信号処理とフーリエ変換第 11 回

信号処理とフーリエ変換 第 11 回

〜サンプリング定理

離散時間

変換

畳み込み〜

かつらだ

桂田 祐史

2020 年 12 月 9 日

目次

1

本日の内容・連絡事項

2

サンプリング定理 はじめに

サンプリング定理と証明

3

離散時間

変換

離散時間 Fourier ^{変換の定義と反転公式}

Fourier ファミリーの一覧表

4

畳み込み

はじめに

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 信号処理とフーリエ変換 第11回 2020年12月9日 2 / 18

本日の内容・連絡事項

サンプリング定理、離散時間 Fourier 変換の手短な紹介をし、これま でに現れた “4 ^つの Fourier ^変換 ” ^{を振り返る。} Fourier ^{変換で重要な} 畳み込みの説明を始める。

( 講義ノート [1] の

に該当する。 )

本日 (2020/12/9) 中にレポート課題 2 を発表する。締め切りは

2021/1/12. なるべく今年のうちに質問を済ませること (12/9,

12/14, 12/16, 12/21 にオフィスアワーがある ) ^。

5 サンプリング定理 5.1 はじめに

連続信号x(t)をサンプリングして、離散信号{x(nTs)}n∈Zを取り出すことにより、元の 信号の情報がどれくらい失われるのか、どのくらい保存されているのか、これは重要な 問題である。

この問題は、離散Fourier変換でも考えたが(定理7.3)、ここでは周期関数でない f:R→C^のFourier変換に関する、有名なサンプリング定理(定理11.2)を紹介する。

その結論を大まかに述べると、ある周波数以上の周波数成分の含まれていない信号は、2 倍のサンプリング周波数でサンプリングした(サンプリング・)データから再現できる、

という内容である。

(^{少し違う表現をすると}—信号に含まれる最大周波数の2倍より高いサンプリング周波 数でサンプリングすれば、元の信号を復元できる。)

個人的には、定理11.2は確かに正しい命題であるが、応用するにあたって、かなり不自 然な内容である(現実との距離が大きすぎる)と考えている。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 信号処理とフーリエ変換 第11回 2020年12月9日 4 / 18

言いそびれたこと

離散Fourier変換のところで、周期的な信号の再現についての定理を紹介した。最大周波

数の2倍を超えるサンプリング周波数でサンプリングすれば、元の信号が復元可能であ る、という十分性を示す内容であったが、一方で必要性を示唆する次の事実も紹介して おくべきだった。

注意 11.1 ( 最大周波数のぴったり 2 倍では不足 )

例えば周波数f の正弦波x(t) =Asin(2πft)に対して、サンプリング周波数fs= 2f で サンプリングすると、サンプリング周期はTs= _f¹

s =_2f¹. x(nTs) =Asin (2πf ·nTs) =Asin

2πf ·n1 2f

=Asin(nπ) = 0 (n∈Z).

何とサンプリングしたデータ{x(nTs)}は零数列である。当然復元は不可能である。

5 サンプリング定理

5.2サンプリング定理と証明

定理 11.2 (サンプリング定理, Nyquist, Shannon, 染谷)

関数x:R→C^のFourier変換

X(ω) = 1

√2π Z _∞

−∞

x(t)e^−iωtdt

が

(∃W >0)(∀ω∈R:|ω| ≥W) X(ω) = 0 を満たすならば、このようなW を任意に一つ取って

T := π W とおくとき、次式が成り立つ。

(∀t∈R) x(t) = X∞ n=−∞

x(nT)sinc[π(t/T−n)].

ただしsincx :=sinx x .

かつらだ 桂 田

まさし

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5.2 サンプリング定理と証明

つまり、

2π

以上の周波数成分を含まない信号は、サンプリング周波数

T =W

π (= 2×^W_2π)

でサンプリングした離散信号から復元できる。

言い換えると、

以上の周波数成分を含まない信号は、サンプリング周波数

でサンプリングしたデータから復元できる。

5.2 サンプリング定理と証明

証明 Fourier変換の反転公式

x(t) = 1

√2π Z _∞

−∞

X(ω)e^iωtdω (t∈R) に仮定「|ω| ≥W ⇒X(ω) = 0」を適用すると

(1) x(t) = 1

√2π Z W

−W

X(ω)e^iωtdω (t∈R).

この式は周期2W の関数のFourier係数の式に似ている。

周期2W の関数X のFourier級数

cn:= 1 2W

Z W

−W

X(ω)e^−in2W2πωdω= 1 2W

ZW

−W

X(ω)e^−inTωdω (T = π

W ^を代入) とおくとき

X(ω) = X∞ n=−∞

cne^+in2W2πω= X∞ n=−∞

cne^+inTω (ω∈R).

_かつらだ

桂 田 まさし

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5 サンプリング定理 証明 ( 続き )

これから、

(2) cn:= 1

2W Z W

−W

X(ω)e^+inTωdω とおくとき

(3) X(ω) =

X∞ n=−∞

cne^−inTω (|ω| ≤W).

(X の、[−W,W]の外での値を定義し直して、周期2W の関数としてからFourier級数 展開した、と考える。)

(1)x(t) =√¹ 2π

RW

−WX(ω)e^iωtdω^と(2)^{を見比べて、}

(4) cn=

√2π 2W · 1

√2π Z _∞

−∞

X(ω)e^iω(nT)dω=

√2π

2W x(nT) = T

√2πx(nT).

5 サンプリング定理 証明 ( 続き )

(3), (4)^を(1)^{に代入すると}

x(t) = 1

√2π Z W

−W

√T 2π

X∞ n=−∞

x(nT)e^−inωTe^iωtdω

!

= T 2π

X∞ n=−∞

x(nT) ZW

−W

e^iω(t−nT)dω

= T 2π

X∞ n=−∞

x(nT)·2Wsinc(W(t−nT))

= X∞ n=−∞

x(nT)sinc(W(t−nT)).

ここで Z a

−a

e^ibx dx= 2asinc(ab) (a>0,b̸= 0)^{を用いた。また} W(t−nT) = π

T(t−nT) =π t

T −n

であるから

x(t) = X∞ n=−∞

x(nT)sinc(π(t/T −n)).

かつらだ 桂 田

まさし

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6 離散時間 Fourier 変換

ファミリーの最後のメンバー、離散時間

変換を紹介する。実は、Fourier 級数の理論で本質的には済んでいる。

整数を添字に持つ複素数列

を離散信号 という

サンプリング定理)。

これは

という写像とみなせる。f

ということ。

離散信号全体の集合を

と表す。

f ={f(n)}n∈Z

に対して、

(5) Ff(ω) =fb(ω) :=

X∞ n=−∞

f(n)e^−inω (ω∈R)

で定まる関数

を

の離散時間

と呼ぶ。

fb

は周期

の関数である

あるいは

で考えれば十分である。

反転公式は

Z

6.1 離散時間 Fourier 変換の定義と反転公式

証明1 f(n)はfbの第(−n)番目のFourier係数と分かる。

Cf. 普通のFourier級数

f:R→C^周期2πに対し、cn:= 1 2π

Z π

−π

f(x)e^−inxdxとおくとf(x) = X∞ n=−∞

cne ^inx.

証明2 {e^−inω}n∈Zは直交系である。実際m̸=nのとき

e^−inω,e^−imω

= Z _π

−π

e^{−i(n−m)ω}dω= 0.

m=nのとき

e^−inω,e^−imω

=

e^−inω,e^−inω

= Z π

−π

dω= 2π.

ゆえに(5)は、直交系e^−inω によるfbの展開であるから、その係数f(n)は f(n) =

fb,e^−inω (e^−inω,e^−inω) = 1

2π Z _π

−π

fb(ω)e^inωdω.

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 信号処理とフーリエ変換 第11回 2020年12月9日 12 / 18

6.2 Fourier ファミリーの一覧表

これまでに出て来た、Fourier変換、Fourier級数(Fourier係数)、離散時間Fourier変換、

離散Fourier変換の一覧表を作って整理してみよう。

対象 操作の名前 変換の定義式 反転公式

R上の関数 Fourier変換 fb(ξ) = 1

√2π Z_∞

−∞f(x)e^−ixξdx (ξ∈R) f(x) = 1

√2π Z_∞

−∞bf(ξ)e^ixξdξ R上の周期関数 Fourier係数 c_n= 1

2π Z_2π

0

f(x)e^−inxdx (n∈Z) f(x) = X∞ n=−∞

c_ne^inx

Z上の関数(離散 信号)

離 散 時 間 Fourier変換

fb(ω) = X∞ n=−∞

f(n)e^−inω (ω∈[0,2π]) f(n) = 1 2π

Z_2π 0

fb(ω)e^inωdω

Z 上 の 周 期 関 数 (周期的離散信号)

離 散 Fourier 変換

C_n= 1 N

N−1X j=0

f_jω^−nj (0≤n≤N−1), f_j= N−1X

n=0 C_nω^nj

ω:= exp2πi N

しばらく観賞。式が良く似ていることに注目(“R

はP_の親戚

”)。 その気になれば、もっと似せることも出来る。

cn,Cnをfb(n)と書くとか(実際そうすることもある)。

1

2π を2つの 1

√2π に分けるとか。1

N を2つの 1

√N に分けるとか。

6.2 Fourier ファミリーの一覧表

写像の性質も似たところがある。

どれも変換である ( 全単射で逆写像がある ) 。 ( 少し式を直すと ) 内積を保つ ( ユニタリ変換 ) 。

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 信号処理とフーリエ変換 第11回 2020年12月9日 14 / 18

7 畳み込み 7.1 はじめに

色々な関数

離散信号)

に対して、畳み込み

が定義できる。

f,g:R→C

に対して、f

を次式で定める。

(7) f ∗g(x) :=

Z _∞

−∞

f(x−y)g(y)dy (x∈R).

周期

の関数

に対して、f

を次式で定める。

(8) f ∗g(x) := 1

2π Z π

−π

f(x−y)g(y)dy (x∈R).

f,g:Z→C

に対して、f

を次式で定める。

(9) f ∗g(n) :=

X∞ k=−∞

f(n−k)g(k) (n∈Z).

周期

の関数

に対して、

を次式で定める。

NX−1

7.1 はじめに

畳み込みは、素性の良さそうな性質を持ち、ある種の積であると考えられる

しいことは略)。

f ∗g =g∗f, (交換法則)

(11)

(f ∗g)∗h=f ∗(g ∗h), (結合法則)

(12)

(f1+f2)∗g =f1∗g+f2∗g, (

分配法則

線形性

(cf)∗g =c(f ∗g) (線形性(ii))

(14)

[f ̸= 0 ∧ f ∗g =f ∗h] ⇒ g =h (零因子の非存在) (15)

かつらだ 桂 田

まさし

祐 史 信号処理とフーリエ変換 第11回 2020年12月9日 16 / 18

7.1 はじめに

畳み込みと

解析との関係では、次が重要である。

1

畳み込みの

変換は、Fourier 変換の積に移る。

(16) F[f ∗g] =

定数

(定数が何になるかは、畳み込みやFourier

変換の定義の流儀による。)

2

畳み込みには、単位元

もどき

デルタ

がある。

(17) f ∗δ=f.

連続信号に対しては、δ はディラックのデルタ超関数

範囲をはみ出してしまうので少し扱いにくい)

離散信号に対しては、δ

n· · · ,0,0, 1

n=0,0,0,· · ·o (単位

インパルス)

3

デルタ

の

変換は定数関数

である。また定数関数

の

変換は

である。

F × F ×

参考文献

[1]

桂田祐史： 「信号処理とフーリエ変換」講義ノート

http://nalab.

mind.meiji.ac.jp/~mk/fourier/fourier-lecture-notes.pdf, 以前は「画像処理とフーリエ変換」というタイトルだったのを直し た。

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