ＝ θ とする。△AOC に余弦定理を適用すると，. となり，L を θ を用いて表すことができる。. 問. △BOC に余弦定理を適用し，式①を用いて以下の関係が成り立つことを示せ。 l ＝. a L R. ④. 式④は θ の値によらず常に成り立ち，式②に代入すれば，半径 a の球面上のすべての点 での. イ. が. V となることが分かる。. （ ） 以上の考察により， つの電荷 Q と q からなる系でも，半径 a の球面は Vの. ウ. ウ. イ. が. 面であることが分かる。詳しい計算により，半径 a の球面の外では，. 面の形状が，接地した金属球と電荷 Q からなる系と完全に一致することが分かっ. ている。. 問. 電荷 Q が接地した金属球から受ける力の大きさを，k，a，R ，Q を用いて求めよ。. 問. 接地前に金属球は帯電していなかったとする。接地することにより金属球から地球へ 移動した電気量を答えよ。 ―. ― （２８.
(5) Ⅲ （. 空所を埋め，問いに答えよ。空所の中に選択肢があるときは，どちらかを選べ。 （配点 ） x 軸上をどちらかの向きに進む正弦波がある。図 x 軸に沿って表している。図. は時刻 t ＝. は同じ波について位置 x ＝. ）. s における波の変位 y を. m における変位 y の時間変化を. 表している。y は正の定数である。. 0. 0. 〔 〕. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 −. 1 −. 0. 3. 4. 〔 〕. 0. 図. （. 2. 図. 問. この波の波長，振動数，速さを求めよ。. 問. この波の進む向きは x 軸の正か負のどちらか，答えよ。. 問. 時刻 t ＝. s における x 軸に沿った波の変位を解答欄の図に実線で描け。. ） X 線は電磁波の一種であり，その波長は可視光よりも. ア（長い・短い） 。X 線を物質. に照射するとさまざまな方向に X 線が散乱される。散乱された X 線のなかには入射した X 線と波長が異なるものが含まれる。この現象はコンプトンにより解明されたのでコンプト ン効果という。この現象は X 線を波として扱うと説明できない。代わりに X 線を光子とよ ばれる粒子として考え，その光子が物質中の電子と衝突することで説明できる。以下，この 現象を考察してみよう。 波長 λ をもつ電磁波（X 線）を光子として考えたとき，光子. 個のエネルギー E と運動. 量の大きさ p は，それぞれ以下の式で与えられる。 E ＝. hc h ， p＝ λ λ. ここで h はプランク定数，c は光の速さである。光子の波長 λ が長いほど，その光子のエネ ルギーは 図. イ（大きい・小さい） 。. のように xy 平面の原点 O に静止している質量 m の電子を考え，そこに X 線（光子）. を波長 λ で x 軸の正の向きに入射させた。光子と電子が弾性衝突し，光子は波長 λ′ ，角 θ で散乱された。電子は速さ v，角 φ ではね飛ばされた。ここで θ の範囲は ° ＜θ ≦. ° と. し，光子と電子の運動は xy 平面上で生じているとする。 散乱 線 電子. 波長. 入射 線. 波長. はね飛ばされた電子. 図 ―. ― （２８.
(6) 衝突の前後で，光子と電子の間にエネルギーの保存則が成り立つことより， hc ＝ λ. ウ. ＋. ①. mv. となる。さらに x 軸方向と y 軸方向でそれぞれ成り立つ運動量保存の法則により，. となる。これら sin φ ＋ cos φ ＝. x 軸方向：. h ＝ λ. エ. ＋ mv cos φ. ②. y 軸方向：. ＝. オ. − mv sin φ. ③. つの式を用いて散乱 X 線の波長 λ′ を求める。まず式②，③について を用いて φ を消去すると， m v ＝h. " # $ %λ. ＋. λ′. & ' ( ). cos θ. − カ. となる。この式を式①に代入して v を消去すると， λ′ −λ ＝. h mc. λ′ ! #λ ＋. λ − λ′. cos θ. " $. !!. となる。散乱 X 線と入射 X 線の波長の差を Δλ ＝ λ′ − λ と定義し，この差の大きさ Δλ が λ に比べて十分に小さく λ′ ≒ λ とすると， Δλ ＝. λ′ λ ＋ ≒ λ λ′. h （ mc. と近似できるので. − cos θ）. ④. となる。式④より，X 線に生じる波長の差 Δλ は入射波長 λ に関係せず，散乱角 θ によって 決まることがわかる。. 問. X 線の散乱角 θ が大きくなると，波長の差 Δλ はどのように変化するか，理由もつけ て簡潔に説明せよ。. 問. はね飛ばされた電子の運動エネルギーが最も大きくなるときの X 線の散乱角 θ〔° 〕 を求めよ。. 問. 入射 X 線の波長が λ ＝ ． ×. −. m で，X 線の散乱角が θ ＝. の波長 λ′ 〔m〕を有効数字 桁で求めよ。ここで，h ＝ ． × m ＝ ．×. −. −. ° のときの散乱 X 線. J・s，c ＝ ． ×. m／s，. kg とする。. ―. ― （２８.
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