1
不 確 実 性 の 下 で の最=適消 費 ・資 産 選 択 問題
:マ ー ト ン の 問 題
OptimumConsumptionandPortfolioSelectionunderUncertainty Merton'sProblem
板 垣 有記輔
YukioITAGAKI は じめ に
個 人 は,生 涯 予 算 制 約 式 に 服 し な が ら,生 涯 の 各 期 の 消 費 か ら の 効 用 を 最 大 化 す る よ う に, 各 期 の 総 資 産 に 占 め る 各 期 の 各 種 の 資 産 の 保 有 比 を 選 択 し,こ れ ら 各 種 の 資 産 か らの 各 期 の 総 所 得 を消 費 と貯 蓄 に 振 り分 け る.各 種 の 資 産 の 収 益 率 が 不 確 実 で あ る と い う 状 況 の 下 で の 個 入 の 最 適 消 費 ・資 産 選 択 の 異 時 点 間 問 題 を,マ ー ト ン の 問 題(Merton'sproblem)と 呼 ぶ .こ の マ0ト ン の 問 題 を,離 散 時 間 確 率 的 動 的 計 画 法(discretestochasticdynamicprogramming)の
手 法 を 駆 使 し て 解 明 し た の が,サ ミ ュ エ ル ソ ン の 〔36〕 で あ り,連 続 時 間 確 率 的 動 的 計 画 法 (continuous‑timestochasticdynamicprogramming)を 最 初 に 適 用 し て 解 い た の が,サ ミ ュ エ ル ソ ン の 高 弟 マ ー ト ン で あ る.マ ー ト ン の 論 文 〔27〕,〔28〕,〔29〕,〔30〕 は,そ の 後 の20年 間 に 急 速 に 発 展 し た,マ ー ト ン の 問 題,フ ァ イ ナ ン ス の 異 時 点 問 均 衡 理 論 ,利 子 率 の期 間構 造 の 理 論,派 生 証 券 の 価 格 付 け 理 論 な ど を 主 要 内 容 とす る フ ァ イ ナ ン ス の 連 続 時 間 理 論(continuous‑
timefinancialeconomics)の 一 切 の 嗜 矢 を な す 基 本 的 文 献 で あ る .
マ ー ト ン が 〔27〕,〔28〕 で 提 示 し た マ ー ト ン の 問 題 に つ い て の そ の 後 の 発 展 は 次 の よ う で あ る.
(1)マ ー ト ン の 〔27〕,〔28〕 と 同 じ く連 続 時 間 確 率 的 動 的 計 画 法 を 用 い る が,各 期 の 消 費 の 非 負 性 や 最 低 生 存 水 準,空 売 り に つ い て の 制 約,破 産 の 禁 止(富 の 非 負 性),取 引 費 用 な ど を 明 示 的 に 導 入 し,で き る 限 り一 般 的 な 効 用 関 数 型 の 下 で 明 示 的 な 最 適 解 を 得 る.し か し,連 続 時 間 確 率 的 動 的 計 画 法 を 適 用 し て 導 出 さ れ る 富 の 派 生 効 用 関 数 の 満 た す べ き,ハ ミ ル ト ン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン 方 程 式 は,2階 の 非 線 形 偏 微 分 方 程 式 で あ り,効 用 関 数 の 形 を 十 分 に 限 定 す る の で な い 限 り,一 般 に こ れ の 解 析 的 解(closedformsolution)を 求 め る こ と は 困 難 で あ る と い う 事 情 に 変 わ り は な い.
(2)ハ ミ ル ト ン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン 方 程 式 を 離 散 近 似(discreteapproximation)し て,偏 微 分 方 程 式 の 数 値 解 析 の 手 法(numericalmethodsforpartialdifferentialequation)を 適 用 し て 最
2季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXIV,No.1 適 解 を 求 め る.
(3)リ オ ン(P,‑L.Lions),石 井,ク ラ ン ダ ル(M,G.Crandall)ら の2階 偏 微 分 方 程 式 の ヴ ィ ス カ シ テ イ 解 の 理 論theoryofviscositysolutionsforsecond‑orderpartialdifferential
equations)を 適 用 し,富 の 派 生 効 用 関 数 が,ハ ミ ル ト ン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン 方 程 式 の 唯 一 の な め ら か な ヴ ィ ス カ シ テ イ 解 で あ る こ と を 示 し,最 適 解 を 求 め る.
(4)ウ イ ナ ー 過 程 の 汎 関 数 に つ い て の マ リ ア ヴ ァ ン(P.Malliavin)の 確 率 解 析(Malliavin's stochasticcalculusofvariationforWienerfunctions)を 適 用 し て マ ー ト ン の 問 題 に 接 近 す る.
(5)マ ー ト ン の 問 題 を 連 続 時 間 マ ル チ ン ゲ ー ル 的 接 近(continuous‑timemartingaleapproach)
に よ っ て,2つ の 問 題 に 分 け て 解 く.ま ず,消 費 ・資 産 選 択 の 動 学 的 最 適 化 問 題 を,静 学 的 な 期 待 効 用 最 大 化 問 題 に 転 換 し,つ ぎ に,日 本 の 渡 辺 信 三 と 国 田 寛 が 創 案 し た マ ル チ ン ゲ ー ル 表 現 定 理(martingalerepresentationtheorem)を 適 用 し て,最 適 消 費 を 生 成 す る の に 必 要 な 最 適 な 資 産 構 成 を 決 定 す る.そ し て,こ れ ら の 最 適 消 費,最 適 資 産 構 成 が,連 続 時 間 確 率 的 動 的 計 画 法 に よ っ て 求 め た 従 来 の そ れ ら と全 く 同 一 で あ る こ とが 示 さ れ る.さ ら に,富 の 派 生 効 用 関 数 は,連 続 時 間 確 率 的 動 的 計 画 法 に 依 拠 す る と き の2階 の 非 線 形 偏 微 分 方 程 式 よ り解 き や す い
2階 の 線 形 な い し準 線 形(quasi‑1inear)偏 微 分 方 程 式 を 満 た す こ と が 示 さ れ る.
(6)ビ ス ミ ュ ー(M,Bismut)の 連 続 時 間 確 率 制 御 の 双 対 定 理(Bismut'sdualitytheoryof continuous‑timestochasticcontro1)を 適 用 し,原 問 題(primalproblem)た る マ ー ト ン の 問 題 に 対 す る 双 対 問 題(dualproblem)を 定 義 し,マ ー ト ン の 問 題 の 最 適 解 を 双 対 性 を 通 し て 特 徴 付 け る.
わ れ わ れ は,マ ー ト ン の 問 題 に つ い て の 上 述 の よ う な 最 新 の 展 開 の 源 泉 で あ る マ ー ト ン の
〔27〕 に つ い て 詳 説 し,批 判 的 に 検 討 す る.特 に,以 下 に 述 べ る3点 は,マ ー トン に は 無 く, わ れ わ れ が 新 た に加 え た も の で あ る.
(1)富 の 派 生 効 用 関 数 は 富 に 関 し て 厳 密 に 凹 関 数 で あ る こ と の 証 明
(2)富 の 派 生 限 界 効 用 の 平 均 値 は,安 全 費 産 の 収 益 率 で 指 数 的 に 減 少 し て い く こ と の 証 明 (3)最 適 な 富 の 平 均 値E〔Wω 〕 の 導 出 と こ の 成 長 率dlogE[W(t)]/dtの0 ハ ン プ ・セ イ ビ ン グ の 分 析 へ の 適 用(こ れ に 対 し て,マ ー ト ン は,tiv(t)≡E[dW(t)]=[w(t)(a‐y)+r〕w(t)
‑C(t)に 0
,最 適 解(ω*ω,oホ ω)を 代 入 し,そ の 両 辺 をW(t)で 割 っ たW(t)/W(t)な る も の を 用 い て 分 析 を 行 っ た が,こ れ は 芳 し い こ と で は な く,わ れ わ れ が 踏 ん だ 手 続 が 是 非 と も 必 要).
第1節 マ ー トンの 問 題
い ま,2種 類 の 資 産,危 険 資 産("risky"buthigheryieldasset)と 安 全 資 産("risk‑free"
10w・yieldasset)が あ り,危 険 資 産 の 価 格 過 程{血 ω,t>a}は,確 率 微 分 方 程 式 幽 ω=α 角(肋+6p1(t)dz(∂(1)
に 従 い,安 全 資 産 の 価 格 過 程 腕(t),t>o}は,微 分 方 程 式
Julyl994板 垣 有 記 輔:不 確 実 性 の 下 で の 最 適 消 費 ・資 産 選 択 問 題:マ ー トン の 問 題
dpz(t)=ypz(t)dt (2)
3
に 従 う と す る.こ こ に α,y,σ は そ れ ぞ れ 正 な る 定 数 で,γ は 安 全 資 産 の 瞬 間 的 収 益 率 で あ る . dz(t)は,標 準 ウ ィ ナ0過 程(standardWienerprocess)の 確 率 微 分 で あ り
E(dz(t))=O,E((dz(t)2)=dt で あ る.(1)と(3)よ り,
(1/dt)E〔dp、(t)/pl(t)〕 一 α, (1/dt)V〔dpl(t)/pl(t)〕 ニ σ2
(3)
(4) (5)
と な り,(4)は(1)の α が 危 険 資 産 の 瞬 間 的 期 待 収 益 率(instantaneousexpectedrateofreturnon
theriskyasset)で あ る こ と を 示 し,(5)は,(1)の σ が 危 険 資 産 の 収 益 率 の 瞬 間 的 標 準 偏 差 (instantaneousstandarddeviation)で あ る こ と を 示 し て い る.な お 危 険 資 産 の 安 全 資 産 に 対 す る 超 過 収 益 率(excessrateofreturn)α 一 γは 正 で あ る と 仮 定 す る .
(1)の 解 ρ1(t)に 対 し てlog1社(t)な る 確 率 過 程 を 考 え,伊 藤 の 公 式(Ito'sformula)を 適 用 し て そ の 確 率 微 分dlogpl(t)を 求 め る と,
dl・9ρ1ω 一 〔(dl・9血 ω/4角(t))・ 角 ω+(1/2)(d21・9血 ω/dpi(t)
・62pi(t)〕 耐(dl・9ρ1(̀)/dpl(t))6p
、(t)dz(t) 一 〔・ 一(1/2)σ2〕dt+σ4。 ω .
両 辺 を0か らtま で 積 分 す れ ば
1・9(角 ω/角(0))一 〔・ 一(1/2)σ2〕t+σ 〔z(t}‑z(0)〕 . 標 準 ウ イ ナ ー 過 程 の 性 質 よ り,
E〔z(t)‑z(0)〕=0,V〔z(t)‑z(0)〕=t で あ る か ら,危 険 資 産 の 価 格 角 ω,
血 ω 一 角(0)exp{〔 α 一(1/2)62〕 什 σ 〔z(t)‑z(0)〕}(6) は,対 数 平 均E〔logpl(t)〕,
E〔1・9ρ1ω 〕‑1・gp、(0)+〔 ・ 一(1/2)σ2〕t, 対 数 分 散V〔login(t)〕
V〔logpi(t)〕=σ2t,
を も つ,対 数 正 規 分 布(log‑normaldistribution)に 従 う . い ま,Y(t)=θ 卑ρσz(t)(7)
と お き,伊 藤 の 公 式 を 適 用 す れ ば,
dY(t)̲dz(t)+嬬 塩{dz(t))・
一 σ(exp6z{t))dz(t)+(1/2)σ2(吻 σ 。ω)dt , ま た は,
Y(t)一 γ(0)+σ 露 ・ψ σ ・(s)dz(・)+(1/2)σ ・∬ ・ψ σ ・(s)ds .
4季 刊 創 価 経 済 論 集 伊 藤 積 分 の 性 質(propertyoftheItointegral)よ り,
Vol.XXN,No.1
t
E(expoz(s)dz(s})=0 0
で あ る か ら,
E〔 γω 〕‑y(・)+(1/2)σ ・r1E〔γ(の 〕d・
す な わ ち
dE〔Y(t)〕/dt=(1/2)σ2E〔Y(の 〕, E〔y(0)〕=Y(0)=6ψ σ9(0)=⑳ σO=1, で あ る か ら
E〔Y(t)〕=exp(1/2)び2t(8)
と な る.(6)〜(8)か ら,p](0)とz(t)が 独 立 な ら, E〔pl(r)〕‑E〔pl(0)〕E〔 ・ゆ{〔 ・ 一(1/2)σ2〕t+6z(t)}
‑E〔pl(0)〕{卿 〔m(1/2)σ2〕t}E〔 御 σ9ω 〕
‑E〔pl(0)〕{exp〔 ・ 一(1/2)Q2t)}exp(1/2)6Zt
=E(pl(0))expat .
こ れ は,危 険 資 産 の 価 格 血(t)の 平 均 値 が,危 険 資 産 の 瞬 間 的 期 待 収 益 率 α で 指 数 的 に 成 長 す る こ と を 示 し て い る(第1図 参 照).
危険資産価格 の平均値
E(pl(t))
E〔pユ(0)〕
0 t
時 間
第1図 危 険資 産 価格 の 平 均値 の時 間 経路
個 人 の 所 得 は,2種 類 の 資 産 か ら の 収 益 の み と し,時 点tの 瞬 間 的 消 費 をC(t),富(total wealth)をW(t),富 に 占 め る 危 険 資 産 の 保 有 比(proportionoftotalwealthinvestedinthe
Julyl994板 垣 有 記 輔:不 確 実 性 の 下 で の 最 適 消 費 ・資 産 選 択 問 題:マ ー トン の 問 題5 riskyassetattimet)をw(t)(0≦w(t)≦1)と す れ ば,富 の 増 分(netvalueofadditionstothe totalwealth)dW(t)は,
dW(t}ニw(t)W(の(dpi(t)/pl(t))+(1‑w{t))W(t)(吻(t)/飽 ω)‑C(t)dt
=w(t)W(t)(adt‑f‑6dz(t))+(1‐w(t})W(t)ydt ‐c(t)dt
‑〔{w(t)(・‑r)+・}W{t}‑c(t)〕4叶 ω ωwω σ4・ ω(9)
で あ り,こ の 確 率 微 分 方 程 式 は,不 確 実 性 の 下 で 個 人 が 服 す べ き 連 続 時 間 予 算 動 学 方 程 式 (continuous‑timebudget‑equationdynamicsunderuncertainty)で あ る 。 現 在 時 点0の 富 の 保 有 残 高w(0)は,
W(0)=W°=所 与 圃
と す る.
個 人 は,各 時 点tの 瞬 間 的 消 費C(t)の 瞬 間 的 効 用 鼠 ・ω)を 主 観 的 な 瞬 間 的 効 用 割 引 率 (di・c・unt・ 停 ・)P(t)(〉 ・)で 割 引 い た 割 引 効::(t))exp(一 ￡ ρ(・)d・)の 生 涯 〔・,T〕1こ わ た る 総 和 ∫
。u(・(t))exp← ∬ ρ(・)d・)dtと 死 亡 年 月 日(d・t・ ・fd・ath)T(TはT∈ 〔・,・・)で 一 定 値)の 富 の 保 有 残 高(資 産)W(T)の 効 用 あ る い は 遺 贈 評 価(b
equestvaluation)B(W(T)) の 割 引 効 用B(W(T))exp← ∫1ρ(・)d・)と の 和 の 期 待 値(期 待 生 涯 効 用(・xpect・dlif,tim,
utility)
FO〔∫1彿(・ω)exp(一 露 ρ(・)d・)dt+B(W(T))exp(一 ∫1ρ(・)d・)〕 ⑳
を,条 件(9),(la)に 服 し な が ら 最 大 に す る よ う に 生 涯 の 各 時 点 の 最 適 な 消 費{o零(t) ,tE〔0,T〕}, 資 産 の 最 適 な 組 合 せ{w*(t),1‑w・(t),tE〔0,T〕}を 決 定 す る も の と し よ う .瞬 間 的 効 用 関 数 砥o) は,(狸 級 の 厳 密 に 凹 な 単 調 増 価 関 数(ru(C)>O,u"(C)〈0)で あ り,limo'(C)=・ ・で あ る と し,
び
遺 贈 評 価 関 数B(W)は(‑3級 の 厳 密 に 凹 な 単 調 増 加 関 数(B'(W)>o,g(W)<0)で あ る と す る . ま た(11)のEbは,条 件(10)の 下 で の 条 件 付 期 待 演 算 子(conditionalexpectationoperator)で あ る こ と を 示 す.
富W(∂ を 状 態 変 数(statevariable),消 費 と 危 険 資 産 の 保 有 比 率 の 組(C(t) ,w(t))を 制 御 変 数(controlvariables)と み な せ ば,個 人 の 解 く べ き こ の 最 適 消 費 ・資 産 選 択 問 題 は,1つ
の 確 率 的 最 適 制 御 問 題(stochasticoptimalcontrolproblem)に ほ か な ら ず,ダ レ ル ・ ダ フ ィ ー (DarrellDuffie)は,こ の 問 題 を マ ー ト ン の 問 題(Merton・sprobleln)と 呼 び,現 代 フ ァ イ ナ ン ス 理 論 の 中 核 を な す 連 続 時 間 型 の フ ァ イ ナ ン ス の 考 え 方 を 雄 渾 に 発 展 さ せ た ロ バ ー ト ・C・
マ ー ト ン(RobertC .Merton)の 先 駆 的 論 文(Merton ,R.C.〔27〕 お よ び 〔28〕)に 敬 意 を 表 わ し て い る(Duffie,D.〔8〕 の148〜164ペ ー ジ お よ び 〔7〕 の274〜279ペ ー ジ 参 照) .
第2節 富の派生効用関数
い ま,生 涯 の1期 間D,T〕 に わ た っ て最 適 な消 費 と最 適 な資 産 選 択 が な され た と きの,⑳ に
6季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXIV,No.1 対 応 す る
E小 ・ω)exp(tf
,.A(・)dr)dt+B(W(T))exp(一 ∬ ρ(・)d・)〕
の 最 大 値 を 「現 在 価 値 」 最 適 値 関 数(optimalvaluefunctionasthepresentvalue)あ る い は 富 の 派 生 効 用 関 数(derivedutilityofwealthfunction)1(W(t),t)と 定 義 す る と,
1(w(t),r>≡
{。(MaxEts),w(s}fi{pTto(・(s))exp(一 ∬ ρ(・)d・)ds
T
+B(W(T))exp(一 ∫
。P(・)d・}
‑Max
{c(s),w(s)河 ∵ △̀π(・(S))exp(/'OP(・)d・)ds
+∫ 二
。tu(・(s))exp(一 ∬ ρ(・)d・)ds+TB(W(T))exp(‐ 」oA(・ 剛
一 轟
i1〔Et{pt+t△tu(C(S))exp(一 ∬ ρ(・)d・)ds}
剛 二 。tu(C(s))exp← ∬ ρ(・)dr)ds+B(W(T))exp(‑rTJÌoP(・)d・)}〕
条 件 付 期 待 演 算 子 の性 質(伊 藤 〔19〕の177ペ ー ジ の 定 理3.33参 照)よ り
一Max
{c(s)>w(s)}Tt〔Et{rEJIt+Otu(c(s))exp(一 ∬ ρ(・)d・)ds
+E,E磁1
。tu(・(・))exp(‑s1 P(・)d・)ds+B(W(T))exp(一 ∫1ρ(・)d・)}〕
一
伝(瓢E'〔 ∫:+fitu(c(・))exp(一 ∬ ρ(・)d・)ds
+E畷1
。u(c(s)r)exp(一 鳶 ρ(・)d・)ds+B(W(T)}exp(‑/,.TP(・ 困}〕
(12)
連 続 時 間 確 率 的 動 的 計 画 法 の 最 適 性 の 原 理(Bellmanprincipleofoptimalityofcontinuous‑time stochasticdynamicprogramming)に よ り
‐Max 。β 〔∫1㌦ ・(・))exp←S/,p(・)d・)ds
+Max。 酬 ∬
。tu(C(S))exp(‑s/<.P(・)d・)ds+B(W(T))exp← ∫1ρ(・)d・)}〕
(12)よ り
㍉ 燃 。β 〔r+otu(ct(s))exp(イ ρ(・)d・)ds+/(W(t+ot),t+ot)〕 ・
Julyl994板 垣 有 記 輔:不 確 実 性 の 下 で の 最 適 消 費 ・資 産 選 択 問 題:マ ー トンの 問 題 よ っ て,
㌦ 燃 。β 〔∫1+△tu(・(S))exp(S/0A(・)d・)ds 十1(W(t十 △t),t十 △t)‑1(W(t)t)〕
7
‐Max
(c(t),w(t))Et〔 ∫1+△tu(・(S))△texp← ∬ ρ(・)d・)
十 〇(△t)十1(W(t十 △t),t十 △t)‑1(W(t)t)〕(13)
こ こ に ス モ ー ル オ ー ダ ー(smallorder)o(△t)は,
oti一ｺ。lim 雲L・
を 満 た す 関 数 を 表 わ し,Etは,条 件wfit)=Wt=所 与 の 下 で の 条 件 付 期 待 演 算 子 で あ る .(13)の 両 辺 を △t(>0)で 割 り,△t→0と す る と き の 極 限 を と れ ば,
・‑Max
)〔u(・(s))exp(一 π ρ(・)d・)+(dt)一 ・Etdl(W(t),t}〕(141 な る ハ ミ ル ト ン ・ ヤ コ ビ ・ ベ ル マ ン 方 程 式(Hamilton‑Jacob‑Bellmandynamicprogramming
equation)を 得 る.こ こ に,
(4の 一IE〃(W(t)t)
=(dt)門 一1.E,〔ltdt十IWdW(t)十(1/2)IWW(dW(t))2〕
(9),(dt)2===dtdz(t)=0,(dz(t))2=dtよ り,
=(dt}一IEt〔ltdt+lw{〔(w(t)(・r)+r)W(t)一,ω 〕dt
+w(t)W(t)Qdz(∂}+(1/2)2jwww(t)W2(t)・2dt
=ノ ≠十 .婦{〔w(t)(α 一y)十r)W(t)‑C(t)}十(1/2)IWWσ2ω β(t)W2(')(15) a21ar̲ar
で あ る
.な おIt=・ ∂ ガIw=∂W,IWW=
∂w2で あ る.(12)か ら 富 の 派 生 効 用 関 数1(W(t),t) の 満 た す べ き 境 界 条 件(boundarycondition)
1(W{T)・T)‑B(w(T))exp(一 ∫1ρ(・)d・)(1⑤
を 得 る.
第3節 最適消費 と資産の最適な組合せ
最 適 な 消 費o*ω(>0)と 危 険 資 産 の 最 適 な 保 有 比 ザ(t)(∈(0,1))の 満 た す べ き 一 階 の 条 件 (fristorderconditionsforainteriormaximum)は,(14,(15)か ら,
u(C(t))exp(一 ∬ ρ(・ld・)‑lw‑・ ㈲
(・ 一 ・)W(t)lw+IWWW(t)wz(t)σ2‑o⑱
8季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXIV,No.1 で あ り,二 階 の 条 件(second‑orderconditionsforainteriormaximum)は,
〆((t))exp(‑tl.
.P(・)d・)〈 ・(19)
IWWW「(t)W=2ω62<0⑫ ◎
で あ る.⑲ は,瞬 間 的 効 用 関 数 に つ い て の 仮 定u"(C)<0よ り満 た さ れ,⑳ は,Iww<0な ら 満 た さ れ る.そ こ で 珈w〈0な る こ と を 示 し て お く.
時 点tの 富 の 保 有 高 がw1ω で あ る 場 合 の 最 適 消 費 と危 険 資 産 の 最 適 な 保 有 比 の 時 間 径 路 を {01(S),1w(S),S∈ 〔t,T〕},W2(t)で あ る 場 合 の そ れ を,{02(S),w(S),s∈ 〔t,T〕で あ る と す る.
予 算 制 約 式 は 消 費Cと 危 険 資 産 の 保 有 比wに つ い て 線 形,富 の 保 有 高Wに つ い て 凸 で あ る か ら,時 点tの 富 の 保 有 高WB(t)=θW1(t)+(1θ)W2(t),θ ∈(0,1)を 持 つ 個 人 のt時 点 以 降 の 各 時 点8(∈(t,T))の 消 費 をBC(S),危 険 資 産 の 保 有 比 をBw(S),富 の 保 有 残 高 をWB(S)
とす る と き,
BC(S)≧ θ1C(S)十(1一 θ)2C(S) w(S)=θ1w(S)十(1一B θ)rノ(s) Wg(S)=θ 「レγ1(S)十(1一 θ)「阿!2(S)
を 満 た す よ う に す る こ と は 実 行 可 能(feasible)で あ る.よ っ て,任 意 の θ ∈(0,1)に 対 して,
1(W・(t),t)≧E小 ・・(S))exp← ￡ ρ(・)d・)ds
+B(W・(T})exp(/
0p(・)d・)〕
≧Et〔 ∫1π(Bcl(・)+(・ 一 θ)2C(s))exp一 露 ρ(・)d・)ds
+B(8Wl+(・ 一 θ)W・{T))exp(‑/'
OP(・)d・)〕
>Et〔/'
0{Bu(・1(S))+(i)u(2C(S))}exp(‑s/<.P(・)d・)ds
+{θB(W・(の)+(1‑B)B(W・(T))}exp(‑」'
OP(・)d・)
一 θ 小(C・(S))exp← 露 ρ(・)d・)ds+B(W・(T))exp(‑/'
OP(・)d・)〕
+(1一 θ)Et〔 ∫1働(2C(s)exp(一 露 ρ(・)d・)ds+B(W・ ω)exp(/'
OP(・)d・)〕
=θ1(W1(t) ,t)十(1一 θ)1(W2(t),t),
が 成 立 し,富 の 派 生 効 用 関 数1(w(t)t)は 富w(t)に 関 し て 厳 密 に 凹 関 数 で あ る こ と が 分 っ た.
よ っ て, Iww〈0⑳
July1994板 垣 有 記 輔:不 確 実 性 の 下 で の最 適 消 費 ・資 産 選 択 問 題:マ ー トン の問 題 が 確 か に 成 り立 つ.
吻 両 辺 にexp(∬ ρ(・)d・)を 拠 ナる と,
姻)/∂ ・ω 一 ㍉(縣wE小 ・(s)exp(一 ∫1ρ(・)d・)ds
+B醐)exp(一 ∫1ρ(・)d・)}〕/∂W(t) (17)'
9
と な る.こ のOの'は,最 適 消 費 に 関 す る 包 絡 線 条 件(envelopcondition)と 呼 ば れ て い る (Samuelson,P.A.〔36〕 の242ペ ー ジ の(13)参照).こ の 条 件 は,時 点tの 最 適 消 費 ♂(t)に お い て は, 時 点tの 消 費 の 限 界 効 用 が 時 点tの 富 の 限 界 派 生 効 用 あ る い は,将 来 消 費 と遺 産 と の 時 点'現 在 の 割 引 期 待 限 界 効 用(discountedexpectedmarginalutilityoffutureconsumtionandbequest)
に 等 しい と い う こ と を 表 わ し て い る.
最 適 消 費6*ω は,包 絡 線 条 件(17)また は ⑳'よ り,
♂ ω 一(u・)一 ・(lyVexp(∬ ρ(・)d・))(22}
と し て 求 め ら れ る.こ こ に(1u)一].はu'の 逆 関 数 で あ る こ と を 示 す.㈲,⑳,u"(C)〈0よ り
∂ ♂/∂W‑IWwexp(∬ ρ(・)d・)〃 ￠)〉 ・
と な り,最 適 消 費 は 富 の 増 加 関 数 で あ る.
危 険 資 産 の 最 適 な 保 有 比w(t)は,(18)よ り (α 一 のIww(t)
̲一
σ2Wlww
一
σ1差(‑y)W(t))㈱
と し て 求 ま る.こ こ にR(W)は W(̀)IWWR(W(
t))=一(>0)図I W
と 定 義 さ れ た 富 の 派 生 効 用 関 数 に 対 す る ア ロ ー ニ プ ラ ッ トの 相 対 的 危 険 回 避 度(Arrow‑Pratt measu「eofrelativeriskaversionforderivedutilityofwealthfunction)で あ る.￠ ⇒よ り,危 険 資 産 の 最 適 な 保 有 比w'(t)は,危 険 資 産 の 収 益 率 の 瞬 間 的 分 散 に 対 す る 危 険 資 産 の(安 全 資 産 の 収 益 率 以 上 の)期 待 超 過 収 益 率 の 比(α 一 の/σ2に 比 例 し,富 の 派 生 効 用 関 数 に 対 す る ア ロ ー ニ プ ラ ッ トの 相 対 的 危 険 回 避 度R(W)に 反 比 例 す る .
第4節 富の限界派生効用
ハ ミ ル ト ン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン の 方 程 式 画 をwで 偏 微 分 す れ ば, 0‑ltW+ノ 脚{〔w(t}(α 一 γ)+r〕W(t)一 。(t)}
Io季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXIV,No.1 +jW〔w(t)(α 一 の+幻+(1/2)lwwwσ2ガ ωW2ω
+lww62(t)W(t)㈲
∂zl∂3ノ と な る
.こ こ に ∫卿=3で∂t∂Waw ,IWWW= あ る.畑(W,t)の 確 率 微 分 を 求 め れ ば, dlw=lwtdt+1ww脚+(1/2)IWWW(dW)2
(9),(dt)2=dtdz=0,(dz)2ニdtで あ る か ら,
=lwrddt十 ∬WW〔((w(t)(a一 の 十7〕W(∂‑C(r))dt
+w(t)W(t)6dz(t)〕+(1/2)珈ww♂ ωW2ω σ24'
=〔IWt+lww(〔w(t)(・ 一 の+y)W(t)一 ・ω)+(1/2)恥ww♂(t)WZ(∂ σ2〕dt 十lwww(t)W(t)σ49ω
㈲ か ら
一 一(∫w〔w(t)(・‑r}+幻+IWW62(t)W(t))dt+砺wω ω 顧 ∂ σ42ω
(23)か ら
=一(lw〔 ω(∂(α 一 の+r)‑lyVyV62wW(α 一 のlw/σ21Www)dt
‑〔lwwW(t)σ(・‑y)lw/6ZWI
WW〕dz(∂
=一 廊4彦+〔(a‐y)/σ 〕lyvdz(t)(26)
と な る.㈲ の 解 珈(w(t),t)に 対 し てlogIW(W(t),t)な る 確 率 過 程 を 考 え,そ の 確 率 微 分 を 求 め れ ば,
dl・glw(W(t),t)一(dl・glw(W(r),t)/dlW)dlu,+(1/2)(d21・glw/dlW)(dlN,)2
=(1/lw)←rlyVdt+〔(・ 一 の/U〕lyVdz(t)+(‑1/2躍)〔(・‑y}/σ 〕21Wdt
=一(・+(1/2)〔(・‑y)/σ 〕2)dt+〔(・‑r)/σ 〕dz{t) こ れ を0か ら ほ で 積 分 す れ ば,
log(lyy(W(t},t)/lu,(W(0},4)
一 一(Y+(1/2)〔(・ 一 の/σ 〕2)t+〔(・‑Y)/σ 〕〔z(t)‑z(0)〕 . よ っ て,富 の 限 界 派 生 効 用Iw(w(t)>t),
IW(w(t),t)‑jW(W(0),0)・ ・ク{一(・+(1/2)〔(・ 一一r)/σ2〕)t +〔(α 一 の/σ 〕〔z(t)‑z(0)〕}
は,対 数 平 均Et〔logIyy(w(r),t)〕,
E〔lo9∫w(W(t),t)〕 ニ1091W(「w(0),0)一(y十(1/2)〔(α 一y}/σ 〕2)ち 対 数 分 散V〔IOgIyV(W(t),t),
V〔1・glW(vv(t>,t)〕 一 〔(・ 一 の/σ 〕2t を も つ,対 数 正 規 分 布 に 従 う.
い ま,
X(t)=exp〔(α 一 の/σ 〕z(t) と お け ば
dX(t)‑dx(t)d
z(t)dz(t)+(1/2)鶴(dz(t))・
￠の
Julyl994板 垣 有 記 輔:不 確 実 性 の 下 で の 最 適 消 費 ・資 産 選 択 問 題:マ ー トン の 問 題
=((a‐r)/Q)exp((a‐r)/6)z(t)dz(t)
+〔(・ 一 の/σ 〕2exp〔(α 一 の/・ 〕・ω4渉
xz
ま た は,
x(t)‑x(・)+〔(一 の/σ 〕t
Oexp〔(・ 一 の/σ 〕2(s)dz(s)
+(1/2)〔(・ 一 の/σ 小 〔(α 一 の/σ 〕z(・)ds.
よ っ て
E〔x(t)〕‑X(・)+(1/2)〔(α 一 の/6〕 ・∬E〔X(s)〕ds
す な わ ち
dE〔x(t)〕/dt=(1/2)〔(α 一 の/σ 〕2E〔x(t)〕, E〔X(0)〕=X(0)=exp〔(α 一 の/σ 〕z(0)一 θ頑)=1, で あ る か ら,
E〔x(t)〕‑exp(1/2)〔(α 一 の/σ 〕2t㈲
と な る.吻 〜 ㈲ か ら,Iw(W(0),0)とz(t)が 独 立 な ら
E〔IW(w(t),t)〕‑E〔lw(W(0),0)〕exp〔 一(r+(1/2)〔(・‑r)/σ2〕t)
・E(exp〔(・ 一 の/σ 〕z(t))
=E〔 恥(W(0) ,0)〕exp(‐(r+(1/2)〔(・‑r)/σ2〕)t)・6・ ヵ(1/2)〔(・‑y)/σ 〕2t
=E(lyy(W(0) ,0))exp(一 一一一y)t.
こ れ は,富 の 限 界 派 生 効 用Iw(W(t),t)の 平 均 値 が,安 全 資 産 の 収 益 率rで 指 数 的 に 減 少 し て い く こ と を 示 し て い る(第2図 参 照)
富 の派生 限界 効用 の平均 値
E(IW(W(0),0))
E〔1w(wω,t>〕
0 t 時 間
第2図 富 の派 生 限界 効 用 の平 均 値 の 時間 経 路
12 季刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XXN,No.1
第5節 相対的危険回避一定
富 の 派 生 効 用 関 数1(W(t),t)の 満 た す べ き,ハ ミ ル ト ン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン 方 程 式(15)は,境 界 条 件(16)を も つ 非 線 形 偏 微 分 方 程 式(nonlinearpartialdifferentialequation)で あ り,一 般 に こ れ を 解 い て 富 の 派 生 効 用 関 数 を 明 示 的 な 関 数 型(解 析 的 解)と して 得 る こ と は む ず か しい .
も し,こ の 偏 微 分 方 程 式 を 解 く こ と が で き れ ば,吻 か ら 最 適 消 費 ♂ ω を,㈱ か ら 危 険 資 産 の 最 適 保 有 比w(t)を 決 定 す る こ とが で き る.
そ こ で,瞬 間 的 効 用 関 数 と 遺 贈 評 価 関 数 を 限 界 効 用 弾 力 性 一 定(isoelasticmarginalutility) あ る い は 相 対 危 険 回 避 一 定(constantrelativeriskaversion)に な る も の に 限 定 し て,ハ ミ ル
ト ン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン 方 程 式 を 明 示 的 に 解 き,最 適 消 費 と危 険 資 産 の 最 適 保 有 比 を 決 定 す る こ と に す る,い ま,
限 界 効 用 の 消 費 弾 力 性
=‐dlogu(c)/dlogc
・=‑u'(C)C/u(C)
(=消 費 の 効 用 関 数 に対 す る ア ロ ー=プ ラ ッ トの 相 対 的 危 険 回 避 度)
=1一 γ ≡…δ:正 か つ 一 定(30) と す る.(30)よ り
髪8+1‐Yc・ ・
lagu(C)+logcl一 γ=q:任 意 定 数 1・gu'(C)1‑YC‑0、
u(C)1‑YC=expCl≡C2:任 意 定 数 u'(C)一(老/ci‐y
よ っ て
C2〔C'一(1‑y)/1‑(1一 γ)〕+C3(δ 一1一 γ ≠1の 場 合) u(C)=
CZlogc十C4(δ=1一 γ ≠1の 場 合)
C2〔cy/γ)十C3(1>γ ≠0の 場 合)
C210gc十C4(γ=0の 場 合)
と な る.但 し03,Cqは 任 意 定 数 い ま1>γ ≠0で,u(1)=1/γ,u(1)=1と す れ ば,C2=1, C3=0と な る の で,
u(C)=yC/γ(1>γ ≠0)(3ユ) と な る.全 く 同 様 に
July1994板 垣 有 記 輔:不 確 実性 の 下 で の最 適 消 費 ・資 産 選 択 問題:マ ー トンの 問 題 ・3 限 界 遺 贈 評 価 の 富 弾 力 性(=遺 贈 評 価 に 対 す る ア ロ ー=プ ラ ッ トの 相 対 的 危 険 回 避 度)
=‐dlogB'(W)/dlogW
=1一 γ'(32)
と す れ ば(す な わ ち 金 融 リ ス ク に 対 す る 態 度 が 富 の 大 き さ か ら 独 立 で あ れ ば)
D1(Wy/γ)十DZ(1>γ ≠0の 場 合)
B(w)=
DllogW+D3(γ=0の 場 合)
と な る.但 し,恥,瑳,塊 は 任 意 定 数 い ま1>γ ≠0で,B(1)=E1一 γ(1/γ),F(1)=
ε1一 γ,∈:非 負 な る 定 数 ,と す れ ば,D1=E1‑Y,D2=0と な る の で B(w)一 ・1一γ(Wy/γ)(1>γ ≠0)(33)
と な る.
(30)一一一(33)が成 り立 ち,1>γ ≠0で あ る と し よ う.ま た 簡 単 化 の た め に 瞬 間 的 効 用 割 引 率N(t)
=p:一 定,と す る.こ の と き,(切 と(31)から
w,ユ
6零ω=(Iept)yW=1.図
(31)と 図 か ら,
y
u(・*ω)一(lep̀)W・‑1/γ 、(35)
ハ ミ ル ト ン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン 方 程 式 働,最 適 消 費 図 ,最 適 消 費 の 瞬 間 的 効 用(35),危 険 資 産 の 最 適 保 有 比(23)よ り,
y
・ 一(玩 ρ;'「 τ・ρ'+み+珈 〔‑
Qa、‑Y)rwWlww〕(・ 一 ・)W
+IWrW‑rw(IWP'°t)w・1‑1+11WW6・ 〔{a‑r)lw
6ZWIww〕2W・(t)
‑1‑Y
YIw・YP‑1gY‑it+lt+珊 一1(完 響 岡
を 得 る.境 界 条 件 は,(1⑤ と(33)よ り, r(W(T),T)=∈1一 γ(W(T)γ/γ)e‑PT(371
と な る.結 局,(30)一 一一(33)が成 り 立 ち,1>γ ≠0で あ る 場 合 に は,連 立 方 程 式 体 系(36),㈲,図 お よ び(23)を 満 た す 解 ∫(W(t),t)を 求 め る こ と に な る.
㈱ か ら 推 測 し て,こ の 連 立 方 程 式 体 系 の 解(guessedsolution)はs b(t)
W{t)re‑pr(38)1(W(t),̀)=
y
の 形 を し て い る と 予 想 で き る.(38)よ り IW(W(t)t)‑b(t)W(C)γ 一1θ一Pt,(39)
Iww(W(t),t)=(γ 一1)b(t)「 レγ(t)γ 一2‑ePt,a◎
14季 刊 創 価 経 済 論 集Vo1.XXIV,No,l
It(w(t),t)‑bfit)W(t)・e‑Pt‑yb(t)W(t)・e‑pt(41)
と な る.(36)に ㈲ 〜 ㈹ を 代 入 し て,(38が 連 立 方 程 式(36},㈱ の 解 で あ る た め に 必 要 なb(t)の 満 た す べ き 条 件(微 分 方 程 式)を 求 め る.
・ 一'yy(麟(t)・‑1ビ ・う ・≡1・γ生1・ ÷W(t)・ ・…
‑p
Yb(t)W(t)・e‑Pc+rWb(t)W(t)・ 一 ・・‑Pt
1(・ 一 の2(b(めWω γ 一1・一 ρ う2 2σ2(γ 一1)b(t)「w(t)γ2e‑Pt
‑1‐Y
yb(面 ・e‑pt+bw(t)y・e‑Pt
P
Yb(Owω γゼ ρ'+rb(凌)w(∂ い
1(α 一 γ}Zb(t)
‑
262(y̲1}W(t}・ ・一 ・t 両 辺 にYW‑YPteを 掛 け れ ば,
・ 一(1‑y)b(の ・当・+b(t)‐Pb(t)+γ 狛(t)+1(a‑‑r)ZY2
QZ{1‑Y)わ ω
と な り y
b(t)==μb(t)十(γ 一1)b(f)1一 γ(42)
な る ベ ル ヌ ー イ 型 の1階 微 分 方 程 式(first‑orderdifferentialequationoftheBernoullitype)を
得 る.但 し,こ こ に
Ca‑y)2
で あ る.㈱,(38}よ り
b(T)=E1‑Y㈲
を,(42)の 解b(t)は 満 た さ な け れ ば な ら な い.
{42)の 解 は,
b(t)一 … 〔tC‐e‑1‑ydt)・ 一 ・
が
e・at〔 ・+1‐Y
ue‑1‑Yt〕 ・一 ・ 一 …(c+1ゼ ・り ・一 ・(45) で あ る.但 し,こ こ に
July1994板 垣 有 記 輔:不 確 実 性 の 下 で の 最 適 消 費 ・資 産 選 択 問 題:マ ー トンの 問 題15 v= μ
1̲γ(46)
で あ る.Cは 任 意 定 数 で あ り,㈹ に 適 合 す る よ う に 定 め な け れ ば な ら な い.㈹,(45)か ら
v
・‑eyT(c+÷ ビ ・T) ,
c‑(E‑÷)e‑vT㈲
よ っ て,(45),㈲ か ら,結 局
b(t)一 ・・'〔(・ 一 ÷)‑vTe+÷ ・‑vt/・ 一 ・
一 〔・μ ・(vE
U一 ユe‑・ ・+÷‑vte〕 ・一 ・
1十(vE‑1)expv(トT) 〕1一 γ ⑱C
v
こ こ で,任 意 のtE〔0,T)に 対 し て,
1十(v∈‑1)expv(t‑T)>0㈲
v
と 仮 定 す る.
(30)一一一(33},1>γ ≠0,Pfit)ニP:一 定 お よ び(49)の 仮 定 の も と で,最 適 消 費6串 ω は,鋤,(39), fig)よ り,
ユ
・*(∂=わ ω γ一IW(の
ニ ソ
1+(vE‑1)exp〔v(t‑T)〕W(t){5fl)
で あ り,危 険 資 産 の 最 適 保 有 比 ωホω は,㈲,(39),㈹ よ り,
(1)≡ ガ(〉 ・):一 定(51)
で あ る.㈱ か ら 明 ら か な よ う に,危 険 資 産 の 最 適 保 有 比 は,時 間 を 通 じ て 一 定 で 富,消 費 お よ び 効 用 割 引 率Aか ら独 立 で,危 険 資 産 の(安 全 資 産 の 収 益 率y以 上 の)期 待 超 過 収 益 率 の,危 険 資 産 の 収 益 率 の 瞬 間 的 分 散 に 対 す る 比 率(α 一 の/σ2に 比 例 し,富 の 派 生 効 用 関 数 に 対 す る ア ロ ー=プ ラ ッ トの 相 対 的 危 険 回 避 度1一 γ に 反 比 例 す る(Samuelson,P.A.〔36〕,244ペ ー ジ の 定 理 参 照).
z6 季刊 創 価 経 済 論 集 Vol.XXN,No.1
第6節 富からの瞬間的平均消費性向の時間的推移
時 点tの 富 か ら の 瞬 間 的 平 均 消 費 性 向(instantaneousaveragepropensitytoconsumeoutof wealth)(Phelps,E.S.〔33〕 の737ペ ー ジ の(三)参 照)V(t)は,(5a)か ら
V(t)=oホ ω/w(t) ニ
v
1+(、 ・̲1)exp〔 、(t̲T)〕(52}
で あ り,こ れ は,㈲ よ り全 生 涯 に わ た っ て 正 の 値 を と る.(52)よ り
V(ゆ(EC1>
v),(53)
V(t)一 一(vE‑1)V・(t)exp〔 ・(t‑T)〕 ≡ ・(E÷)㈹
で あ る.鋤,(53),岡 よ り,次 世 代 に 残 し て や る 遺 産 に つ い て の 自 分 の 選 択 度(遺 産 動 機be‑
qUeStm・ti・・)が 小 さ い(・<÷)と き は,齢 ら磯 間 的 平 均 瀕 性 向V(t)は,全 生 涯 に わ た っ て,淀 値 ・よ り大 き く詩 間 と と もに増 加 し選 好 度 ・が÷ に 等 しい と き1よv(t) は錐 涯 に わ た っ て 一 定 値vに 等 し く,翻 度 が 大 きい(・ 〉})と き は,V(t)は 淀 値 ・
よ り小 さ く時 問 と と も に減 少 す る.(52)よ り,
dV{t)
dE「1+(‑vexp(v(t‐T)ve‐1)exp(v(t‐T)〕}・<o.(55)
(55)より,生 涯 の 任 意 の 時 点tで,次 世 代 に 残 し て や る 遺 産 に つ い て の 自分 の 選 好 度 が 小 さ け れ ば 小 さ い ほ ど,富 か ら の 瞬 間 的 平 均 消 費 性 向 は 大 き い 。 と くに ∈=0の と き は,(52)か ら
limレ ω
卜 丁皿
・・
1・ 一 ・
(56)
(56)より,次 世 代 は 自力 で や っ て い け る と 現 世 代 が 確 信 し,次 世 代 に 全 く遺 産 を 残 す 必 強 は な い (W(T)=0)と 思 い,遺 産 に つ い て の 自 分 の 選 好 度Eが 零 の と き は,死 亡 直 前(T)に 全 資 産 を取 り崩 し消 費 し つ く す た め,富 か ら の 瞬 間 的 平 均 消 費 性 向 レ(∂ は 無 限 大 に な る.
(52)一一一(56)に基 づ い て,富 か ら の 瞬 間 的 平 均 消 費 性 向 の 時 間 的 推 移 を 図 示 す れ ば,第3図 の よ う に な る(マ ー ト ン 〔27〕 の107ペ ー ジ の4.1図 を 参 照).
前 述 の よ う に,そ し て 第3図 で 示 し た よ う に,∈=0の 場 合 に は,富 か ら の 瞬 間 的 平 均 消 費 性 向V(t)は,年 を 取 る に つ れ て 大 き く な り,死 亡 直 前 に 無 限 大 と な る.そ こ で,時 点0の 富 か ら の 瞬 間 的 平 均 消 費 性 向V(0)がn倍 に な る に 要 す る 時 間 の 長 さ τ を 求 め て お く.(52),ε=
0と
V(T)=nV{0)
July1994 と か ら,
板 垣 有 記 輔:不 確 実 性 の 下 で の 最 適 消 費 ・資 産 選 択 問 題:マ ー トン の問 題
りnソ
1‐expo(v(r‐T))1‐exp(‐vT)'
exp(vT)̲(1‑n)exp(yT)+n,
1・9〔(1‑÷)卿(・ の+÷ 〕 レ,
17
r一
と し て 求 ま る.
か らの 瞬 間 的
均 消 費 性 向 ∈=0
A
1
OCE<一 一1一レ
一
り 》
E=一 1
り
1
∈ 〉‑L
l レ
OT 時 間t
第3図 富 か らの 瞬 間 的平 均 消費 性 向 の 時間 的推 移
第7節 ハ ン プ ・セ イ ビ ン グ
最 適 消 費o串 ω と危 険 資 産 の 最 適 保 有 比w・(r)が 実 行 さ れ る と き の 最 適 な 富w*(r)の 平 均 値 の 時 間 的 推 移 に つ い て 考 察 し よ う.(9),(50),(51}よ り
4岡 一{憂 縞+・‑1+(
、 ∈‑1)vexp〔、圃}噸 a ゲ
+ ・ ・(ユ̲y)QW*(t)dz{t)
と な る.こ の 同 次 線 形 確 率 微 分 方 程 式(homogeneouslinearstochasticdifferentialequation) を 解 く(Gard,T.C〔13〕 の113ペ ー ジ の(1,11)と(1.12)を 参 照)と
18季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XX】V,No.1
w#(t)‑W(・)・ ψ{儲 詳)+r‑一 一、+(、̲1)v
exp〔v(s‐T}〕
一 去 暢 諾 σ)・〕ds+儲 ≡y
Y)6dz(s)
‑W(・)exp{〔 搾¥)+月 孟一r
O1+(vE‑1)vexp〔 、(S‑T)〕4・}
・exp‑1
2〔 σ・1、≡ γγ)σ 〕2'・ ・ψ 〔6・(1≡ γγ)σ ・(t)〕 ㈱
で あ る.他 方
a‐r
Qz(t}〕d吻〔 6201‑y)
一 σ・(1≡ry)6exp〔 。・(1≡rY>σ 小
+÷ 〔σ,1、≡rY)σ 〕2exp〔σ(・1言⇒チd小
で あ る か ら,
exp〔 σ ・1、≡rY)σ ・(t)〕‑1+σ ・(1≡rY)σ 露 帥 〔 σ ・(1≡Y)6z(・)〕dz(・)
+12〔 σ ・{1≡yY)Q〕t2expO〔6・1、 ≡rY)σ ・(S)〕ds
となり
E〔exp〔
σ ・a(1≡yY)σ ・(t)〕‑1+12〔 σ ・(1≡rY)Q〕2∬E・ ゆ 〔 σ ・1、rY)6z(・)ds
と な る.よ っ て
dE(exp(‐Q・(1≡rY)6z(t)〕/1dt=2〔 σ・(1三rY)σ 〕ZE;exp〔Q・(1三rY)σ ・(t)〕
であるから
E」exp〔
U・(1≡yY)σ ・ω 一 ・蝪 〔 σ ・(1≡rY)Q〕2t(58)
と な る.㈲ と(58)から,最 適 な 富 の 平 均 値E〔W(t}〕 は,
E圓 〕‑W(・)exp〔 。〜害)+/ftr/t‑
」0{1+(レ ε 一 、)vexp〔、(s‑T}〕ds(59)
で あ る.(59)の両 辺 に対 数 を とれ ば,
1・gE〔vv'(t)〕‑1・gW(・)+〔
σ〜1詳)+r〕 卜 ∬{1+(vvE‐1)exp〔v(棚4・
July1994板 垣 有 記 輔:不 確 実 性 の 下 で の 最 適 消 費 ・資 産 選 択 問 題:マ ー ト ン の 問 題Ig と な り,こ の 両 辺 を 時 間tで 微 分 す れ ば,{52)よ り
1dE〔w*{t)〕(α 一r)2v
E〔W*{t)〕dt=σ ・(1‑Y)+r‑1+(vE‑1)exp〔 、(t‑T)〕 ㈹
と な る.最 適 複 合 ポ ー ト フ ォ リ オ の 瞬 間 的 期 待 収 益 率(instantaneousexpectedrateofreturn ontheoptimalcompositeportfolio)α.は,
α・≡E〔 げ 芸118+(1‑w*)雛 〕
(1),(2)か ら
÷ 〔w'(・dt+6dz(t))+(1一 ガ)綱
=w*a+(1‑w*)γ (51)か ら
(α 一 の2(α 一r)2=
σ ・(1‑Y)+r=σ ・δ+r(&1)
で あ る.(52),(5s),㈹ か ら,最 適 な 富 の 平 均 値 は,
E〔岡 〕‑W(・)・幽 一￡レ(・)剣 綱
と な り,(52},㈹,㈹ か ら,最 適 な 富 の 平 均 値 の 成 長 率(expectedrateofgrowthofoptimalwealth) は,
1dE(W*(t))
=α.‑V{t)(63) E〔wホ(の 〕dt
と な る.(63)の 両 辺 を 時 間tで 微 分 す れ ば,岡 か ら
詣1(の 〕dE〔w*(t)dt〕}一 一V(∂
一(v∈‑1)V2(t)exp〔v(t‑T)〕 妻 ・(・ 妻 ÷)團
で あ る.
い ま,次 世 代 に 全 く遺 産 を 残 す 気 は な く,遺 産 に つ い て の 選 好 度 εが 零 で あ る と し よ う .さ ら に,時 点0で の 富 か ら の 瞬 間 的 平 均 消 費 性 向V(0)が 最 適 複 合 ポ ー ト フ ォ リ オ の 瞬 間 的 期 待 収 益 率 α.よ り小 さ く,時 点0の 富w(0)を 収 益 率a*の 最 適 複 合 ポ ー ト フ ォ リ オ で 運 用 し た と
き の 資 産 か ら の 所 得a*W(0)が 最 適 消 費C*(0)よ り大 き い と し よ う.こ の と き,時 点0の 最 適 な 1dE(W(0))
富 の 平 均 値 の 成 長 率 は
,正 で あ る が,E●1と 仮 定 し て い る の で 團 よE(Ẁ(p))dt り最 適 な 富 の 平 均 値 の 成 長 率 は,時 間 と と も に 減 少 し,時 点 匠で0と な り 『以 降 は 負 と な る で
あ ろ う.こ のtは,(52},(63)か ら aニ率1 v
‑e:ゆ 〔 レ('‑T)〕'
20
exp(v(t‑T))̲ α 寧 一 ン
α ホ,
季刊 創 価 経 済 論 集
α ホ ー ソ
a'
Vol.XXN,No.1
v(t‐T)=log
}‑T+÷1・9(a.‐v
α ‡)㈹
と し て 求 め る こ と が で き る.か く し て,次 世 代 に 全 く 遺 産 を 残 さ な い(∈‑0の)場 合,個 人 は 生 涯 の 若 い 時 期 〔0,∂ に は,消 費 を 期 待 所 得 よ り 低 く お さ え て 正 の 貯 蓄 に 励 み 資 産 を 蓄 積 し て 晩 年 に 備 え,老 年 期Cr,T〕 に は,消 費 を 期 待 所 得 よ り 大 き く し て 負 の 貯 蓄 を 行 い 資 産 を 取
り 崩 し て 生 涯 を 終 え る.こ の よ う な 貯 蓄 の パ タ ー ン をR.F.ハ ロ ッ ド に 倣 っ て ハ ン プ ・セ イ ビ ン グ(humpsaving)と い う(Graaff,J.De.V.〔14〕,Modigliani,EandR.Bromberg〔32〕,
Phelps,E.S.〔1962〕 の730,735ペ ー ジ,Samuelson,P。A.〔36〕 の244ペ ー ジ 参 照).
第8節 無限の時間視野
個 人 の 時 間 視 野(計 画 期 間)の 長 さTが 無 限 大 で あ る 場 合 の,最 適 消 費 と最 適 ポ ー トフ ォ リオ の もつ性 質 に つ い て分 析 す る.こ の場 合 の 「現 在 価 値 」 最 適 値 関 数 ア(W(t),t)を,
1(wω ・δ 「
。(MaxEts),w(s)f{∫駒(C(・)}exp(一 露 ρ(・)dT}ds と定 義 す る と ハ ミ ル ト ン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン方 程 式 は,
・‑Max
(c(t),w(t))幽)exp(‑ptOP(・)d・)+lt+毎{〔w(t)(・ 一 祠w(t)‑C(t)}
→一(1/2)IWW・Q2r♂(t)「WZ(t)〕
で あ り,境 界 条 件 は, limE(1(W(t),t))=0
..
で あ る.
㈲
㈹
(ss)
いま,「現在価値」最適値関蜘 禰,膨 娩(・)d・)を 掛けたもの を,「繍
価 値 」 最 適 値 関 数(optimalvaluefunctionasthecurrentvalue)あ る い は 「経 常 価 値 」 で 表 わ し た 富 の 派 生 効 用 関 数 ノ(W(t))と 定 義 す れ ば,
ノ(w{r))‑j(W(t),tt)exp(fAO(・)d・)
一
胎撫 頭 綱)exp(一 ∫1ρ(・)dT')ds. (7a)
㈹か ら
1(W(∂,の 一 ノ(W(∂)exp←t/
oP(・)d・) (71)
Julyl994板 垣 有 記輔:不 確 実 性 の 下 で の 最 適 消 費 ・資 産 選 択 問 題:マ ー トンの 問 題
㌃(W(t),t)‑」W(W(t)}exp(‑tf P(・)d・)
Iww(W(t),t)‑IWW(W(t))exp←pt
OP(・)d・)
It(wit),∂‑P(t)ノ(W(t))exp(一 ∬ ρ(・)d・)
21
(72}
(73}
(74}
で あ る.(ss),⑳ 〜 ㈲ か ら,「 経 常 価 値 」 で 表 わ し た ハ ミ ル トン ・ヤ コ ビ ・ベ ル マ ン 方 程 式 は, P(t)J(W(t))= ̲Max 〔u(C(t))+JW{〔w(t)(・ 一 γ)+のwω 一 ・ω}
(c(t),w(t))
+(1/2脈wσ2♂ ωW2ω 〕
と な り,(s9)と(71)か ら,「 経 常 価 値 」 で 表 わ し た 境 界 条 件 は,
鍛E〔 ノ(w(t))exp(‑ttop(・)d・)〕 一 ・
と な る.こ の ㈹ を 横 断 性 条 件(transversalitycondition)と 呼 ぶ.
最 適 な 消 費 薦 ω と 危 険 資 産 の 最 適 な 保 有 比 痴 ω が 満 た す べ き 条 件 は,(75)か ら, u'(C(の)‑lw=0
(α 一r)w(t)Jw+Twww(t)W2(t)σ2=0 で あ る.最 適 消 費6蕊(t)は,㈲ よ り
Coo(t)=(u}‑1(1w)
危 険 資 産 の 最 適 な 保 有 比 ω&(t)は,{7s)よ り (a‐r)TW
憾 ω =一
σ2w(のJww
a‐r σ2R(W(t))
で あ る.こ こ にR(w(t))は,
R(wCt))一̲w(t)Jwvv
(75}
(7s}
噛りdqわ︾の︾
(79)
(so)
(sl) と定 義 さ れ た 「経 常 価 値 」 で 表 わ した 富 の 派 生 効 用 関 数 ∫(W(t))に 対 す る ア ロ ー=プ ラ ッ トの 相 対 的 危 険 回 避 度 で あ る.
い ま,瞬 間 的 限界 効 用 の弾 力 性 が 一・定 で,瞬 間 的効 用 関数 が(31)であ り,瞬 間的効用 割 引率p(t)
=ρ:一 定 で あ る と仮 定 す る.⑳ と㈲ か ら,最 適 な消費 畿 ω は,
ユ
・蕊 ω=舟 γ一1(82)
で,瞬 間 的 効 用u(畿(t))は u(o蕊(t))=JW・‑1/γ.(83)ユ
22季 刊 創 価 経 済 論 集Vol.XXIV,No.1 (go),($2),(83)か ら,(75)は,
ρノ(W(t))‑1ylw・11+JW{〔 一 詣 ぎ焉(・r)+y)W(t}
一嗣+訴Wσ ・〔詣 総 〕2W・ω
一1ラ ㌦ ・㌔ 陥 一1
2(耀 罪 ・ 鴎
結 局,瞬 間 的効 用 関数 が(3i)で,無 限 の 時 間視 野 を もつ 場 合 に は,連 立 方 程 式 体 系 剛,(s2),(so)お よ び㈲ を満 た す 解1(W(t))を 求 め る こ と に な る,
(31)から推 測 して,こ の 連 立 方 程 式 体 系 の解 は,
ノ(wω)一 ÷ 岡 ・(85}
の 形 を し て い る と 予 想 で き る.(85)よ り,
Jw(Wω)=bW(t}y̲1,(ss)
JWW‑(W(t))二(γ 一1)b「 レV(t)γ 一2(137) と な る.㈹,(85)よ り横 断 性 条 件 は,
劇1岡 ・e‑pt〕‑o.劔
鴎 に㈲ 〜㈲ を代 入 して,{85)が連 立 方 程 式 幽,(ss)の 解 で あ る た め に必 要 なbの 満 た す べ き条 件 を 求 め る.
̲y NyW(t)y=1
yy(bW(t)y‑1)r‐i+rWbW(t)r‑1
1(a‐r)2(bW(t)y‑1)2
2σ2(γ 一1)b「w(の γ 一2
・一 一YbW(t}・+1‑Yyb・ ≡1W(t)・+rbW(t}・‑1{a2
Qz(鶏 岡 ・
両 辺 に γ(bW(t))‑1を 掛 け れ ば,
・一一P+(・ 一 γ)b・1・+γ什 舞 言覇
b,iP‑Yrr‑1=+1(a‑y)2262(1‑Y)〕
1‑Y
(43},(46)か ら μ
=ン .(89}1
‑Y
こ こ で,
