解答例２次数学セレクション

(1)

電送数学舎 2006 −−

１ [金沢大・文]

+ \ [ [

=− + より \′=−[+

点3_D ₋_D₊_D_{における接線}_O_{の方程式は}

_D _D _D _[ _D

\− − + = − + −

D [ D

\= − + +

ここでOと

\ [

+ = との共有点は

_D _[ _D

[ = − + +

₊ _D₋ _[₋_D ₌

[ ………①

①の判別式'は _' ₌_D₋₊_D_＞

よってDの値と関係なくOは+と異なる点で交わる。

①のつの解を[ =α βとおくと交点はα α β βと表せ

−

− = +β D

α αβ =−D

このとき交点の中点を4[ \とおくと

β

α+ =

[ \=α+β すると [=−D−……②

_α₊_β ₋ _αβ =

\ ₌D−+D ₌_D₋_D₊_………③ ②よりD=−[+となり③に代入すると点4の軌跡&の方程式は

₋ ₊ ₋ ₋ ₊ ₊

= [ [

\ _\₌_[₋_[₊

&と+の共有点は[−[+=−[+[

_[₋ _[₊ ₌ _[₋ ₌ =

[

&と+および\軸で囲まれた図形の面積6は

{

}

³

− + − − +

=

[ [ [ [ G[

6

=

³

−

[ G[

[

]

₌ −

= [

［解説］

+ +& という種類の放物線しかも+の接線Oが関連しているため混乱しがちです。題意を取り違えないことが重要です。

2

[ \

3

2

[ \

(2)

電送数学舎 2006 −−

２ [一橋大] 曲線\=[ −D[……①上の点 3 4の[ 座標をそれ

ぞれ STS＜＜Tとし点 _E_{を通る直線を}

E P[

\= + ……②とおく。

また条件より点 3 4 の一方は①と②の接点他

方は交点である。

L 点3が交点点4が接点のとき

₋_D[₋ _P[₊ _E ₌

[ は解[ = Sと重解[ =Tを

もつことより

_D[ _P[ _E _[ _S_[ _T

[ − − + = − −

定数項を比べると₋_E ₌₋_ST_{となりE＞} _S_＜_＜_T_{に反する。} LL 点3が接点点4が交点のとき

₋_D[₋ _P[₊ _E ₌

[ は重解[= Sと解[ =Tをもつことより

_D[ _P[ _E _[ _S _[ _T

[ − − + = − −

係数を比べると T S+ =

………③ ₋D₋P₌S ₊ST_………④ ₋_E ₌₋_S_T_………⑤ ③からT=−Sを④⑤に代入すると

S D

P=− + ………⑥ S=−E………⑦

⑥⑦より_P₌₋_D₊_E_となり_直線₃₄_{の方程式は}_②より

D E [ E

\= − + +

①⑦より3₋_E ₋_E ₊_DE_③から_T₌_E_なので₄_E _E ₋_DE_となる。より 23₌₋_E ₋_E ₊_DE ₂₄₌_E _E ₋_DE_である。

条件から∠324=°なので 23⋅24=となり

₊ ₋ ₊ ₋ ₌

− E E DE E DE

E＞を用いてまとめると _E ₋_DE ₊_D ₊₌

ここで_W₌_E_＞_とおくと _W ₋_DW₊_D ₊₌_………⑧

すると求める条件は⑧がW＞の解をもつDの範囲となる。

D＞から D＞

＞ +

D _{に注意すると}

₋ ₊ ₌ ₊ ₋ _≧

= D D D D

'

よってD≧である。

［解説］

重解条件を利用して解きました。標準的で落とせない問題です。 3

4

2 [

\ E

(3)

電送数学舎 2006 −−

３ [名古屋大・文] _' _\_≧_[ _\_≦_N[ ₍ _\_≦_[ _\_≧_N[ ₎ _\_≦₋_[ ₊_[ _\_≧_N[_より_これらのつの領域の境界線は _\₌_[_……① _\₌_N[_……② _\₌₋_[ ₊_[_……③ である。

①と②の交点は [ =N[より [= N ①と③の交点は [ ₌₋[₊[_より _[₌ ②と③の交点はN[ ₌₋[ ₊[_より

N [ = −

これより領域'*()を図示すると右図の網点部となりその面積PNは

³

− + − − − + − + −

= −N [ [ N[ G[ [ [ [ G[ N N[ [ G[ N

P

=−

³

−N[ [− +N G[+

³

[ [− G[−

³

N[ [−N G[

₋_N ₋ _⋅ _⋅ ₊ _⋅ _N

=

₊ ₋ ₊

= N N N

₊ ₋ ₊

= N N N

より_P_′_N₌_N ₊_N₋

₊ ₋

= N N

=

′ N

P とすると N=−±

≦N≦ より PNの値の変化は右表のようになり N=−+ のとき最小となる。

ここで_N ₊_N ₋_N₊_を_N ₊_N₋_で割ると

₊ _N ₋ _N₊ ₌ _N ₊ _N₋ _N₊ ₋ _N₊

N

これより最小値P−+ は

{

}

− + = − − + + = −

P

［解説］

名大では年に続きいわゆる公式の適用パズルが出題されました。ただ

本年の問題はひねりが加わっています。

N … −+ …

N

P′ ₋ _＋

N

P

[ \

2 −N

(4)

［九州大・文］

(1) 0f(x) , 0(x22)(x24x2) ,

2

 

x , x2 2

小さい順並べ ,  2, 2 2, 2 , 2 2

(2) )y f(x グラフ右図う , 0f(n)

解 , (1) ,

2 2

2 

 n , 2 n 2 2

n 整数 , 3n1, 0, 2,

(3) 0f(n) を満た整数n1, 0, 2, 3 , 1f(n)

を満た。

次 , 1f(2)28＞ , 1f(4)28＞ , n 2また n 4 い ,

1 ) (n

f を満た n 存在しい。

さ , 1f(1) , 1n f(n) 1を満た。

以上 , 1f(n) を満た整数 , 3n1, 0, 1, 2, あ。

［解説］

数学Ⅱ 範超えいま , 4 次関数y f(x) グラフを対応させ考えい

ま。(3) 視覚的解いいま。

O x

y

2

 2

2

2 2 2

4

(5)

［名古屋大・理］

(1) 1f(x)2x33x2 ,

) 1 ( 6 6 6 )

(  2  

 x x x x x

f

, )f(x 値変化右表う。

また, f(x)

2 ) 1 )( 1 2

( x x , )y f(x

グラフ x軸共有点 , , 1

2 1

 

x あ。

, )y f(x グラフ右図う。

(2) (1) , 方程式f(x)a , 0＜a＜1 3 実数

解＜＜ をち,

2 3

   

 ……… , 0   ………

,    2 3

代入し ,    







2 3 )

(

さ , l  ,

 

 

 ) ( ) 4

( 2 2

2 _ _ _ _ _

l 







 







2 3 4 2

3 2

4 9 3

3 2 



  

,

4 9 3

3 2 



   l

(3) (2) ,





3

2 1

3  2

  

l , 0＜＜1 ,

3 2

3

＜l

［解説］

解,   関係をえた , 解係数関係着目こポイント

いま。見けスパイス効いい 1題。

x … 0 … 1 …

) (x

f ₊ ₀ － 0 +

) (x

f _{1 0}

x y

O 1

1

(6)

［広島大・文］

(1)

2 1 2 : y x2 

C …… 対し , yx

, x  p y p あ。

こ , 直線l 傾 p , l 直交直

線 m , 傾

p

1

 , )Q(p, 0 を通 , そ方

程式 ,

) (

1 _x _p

p

y  , 1x1

p

y ………

(2) C m 交点 x座標 , , 1 1

2 1 2

2

  

 x

p

x _, 2 _ 2_x_₁_₀

p x

ここ , ( ) 2 1

2 _ _

 x p x x

f く ,

0 1 ) 0

(  ＜

f , 0f(p)p21＞

, 0f(x) 異 2 実数解をち, こをx ,  く ,

p ＜＜＜ 

 0 あ。

(3) 







   



0

2 1

2 1 2 1

1_x x _dx

p

S , 



p



  x



dx p

x S

 1

1 2 1 2

2

2 ,





_







      



 _ 

0 2 2

1

2 1 1

2 1 2 1

1 2 1

2 px dx

x dx

x p x

S S p





p



  x



dx p

x

0 2

1 1 2 1

2





p

x x p x

0 2

3

2 1 2

1

6  



6 2 1 2

1 6

3 2

3 _p

p p p p

  



［解説］

微積分総合問題。(3) , S1, S2を単独求 S1S2を計算

いいうこ , 問題文推測ま。

O x

y

p 2

(7)

［大阪大・文］

(1) C : yx2 l: yxk 共有点 x座標 ,

k x

x2   , 0x2xk ………(＊)

条件 , (＊) 異 2 実数解 ,

2 2＜x＜

 存在 ,

0 4

1 k＞

D  ,

4 1



＞

k ………

k x x x) 2  (

f し ,

0 2 4 ) 2

(   k＞

f , 2k＜ ………

0 2 4 ) 2

(   k＞

f , 6k＜ ………

, 2

4 1

＜＜k



(2) (＊) ,

2 4 1

1 k

x   , こ解をx,  (＜) く。

, 求 3 部分面積和S ,



       

 _ 2 2 2

2

2 ₎ ₍ ₎ ₍ ₎

(

 

 

dx k x x dx

k x x dx

k x x S



    

 _2 (x x k)dx 2 _(x2 x k)dx

2 2

 

3 2

0 2

) ( 6 1 2 ) (

2    





x k dx





2 3

0 3

) ( 3 1 3

2   

 x kx



1 4



3 3

1 4 3

16_ _k_ _ _k



［解説］

積分計算ポイント。計算を迅速正確遂行た , 上記う

工夫必要ま。

y

x 2 O

k

2

(8)

［東北大・文］

(1) f(x)x3(2a4)x2(a24a4)x 対し, 0f(x) ……(＊) ,



x2 (2a4)x(a2)2



0

x , 0x(xa2)2 

, (＊) 解 , 2x 0, a , 異 2 実数解を条件 ,

0 2



a , a2 あ。

(2) f(x)3x22(2a4)x(a2)2(xa2)(3xa2)

こ , 0f(x) 解 ,

3 2 ,

2  

 

 _a a x

(i) a＞2

右表 , 極大値 ,

0 ) 2 (a 

f

また, 極小値 ,



a₃2





f

27 ) 2 (

4  3

 a

(ii) a＜2

右表 , 極大値 ,



a₃2





f

27 ) 2 (

4  3

 a

また, 極小値 ,

0 ) 2 (a 

f

(3) )y f(x 極大値を与え x い , (x, y)(x, f(x)) く ,

(i) a＞2

(2) , )(x, y)(a2, 0 , そ軌跡方程式 ,

0



y (x＜0)

(ii) a＜2

(2) ,





27 ) 2 ( 4 , 3

2 )

, (

3

   

 a a

y

x ,

そ軌跡方程式 , 3

3 ₄

) 3 ( 27

4 _x _x

y   (x＞0)

(i)(ii) , 点(x, f(x)) , 右図太線を描く。

［解説］

方程式 f(x)0 左辺 1 次式積し因数分解 , 予想しませ

した。不意を突た感。

x … a2 …

3 2

 a

…

) (x

f ＋ 0 － 0 ＋

) (x

f ₀

27 ) 2 (

4  3

 a

x … 3

2

 a

… a2 …

) (x

f ＋ 0 － 0 ＋

) (x

f

27 ) 2 (

4  3

 a

0

O x

(9)

［大阪大・文］

(1) P(x)x33ax23axb 対し , 0P(x) 解 , ,  あ ,

a

3

    

 ……… ,    3a……… ,  b………

条件 ,  2………

,  a…… , また , 2 3a

2_ _

 ………

, 2a2 3a,  2a23a………

, a(2a23a)b, b2a33a2

(2)  実数あ , ,  実数あ条件を求。

,  2a

さ , を考え合わせ , ,  t 2次方程式 2 2 3 0 2

2_ _at_ _a _ _a_

t

2 解 ,

0 ) 1 ( 3 ) 3 2 (

4a2  a2 a  a a D

, a 0, 1 a あ。

(3) (1) , )f(a 2a33a2 ,

) (a

f 6a26a6a(a1)

, )f(a 増減右上表う。

, (2) a 0, 1 a い , )b f(a グラフ

右図あ。

［解説］

3 次方程式解係数関係を題材した問題。連立方程式ま方問わ

いま。

a … 0 … 1 …

) (a

f － 0 ＋ 0 －

) (a

f _{0 1}

O a

b

1 1

(10)

10 ［京都大・文］

0 cos sin 3 ) cos sin

( 2

2 3x 3x  x x …… 対し , tsinxcosx く ,

x x t2 12sin cos ,

2 1 cos

sinx xt2



t



t t t

x x x

x x

x

2 3 2 1 2

1 1

) cos sin 1 )( cos sin ( cos

sin3  3      2  3

代入し ,





( 1) 0

2 3 2 3 2 1 2

2  t3 t  t2 

0 3 3 2 6 2

2 t3 t t2  , 4t33 2t212t3 20………

ここ , 0 x＜2,





4 sin

2 

 x

t , 方程式を満た 1 解対し ,

方程式を満た解個数 ,  2＜t＜ 2 2 個, t 2 1 個 ,

2



＜

t , 2＜t い。

さ , ( ) 4 3 2 12 3 2 2

3_ _ _

 t t t t

f く ,

12 2 6 12 )

(  2 

 t t t

f

) 2 )( 2 2 (

6  

 t t

,  2 t 2 け f(t)

増減右表う , 0f(t) わ

ち方程式 2

2 2

＜＜t

 解を1 け。

, 方程式を満た x 2個存在。

［解説］

有角方程式解個数い問題。t x 個数対応注意必

要。

t  2 …

2 2

 … 2

) (t

f ＋ 0 － 0

) (t

(11)

11 ［九州大・文］

(1) C : yx2 , y2x , )P(p, p2 け接線

方向ベトル, わち法線法線ベトル成分 ,

) 2 , 1

( p 表せ。

こ , P け法線方程式 ,

0 ) (

2 )

(xp  p yp2 

0 2

2   3 

 py p p

x ………

(2) 点(0, a)を通条件 , 2 2 0

3 _

 p p

pa ………

ここ , 異実数解p 個数 , 点(0, a)を通法線本数一致こ

, (i) p0

任意実数a 成立。

(ii) p0

, 2a12p2 0,

2 1 2_

p

a ………

さ , p0 , 異実数解 p 個数 , 直線 a

q

2 1 2_

p

q グラフ共有点個数一致。

, 右図 ,

2 1

＞

a p 2個存在し,

2 1

a

p 存在しい。

(i)(ii) , 題意法線本数 ,

2 1

＞

a 3本,

2 1

a 1本あ。

［解説］

法線本数い基本的問題。たし,

2 1



a 場合要注意。

O p

q

a

2 1

O a y

x P

(12)

12 ［金沢大・文］

(1) 



1

0 ( ) ( )

)

(a x x dx

m f g 



1



 









0 ( 1) 1 2 3 dx

a x x

a ,







    

  1

0

2 2

3 3

6 )

1 ( 2 )

(a a x a a x a dx

m

6 10 7 3

6 6 3

) 1 (

2 2 _ 2_ _

      

 a a a a a a

ここ , 0m(a)＞ , 07 10 2

＜

  a

a , 0(a2)(a5)＜ ,

2

5 

 ＜a＜

(2) )h(x)g(x)m(a)f(x ,











 1 

0

2 1

0 f(x)h(x)dx f(x)g(x) m(a) f(x) dx

 



1





0

2 ) ( ) ( )

(a m a x dx

m f

さ , 0m(a)＞ , 0( ) ( ) 1

0 



f x h x dx , 1



( )



1 0

2





f x dx 同値あ ,





_







 1    

0

2 2 1

0

2

1 ) 1 ( 2 ) 1 ( )

(x dx a x a x dx

f ( 1) 1

3 ) 1

( 2

   

 a a

, ( 1) 1 1

3 ) 1

( 2

     _a

a

, 0a13, 。

, (1) , 25＜a＜ , 4a あ。

［解説］

(13)

13 ［京都大・文］

ま , y dy x y y dy x C x

  





1 2

0

2

0 f( ) ( ) f( )

を変形し ,

C x dy y y dy y y x dy y x

dy y

x

  





1 2

0 2 1

0 1

0 2

0 f( ) f( ) 2 f( ) f( )



 1

0 (y)dy

p f …… , 



1

0 y (y)dy

q f …… , 



1

0

2 ₍_y₎_dy

y

r f …… く ,

C x r qx px dy y

x

    



2 2

0 f( ) 2

………

両辺をx 微分 , f(x)2px2q2x q

x p

x) 2( 1) 2

(   

f ………

0



x を代入 , rC………

, 



1



  



0 2(p 1)y 2q dy

p p12q, 2p2q1………

, 



1



  



0

2 ₂

) 1 (

2 p y qy dy

q  (p1)q

3

2 _, _p_₃_q_₁

………

,

4 1

 q

p ,

2 1 2 3 )

(x  x

f

,





24 5 6 1 8 3 2

1 2 3 1

0

2

3_ _ _ _





y y dy C

［解説］

定型的積分方程式問題。 f(x)を 1 次以整式し設定し, 与え

(14)

14 ［東京大・文］

(1) f(x)ax2bxc 対し, 0f(0) , 2f(2) ,

0



c , 24a2bc

, b12a , f(x)ax2(2a1)x

1 ) 1 ( 2 ) 1 2 ( 2 ) (      

 x ax a a x

f

また, a0 , 0f(x) く ,

a x 2 1 1 

こ , )y f(x グラフ右図う。

(i) 2a 1





2 1

a



  2

0 (x) dx

S f



       2 2 1 1 2 1 1

0 ( ) ( )

a

a _f _x _dx _f _x _dx









2

2 1 1 2 2 1 1 0

2 ₍ ₁₎

) 1 (

a

a _a _x _x

x x a         



 

a _a

 

_a



a a a 2 1 1 4 1 1 2 1 1 1 4 1 2

2       



 a _a

2 1

2 



(ii) 11＜2a＜





2 1 2 1 ＜＜a 



  2

0 (x) dx

S f 



2 

0 f (x)dx





2 0 2 ) 1

(x x

a  

 2

(iii) 12a 





2 1  a



  2

0 (x) dx

S f



      2 21 1 21 1

0 ( ) ( )

a

a _f _x _dx _f _x _dx

a a 2 1 2    (2) (i) 2 1

a 相加平均相乗平均関係 ,

2 2 1 2 2 2 1

2   

 a _a

a a S

等号

a a

2 1

2 





2 1



a 成立。

(ii) 2 1 2 1 ＜＜a

 S2

(iii) 2 1  a 2 1 a

a く ,

2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2         

 a _a

a a a a S

等号

a a    2 1

2





2 1

 

a 成立。

(i)～(iii) , S

2 1 2

1 _a

 , 最小値2を。

［解説］

定積分計算問題 , 角形や台形面積計算読直し。

1 1 2 a 2 1

1 x

y

(15)

15 ［千葉大・文］

(1) 原点を通放物線C1 方程式を, yax px 2 2

く , yaxp 。

条件 , x0 yk , pk , kx

x a y 2

2 ………

また, 同様し , 原点を通放物線C2 方程式を, qx

x a

y2 2 く , x q a

y4  。

条件 , x0 yk , qk , kx

x a

y2 2 ………

さ , 直線ykx 垂直直線l , x k

y1 …… あ。

交点x  0 , x k kx x

a 1 2

2_ __ _,





k k a 1 2 _    ,







  

 0 2

1

2 1

 x kx dx

a x k

S

 

( )3 6

1

2  



 a





3

2 1 3 2 k k a  

交点x  0 , x k kx x a

1

2 2_ __

 ,





k k a 1 2    ,







     0 2

2 2 1x dx

k kx x a

S

 

3

6 1

2_ _ _



 _a 2



₁



3

24 k k

a _



, SS1S2





3 2 1 3 2 k k a 

 2



₁



3

24 k k

a _









3

2

2 16 ₁

24 1

k k a a  



(2) k 21 , 1  21 212 2

k

k ,







2



2 3 2 2 16 3 2 2 ) 2 2 ( 16 24 1 a a a a

S    

ここ , 0 2

＞

a , 相加平均相乗平均関係を用い ,

8 16 2 16 2 2 2

2_ _ _

a a a

a

, 等号 ,

2

2 16

a

a  わちa2 成立し, こ S 最小値

3 2 16 8 3 2

2 _ _

を。

［解説］

放物線そ法線ま部分面積い , そ最小値を求いう頻出

問題。

(16)

16 ［神戸大・理］

(1) 1f(x)x33x 対し ,

3 3 )

(  2

 x x

f

) 1 )( 1 (

3  

 x x

, 2 x 2 け

) (x

f 増減右表う , 方程式 f(x)0 実数解 , 12＜x＜ ,

1 1＜x＜

 , 21＜x＜ 1 あ。

わち, 0f(x) , 絶対値 2 小さい3 相異実数解を。

(2)  f(x)0 解 , 3 1 0

3_ _ _

 , 13 3 ………(＊)

また, 2( ) 2_

x x

g , 2g()2 , (＊) ,

) 2 ( ) ) (

(g   f 2

f (22)33(22)1664921

(31)26(31)921

926118269210

, )g( f(x)0 解あ。

(3) f( 3) f(0) f( 3)1 , 0f(x) 解を

1

 , 2, 3 1＜2＜3 した ,

3

2 1 

 ＜ ＜ , 10＜2＜ , 1＜3＜ 3

, 2g(x)x2 ,

2 ) (

1＜g 1 ＜ , 12＜g(2)＜ , 11＜g(3)＜

, )g(2 ＜g(3)＜g(1) 。

また, (2) , )g(1 , )g(2 , )g(3 f(x)0

解あこ ,



1, 2, 3

 

 g(1), g(2), g(3)



以上 , g(1)3, g(2)1, g(3)2 あ。

［解説］

グラフ概形考え , (3) x 3を用いた解う範評価 ,

難しくいしう。 , 記憶をた調べたこ , 1997 早大・理工

本問同問題出いま。

x 2 … 1 … 1 … 2

) (x

f ＋ 0 － 0 ＋

) (x

f _₁ _{3 1}_ ₃

O _x

y

1

1 2 3

3

 3

1 

(17)

17 ［筑波大・理］

(1) 3 2

2 1 3 1 )

(x  x  ax

f , a

2 1 3 1 ) 1

(  

f , a

2 9 9 ) 3

(  

f

) 3 ( ) 1

( f

f  , a a

2 9 9 2 1 3

1_ _

 ,

3 7

a

a＞0 合わせ ,

3 7 0＜a

(2) )f(x)x2axx(xa

) (x

f 増減右表う , 条

件 , 極小値

3 6 1 )

(a  a

f f(1)

以あこ , a a

2 1 3 1 6

1 3 _ _

 , a33a2 0, 0(a1)2(a2)

a＞0 , a 2

(3) (i) 0＜a＜3

3

1 x

 け f(x)

増減右表う ,

(2) 結果 , 最小値 ,

(i-i) 0＜a＜2 a

2 1 3 1 ) 1

(  

f

(i-ii) 2 a＜3

3 6 1 )

(a  a

f

(ii) a 3 3

1 x

 け f(x) 増減右表

う , (1) 結果 , 最小値 ,

a

2 9 9 ) 3

(  

f

［解説］

(1) (2) 誘 , (3) 計算不要いま。

x … 0 … a …

) (x

f ＋ 0 － 0 ＋

) (x

f _ ₀  ₆1a3 _

x 1 … 0 … a … 3

) (x

f ＋ 0 － 0 ＋

) (x

f _ ₀  ₆1a3 _

x 1 … 0 … 3

) (x

f ＋ 0 － 0

) (x

(18)

18 ［一橋大］

(1) 曲線

2 3 ₃_ax

x

y  …… 上点A( , 3 ) 2

3 



  a , )B(, 33a2 く。

, y3x26ax ,



 a

m3 26 ……… , m 3 6a 2_

 ………

, 03(22)6a() ,   ,  2a………

さ , 線分AB 中点C ,





2

) (

3 ,

2 C

2 2 3

3 _ _ _

 

   a 

, ,



  





  

   

3 33a( 2 2)(  )33 (  )3a (  )22 8a36a12a36a 4a3

, )C(a, 2a3 , 点C 曲線

2 3 ₃_ax

x

y  上あ。

(2) 条件 , 点C 直線yx1…… 上あ , 12

3 __ _

 a a , 0

1

2a3a  , 0(a1)(2a22a1)

a 実数 , 1a

こ ,

2 3 ₃_x

x

y  , 交点 ,

1 3 2

3_ _x ___x_

x , 0x33x2x1 , 0(x1)(x22x1)

, x1, 1 2 。

こ , A, B x座標 1 2 , , 複号同順 ,

3 ) 2 1 ( 6 ) 2 1 (

3  2  



m

［解説］

(19)

19 ［広島大・文］

(1) 曲線

2

kx

y y軸対称あ , また直線

k kx y

l:  1

k kx y

m:  1 y軸対称あ。

そこ ,

2 : y kx

C  (x 0) l, m 交点 x座標を

そ ,  , 曲線

2

kx

y l 交点 x

座標 , ,  。

さ ,

2

kx y

k kx

y 1を連立し ,

k kx

kx2 1 , 0k2x2k2x1 ………(＊)

(＊) 解 x,  , 1

2 2    k k  

(2) (1) 同様し , (＊) ,

2 1 ) ( k   

 , 1₂

k   2 2 2 2 ₂ 1 2 ) ( k           2 3 3

3 ₍ ₎ ₃ ₍ ₎ ₁ 3

k             

(3) 曲線C 2直線l, m また部分面積をS , (1), (2) ,

















_

     _kx dx k

k k

k

S 2 2 1 2

2 1 1 2 1 ) ( 3 ) ( 2 1 ) ( 2

1 _3__3 _ ___ _ _3__3

 k

k

k ( )

2 1 ) (

6

1 _3__3 _ ___

 k _k



_k



_k k 2 1 3 1 6 1 2  

 k 1_k

6

1 _



ここ , 相加平均相乗平均関係 ,

3 6 1 6 1 2 1 6

1 _ _ _

k k k

k

, 等号

k k 1

6

1 _

わちk 6 成立。

, k 6 , S 最小値

3 6

を。

［解説］

微積分総合問題 , 対称性へ着目ポイントいま。 , (3) (2)

利用を考え , 台形面積を使いま。



  O   x

(20)

20 ［大阪大・文］

(1) 1C : yx2 … … 上頂点あ放物線 ( ) 1

4

3 _ 2_ 2_

 x t t

y … … 通過

点(x, y) 条件 , を t 方程式した , t 実数解を条件

一致。

, 44y3(x22txt2)4t2

0 4 4 3

6 2

2_ _xt_ _x _ _y_ _

t

実数解条件 , 4 9 ( 3 4 4) 0 2

2_ _ _ _

 x x y D

1 3x2 y

こを図示 , 右図網点部。 , 境界領

域含。

(2) 条件 , 1: 3

2_

 x y

D ………

D x 軸正部分交点



, 0



3

1 _,_C

上点





3 4 , 3

1 _

け

接線l 方程式を求 , , y2x ,



1₃



3 2 3

4 __ _

 x

y ,

3 2 3

2 _

  x

y ………

交点 ,

3 2 3 2 1

3x2  x , 0

3 1 3 2

3x2 x 

0 1 3 2

9x2 x  , (3 3x1)( 3x1)0

,

3 3

1 , 3 1

 

x ,

3 1

 

 ,

3 3

1





く , D l また部分面積S ,







   

 

 x x dx

S 3 1 3

2 3

2 2



 

  

 (x )(x )dx

3

 





3 243

32 3

1 3 3

1 2 1 ) ( 6 1

3   3   3



  

［解説］

曲線通過領域微積分融合問題。こ両者必須技法問わいま。

x y

O

1



x y

O

1



D l

(21)

21 ［名古屋大・文］

(1) )y f(x グラフ右図う , yaxb

グラフちう 2 交点を , 0x＜ , 0x

1回交わ場合 ,

0

＞

a , 10＜b

(2) yx36px29p2xq……(＊) 対し , 2

2 ₁₂ ₉

3x px p

y  

) )( 3 (

3 x p xp



p＞0 , 関数値増減右表う

, x 0 単調増加。

, (＊) グラフ y f(x) グラ

フちう 4 交点をた , 0x＜ 3回,

0

x 1 回交わ場合。そ条件 , p＞0

, 0

＞

q , 04p3q＜ , 10＜q

ま , p＞0,

3 4p

q＜ , 10＜q あ。

こを, pq 平面上図示 , 右図網点部。

たし, 半直線q1





3₄

1

＞

p 以外境界線領域含ま

い。

［解説］

グラフ位置関係問題 , 感覚的いま。(1)(2)

, う少し詳しく書いた方たしませ。

x … 3p … p … y ＋ 0 － 0 ＋

y  q  4p3q 

y

O _x

1

b

y

O _x

1

q

p 3 

p 

p q

O 1

(22)

22 ［東北大・理］

(1) C : yx3a2xa3 対し ,

2 2

3x a

y  , 接点を( , ) 3 2

3 _a _t _a

t

t  

く , 接線方程式 ,

) )( 3

( )

(t3 a2t a3 t2 a2 x t

y      , y(3t2a2)x2t3a3

点P(b, 0)を通こ ,

0 2

) 3

( t2a2 b t3a3 , 02t33bt2a2ba3  ………

3次曲線異 2点接接線存在しい , 接線 3本存在条件

, 異実数解を3個こ等しい。

そこ , 左辺を

3 2 2

3 ₃

2 )

(t  t  bt a ba

f く ,

bt t t) 6 6

(  2



f 6t(tb)

b＞0 , )f(t 増減右表う , 求

条件 ,

0 ) ( )

0

( a2ba3 a2 ba ＞

f ………

0 )

(b b3a2ba3＜

f ………

a＞0 , , b＞a＞0………

, 0b(b2a2)a3＜ , 成立。

, 点P 曲線C 接線 3本引け a, b 条

件あ , 点(a, b) 存在領域を図示 ,

右図網点部。たし, 境界領域含まい。

(2) 接線ちう 2本引け条件 , (1) , 0f(0) また f(b)0 あ。

(i) f(0)0 ba

こ , 0( ) 2 3 2

3_ _

 t at t

f 解 , t a

2 3 , 0

 あ。

そこ , 接点をA(0, ) 3

a ,



3



8 23 , 2 3

B a a く , )P(a, 0 ,

) , (

PA a a3 ,



3



8 23 , 2 1

PB a a

APB

 ＜90 , PAPB＞0 , 0

8 23 2

1 2 6

＞ a a 

 , 4

23 4

＞ a

(ii) 0f(b) b3a2ba3 0

b＞a＞0 , 0( ) 3 2 2

＞ a a b

b   成立しい。

a b＞0 , 0( ) 2

3

＞ b a a

b   成立しい。

(i)(ii) , 求条件 , 4

23 4

＞ b

a あ。

［解説］

3次曲線接線本数い頻出問題。

t … 0 … b …

) (t

f ＋ 0 － 0 ＋

) (t

f _  _

a b

(23)

23 ［東京大・理］

(1) 立体 V 回転軸垂直断面 , 右図う , 半径

2

2 _c

a  四分円 , 直角をさ 2 辺長さ a c

直角角形を2個合わせたあ。

こ , V 体積W ,

 

a c



ac



b W

2 1 2 4

1 ₂ ₂ 2

     abc c a

b  

 ( ) 4

1 2 2

………

(2) 0c1ab＞ , 1ab＜ , ,



a c ac



abc

b

W  (  ) 2  4

1 2





abc c a b 1 2 1 ) ( 4

1 _ 2_ _

  



1



(1 ) 2 1 ) 1 ( 4

1 _b __b 2_ _ _ab __a__b

  





b



a b a



b

b 1 (1 ) 2 1 ) 1 ( 4

1 _ 2_ _ _ 2_ _

  



 



(1 ₄ )



2 1 1 2 1 ) 1 ( 4

1 ₂ _b 2 b 2

a b b

b       

   ………

い , いた b 値を固定し W  f(a) く , 0＜a＜1b ,





( ) (0)

2

1 _f _f

f b a ＜ ………

ここ ,





2 1b

f





4 ) 1 ( 1 2 1 ) 1 ( 4

1 _b __b 2_ _ _b_ b 2

  





₍₁ ₎2 4

1 8

1 _ _b __b

  2 ) 1 ( 4 1 ) 0

(  b b

f

さ ,

2 ) 1 ( )

(b b b

g く ,

) 1 ( 2 ) 1 ( )

(b  b 2 b b

 g ) 3 1 )( 1

( b  b



, 0＜b＜1

27 4 ) (

0＜g b ………

,





2 1b

f





( ) 4 1 8

1 _ _g _b

  ＞0,   

27 1 27 4 4 1 ) ( 4 1 ) 0

(  g b  

f

以上 , , 

27 1

0＜W＜あ。

［解説］

いた 1文を固定こ , う値範を求いくいう東大

頻出問題。(2) い , W う範を, b を消去し ac ac を

考えこま , 計算やや煩雑ま。

b 0 … 31 … 1

) (b

g ＋ 0 －

) (b

g ₀

274 0

(24)

電送数学舎 2011

−−

24 [名古屋大・文]

_{\ [} _[_{……①に対して}

\a [ [ [ [

よって①のグラフは右下図のようになる。

接点を _{W W}_W_とおくと_{接線の方程式は}

\ W W W W [ W

\ W W [ W W ………②

②が点

を通るので

W W W W

W W W W WW

よって W となり接線の方程式は②から

それぞれ

\ \ [ \[

[の次方程式

[ [ S [ の異なる実数解の個数は曲線①と点

を通る直線\ S [

……③の共有点の個数に一致する。

そしてより S のとき①と③は接する。

よって求める実数解の個数は図よりS＜のとき個

S のとき個＜＜のときS 個 S のとき

個＜＜のときS 個 Sのとき個 S＞のとき

個である。

［解説］

方程式の異なる実数解の個数を対応するグラフの共有点の個数に翻訳して考える

頻出の問題です。

[ … … …

\a _＋ ₋ _＋

\

[

\

2

[ \

(25)

−−

25 [京都大・理]

原点2を中心とする半径の球面6の方程式は

[ \ ] ………①

点を通る平面αの方程式は

[ \ ] ………②

さて球面6の中心2と平面αの距離Gは

G

よって＜から

G ＜となり球面6と平面αは共有点をもつ。

ここで①②をともに満たす[\]に対して [\] N ……③とおく。

①②より

\

^

[\ \] ][ [ \ ] [ \ ] ………④

すると②③④より[\]はXに関する次方程式_X_X_{X N} _すなわ

ち_X_X_{X N} _……⑤の_{つの実数解としてみることができる。}

さらに⑤をXY平面上でとらえなおし

Y X X X………⑥Y N ………⑦

これよりNの値の範囲は曲線⑥と直線⑦が個の共有点接点は個とみなすを

もつ条件として求めることができる。

⑥より_Y_a_X_X _X_X

曲線⑥の増減は右表のようになり曲線⑥と X 軸

に平行な直線⑦の共有点が個接点は個とみなす

となるNの条件は ≦ ≦ であるのでN

≦[\]≦

［解説］

導入は空間図形ですが内容は条件付きの最大・最小問題です。頻出題なので

演習は必須です。

X … … …

Ya ＋ − ＋

(26)

−−

26 [一橋大]

_{& \} _[_……①と_$3_\ _{S [}_……②を

連立すると

[ S [

[[ S

よって [ Sとなり線分 $3 と & が $ とは異

なる点4を共有していることから

≦S ＜ ≦ ＜S

&と線分$4で囲まれた領域6の面積7は

\

^

S

7 [ S [ G[

¨

S [ [ S G[

¨

S

¸ S

また

&線分43および\軸とで囲まれた領域6の面積7は

7 ¸ ¸ S 7

¨

[ G[ S 7 _¡_¢ [[¯_°_± 7S

ここで 6と6の面積の和を7とおくと

7 7 7 ¸ S S SS S

7a S S SS

≦ ＜におけるS 7a の解は S

であり

7の増減は右表のようになる。

よって S のとき 7 は最小となる。

［解説］

7 は普通にからSまでの積分計算でも求められます。ただ所要時間が

倍ほどになります。

S … …

7a − ＋

7

2 _[

\

S 3

$

(27)

㸫27㸫

>ி㒔኱@

᮲௳ࡼࡾ,

2 2 ₆

x +xy+y = ࠿ࡽ,

2

(x+y) -xy=6͐͐͐ձ

ࡇࡇ࡛, u= +x y, v=xy࡜࠾ࡃ࡜, x, yࡣtࡢ2ḟ᪉⛬ᘧ

2 ₀

t -ut+ =v ࡢ2ࡘࡢ

ᐇᩘゎ࡞ࡢ࡛,

2 ₄ ₀

D=u - vӍ ͐͐͐ղ

ࡉ࡚, ձࡼࡾ,

2 ₆

u - =v , v=u2-6͐͐͐ճ ղճ࠿ࡽ,

2 ₄₍ 2 _{6 )} ₀ u - u - Ӎ ,

2 ₈ ₀

u - ӌ , -2 2ӌuӌ2 2͐͐͐մ

ࡇࡇ࡛,

2 2 2 ₂ 2

z=x y+xy -x - xy-y + +x y࡜࠾ࡃ࡜, ճ࠿ࡽ,

2

( ) ( ) ( )

z=xy x+y - x+y + x+y =uv-u2+u=u u( 2-6 )-u2+u

3 2 ₅

u u u

= -

-2

3 2 5

z¢ = u - u

( 3= u-5 )(u+1)

ࡉࡽ࡟, u=  2 ࡢ࡜ࡁ,

8 6 2

z= -  㸦」ྕྠ㡰㸧࡜࡞

ࡿࡢ࡛, ୖ⾲࠿ࡽ, մ࡟࠾ࡅࡿzࡢ࡜ࡾ࠺ࡿ್ࡢ⠊ᅖࡣ,

2 2 2 2

8 6 2 x y xy x 2xy y x y 3

- - ӌ + - - - + + ӌ

㹙ゎㄝ㹛

ᑐ⛠ᘧ࡛࠶ࡿࡇ࡜࡟Ẽ௜ࡅࡤ, u= +x y, v=xy࡜࠸࠺⨨ࡁ᥮࠼࡟ࡘ࡞ࡀࡾࡲࡍࠋ

࡞࠾, ᐇᩘ᮲௳ࢆᛀࢀ࡞࠸ࡇ࡜ࡀ࣏࢖ࣥࢺ࡛ࡍࠋ

u -2 2 ͐ -1 ͐

5

3 ͐ 2 2

z¢ 㸩 0 㸫 0 㸩

(28)

㸫28㸫

>஑ᕞ኱࣭ᩥ@

(1) f( )x =x3+3x2+ -x 1࡟ᑐࡋ࡚,

2

( )x 3x 6x 1

¢ = + +

f

ࡇࡇ࡛,

t

Ӎ0ࡢ࡜ࡁ, ( )f¢ x =t࡜ࡍࡿ࡜,

2

3x +6x+ =1 t, 3(x+1)2- =2 t͐͐͐ձ

ྑ ᅗ ࡼ ࡾ, ձ ࡣ ␗ ࡞ ࡿ 2 ࡘ ࡢ ᐇ ᩘ ゎ ࢆ ࡶ ࡘ ࡇ ࡜ ࡼ ࡾ,

᥋Ⅼࡀ2ಶ, ࡍ࡞ࢃࡕ᥋⥺ࡀ2ᮏᏑᅾࡍࡿࠋ

(2) ձࡢゎࡀx=p q, (p㸺q)࡞ࡢ࡛,

6 ₂

3

p+ = - = -q ͐͐͐ղ

3 2 3 2

( )p + ( )p =p +3p + - +p 1 q +3q + -q 1

f f

=(p+q)3-3pq p( +q)+3(p+q)2-6pq+(p+q)-2

ղࡼࡾ, ( )f p + f( )p = - +8 6pq+12-6pq- - =2 2 0

ࡼ ࡗ ࡚, 1

2

p+ = -q

, ( ) ( ) 0 2

p + p ₌

f f

࡜ ࡞ ࡾ, P( ,p f( ) )p ࡜Q( ,q f( ) )q ࡣ

A ( 1, 0 )- ࡟㛵ࡋ࡚ᑐ⛠ࡢ఩⨨࡟࠶ࡿࠋ

(3) 3 6

3

pӌ- - ࡜ࡋ࡚,

2 2 3 2 2

PA =(p+1) +(p +3p + -p 1)

ࡇࡇ࡛,

2

( 1)

u= p+ ࡜࠾ࡃ࡜, 1 6

3

p+ ӌ- ࠿ࡽ, 2

3

uӍ ࡜࡞ࡾ,

2

2 2 3

PA =(p+1) + (p+1) -2(p+1) = +u u u( -2 )2=u3-4u2+5u

3 2

( )u =u -4u +5u

g ࡜࠾ࡃ࡜,

2

( )u 3u 8u 5

¢ = - +

g

=( 3u-5 )(u-1)

ࡍ ࡿ ࡜, ( )g u ࡢ ቑ ῶ ࡣ ྑ ⾲ ࡢ ࡼ ࠺ ࡟ ࡞ࡾ, 2 , 5

3 3

u= ࡛᭱ᑠ್50

27ࢆ࡜ࡿࠋ

ࡉ࡚, (2)ࡼࡾ, PQ=2PA=2 g( )u ࡜࡞ࡿࡢ࡛, PQࡢ᭱ᑠ್ࡣ,

10 6 10 2

50 2

27 = _{3 3} = 9 2

3

u= ࡛ࡣ, 1 2 3 6

3 3

p= - - =- - , ղࡼࡾ,

3 6

3

q=- +

5 3

u= ࡛ࡣ, 1 5 3 15

3 3

p= - - =- - , ղࡼࡾ,

3 15

3

q=- +

㹙ゎㄝ㹛

(3)ࡢኚᩘࡢ⨨ࡁ᥮࠼ࡣ, 2ẁ㝵ࡔࡗࡓࡶࡢࢆ, ࡲ࡜ࡵ࡚グࡋ࡚࠸ࡲࡍࠋ

u ₃2 ͐ 1 ͐

5

3 ͐

( )u

¢

g 㸩 0 㸫 0 㸩

( )u

g 50

27 2

50 27

1

-2

-t

x y

p q

3 6 3

解答例 ２次数学セレクション

{

}

³

³

[

]

［解 説］

［解 説］

³

³

³

³

³

³

{

}

［解 説］

［解 説］

















［解 説］



































［解 説］











 











［解 説］

















［解 説］

［解 説］













［解 説］

［解 説］









解答例２次数学セレクション

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

_

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

_

［解説］

［解説］