ガウスの 2 次形式論とクロネッカー · ウェーバーの定理についての考察

(1)

.

...

ガウスの 2 次形式論とクロネッカー · ^{ウェーバーの定} 理についての考察

三浦正道

新潟大学大学院自然科学研究科数理物質科学専攻

2016/02/09

(2)

. 修士論文目次 ..

...

準備

(

^{初等整数論}

,

^{代数的整数論}

,

^{ガロア理論}

,

^{ヒルベルトの理論}

)

ガウスの

2

^次形式論

(2

^章

)

§1

クロネッカー

·

^{ウェーバーの定理}

(3

^章

)

§2 考察と具体例

(4

章

)

§3

今後の研究について

(5

章

)

§4

(3)

§ 1 (1/4)

2

元

2

次形式

f (x, y ) = ax

²

+ bxy + cy

²

(a, b, c ∈

Z

)

に対し

, . 定義

..

...

(1) D

f

:= b

²

− 4ac

^を

f

^{の判別式という}

.

(2) gcd(a, b, c ) = 1

^{であるとき}

, f

^{を原始形式という}

. (3) f

が

n ∈

Z^{を原始的に表現する}

⇐⇒ ∃

def

(x, y) ∈

Z²

s.t. gcd(x, y) = 1, f (x, y) = n.

2

^つの

2

^元

2

^次形式

f , g

^に対し

,

^{同値関係を導入する}

. . 定義

..

...

f ∼ g ⇐⇒

^def ^∃

(

p q r s

)

∈ SL

2

(Z) s.t. g (x, y) = f

( (

x y

)_t(

p q r s

) )

.

f ∼ g = ⇒ D

f

= D

g

.

f :

原始形式かつ

f ∼ g = ⇒ g :

原始形式

.

(4)

D : D ≡ 0, 1 (mod 4)

^{となる整数}

.

f (x, y ) = a

1

x

²

+ b

1

xy + c

1

y

²

, g (x, y ) = a

2

x

²

+ b

2

xy + c

2

y

²

:

^判別式

D

^をもつ

2

^元

2

^次形式

. 定義 ..

...

gcd(a

1

, a

2

,

^b¹^+b₂ ²

) = 1

^{を満たすと仮定する}

.

演算

◦

^を

,

次のように定義する

:

(f ◦ g )(x, y ) := a

₃

x

²

+ b

₃

xy + c

₃

y

²

.

ただし

, a

₃

= a

₁

a

₂

, b

₃は

a

_i

, b

_i

, c

_iから求められる整数

, c

₃

=

^b²³_4a⁻^D

3 である

.

(5)

§ 1 (3/4)

P

_D

:= { f (x, y) = ax

²

+ bxy + cy

²

| gcd(a, b, c ) = 1, D

_f

= D } . (D : D ≡ 0, 1 (mod 4)

となる整数

)

P

_D

/ ∼

は有限アーベル群をなす

.

単位元は

,

e =

{

x

²

−

^D₄

y

²

(D ≡ 0 (mod 4)) x

²

+ xy +

¹⁻₄^D

y

²

(D ≡ 1 (mod 4))

である

.

f (x, y) = ax

²

+ bxy + cy

²に対する逆元は

,

f

⁻¹

(x, y ) = ax

²

− bxy + cy

² である

.

(6)

F :

Q^上の

2

^次体

. . 定理

..

...

2

^次体

F

^の整数環OF のイデアルは

, 2

^元

2

^{次形式と対応している}

.

OF

P

∆F

⊂ ∈

a

7−→ f

_a af

←−

p

f

Cl

_F⁺

≃ P

_∆_F

/ ∼ .

(7)

§ 2 . 定理 (クロネッカー · ウェーバーの定理)

..

...

有理数体Q上のアーベル体は円分体に含まれる

.

Q

K

Q

(ζ

_n

) ∃ n ∈

N

Gal(K /

Q

) :

^{アーベル群}

(8)

F =

Q

( √

− 5)

を考える

.

この

2

次体に対応する

2

元

2

次形式は

, x

²

+ 5y

²

, 2x

²

+ 2xy + 3y

²

の

2

^つである

.

^特に

,

^単位元

x

²

+ 5y

²が原始的に表現する奇素数について

, x

²

+ 5y

²

= p ⇐⇒ p ≡ 1, 9 (mod 20)

である

.

(9)

§ 3 (2/2)

体の拡大

:

Q

F =

Q(

√

−5)

(10)

体の拡大

:

Q

F =

Q(

√

−5)

Q

( √

− 5, √

− 1)

F ^{のヒルベルト類体}

(11)

§ 3 (2/2)

体の拡大

:

Q

F =

Q(

√

−5)

Q

( √

− 5, √

− 1)

Q

(ζ

₂₀

)

F ^{のヒルベルト類体} クロネッカー·^{ウェーバー}

(12)

ガロア対応

:

Q

F =

Q(

√

−5)

Q

( √

− 5, √

− 1)

Q

(ζ

₂₀

)

(

Z

/20

Z

)

^×

{1, 3, 7, 9}

{ 1, 9 } { 1 }

F ^{のヒルベルト類体} クロネッカー·^{ウェーバー}

(13)

§ 4 (1/10)

. 課題 ..

...3

^{次体のイデアルは}

2

次体と同じように対応できるのか？

. 予想 ..

...

3

次体

F

の整数環OF のイデアルは

, 2

元

3

次形式と対応している

(

？

)

OF

P

∆_F

⊂ ∈

a

←→ ax

³

+ bx

²

y + cxy

²

+ dy

³

(14)

マンジュル

·

バルガヴァは以下の論文を元に

,

フィールズ賞を受賞した

. M. Bhargava, Higher composition laws I: A new view on Gauss composition, and quadratic generations, Ann. of Math. (2)

159

(2004), 217–250.

M. Bhargava, Higher Composition laws II: On cubic analogues of Gauss composition, Ann. of Math. (2)

159

(2004), 865–886.

M. Bhargava, Higher Composition laws III: The parametrization of

quartic rings, Ann. of Math. (2)

159

(2004), 1329–1360.

(15)

§ 4 (3/10)

A = (a, b, c , d , e , f , g , h) ∈

Z⁸^に対し

,

c d

a b

g e

h f

を考える

.

つの行列

M

₁

=

(

a b c d

)

, N

₁

=

(

e f g h

)

, M

2

=

(

a c e g

)

, N

2

=

(

b d f h

)

, M

₃

=

(

a e b f

)

, N

₃

=

(

c g d h

)

(16)

3

^つの

2

^元

2

^次形式

Q

_i^A

(x, y) := − det(M

_i

x − N

_i

y). (i = 1, 2, 3) 2

^元

2

次形式での同値関係を立方体に拡張できる

.

^{その同値関係を}

∼

^′^をする

. . 定理

..

...

D

_QA

1

= D

_QA

2

= D

_QA 3

.

Q

₁^A

, Q

₂^A

, Q

₃^Aの判別式を立方体Aの判別式という

.

C

_D

:= { A ∈

Z⁸

| Q

_i^A

∈ P

_D

} . (D : D ≡ 0, 1 (mod 4)

となる整数

)

(17)

§ 4 (5/10)

D : D ≡ 0, 1 (mod 4)

^{となる整数}

.

∃A

0

∈ C

D

s.t. Q

₁^A⁰

= Q

₂^A⁰

= Q

₃^A⁰

. Q

_id,D

:= Q

_i^A⁰

. (i = 1, 2, 3)

. 定理 ( バルガヴァ , 2004, Theorem 1) ..

...

P

D

/ ∼

^に対し

,

^以下の

3

つの条件を満たすような群の演算

·

^{が一意に存在} する

:

(1) Q

_id,Dは単位元である

;

(2) Q

₁^A

· Q

₂^A

· Q

₃^A

= Q

_id,D

; ( ∀ A ∈ C

_D

)

(3) Q

₁

· Q

₂

· Q

₃

= Q

_id,Dとなる

Q

₁

, Q

₂

, Q

₃に対し

,

∃ 1A ∈ C

_D

/ ∼ s.t. Q

₁^A

= Q

₁

, Q

₂^A

= Q

₂

, Q

₃^A

= Q

₃

.

(18)

0

D ≡ 0 (mod 4)

1 0

0 1

D 4

0 D ≡ 1 (mod 4)

1 1

0 1

D+3 4

1

とする

.

これらを判別式

D

の基本立方体という

.

D ≡ 0 (mod 4)

のとき

, Q

₁^A⁰

= Q

₂^A⁰

= Q

₃^A⁰

= x

²

−

^D₄

y

²

.

D ≡ 1 (mod 4)

のとき

, Q

₁^A⁰

= Q

₂^A⁰

= Q

₃^A⁰

= x

²

+ xy +

¹⁻₄^D

y

²

.

(19)

§ 4 (7/10)

A = (a, b, c, d , e, f , g , h) ∈ C

_D

.

c d

a b

g e

h f

∼

^′

0 d

^′

1 0

g

^′

0 h

^′

f

^′

Q

₁^A

= − d

^′

x

²

+ h

^′

xy + f

^′

g

^′

y

²

, Q

₂^A

= − g

^′

x

²

+ h

^′

xy + d

^′

f

^′

y

²

, Q

₃^A

= − f

^′

x

²

+ h

^′

xy + d

^′

g

^′

y

²

.

Q

₁^A

◦ Q

₂^A

= d

^′

g

^′

x

²

+ h

^′

xy − f

^′

y

²

∼ − f

^′

x

²

− h

^′

xy + d

^′

g

^′

y

²

= Q

₃^A⁻¹

.

Q

₁^A

◦ Q

₂^A

◦ Q

₃^A

= e .

(20)

D : D ≡ 0, 1 (mod 4)

となる整数

. A

_id,D

:

判別式

D

の基本立方体

. . 定理 ( バルガヴァ , 2004, Theorem 2) ..

...

集合

C

D

/ ∼

^′^に対し

,

^以下の

2

つの条件を満たすような群の演算が一意に存在する

:

(1) A

_id,Dは単位元である

;

(2) i = 1, 2, 3

^に対し

, A 7→ Q

_i^A^{という写像は}

, P

_D

/ ∼

^{への群準同型写像で} ある

.

(21)

§ 4 (9/10)

A, B ∈ C

D

/ ∼

^′

.

Q

₁^A

◦ Q

₂^A

◦ Q

₃^A

= Q

₁^B

◦ Q

₂^B

◦ Q

₃^B

= e . (Theorem 1 (2)

^より

) Q

_i

= Q

_i^A

◦ Q

_i^B とする

. (i = 1, 2, 3)

Q

₁

◦ Q

₂

◦ Q

₃

= e .

∃ 1C ∈ C

_D

/ ∼

^′

s.t. Q

_i^C

= Q

_i

. (i = 1, 2, 3)

(Theorem 1 (3)

^より

)

このとき

, A ◦ B := C

^{と定義する}

.

(22)

疑問 ..

...

2

つの

2

元

3

次形式

f , g

に対し

,

f ◦ g = ？

b c

a b

c b

d

c

ガウスの 2 次形式論とクロネッカー · ウェーバーの定 理についての考察

.

...