安定なEx：plicit型差分近似の非線形熱伝導
問題への応用＊
藤谷 田 岡 士巳 固守
1 序 論
熱応力等との関係において，熱伝導問題を非線形として取 扱わなければいけない場合が近頃多くなってきた。小泉，谷 脇正）等は，摂動法を用いてこの種の閥題を解き，熱応力の解 析をし，岸上2）3）はアナmグ電子計算機を用いて，同種の問 題の解析を行っている。このように，非線形熱伝導方程式の 近似解法としては種々考えられるがこれを差分方程式で近似 して，ディジィタル電子計算機を用いる方法は最も有力なる ものの一つであると思われる。この方法のものとしては，
Chu， Abramson4）等によるものもあり，筆者の一・人も同様な 問題を以前に取扱っている5）。
一般に，差分方程式での近似の方法としては，Explicit型 とImplici七型の二つがある。前者はいわゆる前進型であるの で計算の方法は簡単であるが，安定性等の関係から時間ステ
ップの取り方に制限がある。これに対して，後者にはその制 限は存在しないが，連立型であるので計算時間をかなり必要
とする。特に後者のうちでCrank−Nicolson型6）といわれる ものは，ClankとNicolsonが，非線型熱伝導方程式に応用 したものであり，精度，安定性等の面からよいものと思われ る。筆者の一入の前報5）はこのCrank−Nicolson型を用いたも のであった。
ところが最：近，Larkinは，従来欠点であった時間ステッ プの制限がない，安定なExplici七型の差分近似の方法を用い て線形熱伝導問題の数値解を求めている7）。
これによると，この方法は一・次元のみでなく，二，三次元 へも用いることのできるものであり，これまで用いられてき たImplicit型に比べて計算時間が非常に短くなっている。
従来のImplicit型を用いたものだと，非線形方程式を解く には，かなり多くの時間を必要としていた。そこで，筆者ら
はこの安定なExplici七型の差分近似を非線形問題に応用して 数値解を求め，これまでの：［n tpliei七型の数値解と比較検：討し
たのでその結果を報告する。
2 近 似 式
一次元熱伝導方程式は物性値の温度変化を考慮すると次の ように表わされる。
醗一二（Kl／） （1）
ここで変換
e一一 ilEfgK du （2）
をほどこすと，次の如くなる。
留一・灘（rc ＝ K／pe） （・）
ただし，u：温度 七：時刻 x：一次元座標 ρ：物体の密 度。：比熱K：熱伝導率Ko：u−0における Kの値とする。
非線形方程式（1）を解くことは結局（3＞を種々の初期及び境界 条件のもとに解くことに帰着される。
2。1）Implici七型差分法（Crank−Nicolson型）
まず（3｝を従来からよく用いられているCrank−Nicolson U」差 分方程式に変形すると次の如くなる6）8）
eM n＋i
@＝ 〈lti：ISIII−5sto 一tH 2） ｛Om＋i， n＋i ＋ Om＋i， n ＋ （llig／￥liO−2）e．， ．
＋em−1， n＋1＋Om−1， n｝ （4）
・・で ・一三・
θm，n一θ（mAx， n∠t）（m． n；正の整数）
Axは座標のきざみ， A七は時間ステップを表わす。（4）式 を図示すると次のようになる。
＊日本物理学会，応用物理学会中国四国支部例会（1966．11．10．愛媛大学）に発表
一271一
（n 一Y 1） At
ndt
（m−1） x ・max
津山高専紀要（第1巻．第4号）
まず，nAtにおける○点での値と（n＋1）A七における○点、
・∫での値（これはm±oに．おける境界条件より既知である）よ ・り（n＋1）Atあ△点での値θ。＋1を求める。順次矢印の方向 に求めて行き，境界までくれば（n＋1）Atの○，△点での値と，
（n＋2）litの○点での値（境界条件より既知である）より （n＋2）n七の×点での値θ。＋2をうる。順次矢印にそって求 めて行き，m−Oの境界にくればまた前と同じことをくりか
（皿＋1）Ax Fig． 1 Schematic representation of lmplicit differenee meもhod
Fig．1の●と○印における格子点のθの値より△点にお けるθの値θm．n＋1を求めるものであるが，ここで，．b・1 nAt における値．は初期条件より既知であり，（n＋1）A七における 0点の値は未知である。従って，θm，。＋1を求めるために五似 値としてnatにおける値を（n＋1）A七におけるすべての格 子点に与えておいて各maxにおける△点の値を求め，収敏 するまでこの計算を反復してθm，n＋1の値とする。 一 2．・2）安定な：Explici七型差分法
この方法は（3）を次の如く差分近似するものである7）。
まずその一つは，
ag．！1．ILtllilil一くZ！gL！］，nnt e n一一一attsix 2｛（Om＋1，n−Om，n）
一 （em， n＋1 0 m−i， n＋1）｝ （5）
であり，もう一つは
em， n−1＝T．em．nh rc ∠七． （∠x）2
である。
｛（θ・＋・，・，・一θ加＋・）
＝ （Om，n−Om−1， n） ｝ 1
（6）
この二式（5），（6）をあわせ用いる。まず（5はりθnが初期条 件より与えられると，、θ。＋1を求める。次に（6）よりθ。＋2を求 めるrこのようにして順次θを求めて行く。
図示すれば次の如くなる。．
（ri＋2）A｛
（n＋1） At
nat
←
→
（m−i）Ax @zll．（m＋i）ax （m 一i＞zlx rn（．Zi，x＋｛）A．
Fig． 2 Schematic representation of Stable Explieit difference method
えして行く。境界条件と，初期条件が分っていると明らかに
：Explici七型である。
この方法はSau1 evによるもので， ccAlterna七ing direc七ion explicit me七hod といわれる7）。
1・arkinはこの方法を用いて，一，二次元の場合の線形問 題の数値解を求め，Implici七型により求めた数値解と比較し
．ている。それによると精度はImplici七型に比べても十分よい ものとなっている。また，計算時間は大きく減少している7）。
3 Example
従来のImpliqit型どccA1七erna七ing direction exblicit methocl との比較のため．に次のような例を考える。
・・謡（聯．（・く・ρ
u（x， O） ＝一 O
u（Z，七）＝O
u（O， t） 一一U
変換（2）により（7），（8），（9），（10）は次の如くなる。
霧一・舞（・くx〈1）
e（x， o） 一〇
θ（ll七）一〇
θ湿IK・u．（x三〇，七〉・）
ラ7 ー ン ラ 89m
（1D
（12＞
（13＞
a4＞
．こここで，物性値はすべて渥度uの一次式で近似されるも のと仮定する。軟鋼の場合（u〈300。Cで）次の．如く表わさ れるD。
k−1．2×10−2（1−O．583×10−3u） kcal／m． s． OC （1＄
rc ＝1．48×10−5（1−17．3×10n u） m2／s ・一 （16＞
このExampleにおいては⑮，㈲で表わされる．数値例を用 いることにする。
⑭式においてK・・K：o（1＋：KtU）とすれば，t次の如くなる。
e−u＋K−2 u2 一 （iD
ここでKl， K6は㈲により与えられる。また．，．．Z−1m U＝300。Cとする。
． 272 一・
藤田志郎・谷岡 守 安定なExplici七型差分近似の非線形熱伝導問題への応罵
さて，a1），⑫，㈱， aTを（4）または（5），（6）の差分近似を用 かて解くわけであるが，（4）または（5），（6）におけるκはu即
ちθの函数である（このuとθとの関係は変換②よりえ られる。）そこで，このθとしてθ．，n÷1を求める式におい てはθm，．の値を近似的に用いることにした。
次に，エmplici七型におけるrの値は＞0であれば，他に一
．応制限はないが，今の場合1／6とし，xのきざみは1を50等 分したのでAx−O．02である。従ってAtはrを与える式
より決定される。
Al七em乱七ing diree七ion explici七me七hodによる場合は w一（Ax）2／A七κo＞0の制限が必要であるが，これは明らかに
成立している。
Tab正e 1に七一50」もにおける両者による計算結果の一一・部を 示す。
Table 1
を使用した。
4 結 論
非線形熱伝導方程式の数値解としてImplici七型差分近似 が，従来よいものとして用いられてきたが，その方法が連立 型のため計算時間が多く必要である。
そこで，この問題に対して，安定なExplici七型差分近似で あるAl七erna七ing direc七ion explieit methodを応用して，そ の数値解を求め，両者による精度，計算時間等を比較検討し
た。
その結果，数値解は両者よく一致することが分った。一・方，
計算時間はA1七ema七ing direc七ion e yplici七me七hodを用いる と，Implici七型の場合の約1／5ですむことが分った。
従って，この方法は，非線形熱伝導方程式の数値解法とし て非常に有力なものといいうる。
rnethod X 2dx
Implici七me七hod
sax
169．6 Oc 54．34
Alternating direction expliciも 鵬e七hod
170．1 Oc 55．01
両者による結果は非常によい一致をえていることが分る。
．このTableにはないが，七＝nAtにおけるnの小さい所で
・は，両者の差は少し大きい傾向がみられる。しかし，nが大 きくなるにつれてこの傾向はなくなっている。
さて，この両者の比較において最も重要である計算時間に ついてであるが，この計算においては，Implici七型ではone step約1分40秒， Al七ernating direc七ion explici七meもhodでは 約20秒であった。従って，従来のlmplici七型に比べて，新し い後者の方法だと計算時間は約1／5ですむことになる。
なお，計算機は，岡山大学理学部電子計算室のN：EAC−2203
文 献
1）小泉発，谷脇力：日本機械学会論文集，31，P9−15（1965）
2）岸上弘：日本機械学会論文集，31，P1−8（1965）
3）岸上弘，宮本博文：日本機械学会第43期通常総会講演会前刷集，
No． 150． P69−72 （1966）
4） W．H Chu and H． N． Abramson： Trans． ASME． J． App．
Mech． 27， P617−622 （1960）
5）藤田志郎：津山工専紀要，1，P69−72（1964）
6） J． Crank and P． Nicolson： Proc． Cambr． Phil． Soe． 43． p50−
67 （1947）
7） Berb． K． Larkin： Math． Comp． 18． p196−202 （1964）
8）森口，高田：数値計算法皿，p 126（岩波講座，現代応用数学，
1958）
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