右図に示すように，辺の長さがそれぞれ

[

問

右図に示すように，辺の長さがそれぞれ

および

である直方体 の

つの頂点を

とする。適当な直交直線座標系を定めて 次の問に答えなさい。

A

B

C D

3 2

1

(1)

ベクトル

AB，−→

AC

と

AD

を成分で表しなさい。

(2)

線分

と 線分

の間の角度

を定める式を書きなさい。

( cos(θ) =· · ·

という形の式を求めなさい。)

(3)

線分

の中点を

とする。点

と点

の間の距離を求めなさい。

[

問

右図に示すように底辺の長さが

の

等辺

角形上の

つ の点を

とする。ただし，点

は頂点

から底辺

へお ろした垂線の中点であり，線分

は

角形を含む面と直交してい る。適当な直交直線座標系を定めて次の問に答えなさい。

A

B

C

D 3

E 2

3

(1)

ベクトル

AB

と

AC

を成分で表しなさい。

(2)

線分

と 線分

の間の角度

を定める式を書きなさい。

( cos(θ) =· · ·

という形の式を求めなさい。)

配布したプリントから変更し

た部分

[

答

右図に示すように，点

を座標系の原点とし，x，y，z 軸を直方体 の

辺の向きにそろえると各点の座標は

A: (2,0,1), B : (2,3,0), C: (0,3,0), D: (0,0,1)

となる。

A

B

C D

3 2

1 O

x

y z

(1) −→

AB = (0,3,−1), −→

AC = (−2,3,−1), −→

AD = (−2,0,0) (p2.1)

(2) cos(θ) =

−→AC·−→

AD

|−→

AC| |−→

AD|

の関係を使う。

−→AC·−→

AD = 4, |−→

AC|=√

14, |−→

AD|= 2 (p2.2)

なので

cos(θ) = 2

√14, 0≤θ≤π (p2.3)

が

を定める式となる。

(3) −→

AE = 1 2

−→AC =

(−1, 3 2,−1

2 )

, −→

ED =−→

AD−−→

AE =

(−1,−3 2, 1

2 )

(p2.4)

より点

と点

の間の距離

ED|

は

|−→

ED|=

√

(−1)²+ (−3

2 )2

+ (1

2 )2

=

√14

2 (p2.5)

となる。

【注】違う座標系をとってもよい。その場合

のベクトルの成分は違った数字になるが，(2) と

の答え は変わらない。

[

答

右図に示すように座標系をとると，各点の座標は

( 1,3

2,3 )

(p2.6)

となる。従って

−→AB = (−1,−3,0), −→

AC = (

0,−3 2,3

)

, (p2.7)

−→AB·−→

AC = 9

2, |−→

AB|=√

10, |−→

AC|=3√ 5

2 (p2.8)

なので

cos(θ) =

−→AB·−→

AC

|−→

AB| |−→

AC| = 3 5√

2 = 3√ 2

10 (p2.9)

が

を定める式となる。(分母の有理化はしなくても構いません。)

B

A

E D

z x

y

[

問

図

に示すように辺の長さがそれぞれ

の直方体がある．点

は辺の中点であり，点

は直方体の中央にある．図のように座標 系をとった場合に次の問に答えなさい．

(1)−→

AC×−→

AB

を計算しなさい．

(2)−→

EA×−→

ED

を計算しなさい．

A

B C

D

4 2

2 E

O

図

問

3

つの力

，F

と

が物体に働いてつりあっている。

F1=



 1 2 1



, F2=





−1 2 1





のとき,

を求めよう.

[問2-3]

右図に示すように，辺の長さがそれぞれ

である長方形の

点を

A, B, C, D

とする。ただし，点

は辺の中点であり，点

は長方

形の中心に位置する．図のように点

を原点とする座標系をとった 場合

軸は紙面に垂直に上向き) に次の問に答えなさい．

(1)

点

から 点

に向かう単位ベクトル，と点

から 点

に向 かう単位ベクトル，およびを点

から 点

に向かう単位ベク トルそれぞれ求めなさい．(単位ベクトルの成分を書きなさい．)

点

にある物体を点

に向けて大きさ

の力で引っ張る．

また点

に向けて大きさ

にむけて大きさ

で 引っ張る．力がつりあって物体が静止する場合に

と

を求め なさい．

A

B C

D 4

2

[問2-4]

図

で，点

にある物体を点

と点

に向けてそれぞれ大きさ

の力で引っ張る．また点

に向けて大

きさ

で，点

にむけて大きさ

で引っ張る．力がつりあって物体が静止する場合に

と

を求め

なさい．

[

答

この座標系について各点の座標は

A:(2,0, 0)，B:(0,4,1)，C:(2,4,2)，D:(0,0,2)，E:(1,2,1)，なので，

−→AC = (0,4,2)，−→

AB = (−2,4,1)，−→

EA = (1,−2,−1)，−→

ED = (−1,−2,1)

となる．従って以下を得る：

−→AC×−→

AB = (−4,−4,8), −→

EA×−→

ED = (−4, 0,−4) (p4.1)

[答2-2]

F₃=−F₁−F₂= (

0,−4,−2 )

(p4.2)

[答2-3]

各点の座標は

A: (1, 4,0), B: (2,0, 0)

C: (0, 0,0), D: (1,2,0) (p4.3)

となる．

【注意】 ：z 座標は全て

なので省略しても構いません．また，以下の

でのベクトルの

成分も全て

な ので省略しても構いません．

(1)

点

から 点

に向かう単位ベクトルを

，点

から 点

に向かう単位ベクトルを

点

から 点

に向 かう単位ベクトルを

とすると以下を得る：

u_A=

−→DA

|−→

DA| = (

0,1,0 )

, u_B=

−→DB

|−→

DB| = 1

√5 (

1,−2,0 )

, u_C=

−→DC

|−→

DC| = 1

√5

(−1,−2,0 )

. (p4.4) (2)

点

から点

に向かう力を

，点

から点

に向かう力を

，点

から点

に向かう力を

とすると，

FA=f1 uA= (

0, f1,0 )

, FB= 10uB = 10

√5 (

1,−2, 0 )

, FC= f2

√5

(−1,−2,0 )

(p4.5)

となる．力のつりあいの条件

FA+FB+FC=











10√−f2

5

f₁−2^10+f√ ² 5

0











=









 0 0 0











(p4.6)

より，

√5, f2= 10

となる．

[

答

−→EA = (

1,−2,−1 )

, −→

EB =

(−1,2, 0 )

, −→

EC = (

1,2,1 )

, −→

ED =

(−1,−2,1 )

, (p5.1)

なので点

から点

に向かう単位ベクトルをそれぞれ

，u

，u

，および

とすると

−→EA

|−→

EA| = 1

√6 (

1,−2,−1 )

, uB=

−→EB

|−→

EB| = 1

√5

(−1, 2, 0 )

, (p5.2)

u_C =

−→EC

|−→

EC| = 1

√6 (

1,2,1 )

, u_D=

−→ED

|−→

ED| = 1

√6

(−1,−2,1 )

(p5.3)

が得られる．

点

から点

に向かう力をそれぞれ

，F

，F

，および

とすると

√6 (

1,−2,−1 )

, F_B=f_B u_B = fB

√5

(−1,2,0 )

, (p5.4)

FC = 10uC= 10

√6 (

1,2,1 )

, FD= 10uD= 10

√6

(−1, −2,1 )

(p5.5)

となる．

力のつりあいの条件

FA+FB+FC+FD=











f_A

√6−^√fB₅

−2 (√f_A

6−^√fB₅)

20√−f_A 6











=









 0 0 0











(p5.6)

より，

√5

6

となる．

[

問

右図に示すように，質量

のおもりと質量

，m

のお もりが滑車を通してひもでつながれ, つりあっている．m

2M

，

である場合，cos(θ) と

を求めなさい．

ただし質量

の物体には, 重力 という大きさ

の力 が 鉛直下向き にはたらく.

g= 9.8· · ·[m/s²]:

重力加速度 の大きさ

つ ま り 質 量

の 物 体 に は 働 く 重 力 の 大 き さ は

m

m

M θ φ

図

[

問

図

に示すように，x-y 平面上にある

軸から角度

だけ傾いた 直線上を滑らかに動く物体を考える．この物体に力

と力

−

を加えると物体は静止した．このとき

を求めなさい．

図

[

問

x

軸を回転軸として，そのまわりに自由に回転できる長さ

の棒が

平面内に置かれている．回転軸は棒の一端

から

の位置にある．

図

のように棒が

軸から

6

だけ傾いているとき，点

に力

(

0,−2,−2 )

を, 点

に力

0, a ,0 )

を加えた．ただし

は定数を表す．

(1)

この物体に働く原点の回りの力のモーメントを求めなさい．

(2)

この物体が回転軸のまわりに回転しない場合の

の値を求めなさい．

L

A ᵭ A

B z

x θ y

図

[

答

右図のように座標系をとる．(z 軸は紙面に垂直に上向き．) それぞ れの糸の向きに働く力を

，F

および

とすると

F₁ = m₁g

(−sin(θ),cos(θ),0 )

(p7.1) F2 = m2g

(

sin(φ),cos(φ),0 )

(p7.2) F3 = M g

(

0,−1,0 )

(p7.3)

となる．

力のつりあいの条件

より

−m1 sin(θ) +m2 sin(φ) = 0 (p7.4) m1 cos(θ) +m2 cos(φ)−M = 0 (p7.5)

が得られる．

θ φ

x y

F

r

F

r

F

r

cos(θ)

と

を求めるので，式

を

乗した式

m²₁ (1−cos²(θ)) =m²₂ (1−cos²(φ)) (p7.6)

と式

を考える．式

より得られる

m1 cos(θ) =M−m2 cos(φ) (p7.7)

を式

に代入して

m²₁−(

M²−2M m2cos(φ) +m²₂cos²(φ) )

=m²₂−m²₂ cos²(φ) (p7.8)

より

cos(φ) =M²+m²₂−m²₁

2M m₂ (p7.9)

が得られる．これを式

に代入して

cos(θ) = M²+m²₁−m²₂

2M m₁ (p7.10)

が得られる．

m1= 1

2M , m2=M

を代入すると

cos(θ) = 1

4, cos(φ) =7

8 (p7.11)

が得られる．(θ

[

答

直線方向の単位ベクトル

は

u= (

cos(θ),sin(θ),0 )

(p8.1)

なので条件

から

0 = (F1+F2)·u= (

5,−8,3 )·(

cos(θ),sin(θ),0 )

= 5 cos(θ)−8 sin(θ) (p8.2)

が得られ，従って

tan(θ) =5

8 (p8.3)

となる．

【注意】 ：[問

ではベクトルの

成分は省略しても構いません．

[

答

(1) −→

OA = L 3 (

0,−cos(θ),−sin(θ) )

, −→

OB = 2L 3

(

0,cos(θ),sin(θ) )

(p8.4)

なので，原点の回りの力のモーメント

は

N = −→

OA×FA+−→

OB×FB =2L 3

(

cos(θ)−sin(θ),0, 0

)−2aL 3

(

sin(θ),0,0 )

= 2L 3

(

cos(θ)−(1 +a) sin(θ),0, 0 )

= L 3

(√

3−1−a ,0,0 )

(p8.5)

となる。

(2)

物体が回転しないのは

となる場合なので以下を得る：

a= cos(θ)−sin(θ) sin(θ) =√

3−1 (p8.6)

【注意】このとき，x 軸

から棒には

の力がはたらいているので，棒にはたらく合力は

となっている．

[

問

z

軸を回転軸として，そのまわりに自由に回転できる円板がある。図

に示すように，円板の

(−2,2,0 )

の位置に力

1,2,0 )

を,

(

1,−2,0 )

の位置に力

3,2,0 )

を加えた．なお, 図の長さ や角度は正確ではありません。

(1)

この円板に働く原点のまわりの力のモーメントを求めなさい．また，こ の円板は

軸のまわりに，時計回りに回り始めるか，反時計回りに回 り始めるか，あるいは静止したままかを答えなさい．

(2)

この円板に，位置

1,1,0 )

に力

Fz,0,0 )

をさらに加 えて回転軸のまわりに回転しないようにした．F

を求めなさい．

ᤨ⸘࿁ࠅ

෻ᤨ⸘࿁ࠅ

x y

1

z r r

r r

F

r

F

r

図

[問4-2]

図

に示すように，長さ

の棒の一端

を自由に回転できるように固定する。棒の中点

には質量

のお もりをつるし，棒の他端

に結ばれたひもには点

にある滑車を通して質量

のおもりをつるすと，棒が水平 面から

傾いてつりあった．ただし，点

は点

から水平方向に

離れた高さ

の位置にある.

図

に示すように点

を座標系の原点として

軸を鉛直上向きにとる. また，棒と滑車が

平面内にあるよ うに

軸を水平方向にとる。また，z 軸は点

から紙の表側に向かっている. このとき次の問に答えなさい．た だし，棒とひもの質量は無視できるとし，重力加速度の大きさを

とする．

(1)−→

OA，−→

OB

と

BC

を求めなさい。

(2)

質量

のおもりが棒におよぼす力

と質量

のおもりが棒におよぼす力

を成分で表しなさい。

(3)

質量

のおもりが棒に及ぼす点

のまわりの力のモーメント

を成分で表しなさい。同様に質量

の おもりが棒におよぼす点

のまわりの力のモーメント

を成分で表しなさい。

(4)θ=π/4

である場合に

を求めなさい。

ᵟ ᵠ

ᵡ

ᵭ

2L

3 L

m

M

L

図

ᵟ ᵠ

ᵡ

ᵭ

F2

r

F1

r y

x

図

[

答

(1)

原点の回りの力のモーメント

は

N =r1×F1+r2×F1= (

0,0,−6 )

+ (

0,0,8 )

= (

0,0,2 )

(p10.1)

となる．N は

軸の正の向きを向いているので，円板は

軸の回りに 反時計回り に回転を始める

力

による力のモーメントは

(

0,0,−Fz

)

となる．物体が回転しないのは

となる場合なので

となる。

[

答

この座標系での各点の座標は

(L

2 cos(θ), L

2 sin(θ),0 )

，B:(L

となる。

(1)

−→OA = (L

2 cos(θ), L

2 sin(θ),0 )

, −→

OB = (Lcos(θ), Lsin(θ),0), −→

BC = (

L(2−cos(θ)), L(3−sin(θ)) 0 ) (p10.2) (2)

おもり

が棒に及ぼす力

は

F1= (0, −mg,0) (p10.3)

となる。おもり

が棒に及ぼす力

は大きさが

であり，ベクトル

BC

と同じ向きを向いているので

−→BC

|−→

BC| = M g

√ 2

(

7−2 cos(θ)−3 sin(θ) )

(

2−cos(θ),3−sin(θ),0 )

(p10.4)

となる。

(3) N1=−→

OA×F1

，N

OB×F2

なので

(

0,0,−Lmg 2 cos(θ)

)

(p10.5)

N₂ = M gL

√ 2

(

7−2 cos(θ)−3 sin(θ) )

(

0,0,3 cos(θ)−2 sin(θ) )

(p10.6)

となる。

(4)

棒がつりあって，点

の周りに回転しないでいる場合

N1+N2=0 (p10.7)

の関係がある。sin(θ) = cos(θ) = 1/

2

を代入して

m =

√14−5√ 2

2 '1.32 (p10.8)

となる。

[

問

図

に示すように辺の長さがそれぞれ

の直方体がある．点

は 辺の中点にある．図のように座標系をとった場合に次の問に答えなさい．

(1)

点

と点

を通る直線を表す式を書きなさい．

(2) 3

点

を含む平面を表す式を書きなさい．

(2) 3

点

を含む平面と

の直線の交点の座標を求めなさい．

A

B C

D

4 2

2

O E

図

[

問

原点にスポットライトがあり, ベクトル

1,1,1 )

の向きに, 広がりの角

6

で円錐状に広がる光を発している.

つまり, 光の当っている領域は, 原点を頂点とする, 無限に高い, 傾いた円錐であり, ベクトル

は円錐の中心軸に 平行で, 頂点から底面に向かう向きである. (図は正確ではありません. ) また, 円錐の軸と母線のなす角は

6

とな る. ある物体の 時刻

における位置ベクトルが

(

2−t ,2t , t )

で与えられる.

(1)v·r(t)

を求めよう.

(2)v

と

の間の角度を

とした場合，cos

を

で表そう．

(3)

物体に光が当っている時間帯を求めよう. x

y z

O

π/6 v

図

[

答

(1) (17.1)

で

OA = (2,0,0)，A=−→

AB = (0,4,1)−(2,0,0) = (−2,4,1)

として，点

と点

を通る 直線上の点

は

をパラメーターとして

x= 2−2t , y= 4t , z=t (p12.1)

と表わされる．

あるいは，パラメータ

を消去して

のような形

−x−2 2 =y

4 =z (p12.2)

に表してもよい．

(2) 3

点

を含む平面を

の形で表わす．ベクトル

DC = (2,4, 0)

と

DE = (0,4,−2)

がこの平面に 含まれるので，平面と直交するベクトルは

−→DC×−→

DE =



 2 4 0



×



 0 4

−2



=





−8 4 8



= 4





−2 1 2



 (p12.3)

となる．この平面に含まれる点

の座標が

なので，平面上の点

は式



 x y z−2



·





−2 1 2



= 0

つまり

により表わされる．

あるいは

つのパラメータ

を用いて

のような形

OD +u−→

DC +v−→

DE (p12.5)

より

x= 2u , y= 4(u+v), z= 2−2v (p12.6)

と表わしてもよい．

(3)

直線上の点を表す式

を

に代入して

−2(2−2t) + 4t+ 2t= 4 (p12.7)

より，t

5

を得る．この

の値で直線が平面と交わるので，(p12.1) に代入して交点の座標は

5, y=16

5 , z=4

5 (p12.8)

となる．

式

と

を

の連立方程式と考えて答

を求めてもよい．式

と

を 用いる場合は

x= 2−2t= 2u , y= 4t= 4(u+v), z=t= 2−2v (p12.9)

を

の連立方程式と考えればよい．また，式

と

を用いる場合は

を

に

代入して

についての連立方程式と考えればよい．

[

答

(1)v·r(t) = 2(1 +t) (2) (5.14)

より

cosθ= v·r(t)

√v·v√

r(t)·r(t) = 2(1 +t)

√6(3t²−2t+ 2) (p13.1)

(3)

物体に光が当たるのは物体の位置ベクトル

と

の間の角度

が

以下の場合である．|

の とき，cos(θ)

3/2

となるので，物体に光が当たる時間帯は，条件

√6(3t²−2t+ 2) =

√3

2 (p13.2)

より求まる．上式の両辺を

乗して

4

より

が得られる．これより，物体に光が当たる時間帯は

17−3√ 11

19 5t5 17 + 3√ 11

19 (p13.4)

となる．

[

問

図

に示すように辺の長さがそれぞれ

の直方体がある．点

は辺の中点である．図のように座標系をとった場合に次の問に答 えなさい．

(1)

一定の速度で運動をしている 点

が図の点

を時刻

に通 過し，時刻

に点

を通過した。任意の時刻

の点

の座標

(

x_P(t), y_P(t), z_P(t) )

を求めなさい．

(2)

点

が

点

を含む平面を横切る時刻を求めなさい．

(3)

点

が 点

に最も近づく時刻を求めなさい．

A

B C

D

3 2

1

O E

図

[

問

物体

と物体

の時刻

での位置ベクトルが，それぞれ

r1(t) = ( t , t²+ 1 , 2 t) r₂(t) = ( 1−t , (1−t)² , t )

で与えられる。このとき

(1)

時刻

での

つの物体間の距離を表しなさい.

(2) 2

つの物体が最も接近する時刻を求めなさい．

x ^y

z

2 t= −

2 t= − 0

t= 0 t=

2 t=

2 t=

1( )t

r r

2( )t

r r

x

y z

2 t= −

2 t= − 0

t= 0 t=

2 t=

2 t=

2( )t

r r

1( )t

r r

配布したプリント

から変更した部分

[

答

(1)

時刻

から

までに点

は点

から

まで等速度で動くので，点

の速度

は

−→OB−−→

OA 3−1 =

(−1,3 2, 1

2 )

(p15.1)

となる．式

より点

の位置ベクトルは

rP(t) =−→

OA +v0(t−1) = (

3−t , 3

2(t−1), 1 2(t−1)

)

(p15.2)

と表される．

(2)r= (x , y , z)

をこの平面上の任意の点を表す位置ベクトルとする．r

OD = (x , y , z−1)

は平面内に含ま れるベクトルなので

DC×−→

DE

と直交する．従って

の間には次の関係がある：

( r−−→

OD )·(−→

DC×−→

DE )

= 0. (p15.3)

−→DC×−→

DE = (2, 3,0)×(1,3,−1) = (−3, 2,3) (p15.4)

なので平面を表す方程式は次式となる：

3x−2y−3z+ 3 = 0 (p15.5)

(p15.2)

を

に代入して

0 = 3xP(t)−2yP(t)−3zP(t) + 3 = 3

2 (11−5 t) (p15.6)

より点

が平面を横切る時刻は

5

となる．