4. 関数の近似（解答）

微分積分学１ No.8 2004.12. 1

4. 関数の近似（解答） 担当：市原

問題16 次の問いにこたえなさい

(1)y=x⁶−1のx= 1における3次テイラー多項式を求めなさい.

f(x) =x⁶−1とすると, f⁰(x) = 6x⁵,f⁰⁰(x) = 30x⁴, f⁰⁰⁰(x) = 120x³. よって, x= 1における3次テイラー多項式は

f(1) +f⁰(1)

1! ·(x−1) +f⁰⁰(1)

2! ·(x−1)²+f⁰⁰⁰(1)

3! ·(x−1)³

= (1⁶−1) + 6·1⁵

1 ·(x−1) + 30·1⁴

2×1 ·(x−1)²+ 120·1³

3×2×1 ·(x−1)³

= 6(x−1) + 15(x−1)²+ 20(x−1)³

(2)y= cos 2xのx= 0における3次ラグランジュ剰余項を求めなさい.

f(x) = cos 2xとすると,

f⁰(x) =−2 sin 2x,f⁰⁰(x) =−4 cos 2x,f⁰⁰⁰(x) = 8 sin 2x,f⁽⁴⁾(x) = 16 cos 2x.

よって,x= 0における3次ラグランジュ剰余項は, f⁽⁴⁾(θx)

4! ·x⁴= 16 cos(2θx)

4×3×2×1·x⁴=2 cos(2θx) 3 ·x⁴ (3)y= logxをx= 1において2次テーラー展開しなさい.

f(x) = logxとすると,f⁰(x) = 1

x=x⁻¹,f⁰⁰(x) =−x⁻²,f⁰⁰⁰(x) = 2x⁻³. よって, x= 1における2次テーラー展開は,

logx=f(1) +f⁰(1)

1! ·(x−1) +f⁰⁰(1)

2! ·(x−1)²+f⁰⁰⁰(1 +θ(x−1))

3! ·(x−1)³

= log 1 +1⁻¹

1 ·(x−1) +−1⁻²

2×1 ·(x−1)²+2(1 +θ(x−1))⁻³

3×2×1 ·(x−1)³

= 0 + 1

1·(x−1) + −1

2 ·(x−1)²+2(1 +θ(x−1))⁻³

6 ·(x−1)³

= (x−1)−(x−1)²

2 ·+(1 +θ(x−1))⁻³

3 ·(x−1)³ (4)y=e^2x+1を3次マクローリン展開しなさい.

f(x) =e^2x+1とすると,f⁰(x) = 2e^2x+1, f⁰⁰(x) = 4e^2x+1,f⁰⁰⁰(x) = 8e^2x+1,f⁽⁴⁾(x) = 16e^2x+1. よって, 3次マクローリン展開は,

e^2x+1=f(0) +f⁰(0)

1! ·x+f⁰⁰(0)

2! ·x²+f⁰⁰⁰(0)

3! ·x³+f⁽⁴⁾(θx) 4! ·x⁴

=e^2×0+1+2×e^2×0+1

1 ·x+4×e^2×0+1

2×1 ·x²+8×e^2×0+1

3×2×1 ·x³+16×e^2×θx+1 4×3×2×1 ·x⁴

=e+2e

1 ·x+4e

2 ·x²+8e

6 ·x³+16e^2θx+1

24 ·x⁴=e+ 2ex+ 2ex²+4

3ex³+2e^2θx+1 3 ·x⁴