ヤ ング率変化 を有す る巻糸体 内部 のひずみ解析理論
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(2) (論 文 集)Vol.43,No.11(1990). 69. 締 め付 け力 な どによ って内部 特性 変化 は無 視 で きな い と考 え られ る.巻 糸体 の円周方 向 ヤ ング率 は糸 の 長手 方 向の ヤ ング率 か ら計算 で きるが,半 径方 向 ヤ ング率 は糸 層 の累 積状 態 や巻 張 力 に よ って左 右 さ れ,又,糸. 層厚 さ ごとに変化 す る こ とが考 え られ,. 著者 らもそ の よ うな変化 を実 験的 にす で に明 らか に して い る9).この こ とか ら,巻 糸体 内部 の正確 な応 力 ・ひず み解析 を行 う場合 ,半 径方 向 ヤ ング率 の分 布 につ いて も考 慮 す る こ とが必 要 不 可 欠 と考 え られ る. この ことは,著 者 らが以前 に行 った半 径方 向 の ヤ ング率 を巻糸 体内部 全 て にお いて一定 と考 えて提 案 した理 論10)によ る巻 糸体 内部 の ひず み解 析結 果 が対 応 す る実験 結 果10,11)と 一致 しな い点 の大 き な理 由 と Fig.. も考 え られ る.そ こで,本 報 で は,異 方 性係 数 を半. 1. Relation. between. placement. 径方 向 に対 して変化 させた巻 糸体 の応力,ひ ず み解 一方. 析理 論 を提案 す る.即 ち,半 径 方 向 の応 力 σrと変位 Uの 関 係 を糸 層厚 さの変 数 で表 し,更 に それ らの式. the. stress. in an element. and. in yarn. the dispackage.. ,平 面 応 力 状 態 を 仮 定 して い る の で,円. 周方. 向 ひずみ ε θnは次 式 で 表 され る.. を離 散化 す る ことに よ り,Erの 分布 を考 慮 で きる応 (3). 力 ・ひずみ の理 論式 の導 出 を可 能 と した.又,本 報 で は この理 論 を用 いて前 報9)で求 めた ヤ ング率 分 布. Eθ : 円 周 方 向 ヤ ン グ率. を用 い た巻 糸 体 の ひ ず み解 析 を行 った結 果 を も示. Er. す.. υrθ : ポ ア ソ ン比. 2.. : 半 径 方 向 ヤ ン グ率. こ こ で,Maxwellの. 巻 糸 体 の 応 力 ・ひ ず み 解 析 理 論. 相 反 定 理 よ り次 式 が 成 り立. つ.. ここで述 べ る巻糸体 内部 の応 力 ・ひずみ解 析理論 (4). で は,解 析 を容 易 にす るた め巻 糸体 は軸 上 に微小厚 さの糸 層 が同 心 円状 に累 積 され て い る もの と考 え る.又,巻. (4)式の υrθ を(3)式へ 代 入 して υrθ を消 去 す る と 次 式. 糸体 内部 の微小 要素 にお け る応力 の釣合. とな る.. いで は軸方 向応 力 は無視 で きる もの と考 え,一 応, (5). 平面 応力状 態 と仮定 して い る. 2.1. い ま,n層. 基礎式. で のr方 向 の 変 位 量 をumと. す れ ば,円. 筒 座 標 系 に お い て 次 式 が 成 り立 っ.. 外 半 径rの 巻 糸体 にdrの 微 小 厚 み の糸 層 を巻 き 加え た場 合,巻. (6). 糸 体 の中心 よ りdθ の微 小扇 状部 分. を取 り出 し,図1の. よ うに各応 力 や寸 法記号 を定 義. こ こで,umと. す ると,r〜7+dr間. の半 径(r)方 向 の力 の平 衡条 件. れ を 硬 度 変 数 と定 義 す る.. σmの 比 を 次 式 の よ う にKnと. 式は次 の よ うに な る.. お き,こ. (7) (6)式と(7)式よ りumを. (1). 消 去 す る と,. (8). 上 式 を簡 単 にす ると次式 とな る, さ らに,(8)式. (2). T106. と(5)式よ り次 式 の 関 係 が成 り立 っ..
(3) 繊維機械学会誌. 70. (9) (9)式を(2)式へ 代 入 す る と次 式 が 成 り立 っ.. (10 ). Fig. 又,(9)式. 2. Cross-section. of yarn. package.. と(10)式 よ り,σ θnを求 め る と 次 式 と な る.. に対 して 指 数 関 数 的 に変 化 す る σr,U,に 依 存 す る の で,こ. (11). れ らを 考 慮 しKnを. 次 式 で 置 く こ と に す る.. (18) た だ し,Cl,C2,C3は. 簡単 化 の ため次式 を定 義す る.. 2.3. 応 力 ・ひ ず み 式. 外 半径Rま. (12). 定 数 で あ り,C2<0,7≧r0. n+m層. で巻 糸 体 形成 した場 合 そ の最 外層 を. と した とき,n+m層. を形 成 した ことに よ. り半 径Rの 位 置 で生 じる半 径 方 向応 力 σm.mは境 界 条件(17)式 を用 いて次 のよ うに与 え られ る.. (13). (19) よ っ て,(10),(11)式. 以 上 の(14),(15)式はAn,Bnが が 求 ま って い る と き,σm,σ 又,第n層. こ の と きn層. は 次 式 と な る.. と第n+1層. 与 え られ,か. の σm.mを(14)式の σm+1に 代 入 し,こ. (15). す こ と に よ り求 め ら れ る.. の 操 作 を繰 り返. い ま,上 記 の よ うに して 求 め た σmを σmmと 表 す,. つ σm+1. 外 半 径Rま. θnを与 え る式 で あ り,. で 巻 き 取 り が 終 了 した と き のrの. 位置. で の 半 径 方 向 応 力 σ*mは各 巻 層 応 力 を 重 ね 合 わ せ る. の応 力 の間 の関係 を与 え る. こ とで 次 式 の よ う に 与 え ら れ る.. 漸 化 式 と解 釈 で き る.. 2.2. に生 じる 半 径 方 向 応 力 σ用は,(19)式. (14). 境界条件. (20). 図2に 示 す巻 糸 体 断 面 にお い て巻 糸 体 は内 半 径 ro,外 半径Rで あ る とす る.い ま,外 半径Rの 巻 糸. (20)式 を(9)式に 代 入 す る こ と に よ り. 体 にdrの 厚 さの糸層 を張 力Tで 巻 き付 け る こと に よ り,こ. のdrの 糸層 よ りも内側 に は圧縮 力pが 生. じる と仮 定す る.又,心. 筒 は巻 糸体 に比 べ剛 性 が大. き く,そ の変形 が無 視 で きる ほど小 さい とす れ ば, 境 界条 件 は次 の よ うに な る. (a ) Uゆ:心 筒 表面 での半 径方 同変位 (b) さ て,こ. (17) こで(16)式の 条 件 を 満 た す た め に,(7)式 で. 定 義 したK.を. 次 の よ う に 仮 定 す る.. 即 ち,心 筒 を 剛 体 と考 え て い るの で,r=r0の は 鞠=0と. (16). な り,Knが. とき. 無 限 大 に な る.一 方,(r‑r0). Fig.. の 増 大 と と も に こ れ は減 少 し,そ の 傾 向 は半 径 方 向. T 107. 3. Transmiting layer from. area of stress to the internal the external layer..
(4) (論 文 集)Vol.43,No.11(1990). 71. 半 径 方 向 ヤ ン グ率Erの. (21) こ の と き の σ*θnはRま で 巻 き取 り が 終 了 し た 時. め た計 算 例 に つ い て 示 す.な. 点 で のrの 位 置 で の 円 周 方 向 応 力 を 示 して い る. よ っ て,こ. =10. .7MPa,円. の と き対 応 す る位 置 で の 円 周 方 向 ひ ず. 半 径r0=12.5mmと に 際 して のdrの. る こ と か ら次 式 で 与 え られ る もの と な る.. 算 精 度 を 高 め て お り,外. 3.1. の と き巻 張 力T. して 計 算 を 行 って お り,離 散 化 値 は,最. く し最 外 層 で は0.4mmと. (22). お,こ. 周 方 向 ヤ ン グ 率Eθ=2744MPa,内. み ε*θnは(8)式 の σmを σ*mと置 き換 え た 式 と等 価 で あ. 2.4. 分布 の変化 を仮定 した場 合. の 円周 方 向 ひ ず み の分 布 を ナ イ ロ ン巻 糸 体 に 当 て は. 内 層 で0.01mmと. して 計. 層 に 近 く な る ほ どdrは. 粗. した.. ヤ ン グ 率 分 布 を 直 線 的 と 仮 定 した 場 合. 半 径 方 向 ヤ ング率 の 設 定 ま ず,半. 巻 糸 体 内 部 の 特 性 分 布Knは,(18)式 C2,C3の. に お い てC1,. 値 を 決 め る こ と に よ り求 ま る.こ. 値 を 設 定 す る こ と は,巻 糸 体 に お け るn層 方 向 ヤ ン グ率Emを. い ま,n層. のKnの. 化 を 計 算 した 結 果 を示 す.な. で の半 径. 糸 層 厚 さ の増加 に. お,ヤ. の ひず み 変. ン グ率 の 値 は 内. 層 か ら外 層 に 至 る平 均 が す で に 著 者 ら が行 っ た ヤ ン. 設 定 す る こ と と等 価 と な る.そ. こ で,KnとEmの. 径 方 向 ヤ ン グ 率Erが. 伴 い直 線 的 に 変 化 す る場 合 に つ いて,そ. グ率 一 定 で の 解 析10)に用 い られ る値(1372MPa)と. 関 係 を 導 い て み よ う.. な る よ う な分 布 を 与 え て い る.. で の 半 径 方 向 ヤ ン グ率Emを. 次 式 と置. 図5は. く.. ヤ ン グ率 分 布 を 図4の. よ うに 仮 定 して 求 め. た 円 周 方 向 ひ ず み の計 算 結 果 で あ る.こ. の図 中に示. す よ うに ヤ ン グ率 が 直 線 的 に変 化 し,そ れ が,図4. (23). 中 の(a),(b)の. 半径方 向 ひず み は次式 で与 え られ る.. よ う に △rに 対 して 増 加 方 向 に変 化 す. る と き ひ ず み 値 が 大 き くな る.逆. に,図. 中 の(d),(e). の よ うに 減 少 方 向 に変 化 す る と き は,ひ ず み 値 が 小. (24). さ く な って い る.こ. (24)式を(23)式に 代 入 す る こ と に よ り. れ は,各 糸 層 に お い て,そ. 与 え る影 響 が 大 き い の に 対 し,糸 層 よ り外 層 側 の ヤ. (25). ン グ率 は巻 取 張 力 が 糸 層 に 半 径 方 向 応 力 と して 伝 わ. (7)式を 用 い る と. る ま で の 応 力 緩 和 の程 度 に 影 響 す るだ け で あ る こ と か ら,ひ ず み 分 布 に与 え る影 響 は小 さ い.そ. (26). 内 層 側 で の平 均 ヤ ン グ率 の 違 い が,ひ に 現 れ た と い え る.又,ひ る と,ヤ. 又,(14)式. の糸. 層 よ り も内 層 側 の ヤ ン グ率 の 大 き さ は 糸 層 の 変 位 に. よ り. の ため. ず み の大 き さ. ず み分布 形状 につい て見. ン グ率 分 布 の 傾 き が(e)か ら(a)のよ う に △r. に 対 して 増 加 す る傾 向 に対 して,図5の. ε*θ の最 大. (27) (27)式 を(26)式へ 代 入 し,σmを 消 去 す る と. (28) 以 上 よ り,Emの (28)式のEm値. 定 す る こ と で,ひ 逆 にEmの. 分 布 が 実 験 に よ り既 知 の 場 合 は,. が実 験 値 を 表 す よ う にC1,C2,C3を ず み 解 析 を行 う こ と が で き,又,. 分 布 が 未 知 の 場 合 に は,(22)式 の ε*θn値 が. ひ ず み 測 定 値 を 表 す よ う にC1,C2,C3を と で,Emの 3.. 設. 設定 す る こ. 分 布 を 算 出 す る こ と も可 能 で あ る.. Fig. 4. Er分 布 と ひ ず み 分 布. こ こで は,本 報 で 求 め た ひ ず み 解 析 理 論 を用 い,. T108. Distribution of radial (linear) (a), (b) increase (c) constant (d), (e) decrease. Young's. modulus..
(5) 繊維機械学会誌. 72. Fig.. 5. Relation. between. circumferential. Fig.. strain. 7. Relation. between. 以 上 の よ う に,ヤ ヤ ン グ 率 分 布 を 曲 線 状 と 仮 定 した 場 合. 次 に,ヤ. 4.. よ うに ヤ ン グ 率 を 凸 状 と な る 分 布 と仮 定. す る こ と に よ り,内 層 側(△r＜5mmの. 範 囲)で. ン グ率 の 分 布 形 状 と ひ ず み分 布. 形 状 との 相 関 を 明 ら か と した.. ン グ率 の分 布形 状 に よ る影 響 を知 るた. め,図6の. strain. 大 値 の 移 動 量 が 大 き くな っ て い る.. 値 が 内 層 側 へ 移 動 す る こ とが 示 され て い る. 3.2. circumferential. and yarn layer thickness of yarn package for variousYoung's modulus distributions (a)-(e). (circumflex). and yarn layer thickness of yarn package for various Young's modulus distributions (a)-(e). (linear). 実 験 値 を用 い た ひ ず み 解 析 と考 察. こ こ で は,実 験 に よ り求 め られ た半 径 方 向 ヤ ン グ. の. 平 均 ヤ ン グ率 の違 い を小 さ くし て 計 算 を 行 った.な. 率 分 布 を も と に ひ ず み 解 析 を 行 う こ と に す る.ま. お,こ. ず,図8の(a)は,巻. の と きの ヤ ン グ 率 の 分 布 も そ の 平 均 が 約. 1,372MPaに. ン グ率 分 布 を 図6の. 形 成 した. ポ リエ ス テ ル撚 糸 巻 糸 体 を 用 い て 著 者 らが 実 験 した. な る よ うに 設 定 し て い る.. 図7は,ヤ. 張 力7gf(0.069N)で. ヤ ン グ率 分 布 の 測 定 結 果 を 前 報9)よ り 引 用 し て 近 似. よ う に 仮 定 した と. 式(18)及び(28)式を 用 い る こ と に よ り示 し た もの で あ. き の ひ ず み 分 布 の計 算 結 果 で あ る.図6の(b),(c)の よ う に ヤ ン グ率 を 凸 状 に 変 化 さ せ た 場 合,図7の. る.こ. (b),(c)の よ う に ひ ず み分 布 の 最 大 値 は 内 層 側 へ 移 動. 厚 さ が増 加 す る に従 い内 層 部 で 急 激 な上 昇 の 後,一. す る.又,図6(d),(e)の. よ うに 凹状 に変 化 させ た 場. 定 値 に 収 束 す る傾 向 を 示 して い る.こ. の分布 を先 の. 合 は,図7の(d),(e)の. よ う に 外 層 側 へ 移 動 して い る.. 2章 で 述 べ た 理 論 に 適 用 す る と図9の. 曲 線(a)で示 さ. ど ち ら の 場 合 も,ヤ. ン グ率 を 直 線 的 と仮 定 した と き. れ る理 論 ひ ず み 分 布 が 求 め られ る.な. お,こ. 曲 線 はEθ=8418MPa,r0=46.5mm・. と して 計 算 を. 行 って い る.一 方,図9中. 応 す る撚 糸 巻. に 比 べ,ヤ. ン グ率 の変 化 量 が 大 き い た め,ひ. ず み最. の ヤ ン グ率 分 布 は最 内 層 で最 も小 さ く,糸 層. の ・は,対. の理 論. 糸 体 内 の 円周 方 向 に ひ ず み ゲ ー ジ を挿 入 す る こ と に. Fig.. 6. Distribution. of Radial. Young's. modulus. Fig.. (circumflex) (a) constant (b), (c) convex curves (d), (e) concave curves. 8. Radial yarn. T109. Young's layer. (a). according. (b). constant. modulus. distribution. thickness •¢r. to. the. Young's. model modulus. experiment (19.6. MRa). to.
(6) 73. (論 文 集)Vol.43,No.11(1990). 5.. 結. 言. 本報 告 で は,巻 糸体 内 の半 径方 向 ヤ ング率分 布 を 任意 に設定 で き る理論式 を導 き,こ れ に実 際 の巻 糸 体 を用 いた実験 に よ り測定 され た半 径方 向 ヤ ング率 分布 を適用 す る ことによ って,よ り正 確 な ひず み解 析 を行 った.そ して,次 の ことが明 らか とな った. 1) 式 を離 散化 す る ことによ り,半 径方 向 ヤ ング率 を糸層 厚 さに よ り変化 させ得 る巻 糸体 内部 の応 力 ・ ひず み式 を導出 した. Fig.. 9. Relation. between. and. layer. yarn. yarn. package.. strain. curves.. •. are. stant. circumferential. thickness •¢r Solid. lines. tension. T=. circumferential winding. (a). according. (b). constant. to. are. strain,. the. model. Young's. 糸体 内部 のひず み分布 に与 え る影 響 は大 きい. 3) モ デル実 験 か ら推 定 した ヤ ング率 分布 を用 いた. twisted. theoretical. under. 7 gf. 2) 巻 糸体 内層側 の半 径方 向 ヤ ング率 の大 き さが 巻. strain. of the. 巻糸体 内部 の ひずみ分 布 は,実 際 の巻 糸体 のひず み. con-. (0.069. 分布 を表 し得 る.. N).. 最後 に本 研究 を遂行 す るに際 し,当 時金 沢大 学工. experiment. modulus. (19.6. MPa). 学 部 の卒業研 究生 で あ った平 野敬 君 に多大 な る協 力 を得 た.こ こに記 して 感謝 の意 を表 す る.. よ り測定 され た円周方 向 ひず み値で あ る.こ の実 験. 参考 文献. 値 は内層 側 で高 く,そ して外層 側で は低 くな ってお. 1) B. Beddoe ; J. Strain Analy., 2,. り,全 体的 にはひず み最大 値 が内層側 へ片寄 る傾 向 が見 られ,そ の傾向 は本報 で示 した理 論値 の それ に. No. 3 , 207 (1967).. 2) B. G. Neal ; J. Strain Analy., 2, No. 3 , 213 (1967). 3) V. Vicentini ; J. Strain Analy., 4, No. 1, 48 (1969).. 近 い もの で あ るこ とが分 か る.こ の ことは又,図8. 4) P. Ursiny ; Textiltechnik, 36, No. 10, 535 (1986). 5) M. G. Catlow, G. W. Walls ; J. Text, Inst., 35, T 410 (1962).. (a)のEr分 布 と半 径 方 向で の平 均 値 が等 しい一定 分 布(b)をも とに計 算 した ε*θ の分 布 で あ る図9(b)が 明. 6). らか に対 応す る実験 値 とか な り相違 した もの とな っ. 西 原 利 夫,藤. 野 清 久,平. 井 恒 夫,津. 久 間 新;機. 論,26,No.. 164,588(1960).. て い る ことか らも分 か る.以 上 の ことは,ヤ ング率. 7). 中 島 達 夫;繊. の分 布 を考慮 す ること によ り巻糸 体内部 の ひず み解. 8). V.A.Stepanov;Izv Tekst. 析 を よ り正確 に行 え るこ とを示 して い る.. 機 誌,20,No.7/8,T194(1967). Vyssh. Uchebn. Prom‑st,No.3,136(1976). 9) 新 宅 救 徳,尾. 田 十 八,谷. Zaved. Tekhonl. .. 義 則,奥. 野 登 起 男;繊. 機 誌,43,No.. 10,T86(1990). 10) 新 宅 救 徳,尾. 田 十 八,奥. 野 登 起 男;繊. 学 誌,45,No.6,278. 田 十 八,奥. 野 登 起 男;繊. 学 誌,46,No.3,115. (1989). 11) 新 宅 救 徳,尾 (1990).. 正 誤 表(本. 誌Vol.43,No.10,平. 52頁(T89)右. 欄4行. 成2年10月. 号 に 次 の 誤 ま り が あ り ま した の で お 詫 び して 訂 正 しま す). 目 「Em'の 値 は … … 」 を 「Emの 値 は… … 」 に,同6行. は … … 」 に.. T110. 目 「Emは … … 」 を 「E'm.
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