<紹介>経営のための数理計画法入門

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(1)く. 紹. 介ノ. 経営のための数理計画法入門笹. 井. 物理学においてほ，現実の捨象と抽象化によって本質的要因を抽出し，仮説を設定し，それに従いながらモデルを構成することによって実際の物理系の運動を説明しようとする立場をとる．このような考え方は，経済主体を研究対象とした場合にも有効である．その際になされる仮説は最適化 (optimization)という概念であろう．経済主体はなんらかの意味で，適切な拘束条件のもとで最適化を行っているという前提を置き，その帰結として現実の経済主体の行動を説明し，分析しょうとするわけである．たとえば，最適化の目的を利潤最大化，拘束条件を技術的制約条件とし，企業の行動を分析すること，あるいは最適化の目的を効用最大化，拘束条件を予算制約条件として消費者の行動を分析することなどがその例であろう．このような視点からすれば経済主体の行動を分析する用具として，最適化の手法は，きわめて重要な役割りをになっているということができる．最適化の代表的手法として数理計画法がある．数理計画法の理論は，きわめて華麗でかつ精級なものであるが，初学者にとっては抽象度が高くとっつきにくいものであると思われる．. 本稿は経営学部に入学し，これから数理計画法を学び，経営への適用を考えようとしている学生にとって，筆者なりに考えた平易な解説であり，入門のため. 均. 変化するという意味で関数 / を / は ) ヱe. Ⅰに対して，. lim /( ェ七 %. 1/l1-0. 一/( ょ). (1). ん. が存在するとき，その極限値なヱにおける関数月，c) の微係数と呼び，八めは. て. において微分可能である. という・開区間Ⅰの各点てに対して微係数が定まるとき，その微係数は. よ. の関数と考えることができる・. その関数をⅠ (ヱ) の幸関数 (derivative)と呼び，グ(ヱ),. ，さらにそ. 導関数が微分可能ならばの導関数を定義でき，これを八ヱ ) 02 次導関数と呼. び，ガ㈲，里努鮮で表わす・同様にして，関数を. 甥㌢. / ㈹)(ヱ),. と書くことにする・. わらない限り，本稿で扱う関数は必要なだけであるものとする．また，. n. n. 次の導. 特にこと. 微分可能. 次導関数が存在して連続. であるとき，八めはれ回連続微分可能であるという・ (ヱ0, yo), 。ノ 0 二八ヱ0) を曲線ノ弓八めの点とし，直線ノーノ0% ダし。 ) し一 20) を考える．ヱ0 の近くで，この直線はパ x) のグラフに密着している '). その意味で，ソ 0) における接この直線を /( ヱ) のグラフ上の点 (,c0, 線という． y ノ. のやさしい手引である，. なお，本稿は，線形代数のごく初歩的な数学的知識をもった学生を対象としている．. 1. 微. で表わす・. 分. 含がて値しのとそ域て義い走っ. なに ⅠⅠⅠⅠ. くてみe よ. ぬふ. ｜ご、え. コ考. ②，R. めを. 音問 / 凶類. Ⅱ開関. トむ. エ0. 図. 1. ーノ0 二Ⅰ，XTん倖一%. ク.

(2) 66@ (254). 第Ⅷ巻. 横浜経営研究. 第 3 号 (1987). 定理ト 1 (平均値の定理 ) パめが閉区間は，胡二. が成立するとき，刀めはⅠにおいて四曲数であると. 位 la 三ヱ三めで連続，開区間は，めで微分可能である. いう．また，異なる 2 点、Z1, 抑と 0 く & くュに対して. とする．このとき，適当な点 c,d く c くみを選んで. /( ㏄ヱ1 千 (1一めてカノぺⅠ(ヱ1)+ (1一は)/( よめ (5) が成立するならぼ，狭接の (strictIy)円関数であると. /W&)=/(d)+@b. (2). 一 a)ノ"(d. い，ヮ．. とできる．み. 二ロ十九と置くと正式は，また. y. Ⅰね千切二八め + 九ダ ⑦ ィ d ん. 0 くリく 1. ・. とも書ける．ナ )は. 通常我々の扱う関数は，無限回微分可能であることが多く，多項式関数によって近似することができる．また / ㏄ ) きて Ⅰ乙のまわりで. れ l. (ヱ--a)n,. 0 くタく. 図 2. 定理 1-2 Ⅰ仕 ) は. ⅠⅠ ね，卸で連続，②，ので 2 回. 連続微分可能であるものとする．このとき，凹関数で. あるための必要十分条件は，㏄，助でつねにダ，し )$ 0 となることであ. Ⅰ. ユ 2. ア ")②中タ㏄一め ). よ 2. RRn-. め. Ⅰ. ぱ. (3). 展開できることがある．この展開は Tay]er 展開と呼ばれ， TayIer展開が 00 近くで成立するとき，パめは a において解析的であるという・ハめと TayIer展開のれ一沈まで近似式との誤差 R" はと. + ㎝ I. 良 -廿 ... ヱ. 十. ︶. ⅠⅠ. ズ 1. ェ. y¥ i @ l れ@L. /() (0) 干ノ半井. る・. とくに，ア，は) く 0 ならば，狭. 義の凹関である (逆は一般には成立しない ).. となることが知られている (TayIer の定理 ). TayIer 展開は，また， d 二ヱ0，ぉ亡ヱ@0+んと表わすと. f(ヱ0+め幸 f(ヱ。 ) 千名手三九十. 上の定義，定理において，不等号が逆向きのときは，凸関数に対応するものとなる． / 鮫。) が. 0). ェ0. の近くでパめの最大値となるとき. ，. すなわち，十分に小さいんキ 0 に対して，つねに. 十ダニ Tヱ戸十 ……. Ⅰ㏄。) ミ八 %+ め. の形式をとる. が成立するとき，パリはヱコ20 で極大になるとい. 問. い，/ し 0) を在大使 (1o刮. maximum) という・逆の不等号が成立する場合にほ，挺水位(10㏄ I m 田imum) という．極大値と極小値の両方を総称して種伯 (Ioc荻 extremum) と呼ぶ．. 次の式を確認せよ．じれ. ダ Ⅰ 1 千デテ干……千フ. 丑 %1 す. 一ヱ千田一 ‥ ". --1 く田く 1-2.. 在. 丁十 …… 十 (一. W)". ヱれ十. ，. の近くでア (c)が連続だから，ア (zo)ノ 0 なら /(2) は師の近くで増加関数，ダは。 ) く 0 ならパめほヱ0 の近くで減少関数であるから，パめが曲で極値をとるならグ (ヱ0)二0 となる・さらに，グ，， Do) く 0 なヱ二xo. ‥‥‥. Ⅰ. 位. よく知られているよ. に，ア(x)の正負はハめの増. 減に関係し，ダ， (ェ) の正負はハめの凹凸に関係して. ら，師の近くでダ， (x) く 0 ，したがって，ア (2) は抑の近くで単調減少となるから，グ (功一切ノア (而 )=. いる・. 0 ノア (,ro+ 肋，んノ0 となり，次の定理が成立する・. 定接ト 1 0 くて. う. 区間ⅠⅠは， &] の任意の 2 点. 自，的と. 篠くてⅠに対して. Ⅰ(0 ヱ1 千 (1一 0) 筋 ) 巨 q/( 幼 ) 十 (1一 0)/(22). (4). 定理 1-3 ダ (m)=0. 沖は / 巨 ) 値を与える．. とする．ダ， (抑 ) く 0 ならぽ，. の極大値を与え，グ，伍。) ノ 0 ならぱ極小.

(3) 経営のための数理計画法入門. ， 0ノヱ 0. Ⅰ. は，たとえばれ= 2 のとき，. 偏導関数. く九. ア :ヱ，めにおいてノを固定すれば，月ヱ，力はてだけの関数となり，てに関する微係数を考えることがで. 千( んイ三十ゐづ芽. ヱ. ノ. )/(0，ノ0) 十. ヱ. nn/(0，ノ0)J?" Ⅱ. 十. ヱ. ん Ⅰ ヲ 0+ ノ. ⅠⅤ 十エ 0. /. ん Ⅰ. 十. A. ︶靭. !くん与芸十ゐづ廿. タ. 一. 2,(ヱ，ノ)=@イニてイ芸/(ヱ，ノ) ）. Ⅰ. 一 " " 。. R. 数と呼び，. 十. a. くれ一工Ⅰ. である．ノに関する偏導関数も同様に定義できる・力 %, め，力は，力は，またヱ，ノの関数であるから，その偏導関数が考えられ，それらを2 次の偏尊閣. ︵. 十. ）（. ん. Ⅰん. ノ. Ⅰ (20 十九，ノ0 千功 =/ は 0け 0). Ⅰは，めのよに関する偏導関数と呼ぶ・すなわち， / し十ん，カー/ し，カ. ヱ. /( ，ノ0)&2%,/(0,0). ム㏄，力で表わし，. 豊 Ⅰ (ヱ，ノ) 三 % ㌍。. Ⅰ. 十ゐ吉二. 十 2んゐう男手ヱ 0 を表わす． Ta 皿 er の定理は，. きる．ノを定数と考え，よの関数として導関数が存在. するなら，それを. %- % ( 0,0) 2まヱ2/(,co,vo) の r. いて考えていく．. の形で永さることも推察できる. 2-2.. 全億分. 1 変数関数ノテ八ェ) が微分可能なとき，ヱがヱ十. ん (ヱ，ノ) 二%(若/(ヱ，ノ)),. イヱと変化したときの増分 / し十 Z め一 / ⑤ ) なあとすれば，丘よりも高位の無小を無視すると晦ユダし ).血. y( ヱ，ノ) Ⅰ苦烏/Cr, ). 書ける．このとき，右辺をぽ (ヱ)(=%) で表わしノⅠⅠは) の微分あるいは全微分 (d旺 erential) と名づ. ノ. 力）. く. ）. 書くことにする．同様にして， n 次の偏導関数を考. えることも可能である・カ. リ. となり，ここでん. (0) 十ビ絆十. と置けば 2 変数の Tayler 展開. け 0+ 功二Ⅰ㎏ 0，ノ 0). 十くんお芸. 十ゐ. 7%)/(ヱ。，コり)-. ト・. である． /( ヱ)= ヱのときは，ア (ヱ) Ⅰ 1 より， d/(. ヱ) 士んヱ二 J ヱ. であるから，み/( ヱ)(二 % ノ)= ダ (ヱ) 虜ヱと. 書くことができる・したがって，ここにおいてⅠ (ヱ). の全微分み只. @")(0). 亡二工. d/( ヱ)(= め ) Ⅰダ (め @dヱ. …・. アし. 十. ける．すなわち，. ア. 致する．れ沈までの偏導関数がすべて定義されて連続のときれ回連続微分可能という・いま，ア㈲Ⅰ/( ェ0 十枕，ノQ+ 牡 ) と置き， z はついて Ⅰ変数の Tayle 「展開が可能ならば，. 八 1)二 FW0 片ダ. と. とヵは，一般には一致. しないが，それが存在して連続 2) のときには両者は一. 只 ro+ ，. (7). 十 …‥. ェ. ︶. 分. 説明を簡単にするため， 2 変数の関数月ェ，力はつ. と. /(。，ノ0). 千古 ( ん嘉士ゐ苦肋 D ゆゐ. 微. (255)@67. A. 2-1.. 偏. 均). る. 2.. の極値を求めよられ. /(ヱ) 二筈メ 1. 得ムル. 問. (笹井. ). c) ，とェ. に一致するから. の全微分. ゐの商一 /Uオてヱ") み. ，導関数ダし ). を. "/(こごヱ) オ. はと. 書くことは意味をもつことになる・ザし ) はてと』ヱの関数であるから，血を固定. して同じ増分. 哲てに対する全微分を. 考えることができ. 2 次の全微分. がy し )(= アが干㌣ (ヱ)(イめ 2テ㍗ (Jc)は式 2 が定義できる．.

(4) 68@ (256). 横浜経営研究. このょうな考え方は，. 第 Ⅷ巻. 2 変数関数 z 二/ し，力の場. 合にも拡張することができる．. いま，. し，がが㎏十. 血け十 Z 回と変化したときの増分. イ. ムダ一/ しけ ) が. 高位の無限小を無. Ⅴ湖ょ. り. z= Ⅰし十旛け十. 視して，コ. (8). z ⅠⅠ， (ヱ，ノ )A ヱ十Ⅰv(ヱ，ノ) イソ. と書けるとき '), Ⅰ し，ノ) は全微分可能であるという・. (8広の右辺をヴは，ノ)( 二 d2) で表わし， / ㎏，ノ) の微分あるいは金紋分と呼ぶ．りヱ=J ヱ，め =z ノである. 第. 3 号 (1987). が導入される．任意の (㍉劫キ 0 に対して，. (", 。)LJv Ⅱ ;: ニ. 二. これ窃丁. ;二 :ョ. ;JU ) ま. 二九ソ㏄㏄，め十 2% ゐポ，" し，力士ゐ￥W(,c, カ二 0. となるとき，ヘッセ行列は負の半定位行列と呼ぼれ，等号が省げる場合には負の定位行列と呼ばれる．不等号が逆向きのときは，おのおの正の半定位，正の定位と呼ばれる．定理 2-1.. から，. (9). ザし，の(= ゐ ) テたし，めゐ上んし，力み. が，全微分を表わす式となる．全微分の全微分を 2 次の全微分と呼び，みザ巨，力 (=? りで表わすとル伎. dz)=. ，ノ)(. 二%り ) 二別篭穿ゐ千苦オノ =( よ，z.dヱ七んゲめ )dヱ干て Vvx.dヱ十力㌃め ) 力，. オゲは. /(2, ノ) は凸集合 C 。 ) で 2 回連続微分可能とする．このとき，凹関数であるための必要十分条件は C の全ての点でへッセ行列が負の半定植行列となることである．もし，それが負の定植行列となるなら狭義の凹関数である (逆は一般には成立しない ). 凸関数の場合は定理 2-1 において，負の半定植，負の定値を正の半定植，正の定値と読みかえればよい．. また，線形代数で知られているよ. 微分作用素を用いると @. 血. 二くゐ嘉士め考芽ウ. /(c, 。 ). に，ヘッセ行列が. 負の (正の ) 定植行列であるための必要十分条件は，力，し，ダく 0. ノ. う. (あ，し，カノ 0),. 刀，し，カカ " し，カーダ卸は，リン0. となる. が成立することである，問. 2=. さて， 2 変数関数の極値を定義しょう．点、し0，ノ0). のとき，ヱ a 三十ヱ竺を求めよ・ 2 a2. ノェむダ. ヱ. ノ. の十分近い。) %, のに対してつねに. の. た﹂. と. そ. 義. の. 定. 数. 凹. 関. ずま. にる. とて合い. のに. のめ. 数件変条. 1. 佃場っ. ね. 2. 軋. f( ヱ0，ノ0)き/ し，カとなるとき，Ⅰし，力はし@0,:yo) で極大になるといい， / 鮪。け。) を種火忙いう. ・. 逆の不等号が成立する. 場合には種小位という． 1 変数の場合と同様に，極大定笘 2-1.. / し，力はある凸集合 4) C 上で定義さ. れた関数とする． C の任意の 2 点 (自，ノ， ),( 篆いりと 0 くはく 1 に対して. は/( ヱ. Ⅰ. け 1)1十+(1 一は)/( ヱ2, ノ2). ほD. が成立するとき， / は，力は R において円関数であるという．異なる 2 点は，，ノ， ),( 均，ノ， ). と. してヱⅠ帥で極値をとり，八，co, ノ) はノニノ 0 で極値. をとる．したがって，次の定理が成立する．. / はヱ1+(1 一め篆，り、十 (1一めノ，) 二三二. 値と極小値の両方を総称して極位と呼ぶ．パ． xo, ㎝ ) が極値であれば，Ⅰ㏄，ノ0) はての関数と. 0) で極値をとるなら定理 2-2. / は，力がし 0，ノば，刀㏄0，ノ 0)二んし0, ノ0)Ⅰ0 である 7).. 0 くはくェに. 対して，㈹式で等号が省けるとき，狭接の (st「 iCtly)四門数であるという・. Tayler の定理より， Ⅰ(ヱ0 十九，ノ0 十ん) 二/( ヱ0, ノ0). ナ Ⅰ ︶ノヱ，. 0列. 数セ. 数へ. 関ツ. 変る. お. 2け. 千仏/,( ヱ0，ノ0)+ 村㌧ (ヱ0, ノ0)). 2.. 十一半睡ソ㏄. し0 千 A,ノ0 七タ&) タ. 十 2% りらハズ0 十冊，ノ04,6A) 十円ガv 八ヱ0 十勃，ノ0 十旺 )).

(5) 経営のための数理計画法入門 (笹井である・九 % 力 v,力 " が連続だから右辺の第 3 項は， A,k が十分小さければんソぬ㎏0，ノ0)+2 んげ村㎏ 0，ノ0) + ゐザ卸㎏ 0,ノ0) の符号と一致する．これがん， & のいかんに拘らず負ならば，すなわち，ヘッセ行列が負の定植行列なら，力は0，ノ0)二カ㎏ 0，ノ0)二 0 であるとき，メヱ 04.A,. ノ0+. 功ノア(ヱ0，ノ。 ) となる. したがって，次の. 定理を得る．. 均). 69. (257). 定理 2-49). 曲面月あノ，z) Ⅰ 0 のは 0，ソ 0,zo) における接平面の方程式は㈹式で与えられる． Ⅰ㏄け， 2) の勾配が最大 '0) になる行ベクトル. [乃. ㏄ 0，ノ 0,zo),ぷl@Cro, ノ 0,zo), 力 (ェ0, ノ 0,zo)] を / は，ノ， z) の (。co, ノ 0,zo) における勾配ペクトル (gradient) と呼びげは 0, ノ0,zo) で表わすと， (ェ0, ノ 0,zo) における曲面の接平面は勾配ベクトルげは 0，. 定理 2-3.. /,(. ヱ0，ノ。 ) ニボ"( ヱ 0, ノ。 ) 二 0. ノ 0，. zoJ に垂直であ. る．. とする・. ム， (ヱ0，ソ。 ) く 0( ノ 0),. 特に，曲面が 2.=/ 巨，がの形で与えられていると. あ， (ヱ0，ノ。 )カバヱ0, ノ。 ) 一・上町 2(ェ0，ノ。 ) ノ 0 ならば，Ⅰ(ヱ，ノ ) は (ヱ0，ノ。) で極大値 ( 極小値 ) をと. きは，Ⅰは，ノ ) 一 2 Ⅰ 0 と考えることによって，月0%. ノ. ノ. ソ. ヱ 0. /ひ. 十. 4 %. z,-O 一 -. ヱ 0. ︵︶. z. る・なと. 問 / し，カニが千ダー 3 ヱ一 3 ノの極値を調べよ．. ︶. /,. る・. く0ヱ(一. (ヱ 0, ノ 0,zo),z0二八ヱ 0，ノ0) における接平面は. 2-4. 勾配ベクトル，接平面一般に，Ⅰし，ノ， z). は. ヱけ， z. ニ0. を満たす点は，ソ，りの集合. 空間において曲面芯を形成する・. 曲面 S. 問. ダ十ダ一. 2 Ⅰ0. 上の点 (1,ェ， 2) における接平面の. 方程式を求めよ．. 上の l 点 R 二は 0, ノ。， zo) における接平面とは，典を通るぢ上の任意の曲線の典における接線がすべてのっているような平面であると定義する．いま， <? 上の点 A を通る任意の曲線をパラメタ一によって，ヱニメ ),ノニノ㈹，z= ㎡め，一のく古く㏄と表わす．ただし，月0目し (to),メ to),z(to)) とする・. 問 Ⅰは，ノ)= が十ダー 1 二 0 上の点 (1,1) における. 勾配ベクトルとその点における接線の方程式を求めよ，. 「. 3.. 拘束条件つき最適問題. 且における接線は，直線 3-1.. (てくり，ノくめ， z ㏄)) 臣は 0，ノ 0,z0) 十 t(メ (to), ダ (f0),z,(t0)) ㈹すなわち， { 鮫。十. Ⅰ. ェ， (t0), ノm 十取， Wt0),zo+tz,(to))) で. 等式条件つき極使問題. 等式条件つき最適 (最大化 ) 問題 : maximize /( ヱ，ノ ) s 而ject to. 与えられる 8).. 曲線は曲面にのっているからハ㎡ t)け (z),z(t))=. 分，たな. で多よだ. 千件ぃ要. にしに扱め括前りる. で集お必れ束てはこ拘れ数. た一，取するでたりとす後ま限の把握が，る・なぃる0 なるすらあ. し0, ノ 0)が問題㈹の極値を与える点で. あるとする．そのとき，ある適当な定数ゐが存在し 9 （. たから次の結論を得る．. 質れ明わて本わ説と能. 定理 3 寸功・. 一 zo) 圭 0. を満足していることを示している．曲線は任意であ. 聞か場特徴. (ヱ0，ノ 0， 20)( ヱ一ヱ。 ) 十プも (ヱ 0, ノ0， 20)( ノーノ0) 十/z( ヱ0，ノ 0,zo)(z. の極値 "7 を求めるという問題について考える．以下し. めあ変ぅけ. ノ. 二ー 0秒ノ㈹線，が平面︶0 よノ眈接 Ⅰ t Ⅰ 老 0 / サヱ｜ま 0 ，ノ，. ヱナし. ︶ @Ⅰ rt レはり︵ 0 ︶ 0. /$. が得 (， t0. ⅠⅠ. 血う. Ⅰ0. ばらくは， 1 拘束条件， 2 変数の場合について話を進. 0 である．これを亡で微分してⅠ 二なと置くと，. の方程式. (s.t.) 9( ェ， y). っ. て，ズ@r(.Do, ノ0)十スoppx(3:Q, ノ0)=0 Ⅰy(ヱ0, ノ0)+. ス. 0巧. (To,yo)亡 0. 仁の.

(6) 70@ (258). 横浜経営研究. 第 3 号 (1987). 第 Ⅷ巻. Ⅰ 7 4. ロ. ノ. が成立する ").. ア /. 拘束条件と合体したラグランジ朋数 (bgrangian) を. 4. O. 図 5 間. 原点から直線㏄十幼目ピにいたる最短距離を. れる・. 求めよ．. 定理 3-1. の証明の詳細は省略するが，定理が成立することをつぎのように直観的に推察できよう・まず，図のように / し，カニピという曲線を考え，それ. ㌻ 2.. がみの増加と共に右上方に移動するものとする．. 題 :. せ. を変化きせ / ㏄，め二みの曲線とク %, め二 0 の曲線が接する点が局所的には問題㈹の極値にの図の場合には極大値 ) を与える点となっていることは明らかであろう・このことは，その点で両方の接線が一致すること，すなわち，勾配ベクトルク/ ㎏。け 0) とり鮪0，がク (ヱ0，ノ 0)= 0 となる．. ノ)プ. g. 色；. を与えるものである．㈹式を解いて極値を与える解の候補を求める方法はラグランジ乗数法という名で呼ぼ. ノ0) が同一直線上にあることを意味し. 倖，. ゐは，ノ，功= ヵ (r, 。ノ)+ 沖，(JC,ノ)=0. カ. x, Ⅰ. 条件，み (ヱ，ノ，衿 = メv(ヱ，ノ) 十村Ⅱ ヱ，ノ)=0 ぬ (ヱ，ノ， 2)= ク (ヱ，ノ ) 二0. りノ. 定義する．定理 3-1, は問題㈹の極値の満たす必要. 78. と. 仮の. Ⅰは，ノ，衿 Ⅰ/ し，力士ゆ㎏，カ. 不祥式条件つき種値問肛. 前節の拡張として不等式条件つき最適 (最大化 ) 問 maximize. /(. ヱ，ノ ). (x,ノ) 二 0 ㏄を考える・等式条件つき極値問題と並列的に述べられるっぎの定理はクーン・タッヵ一 (Kuhn.Tucker) の s.t.. ウ. 1 階条件と名づけられている．. f( ヱ0，ノ0)十. ァ. 定理 3-2. (,co, ノ0)が問題㈹の極大値を与える点で.

(7) 経営のための数理計画法入門あるものとする．そのとき，ある適当な定数. ス. 0%0 が. o9 は 0，ノ 0) 二 0. 血@. が存在して 09 式を満たす・もし， p し0，. 0. なら，九二0 と置けば 09 式が成立する．よっ. て，結局09 式が得られる・あとはタ㏄ 0，ノ0)=0. ス. 0く 0. のと. ベクトル (妬は 0，ノ0), 巧し 0，ノ0)). は不等式タし，の糞 0 をみたす領域の方を向いているので，図 6 のように曲線し (めけ (め ) をうまくとると， t 二 0 でⅠは (めけ㏄)) 二 0 ，は(0),ノ (0)) 二 %0 ，ノ0) かっ九二メ (0),ゐ Ⅰ ダ (0) とすれば妬は 0，ノ0)ん十 p" し 0，ノ0% ノ 0. 潤を意味する場合が多い．したがって資源の制約量をパラメタ一とし，その変化と効率的活動の結果生ずる格を求めることに他ならないであろう．いま，最適問題㈹が，. maximlze s.t.. ㈲. タ (ヱ，ノ ) 二c. と変化したとし，その極大値を与える点し 0(c)け 0(c)) ほついて連続. [. 伍。 (0)け。 (0)) 二は 0，ノ0) ほ問題㈹の極大値を与える点であるから，定理 3-2. より， 0(0) Ⅰ ゐ二0 が存在. み/( ヱ (2),ノ (2)) み. ス. して 09 式が成立する，. Ⅰ. 9 式によって亡. /( ヱ，ノ ). 微分可能とする，. そのとき，. 血. つぎに，最適問題㈹㏄で拘束が変化したとき，極値がどのように変化するかという感度分析を行う．多くの場合，等式あるいほ不等式条件ほ資源の制約を意味し・目的関数は，その資源を使う活動の結果生ずる利. が十分小さなⅠに対して存在しかっⅠ. にできる．. う. 等価になる勒．. 最適値との関係を論ずるということは，寅源の限界価. となることを示せばよい・. としよう・. となるよ. 0) におけ. ッセ行列 " と呼ばれる行列が負の定植行列であることと. もなっているはずである．したがって，定理3 円．よ. 0嚢0. ス. る．この条件は，また，ラグランジ関数の " 牡つきへ. なら，不等式条件を等式条件とした問題㈹の極大値にス. のし 0，ノ0，. Ⅰv( ヱ0，ノ。 ) 十ス0巧 (ヱ0，ノ。 ) Ⅰ 0. 証明．鮪0，ソ0) が問題㈹の極大値を与える点である. ス. 複雑になり，" ㎏0，ノ0) におけるⅠ し，め亡 0 の接平面るへッセ行列が負の定植行列である " という結果にな. が成立する．. り，定数. 一ス0け，(ヱ0, ノ。). ん十タ "( ヱ0，ノ。几肪 0. となる・このことは，. Ⅰ ｜. 々ポ，し 0, ノ0).,co,(0) 七ん. (ヱ0，ノ0) が極大値を考える点で. 二方は。(c), ノo(c)) し0, ノ0)ソ 0,(0). であるから， 09 式より，. あることに矛盾する．. ニス0は，しn0，ノ、0№@0,(0)十ヮ" 鮪 0，ノ0ル、 0,(0)}. 9 倖，. ユ. Ⅰ@z(ヱ0, ノ。 ) 十スoタ x(Xo, ノ0) 二 0. ス. き，. (259) 7. 均). 上でラグランジ関数 1 は，ノ，り. 存在して，. ノ0)キ 0. (笹井. ノⅠ. 三0. (9,倖0， 0%,9,伍o, y ノ. んナ. Ⅰ. となる．一方，09 の第 3 式でタし，力をタし，カー Ⅰ. とおきかえれば 0(C ス. 伍，倖0,. ㈹. ⅠⅠ. メア. て. て0(c),ノ0(C. Ⅰ. )一. ⅠⅠ. ㈲. 三0. であるから， c について微分すると，. た). ノがス. 0,(c)はは。(c),ノ0(め ) 一み十ス0(いけ，し 0(d け。 (c)油 0， (の. 8%,. ノⅠ. 三0. 9 倖，. 図. ノ ⅠⅠキ. 0. 6. ㈹. 十助 (To(c).ノ。 (c))ノ0'(c)一打Ⅰ 0. が得られる．もし. タ. (ヱ0，ノ 0)=0 なら，あ三 0 で㈹式をⅠ∼ 0 とす. ると. 拘束条件がない場合の極値問題においては，極大値であるための十分条件は，定理 2-3. にあるように，ヘッセ行列が負の定植行列になるという，いわゆる2 階の条件が満たきれることであった．等式条件つき極値問題においては，極大値のための十分条件は。やや. ス. o(gg 「．rC 「o, ノ0ル 0,(0) 中タ"( ヱ0, ノ。)ノ0'(0)一助士 0. となる．結局，み乙イト. Ⅰス。. (ヱ. 0(C，ノ0(CC-o - 三カ(XQ(c), 。 (c)) ぷⅠⅠ. ⅠⅠ. ノ. C=0. ㈹.

(8) 72@ (260). 横浜経営研究. 第Ⅷ巻. が得られる． 9 し 0，ノ 0) ノ 0 のときは十分小さい。ノ 0 で，㎡ ro, ノ0) ノノ 0 となるので. 第 3 号 (1987) る．. このとき，定理 3-2.. はつぎの形で述べられる. o(c)三 0 となり，こ定理 3-3 町・メ二 (,cI。，洩。，・…‥ ，ヱn 。) が問題㈲の極の場合も㈹式がなりたっ．㈹式は，不等式条件の拘束大値を与える点であるとする．そのとき，ある適当なが 1 単位変化したときの極大値の変化はラバランジ乗数の値に等しいことを示すものである．もし，不等式ベクトルユ n 三 %0, 20，・…‥，スm0] 才 0 が存在して， Ⅰ. ス. ス. あるいは等式条件が資源の制約を意味するものであれ. んは 0，ス 0)二ァ/ は 0)十ス0ゆは0)二 0. ぼ，ラグランジ乗数の値は資源の限界価格を示唆して. W0g (:c0)二 0. いること t= なろ. 3-3.. う. ．. が成立する瑚．. 一般化について. 行ベクトルをぷ二レ，，筏， ", ヱ"], ょ二. %,,. ヱ㍉・…‥，ヱ"). で表わす．. ベクトルを. 列. また， n 変数実数値. 関数を八 x) 二八ヱ1,ヱ㍉・…‥，ヱ"), 列ベクトル値実数. (99@ 、 x), がは ),,…‥ ガ m(,c)) と書く・月めの列ベクトル (自，簗，・…，助 ) に関する勾配べ. 等式条件の場合も，まったく同様な拡張が可能であることは明らかであろう． (例 ). ㎞ ize一 (x 「一 1)2 一け一 2)2. max. s.t.. 関数をパガ二. クトル (gradient)'5) は. F@㈲二 p雙2,毛，. ". ヘッセ行列は，. 穿と. ・. ， a ソ (戎， a ザ (づ a エI2. a ゲ (ょ) Qx2Q ヱ、，. グザは )=. ¥ ・. と. a ヱ a ヱ2 , Ⅰ. - あ二0. 一 2( ノー 2) 一万. 「. ス. 1(2 一ヱ一ノ)+ あ (3 一 2 ヱ一ノ)=0. 万案0,. ， axla ヱ". ス. 2%0 ， 3¥ 乏 0 ，砂上0. である．次の4 つの場合を考え，正式を満足するものを求めればよい. ⑳. ・. (x). (i). 功二 (2 一ヱ一ノ ) ノ 0 ，ぬ二(3 一 2 ヱ一ノ) ノ 0 このときは，右 = あ二 0. ayoc). QxnQxi'. 3xn2. -. 定義する，この記法によれば，アサ. 極大値のための必要条件ほ㈹式を用いて，一 2( ヱ一 1) 一万一 2 あ二 0. ヱ %(x) "a a. 免 Ⅰ 2 一ヱ一ノ姉 0. ㏄二 3 一 2 ヱ一ノ二 0. """-2ノ f,(x)) l. 己た『. (よ) 二 (『タ '(よ),.‥‥・，グク m( 申 )). と書ける．ゆ (x) は笏 X. れ. ㈲. 行列となることに注意す. (11). タⅠ. (iii). 竹二. (iv). 免 =0. のように変えるだけですべて成立することはいうまでもはい．たとえば，㈹式は月打千 (1一めめ二 %(x)+(1 一め只めと書き改められ，ヘッセ行列は㈱式となり， nXn 行列としての負の半定値あるいは定値行列と考えればょ. ノ0. 曲士0 ，. 0. 色. このときは，九二 0. ノ 0 ，このときは，あ二 0. % 二0. 簡単な計算によって (iii) の場合のみが可能であ. る必要がある， 2 章で述べた定義，定理'6)は話法をこ. て=. 3. 去，ノ二号，九二 1,あ二 0. 問. ㈹式の一般化として，問題㈹に対する感度分析. の結果が 7 隻Ⅰ (よ。 ) 二ス。， c=. Ⅰ. パめ. (ガ ) 二 0. (Cl,. の，" ‥‥ ， Ⅰ m. Ⅰ. ㏄. となることを確認せよ. 不等式 (等式 ) 条件つき最適問題は， maximize. り. となることがわかる．. い. s.t.. ㈹. (Ⅰ(よ) 二 0). ②. の形に拡張できる．ただし， gr(づ二 0 は，が(x) 二 0 ，かは ) 二 0,.‥‥・，タ Tm@ょ ) 二 0 を意味するラグランジ関数は "] と定義され 2(ょ，ユ ) 二/( ょ) 十スウ (ょ),ユニ呪，あ，‥・，ス. 凸集合つで定義された関数月 x) が狭義山関数であるための必要十分条件は，任意の， Go, ょ 6.0. 問. ガキ Xo に対して八 % く八ょ0) 十ァ只 co)( ，ょ一 Xo) となることである．このことを下の図から確認せよ.

(9) 経営のための数理計画法入門. (笹井. (261)@73. 均). であることに注意されたい．また条件式 ⑪ は. ノ. /( ぉ) 十スグ Ⅰ (ぉ) 玉 0. グ. ツ. (グア (ガ) 十スァウ (ぉ)).ょ= 0. ニⅠ篠). ノ目Ⅰ レん + ワガレみ倖一め・. ㈹. Ⅰ (ぉ) 二 0 スウ. 0ょ) 二 0 の. 形. たⅠ しィヒ. 退. @Ⅴ .. ま. つ. て，. し. る. カたし. 件関. なン. 条ジ. とう. 価ぅ等グ. ょ二 0 ，ス才0. よ0. れガ，ス ) 二/( ょ) 十スⅠ(主). 図 7. これまでは，すべて極値のための局所的な条件について議論してきたわけであるが，ここで，極大値と最. を導入すると条件㈹式は，. 大値との関係 '9)について簡単に触れておく．定理 3-4.. ア. ，Z0c, ス ) 玉 0. ア. dZ(よ，ス) 嚢 0. x 二0. /( ょ) が凸集合ぬで定義きれた凹関数. ㈲. ス. 7, K(,c,A).ズニ 0 スア. Az(x, ) 二 0. @. ス. 二0. という簡単な形になる．ただし，ァりんはおのおの. とする．そのとき，任意の極大値は，また最大値とな. U(x,のの. る．. る．よって，極大値を与える点では 6Q式が成立する．. 証明． x0eQ を極大値を与える点とし，かつ /( のノアは 0)Ⅳ キ x0 となる Ua つが存在したとする・ところが，呵十 (1一は)x0eo であり，固関数の定義式か. また，. ら，. 最大値となり，. ハ % 干 (1一は)x0二は/( 甘 )+(1 一め / は0)ノア㏄。) となり， X0 が極大値を与える点であることに手楯する．. ょあるいは. ス. に関する勾配ベクトルであ. ル諾 ==/(戎士スウ (x) が. よについて回関数とする. と，ょ0， 20 が㏄式を満たせば，胸で月め + ス@0㎡戎は月 x)+ 把9( 威三/(xo)+ 卍パが ), y ア二 0 ㈹式より，スり(x0)=0 ，が才 0 であるか. が成立する・. ら，ょ三 0 ， 9( 功二 0 となる任意の. 現実的な問題においては，資源制約や予算制約などのように，変数に非負の条件が課せられることが多い．ここでは，最適問題㈲の特殊な場合として，最適問題 : s.t.. に対して. パガ ) ミ八 X) 十スりは ) ミ八 x0). 3-4. 変数の非負条件. maxlmlze. よ. が成立し， Ⅰは最大値を与える点となる．定理 3-5.. パ x)+ 祷 (x),a 二 0 が. よ. について回関. 数であるものとする．そのとき，㏄式は，また問題㈹の最適値を与えるための必要十分条件となっている．. /( ょ). Ⅰ(X) 二 0 ，. よ二 0. をとりあげる．ただし，Ⅰ二 (ク 1,が，・. @ヰ. ，. ク m), よ二. (,cl.. 問. x0 ，ス。で 69 式が成立することと， x0 ， 2n に十分. 近いよ二 0 メ二 0 に対して. 化ガ，ス 0)三八ガ0，ス0)三れよ0，ス). ‥…・，じんとする．ラクランジ関数は. 6ヵ. となること (接点 ) とは同値であることを検討せよ．ま. l(X,ス，が) Ⅰ/( ズ) 十スタ (ょ) 十戸アス =[ ん，・…‥，m, トダ =[@1,. …‥，が目. @才. ス. た，このことは熊x,. んがよ. について回関数であれ. ば，任意のⅠ二 0 メ乏 0 に対して成立することを確認. である．. 定理 3-3. より，極大値のための必要条件は. せよ．. ん (x,A, 『) 二げ ¥x) 十スグク (x)+ ダ二0 ス. ㏄. Ⅰ (ズ) 十がズ臣 0( ス Ⅰ (ょ) Ⅰ 0 ，庄ぉⅠ 0). 4.. 線形計画法. ス才0, ダニ0 ，ク (x) 二 0 ，ょ亜 0. となる．㈹の条件式における (x) 二 0 ，戸ょニ0 であるから. スウ. ユタ. (x). (ぉ)+ 戸ぉ二 0 は二 0 ，ダょ=0. ュⅠ. と等価. いま，. 2. 種類の財 A,B. るいは 2 つの. が，. 1 つの企業によってあ. 異った産業において，. 2 種類の資源を用.

(10) 74@ (262). 横浜経営研究， A,B. いて生産されているものとする. 第 3 号 (1987). 第 Ⅷ巻. 一ぁ十 ⅠⅠ玉 0. の価格はおの. おの 4 万円と 3 万円である．ユを 1 単位生産するの. ス九一p 三 0. に第 1 の資源は 1 単位，第 2 の資源は 3 単位必要であ. ス. り， B についてはそれぞれ 2 単位と 1 単位必要であ. 二0. (5一ムょ)=0 (ス九一P) よ二 0 ス. ㈹. ガ二 0. が得られる．. る．且， B の生産宜なヱ，，砂とするとそのとき総投入. ㈲式と㈹式は同一の条件式であるから，㈲式を満た. 資源量は第 1 資源については射干ぬ2, 第 2 資源につ. す解ぷ 0メ 0 は㈹式を満たし，その逆も成り立つ．こ. いてほ 3a:l十窩となる．使用可能な資源の総. のことは，主問題 Gg のラグランジ乗数が双対問題㈹の解であり，双対問題のラグランジ乗数が主問題の解となることを示している．一方，すでに㈹式あるいは㈹式で見たように，我々は主問題の最適癖に対応するラグランジ乗数は資源の限界価格であることを知っている．このことから，沢村問題に経済的意味を附与することが可能になる．. 々 1 ㏄単位に限られているとき. ，企業の総収入あるい. は産業全体での生産物価値を最大にする問題は maxlrm s.t.. 4 ヱュ十 3 ヱ. Ⅰ㏄. Ⅰ. ヱⅠ 十 2 ヱ2 玉 100. ㈹. 3 ヱ十ヱ2 玉 100 Ⅰ. ヱⅠ ニ 0 ，ヱ 2% 0. ㏄式の双対問題は，. と定式化される・. 1,. お吉鮪綾 ), 且. =(; り，も= (1㏄，1 ㎝ ), Ⅰ = [4,3]. m;nim 劫e. と. s.t.. 置くと s.t.. ムぉく b, ヌ二 0. 00 万千 100 あ. 石十 3 あ二 4. ㈲. 2 万 + あ笘3. Pぉ. maxlmlZe. Ⅰ. 九三 0 ，あ珪 0. @ であ. 書き直される．これほ最適問題㈹において / およびⅠがよについて線形関数となるような特殊な場合を表わしており，線形計画問題という名で呼ぼれる．また，ベクトル (1.3) を且の生産のための活動と. ベクトル，毎を活動レベルと呼ぶこともある．. 右，あをおのおの第 1 資源と第 2 資源の価格. る・. とすると A を l 単位生産するための費用は B を. 工. 単位生産するための費用は 2. ス. Ⅰ. ス. ，十 3 ス 2,. 十あとなる・. 企業あるいは産業は競争的状況にあり，実現可能な利潤はつねに非正であるとすると，沢村問題は，非正の利潤拘束のもとに資源の総費用 lm l 千工㏄あき最小ス. 極大値のための条件は，ラグランジ関数が Ⅱ 毛わ. = Ⅰぉ+ ス仙一九ぷ). @. であるから，鎔式より，. (shadowprice). p 一スよ三 0. (P 一スム) ぱ二 0. D 一ムょ乏 0. 万 (あーよよ)=0. となる，0). いま，線形計画問題69 を主問題と名づけ，. それに対してつぎのような問題を主問題に対する双対内甘と呼ぶことにする． mmnimize. スぁ. スみ. スムニp, スニUl, あ] 乏 0. の. を最小化することは，一乃を最大化することであ. る．したがって，沢村問題㈹の極大値のための条件は，ラグランジ関数が (x をラグランジ定数として ). 1(ニ，ょ一 6 千 aスムーP). ズ Ⅰ. ⅠⅠⅠⅠ. ニ. Ⅰ. であるから，再び㈹式より，. ㈲. と. 呼ばれる・さらに，㈲式よ p 接0= ス 0b. Qり. ぉ乏 0 ，ス%0. s,t.. にする問題であると解釈できよう・㏄式を主問題として解くなら，同時にその背後で双対問題の最適解 Ao を見ぃ出すことになる．この意味で A0 は形の価格り. ，は宙. が得られ，両問題の最適値は等しくなる．すなわち，効率的な生産においては，総収入と総費用が等しくなるということができる．我々は，ここまで，説明を簡単にするため， 2 変数で. 記述された線形計画問題をとりあげ説明を加えてきたが，多変数に拡張して，笘= Ⅰ 1, 綾，・…‥，百 ),ス =[ 右， 2,,…‥， m],p Ⅰ [タ1, め，・…‥，血 ],ぁ =(61, あ，・…‥，み m), よ =[a 加と考えると，主問題はこの話法のもとで，そのまま 69 式と書け双対問題は㈲式と書ける．ただしス. ス. [ayJ]は要素を 8M打とするマトリクスを表わす．きらに，いままで述べた結果は，このように拡張された一般的な場合にも成立することは明らかであろう，した. がってつぎの定理を得る．.

(11) 経営のための数理計画法入門定理 4-1.. (笹井. (263)@75. 均). 線形計画問題㈱を主問題とすると，主. 問題の最適解に対応するラグランジ乗数は，沢村問題 ⑫の最適解を与え，その逆も成り立つ．また，両問題. yo+ ウ，れんソ。十 tz,(功刀. の最適値はつねに等しい．問. 枕イ. 線形計画問題㏄の影の価格を求めよ．. 問題 mg㈲の最適解において，第1 資源の余剰が，、ヱ、 0+a,, ヱ， 0 く仇 ) なら，第 Ⅰ資源の影の価格は 0, 製品 A の利潤が負田，、，n 十のば0，ノタ、 ) な. to),. 問. 発生する⑦. ス. 図 3. ら， A は生産されないことを確認せよ．注. 9) 正確には， l力 (,co,ノ 0， zo)l Ⅲ ぷv( ヱ0，ノ0， zo)l +@. 窩. し 0，ノ0,z0)l キ 0 であることが必要である．. 10) 1). てにおける直線上の. 値と曲線上の値との差，ノーⅠ. (。rH が，ヱ一的に比して高位の無限小つまり，ヱ0 のとき. ro) づ0. ノヱ一ヱ二八・0. ヱづ. となるという意味であ. る．このことを 0 は一ヱ0) と表わす．また，その意味で，この直線はあらゆる直線の中で. ヱニ. %. ぴ ⅠⅠ し，ノ，. 2) の全微分は，ぬ二ポ，・ゐ七ん・め +. カリz であるから，変数を鮫0 ，ノ0,zo) から㏄ 0+ れノ0+. ゑ. ， zo+D) に動かしたとき，. ぼルトあヰ土んのの内積. +. %. の変化は，ほ. ヰ十カリ目 (あ，ぷv,メ， ) とはぶ，. となるので，ベクトル⑦， A, のが (刀，. 力，ぷ， ) と同じ向きのとき最も早く増加し，ベクトル (力，力，力 ) の長さが増加の割り合いを表わす. ︵と. 距がカ. 2. の近くで，パ x) の最良の近似となっている・. Ⅱ ) ぬ二( しけ )l9( ヱ，め圭 0) とするとは 0，ノ0)69. 十分近くの点し，ノ )eo. 0. に対して巨，め e 夕で. かつ l%, カー (。co, ソ 0)lく e, 只 20 ，ノ0)三八ヱ，力或はパヱ 0, ノ0)玉/ 巨，ノ) となるという意味である．. 3. 12) この定理 3.1 及び次節の定理 3.2 では，極値を. ヱ 0. 7. るが lQx(. o0，ノ0)l %9"(. ヱ0，ノ 0、)l キ 0. であるもの. とする．. 13) 更に極大ならば㏄ 0, ノ0) における 9 ㎏，カ二0 の接平面上でラグランジ関数 2 しけ，ス) の (助け 0，ス. 0) におけるへッセ行列が負の半定値となる．. 14) 不等式条件の場合の十分条件についても類似の結果が得られるが，これらの十分条件に関して詳しくは. ⑫ 味式では接. け綜よとめ直 P線. 8. ︵ Ⅴあ・のるをの，る、五 %. 6. きらとなノラるば. 5. Ⅰトサコ. 4. こ分. 与える点が正則点伝eguIarpojnt) であることを仮定している・即ち，勾配ペクトル ¥タメ，Do, ノ0), の (ヱ0,ノ0)] が 0 ベクトルでないこと，同じことであ. Luenberge,,. 伽オ Noonlin ㏄Ⅰ. 丹 ogr. 血か。イはzton to. エtnnear. 田れ櫛劫g,Addison-Wesley,. Reading, Mass., 1973. を参照せよ・. 縁つきへッ. セ行列に関する議論は西村『経済数学早わかり』. 日本評論社，昭和 61 年を参照せよ． 15) 行ベクトル㎏トルは. ，，ヱ㍉・…‥ ，鋤]. に関する勾配ベク.

(12) 負でにセがちおう︶イ Ⅰ. 9 ⅠⅠ. 6 1 Ⅰ. @ びと限ガね︶ Ⅰの︵ 1 し L. 穿，穿，…，穿) げ㈲，(. 第 3 号 (1987) 第 Ⅷ巻横浜経営研究 76 (2%). 0 2. 上. 授コ教部学営経学大立国浜横しとひ. 8 .1 7 .1 1 1.

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