連続合成げたの変形に関する研究: University of the Ryukyus Repository

Title

連続合成げたの変形に関する研究

Author(s)

浜田, 純夫; Longworth, Jack

Citation

琉球大学理工学部紀要. 工学篇 = Bulletin of Science &

Engineering Division, University of the Ryukyus.

Engineering(11): 59-79

Issue Date

1976-03-01

URL

http://hdl.handle.net/20.500.12000/26634

59

連続合成げたの変形に関する研究

浜 田 純 夫 *

Jack

LONGWORTH

*

*

A Study on Deformation

加

ContinuousComposite Beams

By Sumio

HAMADA

，

Jack

LONGWORTH

Summary

百

l

ep

r

e

s

e

n

t

p

a

p

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1

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Moment r

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mechanism

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Con

c

1

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n

u

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m

p

o

s

i

t

e

b

e

a

m

s

.

1

、まえがき はりは一般に、曲げとせん断力により変形するが、 合成げたのようにコンクリートスラブと鏑げたが弾性 的なジベルで結合されていると、スラブと鋼げたの問 ですべりが生ずるので、完全な合成は期待できない。 曲げ変形は Illlげ一曲率関係によるが、 j

ム

J

J

ひずみ 関係が線形であれば、曲げ一曲関係も[Ii線となる。 しかし、コンクリートも鋼材もある応

J

J

までは線形で あるか、あるいは線形に仮定できるが、 U"~力が大きく なると、線形 i乙仮定できなくなる。非線形の応力一ひ ずみ関係に対して、曲げ一曲率関係を得るには数値計 算 l乙頼らざるを得ない。この曲げ一曲率関係を得る数

l

u

'

，[

i

f

算法は、過去いろいろ提案されているが、そのほ とんどが断耐を分割する方法である。 ζこでも、同様 l ζ断凶lを分割する

m

去を月j

，

、るが、この分割された部 分内ではJ

，

L

;

J

J

-

ひずみ関係が直線である乙とを仮定し 受付:1975年10月31日 *琉球大学理工学部土木工学科 事 事Universityof Alberta

，

Canada 曲げ曲率を求める万法を用いた。乙の方法によるとか なり分割数が少なくてもよい近似を与えると考えられ る。また当然ながら、一方向のみならず、残留応力を 有する断面のように二方向の応力勾配も符易に解析で きる。 曲げ変形解析には、共役ばり法、階差法、有限要素 法、 Newmark法などがある。こζでは階差法を改良 して計算を行った。 ζの改良した方法は、一種の応力 法となり、不静定次数と同数の次数の連立方程式を解 く乙とになる。塑性域では、繰り返し連立万程式を解 く乙とになり、ここで提案する方法も弾塑性域の変形 解析には有効かと考えられる。 実験用のけた、あるいは建築物に用いられるけたは スパンが短かくせん断力による変形は無視できなくな る。さらに連続げたでは、単純げたに比較して、曲げ 変形は小きくなるがせん断変形はかならずしも小さく なるとは限らない。最も簡単な方法のーっとして仮想 仕事による方法がある。乙の万法は塑性域でも応力一 ひずみ関係式さえ与えられれば適用できる。 合成げた特有の問題として、鋼げたとスラブの問の すべりによる変形がある。乙の解析は不完全合成げた

浜田:連統合成げたの変形に関する研究 を行い、実験

i

直と比較してみた。実験{白はリーハイ大 学(3)で行われたものと、著者がアノレバータ大学(4)でjj ったものとを選んだ。

2

、弾塑性変形解析の方法および仮定

2

.

I

構造周鋼材の応力一ひずみ関係 構造用鋼材の応力一ひずみ関係、は、凶- 1(a)のよう に引張り試;検では、 3つの範凶つまり、弾性域、 塑n (1) __.

，

.

，

_

.

.

(2)

として震初Newmark'''Kより解かれた。さらにYam らは弾塑性にまで適用した。しかし、 Yamの方法は計 算時間が膨大となり、必ずレも全てに適用できる訳で はとよし、。そのため著者は一つの仮定を設けて、 ζの解 析を行なうことにした。 以上述べてきたように鋼げたとコンクリートスラプ の合成げたの蝉塑性解析には多くの複雑な問題を含ん でいる。乙乙では、乙れらの要因を考慮して変形解析 60 σ _υ σ _y の の 刷 出 L F 的 PLASTIC REGION STRAIN HARDENING REGION

•

υ

STRAIN

‘

.t

•

Y

(o)TYPICAL STRESS-STRAIN RELATIONSHIP

σ Y 的 的 出 回 ﹂ F 的 .st e _y

STRAIN

STEEし (b) IDEA

L

l

ZED STRESS・STRAIN REA

し

T

l

ONSHIPS

STRUCTURAし FOR

RELATIONSHIPS STRESS-STRAIN

61 (2.1 c) εst<e 琉球大学理工学部紀要(工学篇) σ=a+

、

I

b

平

ZZ

域およびひずみ硬化域が示される。しかし、解析上で はこの関係巻図ー

1(

b

)

のように、

2

直線、または

3-

ζこで、

a

、b、および

c

は定数で、 a σ'u-o'y-2Est向ε(u-Est) 2

σ

I

包 一 向-Est(eu-est) b=(由 a)(の-a-2Est εst) 例えば、著者の行なった実験に用いた鋼材は、G40. 12(カナダ)で、白=44ksi、白 =68ksi、 Est=75 OOksi、εst=0.0146およびeu=0. 20であり、式 (2. c=2Est(σ.y-a) 3-4直線で表わしている。慣用的な塑性設計法では 凶一

1(

b

)

の(

2

)

で示されているが、これは、実験値と比 較すると、

s

t

o

c

k

y

な断面では必ずしも適当とはいえ ない。乙れはひずみ硬化域が表われるためであり、乙 のひずみ硬化域がどの程度表われるかにより、乙のひ ずみ硬化域の表示も異なってくる。ひずみ硬化域を一 つの直線で表示するのは一般的であるが、ひずみが大 きい所では曲げ一曲率関係にかなりの差が生ずる。ま 151 fこ

L

a

y

らはζの領域を

2

本の直線で与えた。しかし、 乙の折れ曲る点がはっきりする鋼材と、はっきりしな σ=41.5+、!-48.5+3720ε で与えられる。 圧縮においても、座屈しないか主り、同様の関係を 1 c)は、 示すものと考えられる。 コンクリートの応力一ひずみ関係 コンクリートの応力 ひずみ関係は、コンクリー卜 部材の極限解析の研究にともない、多くの式が提案さ

2

.

2

い鋼材があり、また一般 l己との折れ曲る点のデータが 不足しているという欠点がある。 そこで著者は、 2次曲線を考える乙とにした。乙の 2次曲線の式は 3つの条件、つまり、硬化域の終点 ( est，σν)の座標と、勾配、および最大応力 (eu，山) σu)の座標から求める乙とができる。 したがって、応力一ひずみ関係はつぎのように表わ すことになる。 れた。一般に応力 ひずみ関係は図 2

，

ζ示されるよ (2.1a) (2.1b) ê~五 εν 臼<ε壬εst σ=EE σ=(fy .".【

F

C

的的出区ト凶 ASCENDING

PORTION DESCENDING PORTION

!o cu !õ~ _c

CONCRETE

FOR

STRAIN

RELATIONSHIP

STRESS-STRAIN

TYPICAL

2

FIGURE

j

i

i

4

4

0

1

1

4

1

!

!

(2.4) 浜田 :連統合成げたの室長形に関する研究

E

，

ec

ル=1

+

(子)'

とC 62

うに上昇域 (ascendiπg portion)と下 降 域 ( de-scending portion)から成り、 Hognestadl6)は、 上昇域iζ対して2次式を、下降域 t乙対し直線を提案し、 その関係式は、つぎのように与えられる。 _{乙乙で、E}

，

_{は 初 期 鰍 削 係 数 で あ り 、}

E

t

=

2

5

7

えられる。 2.3 ズレ止のカーズレ関係 ズレ止めの力一ズレ関係は抑し抜き試験で求められ ている。一般にズレ止めの強さと力一変位関係はコン クリートの強度にかとより強く影響されるようである。 しかし、ズレ止めの極限強きが知られると、力一変位 関係は、この強さに関係しているようである。 YamおよびChapmanは力一ズレ関係をつぎのよう に指数関係で表わしている。 上昇域 (2.2a) 12

王子一(与

)'1 e c ε c fc=fc (2.2b) SmithおよびYound7)は指数関数でつぎのように与 えた。 下降 域 0.15εc fc=fc{l.O-ーヶー ナ ) εじu -εc qs=a 11-exp (

ーム

s)1 こζで、qsはズレ止めlζ作用する力とズレ止めの耐jJ との比で、/':;sはズレ、 a、bは定数である。凶-3の ム8 ' =2ム81となるように指数曲 線r.'C2 (2.3)

K

およひ

1

m

はコンクリー 卜の性質から与えられる定 数であるが、 ζの式には下降域は考えられていなL、。 18)

DesayiおよびKrishnan は、上昇減および下降

式の双方iζ適用できる簡単な式を示した。 fc=

Kε

F ように、

-

ー

‘

1 .

0

QS2

0

.

4

0.2 0.8 QSl 0.6

( 2

σ ¥

σ )

凶

σ

0.08 6S2

0

.

0

4

6

_S1

。

CON-(41) )

SHEAR

ET AL

6

_s

(

i

n

c

h

e

s

)

FIGURE

3

TYPICAL LOAD-SしI

P RELATIONSHIP FOR STUD

NECTORS (AFTER MAINSTONE ET Aし (

4

0

) AND YAM

琉球大学理工学部紀要(工学篇) 点を選ふ‘と、定数a、 bはつぎのように定義できる。

a=~一一

_{一 2 qs}

_，

_-qS2 N =

σ

A

!

dA M =

1

.

σY dA 63 (2.6a) (2.6b) b=+-lπ一旦呈L一一 式 (2.6)の 積 分 は 線 形 の 応 力 ひ ず み 関 係 の 場 合 は ムsl qS2 - qst 簡単であるが、降伏後の鋼材、コンクリート材料のよ 負の曲げモーメント域におけるズレ止めの性状は、 うに複雑な応力一ひずみ関係の場合では数値積分によ Cambridge大学のJohuson一派により研究がなさ らなければならなし、。従来、この種の数値積分にはつ れている?乙の研究によれば、押し抜き試験によるズ ぎの万法が用いられた。 レ止めの耐力は、曽通の場合と比較して、

68-1

0

8

%

の強度が得られている。力一ズレ曲線はばらつきが大 N =

ん

dA

=

.

E

σJdAJ (2.7a) きいが、最終耐力の80%で、ズレは普通の方法と比較 すると、およそ2倍となる。 M =

A

!

(JY dA

=

.

E

σ"; YJ dAJ (2川

2

.

4

曲げ曲率関係 軸万向力N、および曲げモーメントMはっきのよう に定義される。 乙乙で、 σJ、YJおよび AJは図-4(b)lζ示されるような J点における応力、

u

座標、断面積を示しているこの万 (α)COORDINATE SYSTEM x dAj 罷官片ぜ出てイ引色

…

ぐ「jL

rEM

臼

さC

…

R

附。 YJ y Y

{b} CONVENTlONAL PROCEDURE {c}BARNARD'S PROCEDURE

FIGURE 4 CO

・

ORDINATE SYSTEMS FOR NUMERICAL INTEGRATION

6

4

浜田:速統合成げたの変形に関する研究 法は応力分布により必ずしも充分よい精度をもってい +2の

(

d

A

J

_

1 +

dA

J

)

+

σ

J

'

+

1

d

A

J

I

Y

J

(2，8b) るとは限らない。図-4(c)lC示すように、

Y

J

を応力プ ロックの重心にとると、厳密な値が与えられる。しか 微小要素の面積を等しくすると、式 (2，8)はさらに し、応力プロックの重心は容易に与えられるとは限ら 簡単に ない。 そζで著者はつぎのような方法を提案したい。図

-4

(

a

)

における微小部分の応力分布を直線と仮定すると、 式

(

2

，

6

)

の数値積分は N=tiz(σ'J_ 1 + 4σ'J +σJ. 1 ) (2，9a)

dA

M =否!_I

:

;

(のι+4σ'J+σJ. 1)

Y

J

(2，9b) N =

ん

dA

=

す

主

σ

l

J

-

l

d

A

J

-l+

+'2σ'J

(

dA

J

_

1十

dAJ

)+

σJ+1

dAA

(2，8a) 部材が2方向の幽げを受けたり、残留応力が存在す るときは、乙れを容易に2万向IC拡長するととができ る。等断面のときにはつぎのように表わすことができ る(図-5)

。

M =

ん

udAzt

孟

1

σ

J

-

1

dA

J_ 1 J -1 E

・

E Aj・1 Aj W j + l 1+2

REAL STRESS ASSUMED STRESS DISTRIBUTlON DISTRIBUTlON

(o)COORDINATE SYSTEM FOR ONE DIMENSION

い

斗

2・1 i i +1 i +2

1

j-2 j -1

コ

λv (i・l

，

i

)

(i

，

j)(i+I

，

j

)

j什 (i-1

，

j+1)

I

j +2

(b) COORDINATE SYSTEM FOR TWO DIMENSIONS

FIGURE

5

CO

・

ORDINATE SYSTEM FOR PROPOSED NUMERICAL

INTEGRATION PROCEDURE

琉球大学理工学部紀要 (工学篇) 65

N =

J

1. σ dA=~1

•

v ...n - 36 f

L

-

:

'

L

j

:

I

(ι ， J-1 + 4 U" σムJ-J-1 + 町 +1， J-1) + 4 (σ

，

-

I.J + 4町 J+U'+I，J)+ (σト 1，J+ I

dA

+4的 .J+ 1

+

由

+I，J+ ，)

I

=~'::

L

:

L

:

u'J YJ 36 M = #36

L

~~....，..

:

L

:

u<J YJ :T (2， 10b) (2， 10a) なり、その要素は

l

/

E

I

，となる。 従来の方法は式(2， 177)を (2，17a)に直接代入 2.5 幽げ変形 して、

I

y

l

を求めていた。しかし、 ζれは二次の誤 分布荷重qを受ける梁の曲げ変形 IC対する微分方程 差が生ずる。乙の誤差は、 図- 61C示すように、各区 式は、

(

EIγ)

=q (2.11) 式 (2.11)を2つに分けると Ely

・

=-M M"=-q 式 (2.8)の階差式は行列で表わすと、

(

E

I

)

(

B

)

I

y

l

I

M

I

(2. 13a) (B)

I

M

I

=

一

I

q

l

(2. 13b) 単純げたに対して、行列 (B)は、等分割間隔入ICす ると、つぎのようになる。 -2 1 (B)

=

オ

1 -2 1 行列 (B) の逆行列 (B) -1は、 (B)

，

-

=

ν

[

b

<J 乙乙で

π

X n行列の要素b<Jは、 I

i

(πーj)

/

n

bυ=~ 1 ij/

π

1 - 2 i;:j i<j (2，14) (2.15) (2.16) 闘の曲げモーメントは一定となる。したがって、直後 代入することは一種の短形積分

κ

相当することになる。 乙れを改良するには、区間iを直線変化の曲げモーメ ントを仮定すると、i点の曲げモーメン卜はす

(M

ぃ +4M，+ M，.，)としなければならない。乙れを係数 行列と考えて、行列表示すると、 4 1 0 [C]=

す

1 4 1 1 4 1 0 1 4 (2.18) 乙の方法は分布荷重に対しても適用できるので、等価 な分布荷重および曲げモーメントは、

I

q

.

J

=[C]

I

q

l

(2. 19a)

I

M.

J

=[C]

I

M

I

(2.19b) 式 (2.19)を用い、式(2.176)を式 (2.17a)に代入 すると、分布荷重を受けるはりのたわみは、

I

y

l

ベ

B]-'[E 1]-

'

[

C

l

I

B]-

'

[

C

]

I

q

l

(2.20) 集中荷重

P

は分布荷重

P

/

λ

で表わされるので、外力の 曲げモーメント

1

M

.

"，

I

、集中荷重

I

P

/

A

I

、および 分布荷重 I~ ICよる曲げモーメントは、

I

M

I

=

1

M

•

.

.

!

一

[B]-'(

I

P

/

A)+[C]

I

q

l

)

(2.21) またζれに相当するたわみは、 式 (2.13)Iζ(B) -，を乗ずると、

I

y

l

および

I

M

I

は、

I

y

l

=

一

[

B

]

-

'

[

E

I

]

-

'

I

M

I

(2. 17a)

I

y

l

=[B)

-

'

[

E

I

]

[

-

1

M

•

.

!

.

+

甲

)

-

'

(Ip/λ￨

+[C]

I

q

l

)

I

(2.22)

I

M

I

=

一

[

B

]

-

'

I

q

l

(2. 17b) たわみおよび、幽 l:rモーメントが求まると、たわみ 行列 (EI)は単位行列なので、 (EI) -，も単位行列と 角およびせん断力は

I

y

l

および

I

M

I

をそれぞれ微分

6

6

浜田:連続合成げたの変形に関する研究 i!i

﹁ ー

ー ←

一

P

I

l

l

i

-玄 zl L _"'

-I ASSUMED MOMENT DIAGRAM FOR

L _CONVENTlONAL FINITE DIFFERENCE

METHOD

ACTUAL MOMENT DIAGRAM

FIGURE 6 ASSUMED BENDING MOMENT DIAGRAM FOR CONVENTIONAL

FINITE

DIFFERENCE METHOD

することにより得られる。(i+告)点のせん断力は差 分表示で、

v

;

i+lノ2，=(M十，- M，)/A (2.23) となるので、 E点におけるせん断力

Vd

試 (2.23) で得 られるせん断力

V

，+士と

z

と(4+tj聞に生ずるせん断力 企

V

，との和である。 V，= V，+ r + λ ( M，+，- M，)/λ+

す

(2q

，

+q，+ ，) (2.24) 式 (2.24) は i点と(l+ 1)点の間では等分布荷重と仮定 して得られた。同様に、 i点の回転角

8

i

は、 入( 2 M， ，M，+， ¥

8i=

(y，+ ，-y，) /λ+ ~ [菅

_{6¥ E}

_I

τ_， 一 十 皆 土

_'E

_It+，) ι) (2.25) 従来の階差法は係数行列を含んでない。あえて係数 行列を示すなら単位行列[E]となり、乙れは短形積分を 意味することになる。変位

I

y

l

、

1

6

1

および断面力

I

M

I

および

I

V

I

は当然ながら、この改良法の方が良 い値を与える。 Callatzll~ Zurm'fihl1lll，佐竹曲目など により高精度差分法が提案されている。 Collatz は 影響点を多く取る乙とにより、またZU1・m'fihlおよび 佐竹は荷重項を高精度になるように変換する乙とによ り誘導された。著者の試みは彼らの方法とはし、く分異 っている。著者の方法は単純げたにおける[B]-'が 既 知である点に注目した。したがって、連続げたでは、 直後適用できないので、連続げたの解法1(.は応力法を 必要とする。 応力法においては、不静定力として中間支点曲げモ ーメントあるいは中間支点反力を取るが、この場合1(.

琉球大学理工学部紀要(工学篇) 67 おいては支点曲げモーメン卜を不静定力に取る方が、 計算上有利となる。今、 [8]-1が1スパソ11:っきm X mとすれば、 nスパソの[8]-1の要素数は、曲げモーメ ントを取るとn (mXm)となるが、不静定力を中間支 点反力11:取ると、 (nXm) X (πXm)となり、 n倍 の安素数を必要とし、乙れに伴う計算量はさらに倍加 するζとになる。 さて連統合成げたの解析は、曲げ一曲率が線形であ る場合においても、正と負の曲げモーメント域におけ る剛性が異なるので、連続ばりの解析は線形解析とは ならない。当然ながら、塑性域においては非線形とな る。

2

.

6

せん断変形 をん断変形は、普通曲げ変形 iζ比較すれば小きくな

/

)

J

z

8sh

=

k

s

h

z (J-a}P

GA

，

J

k

s

h

a

(

J

-

z

)

P

ー

-GA

，

J

る。しかしながら、スパソの短いはりや特にせん断力 IL対する抵抗の小さいはりに対しては、せん断変形も 無視できなくなる。合成げたはかなり大きい曲げ問。性 をもっているが、主として鋼断面の腹板でせん断力11: 抵抗するため、必ずしもせん断力に対する抵抗が充分 とはいえない。また試験げたのように短いスパンにお いてはさらにせん断変形は大きくなる。 図一71L示すはりの Z点におけるせん断変形は、

k

互

J

.

l

二

全

L

Sh GAI で示される。 kShはせん断係数であり、次式で定義さ れる。 kSh=

すム(守)

'dA

(

2

.

2

6

)

f

o

r

イ

/

DEFORMA

T

l

ON DUE

TO SHEAR

z

三 。

f

o

r

z

~

a

68 浜田:速統合成げたの変形に関する研究

A

₁

=

SHADED AREA

Nq=

ム

1

ydA

ks

h

=

合

ム

(

守

fdA

y

FIGURE 8 DEFINITION OF AREA A

1

REQUIRED FOR THE EVALUATION

OF THE SHEAR CORRECTION FACTOR K

Sh

乙乙で、 N.は図 81ζ示すように、中立軸に関する断 で与えられ、

v

を仮想せん断力、 Vを実際のせん断力 面Alの断面一次モーメントである。式 (2.26) で示さ とすれば、 Tは 斗 と な る の で 、 式 (2.27) は れるせん断係数は矩形断面では1.2、W12X36で2.94、 W12X36の鋼げたと 5'x60'の コ ン ク リ ー 卜 ス ラ ブ との合成げたでは6.63、W12X36の鋼げたと3.6

i

n

'

の鉄筋量を5.スラブ中心にもつ負の曲げを受ける合 成げたでは

3

.1

となる。しかし、一般に、腹板だけで せん断力の抵抗を受けるとすれば、とのせん断係数は 1に近くなる。 せん断変形の曲げ変形への割合は不静定構造物のと き、さらに大きくなる。たとえば、両端固定ばりにお けるせん断変形の曲げ変形への割合は、単純ばりにお ける割合のおよそ4倍となる。 せん断変形は仮想任事の方法で求めるのが容易と考 えられる。乙の方法では、せん断変形は

九

=

ん

rydV (2.27) lJ.h=

f

問

主

η

dV

=juLjhydA (2.28) 式 (2.28)中の

J

ArydAははりの曲げ応力から求め られる。というのは、 τは次式で与えられ、せん断ひ ずみYはせん断応力 せん断ひずみの関係から与えら れるからである。

r=~

J

安

dA (2.29) 塑性変形の場合にも、曲げ一曲率を求めるのと同様の 数値計算を行なうことができ、乙の計算は、曲げ応力 求 め る の と 同 時 に 各 点 附 け るVArydAを求めて おけば、各点のせん断変形の値はきわめて容易 lζ求め

琉球大学理工学部紀要(工学篇) る乙とができる。

2

.

7

ずれ止めの変形の影響 69

f，=一_lー +~+fIY.

_{Ec Ac . Es As} 不完全合成げたの解析を最初に行なったのはNeωm- また、めはコンクリートスラブと鋼げたの申立軸問の 111 ark である。 Newmarkの研究では、コンクリート 距離である。 および鋼の応力一ひずみ関係、およびずれ止めの力一 変形関係を、それぞれ、直線に仮定し、コンクリート スラブの圧縮力Cに対して次の微分方程式を与えた。 C"+

与

(f

、

M-j

，

c)=0 (2.30) ここで、 sはずれどめの間隔、んはずれ止めの定数、 Mは曲げモーメート、およびf" f，は、 f_'-Eclc+E一一__jJ_正一一一-

_，

_I

_，

Newmarkの方法はあくまでも、材料の性質が線形 と仮定したので、弾塑性問題のみならず、コンクリー ト引張強度がない場合でも解けない。そ乙でYam お よびChapmanl21は非線形材料に適用する工夫をした。 と乙ろが彼らの方法はあまりにも計算量が多く、実用 的とは考えられない。そ乙で著者はつぎのような仮定 を設けることにした。つまり「ずれの微分であるずれ ひずみが、せん断スパン中一定である叫この仮定に基 づくと、ずれ分布は図

-9

のようになる。また、ずれ

P

。

_b

1

E』

P~

₂

+

。

p

l

SHEAR DIAGRAM

S

L

l

P

STRAIN DIAGRAM

b

E

D

・

-t 札 .

S

L

l

P DIAGRAM

70 浜田:連統合成げたの変形に関する研究 止めに作用するせん断スパン中の全部のジペルで受け 持つ乙とになる。結局、ずれひずみは、ずれをムs、せ ん断スパンを

L

.

とすれば、ずれひずみは臼=ム

s

/

L

.

で定義できる。合成げたでずれが生ずると、 2つの中 立軸が生ずる乙とになり、乙の2つの中立軸の距離は 曲率を世とすれば、 εd/世で与えられる。この仮定に基 けば、容易に曲げ一曲率関係が2.4節のような方法 で計算できる。 負の曲げモーメント域におけるジベルの力一変位関

係は、まだあまり研究されていない。 Daviso~~ は鉄

筋のひずみの実測値と計算値の比を求め、これをπIt

-eractio

π係数と定義した。乙の係数は鉄筋の応力に より異なるが、実験により、 0.6を与えている。

3

、実験結果との比較 3.1 連続合成げたの実験 連続合成げたの実験はかなり多く行なわれているが、 変形に関して全て満足した結果が得られている訳では ない。そこで著者は新たに3本の連続合成げたの実験 をAlberta大学で行った。乙の実験については、別の 告書に発表するので、乙とでは、簡単に説明したい。 実験1(用いた合成げたの断面は図ー101(示す通りで あるが、けたの寸法はつぎの点に基づいて決定した。 (1)実験設備による制限、

(

2

過去アルパータ大学で行な われた実験、 (3服壊モードの点である。 (3)における破 壊モードは負の曲げモーメント域での鉄筋量により正 の最大曲げホーメントの点でコンクリートの圧壊が生 じたり、負の最大曲げモーメントの点でフランジの局 部座屈が生じたりするのである。乙のため負の曲げモ ーメント域では、

Beam

1 (W12X31)に対して、1.6

i

n

'

、Beam2(W12X27) 1(対して

3

.

1i

n

'

、Beam 3 (W10X21)に対しては2.0ιがとそれぞれ異った鉄 筋量を用い、乙れらの鉄筋量と鋼断面との比は 0.176 -0.389である。表-11(試験げたの主な諸量を示し た。表-2a、

2b

および

2

c

l

乙試験供試体iζ用いられた 鏑材、コンクリー卜および鉄筋の力学的性質を示した。 1二3" 7(O9"=5二3" 1'-0"

.

S(o 41/2'~ 3' _1_ 3 (o 9"=

2

'

-3"

1

.

f

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

l' -1" 1'-3"

-・・.

_.

_.

_.

7IO 11"=6'・

5"

.

_..

.

.

.

_.

・

..

.

.

.

.

11

.

(

.

o

. .

6"= 5

にが'

6(o 1'-0"= 6'-0" 8Ieil8"=5'・4"

h .

_、

-3/4"DIA. x 3" STUD 5

PLAN VIEWS OF STEEL SEC

T

lONS

三正L正:~: ".三ム乞主是主主益三~ι5三L工1三旦笠一三三，..:. ....三;:，~-!.-，三;.": :亙玉望E三~三豆互至三ム 1

STlFFENERS BOTH SIDES

FIGURE

10

4

"

12'ー

0

"

SIDE

END VIEW

DETAILS

OF

ELEVA

T

lON

f

TEST SPECIMENS

C

B

l

W12x31

CB2

W12x27

CB3

W 10x21

琉球大学理工学部紀要(工学篇) 71

t.J.おリーハイ大学で行なわれた実験については参考 文献3)を参照されたい。

TABLE 1 TEST SPECIMENS

SLA8 D1MENSION AREA OF RAT10 OF RAγ10 OF

LONGITUOINAし LONGI了UOINAL LONGITUOINAL 了RANSVERSE

BEAM STEEL REIN. REIN RE1NFORCEMENT TRAN$VERSE REINFO肉CEMENτ SECTlON WIDTH THICKNESS FORCEMENT FORCEMENT AREA TO STEEL REINFORCEMENT AREA TO

(lnC同 s) (inches) _(in') SECT10N AREA CONCRETE SLA8 AREA

CBl WJ2X31 48 4 8 # 4 BARS 1.6 0.176 # 3 BARS @4.5・ 0肘67 CB2 Wl2x27 48 4 10# 5 BARS 3.1 0.389 # 3 BARS @4.5. 0.0067

C83 Wl0x21 48 4 10梓4 BARS 2.0 0.323 # 3 BARS @4.5 0.0067

T ABLE 2 (a) PROPERTIES OF STRUCTURAL STEEL

一

一

r

一

m

m

お

一 件 叩 ( 一 1 1 1 1 一 A M

一

一

m

一

一 G

一

一 昨 院 制 一

一

一

知

州

一

諮

抑

制

一

川 円

十

￨

￨

￨

一

w

m

吋 一 日 川 口

ω

↑ T T 休 ↑ 6 6 6 6 Ave. Wl2x31 WEB Wl2x27 FLANGE Ave Wl2 x27 WEB 40.5 一 一一一一十一ー 45.2 66.8 30200 .0090 1317 67.1 66.3 66.6 66.7 68.7 69.5 68.8 68.7 68.9 .0197 .0200 .0176 1050 ll40 1470 1220

十

ハU ハU ハ U ハU 一 ハU ハ U ハ U ハ U A U A υ ハ リ ハU 一 ハυ ハU ハ U ハU ヴ ' n h v に d Q d 一 今 ム ヮ “ 凋 性 に J A U ' i ハU ハU 一 ?︼︽切の L Q u q J q u q J n d J V 一 qδqυqu つ & 00 ゥ ' o O E A -o -o ハU'i 3 0 8 1 一 ' 5 8 9 勺 r 同 /Fb ゥ ， 一 氏 υ 氏 υ ハ bpo

￨

[

￨

下

1 l 7 ・ 00 ワ 白 Q d マ ' q d A “ τqd p b 勺 t p O P O 一 F K JnJ F D ハ b a a T a q A 斗 ・ 4 A t 一 4 4 8 当 A 佳 組 処 a v u w A H 67.5 .0194 .0065 .0120 .0028 .0128 ll80 ll60 1000 ll30 31300 .0085 1160 1110 48.8 48.9 49.6 Ave.

I

49.1 WIOX21 FLANGE Ave. ート 43.4 43.7 43.1 43.9 43.5 29800 30400 30400 30200 .0192 .0258 .0232 890 1000 .0226 32600 31900 32200 31500 32100 .0180 .0142 .0158 .0177 .0164 790 850 850 700 750 十一一一一一一一→ーー 一一寸一一一一一一 一一一寸一一一一一一一一一一一一一; 一一一一一

l

f

;

;

69.0 27800 0242 68.6 29000 .0252 47.3 68.7 27700 .0230 47.7 68.8 _{28200 .0241}

72 BEAM CB1 CB2 CB3 浜田:逮統合成げたの変形に関する研究

TABLE 2 (b) PROPERTIES OF CONCRETE掌

AGE AT COMPRESSIVE TEST STRESS (days) (psi) 5358 5340 5500 72 ₅₉₂₄ 5924 Ave. 5577 5553 5641 5447 69 ₅₅₃₅ 5128 Ave. 5460 6012 5588 5659 72 ₆₁₁₈ 6366 Ave. 5948

*

MIX PROPORTIONS CEMENT WATER SAND COARSE AGGREGATE SPLlTTING • TENSION STRESS (psi) 486 407 446 354 433 451 410 487 442 465 133 Ibs. 66 Ibs. 344 Ibs. 500 Ibs. TABLE2・(c) PROPERTIES OF SLAB REINFORCEMENT

YIELD STRESS UL TIMATE STRESS

BAR SIZE _{(ksi) (ksi)} #3 53.4 75.1 52.6 76.0 52.8 75.2 Ave. 52.9 Ave. 75.4 #4 59.1 83.3 59.3 84.1 59.6 84.1 Ave. 59.3 Ave. 83.8 #5 52.2 76.3 49.4 76.6 49.4 76.8 Ave. 50.3 Ave. 76.6

7

3

がともなうので、著者の実験では曲率がゼロの点をひ ずみゲージを用いて求めた。 図-l1(a)、(b)およひ・(c)に実験値と理論値との比較を 行っている。一般に正の曲げモーメント主義では理論値 とよく一致しているが、負の曲げモーメント減ではあ まりよく一致していない。 ζれは、 2スパン連続桁で は、負の曲げモーメント域の誤差は正の曲げモーメン 琉球大学理工学部紀要(工学篇) 3.2 幽げ一曲率の関係 合成げたの曲げー曲率の関係は主として応力一ひず み関係によるが、ズレ止めのズレや鋼の残留応力にも いく分関係してくる。ズレによる影響や残留応力 Kよ る影響は別の機会IL.発表するζとにする。 連続合成げたでは曲げ一曲率の関係を実験的 i乙求め ることはかなり困難である。というのは不静定構造で あるので、曲げモーメントはロードセルを用いるか、 _{ト域の2倍の誤差になる乙とにもよる。また一万負の} 曲げモーメント減でのズレの影響が的確に得られない ことにもよると考えられる。 曲率がゼロになる所を求めるかのいずれかである。 ロードセルを支点上に用いるのは実験上かなりの困難 ーーーーー-EXPERIMENT

ー

一

一

一

PROPOSEDANAlYSIS

ー

一

一

一

SIMPlIFIEDTHEORY 4000 3000 2000 1000 ( 帥

_a

三 E C 円 )

↑

Z

ω

2

0

さ

1.4 1.

2

1.0 0.8 0.6 CURVATURE 0.4 0.2

。

_。

MOMENT-CURVATURE THEORETICAL CBl BEAM AND FOR EXPERIMENTAL RELATIONSHIPS

1

1

(a) FIGURE のたわみへの影響はあまりない。しかし、それでもな お、弾性域では、せん断たわみは曲げたわみの17%に も及んでいる。理論{直は実験値とよく一致していると 考えられる。単純塑性解析では中間支点と載荷点とは ほとんど同時に塑性ヒンジが生じている乙とを示して いるが、いく分載荷点の降伏荷重の方が低い。 最終ヒンジの形成時のたわみはたわみ角法で容易K 求める乙とができる。しかし、合成げたの剛性の係数

3

.

3

たわみおよび回転角 連統合成けたの荷重ーたわみ関係は過去いくつかの U~ 報告がある。

Culver

による実験値とζの報告の理 論値とを図一1211:.示す。実験値と理論値はよく一致し ていると考えられる。図-13に示す連続げたの荷重ー たわみ関係はリーハイ大学の

Dani

e

l8131らにより行な われたものである。けたはかなり長いので、せん断力

浜田:連統合成げたの変形に関する研究

7

4

一一一一

一

-

ー

-一

一

一

一

PROPOSEDANALYSIS

- - -SIMPLlFIED THEORY

ー

ー

ー

ー

ー

ー

EXPERIMENT G N D N F E O D F E M u

-T '

A G E E N

， ，

， ，

，

r

， ，

，

r hf 4000

，

3000 1000 2000 ( 嗣

_a

一

U 4

・

c

一

ト

ZE

ミ

0

2

1.4

(

i

;

:

:

2

5

)

0.6 0.4 0.2

。

_。

CURVATURE

MOMENT-CURVATURE

THEORETICAL

C82

8EAM

FOR

AND

EXPERIMENTAL

RELATIONSHIPS

1

1

(

b

)

FIGURE

ー

由

ー

ー

ー

ー

EXPERIMENT

一

一

一

一

PROPOSEDANALYSIS 2000 1500 1000 ( 岬

a

一

U4

・

c

一

ト

Z

ω

2

0

さ

ー

一

一

一

SIMPLlFIEDTHEORY 500 2.1 1.8 1 .5 1.2 0.9

CURVATURE

0.6 0.3

MOMENT-CURVATURE

THEORETICAL

C83

BEAM

AND

FOR

EXPERIMENTAL

RELATIONSHIPS

11

(

c

)

FIGURE

琉球大学理工学部紀要(工学篇) 75 100 80 『

'

"

a ーーーーーー EXPERIMENT(7) _". 60 __...- _______ _ _ _ rEXCLUDING SHEAR PROPOSED ANALYSIS ~ ー・田帽噌炉ー llNCLUDING SHEAR a..

ト

-40"

→

上

12x36

-

ー

一

一

SIMPLE PLASTIC THEORY

。

<( 40

。

_.

_.

_.

_.

_.

PI2 P/2 PI2 P/2

↓ ↓ ↓ ↓

20

レ

_-15

_・

_-

_-

_-

_.

_j

_-

_o

_f

_-

_-

_-15

_・」

Ar =0.4 in2

。

_。

2 3

CENTER LINE DEFLECTION (

i

n

c

h

e

s

)

FIGURE

12

EXPERIMENTAL AND THEORETICAL LOAD

・

DEFLECTION

RELATIONSHIPS FOR BEAMS TESTED BY CULVER (

1

4

)

は正の曲げが作用する領域と負の曲げが作用する領域 とで異ってくるし、正と負の両方が作用する場合はそ の割合で異なる。 ζの解法は別の報告に述べることに する。 実験げたに対する理論値と実験値とを図 14(a)、(b) および(c)に示している。けたスパンがかなり短かい乙 ともあり、せん断力によるたわみがかなり大きい。曲 げ一曲率の関係が負の曲げモーメント域で実験値と理 論値にかなりの差がありながら、たわみではあまり差 が出ていなし、。乙れは、曲げ 曲率の関係は一部分的 なものであり、差の生ずるととも充分考えられるし、 変曲点を求めることにより、曲げがゼロの点を求めた ことの誤差にもよると考えられる。一方、たわみは全 体的な評価となり、理論値と実験{直に差がないのは基 本的には誤りと考えられない。 単純塑性解析によると、 3本のけたの全部において、 中間支点上で最初の塑性ヒンジが生じる。けたCBIと CB3 とは最初のヒンジのすぐ後 IL載荷点で、塑性ヒ ンジが生ずる。けた

CB2

では、荷重95kipsのとき最 初のヒンジで、 121kipsのとき最後のヒンジとなる。 また弾性変形は、実験による塑性変形に比較すればか なり小さい。ヒンジのできる荷重が実験で確めるのは 困難であり、 ζれについて、実験と理論値との比較は ほとんどできない。過去にも乙の比較はない。 現在の所たわみ角l乙対する測定はほとんど行なわれ てない。これは、たわみ角がたわみとほとんど同じ傾 向と特性を示すことにもよる。せん断変形のたわみ角 に対する影響は、それのたわみに対する影響よりも大 きい。単純ばりにおいては、たわみ角i乙対するせん断 変形の影響はたわみに対するそれの1.5倍になる。

4

、あとがき 合成げたのように異なる材料を用い、なおずれ止め の変形も存在する構造物においても、コンクリー卜、 鋼材の応力一ひずみ関係、ずれ止めの力一変形関係が 良い近似で与えられると、理論{直と実験値とかなりよ く会う。 曲げ変形が最も大きいが、合成げたの場合にはせん 断変形も大きい。乙れは、合成げたは曲げには剛性が 大きいが、せん断力は腹板のみで抵抗しなければなら

76

- 1

_c

_n

5

0

a

~

-Q.

1

0

0

。

〈

O

Z

50

圃」 戸、

1

5

0

c

n

a

ーーι

‘

・

-Q.

1

0

0

。

《

0

.」

50

浜田:連統合成げたの変形に関する研究

200

0

o

1

DEFLECTION

。

)

BEAM CC-IF

(

inches)

3

200

ド

i

₇

ω

↓

J

m

ω

笠

T

r

ム

リ

A

b

P

+

?

-

'

_

_

t

1

0

・

1

5

'

。

_。

DEFLEC

T

l

O N

b

)

BEAM CC

-3S

(

i

n

c

h

e

s

)

3

FIGURE

1

3

LOAD-DEFLECTION RELATIONSHIPS FOR BEAMS TESTED

BY DANIELS AND FISHER (3)

琉球大学理工学部紀要(工学篇) 77 150 1.

0

2.0 3.0 柿 100

a

...>JI. a..

。

《

。

_{_}

50

，

CENTER

L

l

NE DEF

l

EC

T

l

ON (

i

n

c

h

e

s

)

FIGURE 1

4

(

a

)

LOAD-DEFLECTION RELATIONSHIPS FOR BEAM CB

1

a.. 50

ド-

48

・

・

ー

-

+

l

空 竺 竺 竺 竺 つ

4

"

I W12lC27

由ーーーーー-

EXPERIMENT

一

一

一

一

PROPOSEDANAL YSIS

司

-

-

-

SIMPLE PLASTlC THEORY

前

a

一

v

一

。︽

O

J

A

，

=

3.1in2

4

↓

L 6

・

'-+6

斗

6

斗

6

・

J

。

_。

1 .

0

2.0 3.0

CENTER

L

l

NE DEFLEC

T

l

ON (

i

n

c

h

e

s

)

7

8

浜田・連統合成げたの変形に関する研究

1

0

0

50

ーーーーー-

EXPERIMENT

ー-ー一四-

PROPOSED ANALYSIS

四

一

一

一

SIMPLE PLAS

Tl

C THEORY

鴫

A r u

-Q.. 。︽

0

4

A

，

=

2

.

0

i

n

2

0

0

1β _2~O

₃

_:

₀

C

E

N

T

E

R

L

l

NE D

E

F

l

E

C

T

I

O

N

(

i

n

c

h

.

.

，

FIGURE 1

4

(

c

)

LOAD-DEFLECTION RELATIONSHIPS FOR BEAM CB

3

ないからでもある。

2) Yam

， L.

C

.

P

.

，

Chapman

，

J

.

C

.

，“

The I

n

-曲率一曲げモーメントの関係は測定もかなりむずか

e

l

a

s

t

i

c

Behavior o

f

S

i

m

p

l

y

.

Supported

しく、理論値とあまり合ない乙ともある。しかし、た

Composite Beams o

f

S

t

e

e

l

and Concrete

，"

わみはけた全体の変形として考えられるので、理論値

Proceedings o

f

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