−−
１ ［98 東京大］ Dはでない実数とする。関数
(
)
I [ [ [ D D = − − +
−−
２ ［98 横浜国大・理］ 原点を2とする [\平面上に曲線& \ = −[ +[+と点$ % が ある。＜ ＜ ＜D E とし[座標がDEである&上の点をそれぞれ34とする。次 の問いに答えよ。
五角形2$34%の面積をDEで表せ。
−−
３ ［98 名古屋大・理］ 平面上に放物線\ [= と直線O \ N = を考える。
放物線上の点 D Dでの法線と直線Oとの交点を3としその[座標をEと する。EをDとNで表せ。
−−
４ ［98 一橋大］ 放物線\ [= 上の点$ D Dにおける接線O と点% E Eにおける接線P と の交点を&とおく。ただしD E＜ とする。
直線OPと放物線\ [= とで囲まれる部分の面積6をDとEで表せ。 点&が放物線\ =[ −[−
−−
５ ［98 京都大・文］ [\ 平面上で放物線\ [= 上に 点$ D D % E E（D E＜ ）をとり線分 $% と放物線で囲まれた図形の面積を V とする。点3 W Wを放物線上にとり三角 形 $%3 の面積を6 3 とする。W がD W E＜ ＜ の範囲を動くときの6 3 の最大値を 6 とするときVと6の比を求めよ。
−−
６ ［99 一橋大］ 曲線\ [= と直線\=[ D+ が異なる点で交わるようなDの範囲を求めよ。
Dがの範囲を動くときつの交点を$%&とし点 D Dを'とする。
−−
７ ［99 九州大］
長さ の線分 $% を直径とする円を底面とし高さが の直円錐を考える。この
直円錐の側面上で点$%を結ぶ最短の道をOとする。直円錐の頂点を&底面の中
心を2とし以下の問いに答えよ。
直円錐の展開図を用いてOの長さを求めよ。
O上の点3に対して線分&3の延長と弧$%の交点を4とする。∠$24=θと して&3をVLQθで表せ。ただし °≦ ≦θ °とする。
3から線分24に下ろした垂線を35とし$から線分24に下ろした垂線を$6
とする。°＜ ≦θ °の範囲で26 25
−−
８ ［99 京都大・文］ 次関数\ [= +N[のグラフを考える。連立不等式
\＞−[ \＜−
が表す領域を $ とする。$ のどの点からも上の 次関数のグラフに接線が 本引け
−−
９ ［99 熊本大］
点 $ を中心とする円[ \ D E
+ − = が放物線\ [= と異なる 点3 4 で接
している。ただし D＞とする。次の問いに答えよ。
DとEの関係式を求めよ。
−−
10 ［99 名古屋大・文］ 曲線& \ [ [ = − と直線O \ N[ = に関して以下の問いに答えよ。
&とOが[＞でつの交点をもつようなNの範囲を求めよ。
N がで求めた範囲を動くとき& と O によって囲まれる図形全体の面積を最小
にするNの値を求めよ。
−−
11 ［2000 九州大・文］
実数 STU を係数とする関数I [ = S[+T[ U+ をここでは高々 次の関数とよ
ぶことにする。またDEFは異なるつの実数とする。
I D = I E = I F =を満たす高々次の関数I [ を求めよ。 高々 次の関数I [ J [ がI D =J D I E =J E I F =J F を満た
すならばI [ とJ [ は同じ関数であることを示せ。 K [ = [ D [ E [ F− − − とすると
−−
12 ［2000 一橋大］
F を正の定数とし I [ =[ + [ J [ =[ +[ +Fとする。直線 O は点 3 S I S で曲線\=I [ と接し点4 T J T で曲線\ =J [ と接する。 FをSで表せ。
−−
13 ［2000 横浜国大・理］ つの放物線
& \ D[= +E[ F+ D＞ & \= −[
がある。&と&の両方に接し互いに直交する直線O Oが存在するとき次の問
いに答えよ。
DEFの満たす条件を求めよ。
OとOの交点の座標をDEの式で表せ。
OとOの交点の [座標が のとき&とOの接点の [ 座標および&とOの接点
−−
14 ［2000 京都大・文］
Dを実数とする。[の次方程式[ D[ W DW GW
− =
³
− は≦[≦の範囲にいく−−
15 ［2000 岡山大・文］
[\平面上の曲線& \ = [− −[ +[+について次の問いに答えよ。 曲線&の概形を描け。
直線O \ D[ E = + が曲線& と相異なる点において接するときのDEの値を求
めよ。
−−
16 [九州大・文]
次関数\=[ +D[+E[+Fのグラフを*とする。
[\平面上の点S Tに関する点; <に対称な点の座標を求めよ。
*はこの上のある点に関して点対称であることを示せ。
\軸に平行な直線[ = Sに関する点; <に対称な点の座標を求めよ。
−−
17 [大阪大・理]
[ =[ +[ − [
I とおく。曲線\=I[に点 Dから接線がただ一つ引け
るとししかもその接線はただ点でこの曲線に接するとする。このときの D の値を
−−
18 [京都大・理]
[\ 平面上の曲線& \=[上の点 3における接線を 3を中心にして反時計回りに °
−−
19 [広島大・文]
放物線\=[と直線Oが点で交わっている。それらの交点の[座標をVWV＜W
とするとき次の問いに答えよ。
放物線\=[と直線Oで囲まれた部分の面積6は
W V
6 = − で与えられるこ
とを証明せよ。
−−
20 [東北大・文]
つの放物線& \=−[+と' \=[− +の 本の共通接線を求めよ。 また&'の本の共通接線と&の囲む部分の面積を求めよ。
−−
21 [京都大・理] DEFを実数とする。\=[ +D[ +E[と\=Fのグラフが相異なるつの交点
をもつという。このときD＞Eが成立することを示しさらにこれらの交点の [ 座標
−−
22 [一橋大]
頂点が]軸上にあり底面が[\平面上の原点を中心とする円である円錐がある。こ
の円錐の側面が原点を中心とする半径の球に接している。
円錐の表面積の最小値を求めよ。
−−
23 [千葉大・文]
実数 W に対してIWを =
³
−
W [ W[ G[
I と定める。≦W≦ のときIWの
−−
24 [広島大・文] 放物線\=[上の 点$D D %E ED＜ における接線をそれぞれE
$ O %
O とする。
O$とO%の交点を3S TとするときDEは次方程式[−S[+T=の解で あることを示せ。
直線O$ [ =Eと放物線\=[とで囲まれた図形の面積6は
E−D である
ことを示せ。
−−
25 [大阪大・文] 平面上に つの放物線& \=−[[−& \=[[−& \= [ +D[+E
を考える。いま実数 W に対して& は&上の点W −W +Wを通りその点で&と共 通の接線をもつとする。
DEをWを用いて表せ。
つの放物線&&で囲まれた部分の面積6をWを用いて表せ。
Wを動かすとき6の最小値を求めよ。
−−
26 [金沢大・文] [の次関数I[=[ −N[ +Nについて以下の問いに答えよ。
[≧のときつねにI[≧となるような定数Nの値の範囲を求めよ。
\=I[のグラフが N の値によらず通る つの点$D ID %E IE
−−
27 [千葉大・理] 実数 Wに対してX の 次方程式X −X+W=の実数解のうちで絶対値が最小の ものをIWとする。
−−
28 [東京大・理] DEFを実数とし D≠とする。
次関数I[=D[+E[+Fが次の条件$%を満たすとする。 $ I−=−I=
% −≦[≦を満たすすべての[に対しI[≦[− このとき積分
³
− ′ = [ G[
−−
29 [岡山大・文] 曲線\=[を&とし&上の異なる点を$D D %E Eとする。$を通り $における&の接線と直交する直線をOとする。%を通り %における&の接線と直 交する直線をPとする。
OとPの交点3の座標をDとEの式で表せ。
OとPが直交するように点$ %が動くとき交点3が描く曲線の方程式を求め よ。
−−
30 [名古屋大・文] 放物線& \=D[D＞を考える。放物線&上の点3S DSS≠における &の接線と直交し3を通る直線をOとする。直線Oと放物線&で囲まれる図形の面積 を63とする。
直線Oの方程式を求めよ。
点 3 を S＞ の範囲で動かす。63が最小となるときの直線 O の傾き P と
3
−−
31 [大阪大・文] 放物線& \=−[ +[+と [ 軸の共有点を$D %E とし& と直線
P[
\= の共有点を3α Pα 4β Pβ原点を 2 とする。ただしD＜E
≠
P α＜ とする。線分β 23 2$と&で囲まれた図形の面積と線分24 2%と& で囲まれた図形の面積が等しいときPの値を求めよ。
−−
32 [北海道大・文]
正の実数 Dに対し [ =D+D
D D
−−
33 [大阪大・文]
次関数I[=[ +D[ +E[+Fに関して以下の問いに答えよ。 I[が極値をもつための条件を I[の係数を用いて表せ。
−−
34 [一橋大]
Dは実数とし I[=[ +D[ −D[ J[=D[−D[とおく。
曲線\=I[と\=J[の共有点 3 において両方の曲線と接する直線が存在す る。このとき3の座標をDで表せ。
次の条件LおよびLLを満たす直線 O が 本存在するような点X Yの範囲を図 示せよ。
L Oは点X Yを通る。
−−
35 [京都大・文]
区間−≦[≦で定義された関数I[が
− =I =
I I=−
を満たしまたそのグラフが右図のようになっているという。
このとき
−
³
− I [ G[≧ を示せ。−−
36 [金沢大・文]
座標平面上の曲線& \= [ − と傾き D の直線O \=D[+が異なる 点で 交わっているとする。
Dのとりうる値の範囲を求めよ。
−−
37 [神戸大・文]
Dを正の実数とする。関数I[=−[ +D[について次の問いに答えよ。 曲線\=I[上の点3W IWを通る接線の方程式をDWを用いて表せ。 点$−D D −D+から曲線\=I[へ接線が本引けることを示せ。 その本の接線のうち接点の[座標が大きい方の接線を O接点を3W IWと
する。このとき＜W＜Dを満たすためのDの範囲を求めよ。
=
−−
38 [東京大・文]
関数I[ J[K[を次で定める。 [
[ [ = −
I J[=
{
I[}
−I[K[={
J[}
−J[ このとき以下の問いに答えよ。Dを実数とする。I[=Dを満たす実数[の個数を求めよ。 J[=を満たす実数[の個数を求めよ。
−−
39 [千葉大・文]
D は実数とする。 つの曲線\=[+D[ −D[−と\=D[ −D[−Dはあ
−−
40 [神戸大・文]
Dを正の実数とする。次の問いに答えよ。
\= [ −D [ のグラフをかけ。
³
− − =
D [ D [ G[
) を求めよ。
−−
41 [広島大・文]
各実数 W に対して方程式\=W−[−Wで表される直線
W
/ を考える。次の問い
に答えよ。
直線/Wと/Vが直交するとき /Wと/Vの交点の \ 座標はW と V によらない定数
になることを示せ。
放物線\=D[+E[+Fにすべての直線/Wが接するとき定数DE Fの値を求め
よ。
で求めた放物線と つの直線/W /W+によって囲まれる図形の面積はWによ
−−
42 [東北大・文]
つの曲線& \=−[と' \=[−D +Eが 点で接している。曲線' と曲線
\= [− +
( によって囲まれる部分の面積6が最小となるように実数DEを
−−
43 [東北大・理]
Dを負の実数とし放物線& \=D[+E[+Fを考える。&が曲線
° ¯ ° ® + + + − =
のとき ≦
のとき ＞ [ [ [ [ [ [ \ &
−−
44 [一橋大]
Dを定数とし[の次関数I[ J[を次のように定める。
[ =[ − I
[ =− [−D +D
J
つの放物線\=I[と\=J[が つの共有点をもつような Dの範囲を求め
よ。
で求めた範囲に属するDに対してつの放物線によって囲まれる図形を&Dと
する。&Dの面積をDで表せ。
D がで求めた範囲を動くとき少なくとも つの&Dに属する点全体からなる
図形の面積を求めよ。
