代数学 2 の配布資料など
川口 周
大阪大学理学研究科数学専攻
代数学2は，3年生2学期の選択科目（演義付き）で，環と環上の加群の講義です．私は，2010年度と2011 年度に代数学2を担当しました．2011年度1学期に代数学序論の科目を担当したこともあり∗，2010年度と比 べ2011年度では，環の準同型定理あたりまでを少し軽くして（レジュメ１の内容をだいたい２回半ぐらい），講 義を進めました．このファイルはそのときの配布資料などをまとめたものです．講義で十分に扱えなかった部分
（Zornの補題の使い方，ネター環の準素イデアル分解の例，アルティン環，可換と限らない環での扱いなど）は，
演義で扱ってもらいました．（2012年1月31日）
このファイルには以下のものが含まれています．（一部加筆訂正済みです．）
• この資料の説明：このページ（2ページ）
• レジュメ1：環の基礎（復習）（6ページ）
環の定義と例・体・多項式環・整域，部分環・イデアル・素イデアル・極大イデアル・剰余環，環の準 同型写像・準同型定理
• レジュメ2：中国剰余定理（Chinese remainder theorem）（2ページ）
単元・べき零元，イデアルの和・積，環の直積，中国剰余定理
• レジュメ3：商環S−1Aと局所化（2ページ）
商環・局所化，S−1AのイデアルとAのイデアルの関係，局所環
• レジュメ4：ユークリッド整域，単項イデアル整域（PID），一意分解整域（UFD）（4ページ）
ユークリッド整域，単項イデアル整域（PID），一意分解整域（UFD），UFD上の多項式環はUFD，UFD と正規環
• レジュメ5：ネター環（4ページ）
昇鎖条件・ネター環の定義， ネター環上の多項式環はネター環（ヒルベルトの基底定理）・準素イデア ル分解，補足：有限群に関するC上の不変式環の有限生成性，補足：演習問題
• レジュメ6：環上の加群の基礎（6ページ）
加群の定義と例，部分加群・有限生成加群・剰余加群，加群の準同型写像・準同型定理，加群の直積・
直和・自由加群，行列式のトリック（ケーリー・ハミルトンの定理と中山の補題）
• レジュメ7：単項イデアル整域（PID）上の有限生成加群，単因子論（6ページ）
PID上の有限生成加群の構造定理・単因子論，有限アーベル群・有限生成アーベル群の基本定理，行列 の単因子に関する定理・有限生成加群の構造定理などの存在部分の証明，一意性の部分の証明につい て，補足：演習問題
• レジュメ8：加群の完全列と可換図式， テンソル積，Hom（4ページ）
加群の完全列と可換図式， テンソル積，Homと完全列・テンソル積と完全列
• 試験問題（8ページ）
∗代数学序論の配布資料は，同じフォルダ内の˜/11IntroAlgebra.pdfにあります．
2010年度（中間試験と略解，期末試験），2011年度（期末試験）
• Appendix：授業評価アンケート，自分のための覚書き（4ページ）
2010年度，2011年度
この講義は，教科書の指定していませんが，参考書として以下の本を挙げました．
[AM] Atiyah, MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969.
[堀田] 堀田良之『代数入門』裳華房, 1987.
[桂] 桂利行『代数学１，２』東京大学出版会, 2004.
[森田] 森田康夫『代数概論』裳華房, 1987.
このレジュメの作成には，上にあげた本の他に，以下の本を参考にさせて頂きました．
[松村] 松村英之『可換環論』裳華房, 1980.
[向井] 向井茂『モジュライ理論１』岩波書店, 1998.
[渡辺] 渡辺敬一『環と体』朝倉書店, 2002.
2011年度 代数学2 レジュメ1
環の基礎（復習）
1学期の代数学序論の講義で，群，環，体という言葉が出て来た．環については，部分環，イデアル，剰余環，
準同型定理などを習った．ここでは，復習をかねて，このような環の基礎事項について述べる．いろいろな概念が でてくるが，抽象的に感じたときは，具体的な環，例えばZや体K，あるいは多項式環K[X1, . . . , Xn]（あるい は，それの剰余環）でどうなっているかを考えるとよいかもしれない．
1.1 環の定義と例，体，多項式環，整域
おおざっぱに言って，環は和+と積·とよばれる二つの演算が定まっている集合で，これら二つの演算によっ て和差積が考えられるようなものの集まりである．
定義1.1(環). 和（加法）+と積（乗法）·の定まった集合Aが環（ring）であるとは，次の条件をみたすときに いう．
(i) 任意のa, b, c∈Aに対して，(a+b) +c=a+ (b+c)である．（和の結合則）
(ii) 任意のa, b∈Aに対して，a+b=b+aである．（和の交換則）
(iii) 零元とよばれる元0∈Aが存在して，任意のa∈Aに対して，a+ 0 = 0 +a=aである．（零元の存在）
(iv) 任意のa∈Aに対して，a+b=b+a= 0となる元b∈Aが存在する．このbを−aと書く．（和に関する 逆元の存在）
(v) 任意のa, b, c∈Aに対して，(a·b)·c=a·(b·c)である．（積の結合則）
(vi) 任意のa, b, c∈Aに対して，a·(b+c) =a·b+a·cおよび(a+b)·c=a·c+b·cが成り立つ．（分配則）
注意. (a) 環は，集合AとAの二つの演算+,·の組(A,+,·)である．(A,+,·)を略して，Aと書いている．
(b) 条件(i)–(iv)は，「Aが加法+に関して，アーベル群をなす」と一言でいえる．零元(和に関する 単位元)は唯一存在する
ので，0で表している．また，a∈Aの和に関する逆元は（aに応じて）唯一存在するので，それを−aで表している．
(c) a·bをしばしばabと書く．
定義1.2(単位元をもつ可換環). 環Aが単位元をもつ可換環（commutative ring with the identity）であるとは，さ らに次の条件をみたすときにいう．
(vii) 任意のa, b∈Aに対して，a·b=b·aである．（積の交換則，積の可換性）
(viii) 単位元とよばれる元1∈Aが存在して，任意のa∈Aに対して，a·1 = 1·a=aである．（1の存在）
注意. 環の単位元は存在すれば唯一である．単位元を1で表している．
例1.3. (a) 整数全体Zは単位元をもつ可換環である．実数を係数とする多項式全体R[X]，複素数を係数とする多項式全体 C[X]も単位元をもつ可換環である．
(b) mを0でない整数とし，Z[√
m] ={a+b√
m|a, b∈Z}とおく．(a+b√
m) + (c+d√
m) = (a+c) + (b+d)√ m， (a+b√
m)·(c+d√
m) = (ac+mbd) + (ac+bd)√
mという，通常の和と積で，Z[√
m]は単位元をもつ可換環である．
(c) Rnの開集合U 上で定義された連続関数全体C0(U)に，(f+g)(x) :=f(x) +g(x),(f·g)(x) := f(x)g(x)（f, g ∈ C0(U), x∈U）で，和+と積·を定める．このとき，C0(U)は単位元をもつ可換環である．零元は定数関数0，単位元 は定数関数1である．
例1.4(「単位元をもつ可換環」ではない環の例). (a) 偶数全体2Zは，単位元を持たない可換環である．
(b) n≥2とする．複素数を成分とするn×n行列全体Mn(C)は，単位元をもつ非可換環である
(c) n≥2とする．偶数を成分とするn×n行列全体Mn(2Z)は，（行列の和と積に関して）単位元を持たない非可換環で ある．
問1.1. 単位元をもつ可換環において，条件(i)–(viii)から，(−1)·(−1) = 1が従うことを示せ．
例1.5(零環). 一つの元からなる集合A={0}に，0 + 0 = 0と0·0 = 0で和と積を定めた環を零環（zero ring）という．零 環は単位元をもつ可換環である（1 = 0である）．零環は例外的なことが多い．
零環でない単位元をもつ可換環の定義に，「積に関する逆元の存在」の条件を加えたものが体である．おおざっ ぱに言って，体は和差積商（四則演算）のできるようなものの集まりである.
定義1.6(体). 零環でない単位元をもつ可換環Kが体（field）であるとは，0でない任意の元a∈Kに対して，
ab= 1となる元b∈Kが存在するときにいう．このbをa−1と書く．（講義では，体の積は可換と仮定する．）
注意. Aが体のとき，0でない元a∈Aの乗法に関する逆元は（aに応じて）唯一存在するので，それをa−1で表している．
例1.7. 有理数全体Q,実数全体R,複素数全体Cは体である．整数全体Zは単位元をもつ可換環であるが，体ではない．
注意. 環を表す記号としてA,Rを用いることが多い．これは環を表すフランス語のanneau，英語のringの頭文字から来てい ると思われる．体を表す記号としてF,Kを用いることが多い．これは体を表す英語のfield，ドイツ語のKörperの頭文字か ら来ていると思われる．
この講義では，以下，単に環といえば 単位元をもつ可換環と仮定する．
多項式環
定義1.8(1変数多項式環). Aを環とする．Xを変数（不定元）とする．a0, a1, . . . , an∈Aに対して，形式的に f(X) =a0+a1X+· · ·+anXn
を考え，これを Aを係数とする変数 X の多項式という．a0, a1, . . . , an をf(X)の係数（coefficient）という．
an 6= 0のとき，nをf(X)の次数（degree）とよび，degf またはdeg(f(X))で表す．ただし，f(X) = 0に対し ては，deg 0 =−∞とおく．
二つの多項式が等しいのは，二つの多項式の対応する係数がそれぞれ等しいときと定める．また，二つの多項 式の和+と積·を，通常のように（つまりA=R,Cのときと同じように）定める．Aを係数とする変数Xの多 項式全体をA[X]で表す．A[X]は上の和と積に関して，環になることがわかる．A[X]をA上の1変数多項式環
（polynomial ring in one variable overA）という．
定義 1.9(n変数多項式環). A を環とする．n個の変数X1, X2, . . . , Xn を変数（不定元）とする A係数の多 項式全体のなす環A[X1, X2, . . . , Xn]は，帰納的に，A[X1, X2, . . . , Xn] := (A[X1, X2, . . . , Xn−1])[Xn] （環 A[X1, X2, . . . , Xn−1]上のXnを変数とする1変数多項式環）で定義される．A[X1, X2, . . . , Xn]の元は，
f(X1, X2, . . . , Xn) = X
有限和
ai1i2...inX1i1X2i2· · ·Xnin
の形で表される．ただし，i1, i2, . . . , inは0以上の整数を動き，ai1i2...in∈Aである．A[X1, X2, . . . , Xn]をA上 のn変数多項式環（polynomial ring innvariables overA）という．
例1.10. Kを体とする．定義1.8，定義1.9の特別な場合として，K[X]，K[X1, X2, . . . , Xn]が考えられる．またZ[X]， Z[X1, X2, . . . , Xn]が考えられる．
整域
定義1.11(整域). 零環でない環Aが整域（integral domain）であるとは，Aの任意の元a, bに対して，「ab = 0 =⇒ a= 0またはb= 0」が成り立つときにいう．
環Aの元a∈Aに対し，0でない元a0 ∈Aが存在して，aa0 = 0となるとき，aをAの零因子（zero divisor） という．零環でない環Aが整域であることは，Aは0以外の零因子をもたない と言い換えられる．
例1.12. Zは整域である．体は整域である．
命題1.13. Aが整域のとき，1変数多項式環A[X]も整域である．
例1.14. Kを体とする．K上のn変数多項式環K[X1, X2, . . . , Xn]は，帰納的に(K[X1, . . . , Xn−1])[Xn]として定義され たから（例1.9参照），命題1.13を繰り返し用いて，K上のn変数多項式環K[X1, X2, . . . , Xn]は整域である．また，命 題1.13を繰り返し用いて，Z上の多項式環Z[X]，Z[X1, X2, . . . , Xn]も整域である．
問1.2. 有限個の元からなる整域は体であることを示せ．（ヒント：aを整域Aの0でない元とする．写像A→A, x7→x·a は単射であることを示せ．Aが有限個の元からなるとき，さらに何がいえるか．）
1.2 部分環，イデアル，素イデアル，極大イデアル，剰余環
部分環
定義1.15(部分環). Aを環とし，BをAの部分集合とする．BがAの部分環（subring）であるとは次の条件を みたすとき単位元にいう．
(i) Aの和と積をBに制限したものによって，Bは環になる．
(ii) Bの単位元1BはAの単位元1に一致する．
注意. (a) テキストによっては，部分環の定義を，条件(i)のみで(ii)は仮定しないこともある．
(b) (i)が成り立っても(ii)がなりたたない例がある．例えば，A=Z×Z:={(n, m)|n, m∈Z}は成分ごとの和と積により
環となり，その単位元は(1,1)である．Aの部分集合B={(n,0)|n∈Z}は，Aの和と積をBに制限したものによっ て環になる．しかし，Bの単位元は(1,0)であり，Aの単位元とは異なる．（ちなみに，Z×Zはレジュメ2で扱う環の 直積の例である．）
例1.16. ZはQの部分環である．ZはRやCの部分環でもある．
次の補題は，環Aの部分集合Bが部分環になっているのを確かめるために使える．
補題1.17. Aを環とし，BをAの部分集合とする．Bが次の条件をみたせば，BはAの部分環である．
(i) 任意のa, b∈Bに対して，a+b, −a, ab∈Bである．
(ii) 1をAの単位元とするとき，1∈Bである．
定義1.18. Aを環とし，Bを部分環とする．a1, . . . , an∈Aとする．このとき，
B[a1, . . . , an] =
X
有限和
bi1i2...inai11ai22· · ·ainn
¯¯¯¯
¯¯ i1, i2, . . . , inは0以上の整数を動き，bi1i2...in ∈B
とおき，B上a1, . . . , anで生成された部分環という．
例1.19. ZをCの部分環とみなし，√
m∈C（mは整数）をとる．このとき．Cの部分環として，Z[√
m] ={Pn i=0ci(√
m)i| n≥0, ci∈Z}={a+b√
m|a, b∈Z}である．これは，例1.3(b)の書き方と合っている．
イデアル，素イデアル，極大イデアル
定義1.20(イデアル). 環Aの空でない部分集合Iがイデアル（ideal）であるとは次の条件をみたすときにいう．
(i) 任意のa, b∈Iに対して，a+b∈I．
(ii) 任意のx∈Aとa∈Iに対して，xa∈I．
注意. (a) 上で約束したように，環といえば 単位元をもつ可換環と仮定している．可換とは限らない環Aの場合には，左イデ アルと右イデアルが考えられる．ここで，Aの部分集合Iが左イデアルであるとは，上の条件(i)と(ii)をみたすものであ る．Aの部分集合Iが右イデアルであるとは，上の条件(i)に加えて，「(ii)0：任意のx∈Aとa∈Iに対して，ax∈I」 をみたすものである．Aが可換環のときには，xa=axなので，左右の区別は必要ない（単にイデアルという）．
(b) イデアルの定義は，線形代数ででてくる部分ベクトル空間の定義に似ている．環上の加群を扱うときに，この類似につい てもう少し述べる．ちなみに，イデアルという言葉は数学者クンマー（Kummer）の考えた「理想数」に由来するそうで ある．
補題1.21. Iを環Aのイデアルとする．このとき，0∈Iである．また，a, b∈Iに対して，−a∈I，a−b∈Iで ある．
定義1.22. Aを環とする．
(a) U を A の 空 で な い 部 分 集 合 と す る ．こ の と き ，(U) := {x1u1 +· · ·+xnun | n ≥ 1, u1, . . . , un ∈ U, x1, . . . , xn∈A}とおくと，(U)はAのイデアルになる．(U)をUで生成されるイデアルという．
(b) n個の元a1, . . . , an∈Aに対して，
(a1, . . . , an) :={x1a1+· · ·+xnan |x1, . . . , xn∈A}
とおくと，(a1, . . . , an)はAのイデアルになる（(a)でU ={a1, . . . , an}の場合）．このように有限個の元 a1, . . . , anで生成されるイデアルを，有限生成イデアル（finitely generated ideal）という．
(b) Aの1個の元aによって生成されるイデアル(a) ={xa|x∈A}を，単項イデアル（または，主イデアル）
（principal ideal）という．
例1.23. (a)環Aについて，(0) ={0}，(1) =Aである．これらは単項イデアルである．
(b)体Kのイデアルは(0)かK= (1)である．逆に，環Aのイデアルが(0)と(1)の2つしかないとき，Aは体である．
(c)m6= 0∈Zとする．mで割り切れるような整数全体は(m)だから，Zのイデアルである．逆に，Zのイデアルは(0) か(m)（mは0でない整数）である．
問1.3. 体K上の2変数多項式環K[X1, X2]のイデアル(X1, X2)は，単項イデアルではないことを示せ．
定義1.24(素イデアル). 環Aのイデアルpが素イデアル（prime ideal）とは，p6=Aで，Aの任意の元a, bに対 して，「ab∈p =⇒ a∈pまたはb∈p」が成り立つときにいう．
注意. 素イデアルの条件としてp6= (1) =Aを仮定するのは，整数環Zにおいて，1を素数と呼ばないことに似ている．
定義1.25(極大イデアル). 環Aのイデアルmが極大イデアル（maximal ideal）とは，m6=Aで，m(I(Aと なるイデアルIが存在しないときにいう．
例1.26. Zの素イデアルは(0)と(p)（pは素数）である．Zの極大イデアルは(p)（pは素数）である．
命題1.27. 環Aの任意のイデアルI((A)に対して，Iを含む極大イデアルmが存在する．
注意. 命題1.27の証明の大筋を述べる．M:={J|JはI⊆J(Aをみたすイデアル}とおき，Mの包含関係に関する極 大元mをとってこればよい．このような極大元mの存在には，選択公理と同値なZornの補題を用いる．Zornの補題とその 使い方については，代数学演義の方で，もう少し詳しく扱われる予定である．
剰余環
Aを環，IをAのイデアルとする．x, y∈Aに対し，x∼y ⇐⇒def x−y∈Iと定めると，∼は同値関係に なる．同値類のなす集合をA/Iと書く．x∈Aを含む同値類はx+I:={x+a|a∈I}で与えられる．同値類
の集合に，
(x+I) + (y+I) := (x+y) +I (1.1)
(x+I)·(y+I) :=x·y+I (1.2)
で和と積を定義する．（(1.1)の2つ目の+が新しく定義した和の記号であり，(1.2)の1つ目の·が新しく定義し た積の記号である．）
定理1.28. (1.1),(1.2)は同値類の代表元の取り方によらずに定まり（well-definedという），A/Iはこの和と積に
関して環になる．A/Iの零元は0 +Iであり，単位元は1 +Iである．x+Iの和に関する逆元は−x+Iである．
A/IをAのIに関する剰余環（residue class ring）という．
注意. 同値類x+Iをxと書くこともある．この書き方に従うと，(1.1)，(1.2)はそれぞれ，x+y:=x+y，x·y:=x·yと なる．また，A/Iの零元は0，単位元は1となる．
例1.29. mを正の整数とし，Zのイデアル(m)に関する剰余環Z/(m)を調べよう．aを整数とする．aをmで割ったときの
余りをrとすると，a−r∈(m)である．よって，整数aを含む同値類a=a+ (m)はr=r+ (m)に等しい．0≤r < mだか ら，Z/(m)はm個の元0,1, . . . , m−1からなる環である．Z/(m)の和と積は，例えば，Z/(5)では，2 + 3 = 2 + 3 = 5 = 0， 2·3 = 2·3 = 6 = 1である．
イデアルIが素イデアル，極大イデアルであることは，剰余環A/Iの性質で言い換えることができる．
命題1.30. Iを環Aのイデアルとする．このとき，以下が成り立つ．
(a) Iは素イデアル ⇐⇒ A/Iは整域．
(b) Iは極大イデアル ⇐⇒A/Iは体．
体は整域なので（例1.12参照），命題1.30より，極大イデアルは素イデアルである．（直接示すこともできる．）
1.3 環の準同型写像，準同型定理
環Aから環Bへの写像を考える．A, Bにはそれぞれ和と積が定まっているので，和と積に関してよく振る舞 う（「演算を保つ」）写像を考えるのは自然だろう．
定義1.31(準同型写像). A, Bを環とする．写像ϕ:A→Bが（環の）準同型写像（homomorphism）であるとは，
次の条件をみたすときにいう．
(i) 任意のa1, a2∈Aに対して，ϕ(a1+a2) =ϕ(a1) +ϕ(a2)． (ii) 任意のa1, a2∈Aに対して，ϕ(a1a2) =ϕ(a1)ϕ(a2)．
(iii) ϕ(1A) = 1B．ただし，1A,1BはそれぞれA, Bの単位元とする．
注意. テキストによっては，環の準同型写像の定義を，(i), (ii)のみで，(iii)は仮定しないことがある．
環の準同型写像ϕ:A →Bが全単射のとき，ϕを同型写像(isomorphism)という．これは，ある準同型写像 ψ:B→Aが存在して，ϕ◦ψ= IdBかつψ◦ϕ= IdAとなることと同値である（Idは恒等写像を表す）．2つの 環A, Bの間に同型写像が存在するとき，AとBは同型であるといい，A∼=Bと表す．
例1.32. (a) 整数を有理数の元とみなす自然な写像Z→Qは単射な準同型写像である．
(b) Kを体とし，ϕ:K[X]→Kを，ϕ(f(X)) =f(0)（多項式f(X)にその定数項を対応させる写像）で定める．ϕは全射 な準同型写像である．
(c) Aを環，IをAのイデアルとする．π:A→A/I,a7→a+Iは全射な準同型写像である．
問1.4. QからQ への環の準同型写像ϕは恒等写像であることを示せ．（ヒント：まず，任意の正の整数n に対して，
ϕ(n) =ϕ(1 + 1 +· · ·+ 1) =nϕ(1) =nであることが分かる．） 定義1.33(核と像). ϕ:A→Bを環の準同型写像とする．
(a) ϕの核（kernel）は，Kerϕ:={a∈A|ϕ(a) = 0}で定義される．
(b) ϕの像（image）は，Imϕ:={ϕ(a)∈B|a∈A}で定義される．
例1.34. A1をA2の部分環とし，a1, . . . , an∈A2とする．ϕ:A1[X1, . . . , Xn]→A2を，ϕ(f(X1, . . . , Xn)) =f(a1, . . . , an) で定める．このとき，ϕは準同型写像で，Imϕ=A1[a1, . . . , an]である．ここで，A1[a1, . . . , an]は（定義1.18にある）A1
上a1, . . . , anで生成されたA2の部分環である．
命題1.35. ϕ:A→Bを環の準同型写像とする．JをBのイデアル，A0をAの部分環とする．
(a) ϕ−1(J) ={a∈A|ϕ(a)∈J}はAのイデアルである．特に，KerϕはAのイデアルである．
(b) ϕ(A0) ={ϕ(a)∈B|a∈A0}はBの部分環である．特に，ImϕはBの部分環である．
問1.5. ϕ:A→Bを環の準同型写像とする．IをAのイデアルとする。
(a) ϕ(I) ={ϕ(a)∈B|a∈I}は,Bのイデアルとは限らないことを示せ．（ヒント：例えば，ϕ:Z→Qを考える．） (b) ϕが全射ならば，ϕ(I)はBのイデアルであることを示せ．
定理1.36(準同型定理). 環の準同型写像ϕ:A→Bは，環の同型写像 ϕ:A/Kerϕ−→∼= Imϕ を導く．ϕは，ϕ(a+ Kerϕ) =ϕ(a)で与えられる．
例1.37. (a) R[X]からRへの全射な準同型写像ϕ:R[X]→Rを，ϕ(f(X)) =f(0)で定める．このとき，Kerϕ= (X)で
ある．従って，準同型定理より，同型R[X]/(X)∼=Rを得る．ところで，Rは体だから，命題1.30(b)より(X)はR[X]
の極大イデアルである（直接示すこともできる）． (b) i =√
−1とする．R[X]からCへの全射な準同型写像ϕ : R[X] → Cを，ϕ(f(X)) = f(i)で定める．このとき，
Kerϕ= (X2+ 1)である．従って，同型R[X]/(X2+ 1)∼=Cを得る．Cは体だから，命題1.30(b)より(X2+ 1)は R[X]の極大イデアルである（直接示すこともできる）．
(c) Z[X]からZ[√
2]への全射な準同型写像ϕ :Z[X]→ Z[√
2]を，ϕ(f(X)) = f(√
2)で定める．このとき，Ker ϕ = (X2−2)である．従って，同型Z[X]/(X2−2)∼=Z[√
2]を得る．Z[√
2]は整域だから，命題1.30(a)より(X2−2)は Z[X]の素イデアルである．一方，Z[√
2]は体ではないから，(X2−2)はZ[X]の極大イデアルではない．
定理1.38. Aを環，Iをイデアル，π:A→A/I, a7→a+Iを全射準同型写像とする．
(a) {AのイデアルJでJ ⊇Iであるもの} ←→ {1:1 A/I のイデアルJ0}という自然な全単射がある．左の集合の Jに右の集合のJ0 =π(J)が対応する．右の集合のJ0に左の集合のJ =π−1(J0)が対応する．
(b) 上の対応を素イデアルに制限して，{Aの素イデアルpでp⊇Iであるもの}←→ {1:1 A/Iの素イデアルp0}と いう自然な全単射を得る．
問1.6. ϕ:A→Bを環の準同型写像とする．
(a) pがBの素イデアルのとき，ϕ−1(p)はAの素イデアルであることを示せ．
(b) mがBの極大イデアルのとき，ϕ−1(m)は必ずしもAの極大イデアルではないことを示せ． （ヒント：例えば，自然な 埋め込み写像ϕ:Z→Qを考える．）
問1.7. Kを体，a, b∈Kとする．
(a) ϕ:K[X]→Kをf(X)∈K[X]にf(a)∈Kを対応させる写像とする（Xにaを代入する写像）．このとき，ϕは全 射な準同型写像で，Kerϕ= (X−a)を示せ．これから，環の同型K[X]/(X−a)∼=Kを示せ．さらに，(X−a)は K[X]の極大イデアルであることを示せ．
(b) ψ:K[X, Y]→Kをf(X, Y)∈K[X, Y]にf(a, b)∈Kを対応させる写像とする（Xにa，Y にbを代入する写像）． このとき，ψは全射な準同型写像で，Kerψ= (X−a, Y−b)を示せ．これから，環の同型K[X, Y]/(X−a, Y−b)∼=K を示せ．さらに，(X−a, Y −b)はK[X, Y]の極大イデアルであることを示せ．
2011年度 代数学2 レジュメ2
中国剰余定理（ Chinese remainder theorem ）
3〜4世紀の中国の本『孫子算経』に次の問題がのっている．
ある数を3で割った余りが2，5で割った余りが3，7で割った余りが2であるとき，ある数は何か．
答えは，23 (mod.105)である．これは，環の同型Z/3Z×Z/5Z×Z/7Z ∼=Z/105Zで，左辺の元(2,3,2) ∈ Z/3Z×Z/5Z×Z/7Zに右辺の元23∈Z/105Zが対応させるものの存在の系と思える．このような環の同型の 存在は，中国剰余定理（Chinese remainder theorem）と呼ばれる．ここでは，イデアルの和と積，環の直積を説明 し，環の準同型定理の応用として，中国剰余定理を証明する．最初に，レジュメ1で言い残した，単元とべき零元 の説明もする．レジュメ1で約束したように，環といえば単位元をもつ可換環と仮定する．
2.1 単元，べき零元
定義2.1(単元，べき零元). Aは零環でない環とする．
(a) u∈ Aに対し，uv = 1となる元v ∈ Aが存在するとき，uをAの単元（unit）または可逆元（invertible
element）という．Aの単元全体のなす集合をA×と書く（A∗やU(A)と書かれることもある）．
(b) a∈Aに対し，n≥1が存在してan= 0となるとき，aをAのべき零元（nilpotent element）という．
例2.2. (a) Z×={1,−1}である．Kを体とするとき，K×=Kr{0}である．
(b) Aを整域，A[X]をA上の多項式環とする．このとき，(A[X])×=A×である．（実際，f(X)g(X) = 1とすると，f(X) とg(X)の最高次の係数に注目して，f(X) =a∈A, g(X) =b∈Aで，ab= 1となることが分かる． ）
(c) (a)(b)より，Kを体とするとき，(K[X])×=Kr{0}である．帰納的に，(K[X1, . . . , Xn])×=Kr{0}である．
(d) A=Z/8Zのとき，23= 0だから2はAのべき零元である．また，(1 + 2X)(1−2X+ 4X2) = 1∈A[X]となるから，
1 + 2XはA[X]の単元である．（よって，(b)はAが整域でないときは，必ずしも成り立たない．） 問2.1. (a) 環Aの元a, bがam= 0, bn= 0をみたすとき，(a+b)m+n−1= 0を示せ．（ヒント：二項定理）
(b) √
0 :={a∈A|aはべき零元}はAのイデアルになることを示せ．√
0をAのべき零根基（nilradical）という．
問2.2. Aを環とし，a∈Aとする．1次式1 +aXが多項式環A[X]の単元であるための必要十分条件は，aがAのべき零元 であることを示せ．（ヒント：例2.2(d)参照．）
2.2 イデアルの和，積
定義2.3(イデアルの和，積). Aを環，I, JをAのイデアルとする．
(a) I+J:={a+b|a∈I, b∈J}をイデアルの和という．
(b) IJ :={a1b1+· · ·+anbn|n≥1, a1, . . . , an∈I, b1, . . . , bn ∈J}をイデアルの積という．
命題2.4. Aを環，I, JをAのイデアルとする．このとき，IJ，I∩J，I+J はいずれもAのイデアルである．
また，IJ ⊆I∩J ⊆I⊆I+J である．
問2.3. a, b，a1, . . . , am, b1, . . . , bnを環Aの元とする．
(a) (a) + (b) = (a, b)，(a)(b) = (ab)を示せ．
(b) (a1, . . . , am)+(b1, . . . , bn) = (a1, . . . , am, b1, . . . , bn)，(a1, . . . , am)(b1, . . . , bn) = (a1b1, . . . , a1bn, . . . , ambn)を示せ．
問2.4. m, nを正の整数とする．m, nの最大公約数をd，最小公倍数を`とおく．このとき，ZのイデアルI= (m)，J= (n) について，IJ= (mn)，I∩J= (`)，I+J= (d)であることを示せ．
2.3 環の直積
環A, Bに対して，直積集合A×B={(a, b)|a∈A, b∈B}に和と積を
(a, b) + (a0, b0) := (a+a0, b+b0), (a, b)·(a0, b0) := (a·a0, b·b0)
と成分ごとの和と積で定める．このように和と積を定めた直積集合A×Bは環となる．A, Bの単位元をそれぞ れ1A,1Bで表すとき，A×Bの単位元は(1A,1B)である．A×BをAとBの直積（direct product）という．同 様に，n個の環A1, . . . , Anに対して，環の直積A1× · · · ×Anが定義される．
問2.5. 環Aの元xはx2=xをみたすとする．（このようなxをべき等元（idempotent）という．）y= 1−xとおく．
(a) xy= 0,y2=yを確かめよ．
(b) A1={ax|a∈A}とおく．和ax+bx:= (a+b)x,積(ax)(bx) := (ab)xにより，A1は環になることを示せ．A1の単 位元はx= 1xであることを示せ．（注意：x6= 1のとき，A1の単位元xはAの単位元1と異なるので，A1はAの部分
環（定義1.15(ii)参照）ではない．）
(c) A2={ay|a∈A}とおけば，A1と同様にA2も環となる．このとき，環の同型A∼=A1×A2を示せ．
2.4 中国剰余定理
定理2.5(2個のイデアルの場合). I, Jを環Aのイデアルで，I+J=Aをみたすとする．このとき，I∩J=IJ である．さらに，環の準同型写像ϕ:A→A/I×A/J, a7→(a+I, a+J)は，次の環の同型を導く：
A/IJ∼=A/I×A/J.
証明の概略． I+J=Aならば，IJ=I∩Jとなることは次のように見ればよい．IJ⊆I∩JはIJの定義とI, Jがイ デアルであることからすぐに分かる．逆の包含関係を示すために，任意のa∈I∩Jをとる．I+J=Aより，x+y= 1と なるx∈Iとy∈Jが存在する．すると，a= 1·a= (x+y)·a=xa+ya∈IJとなる．よって，IJ⊇I∩Jも分かる．
ϕに準同型定理を適用すると，環の同型A/(I∩J)∼=A/I×A/Jを得る．実際，Kerϕ=I∩Jである．ϕが全射である ことには，I+J=Aを用いる．
n個のイデアルの場合は次のようになる．（I1+I2· · ·In=Aが示せ，nに関する帰納法で証明できる．） 定理2.6(n個のイデアルの場合). I1, I2, . . . , In はAのイデアルで，任意のi, j（i 6=j）に対し，Ii+Ij =A をみたすとする．このとき，I1 ∩I2 ∩ · · · ∩In = I1I2· · ·In である．さらに，環の準同型写像 ϕ : A → A/I1×A/I2× · · · ×A/In, a7→(a+I1, a+I2, . . . , a+In)は，次の環の同型を導く：
A/I1I2· · ·In ∼=A/I1×A/I2× · · · ×A/In.
例2.7. (a) m, nを互いに素な整数とする．このとき，xm+yn= 1となる整数x, yが存在するから，(m) + (n) =Zとな る．また，(m)∩(n) = (m)(n) = (mn)である．このとき，定理2.5は，環の同型Z/(mn)∼=Z/(m)×Z/(n)を述べて いる．(mn) =mnZなどで表せば，Z/mnZ∼=Z/mZ×Z/nZとも書ける．
(b) m=pe11· · ·perrを正の整数mの素因数分解とすると，定理2.6より，環の同型Z/mZ∼=Z/pe11Z× · · · ×Z/perrZが成り 立つ．特に，m= 105 = 3·5·7のとき，環の同型Z/105Z∼=Z/3Z×Z/5Z×Z/7Zが成り立つ（『孫子算経』の場合）． (c) 例1.37(b)より，環の同型R[X]/(X2+ 1)∼=Cが存在した．ここでは，イデアル(X2+ 1)を(X2−1)に変えたとき，環の
同型R[X]/(X2−1)∼=R×Rが存在することを見よう．実際，A=R[X],I= (X−1),J= (X+1)とおけば，I+J=A でI∩J=IJ= (X2−1)となる．中国剰余定理より，環の同型R[X]/(X2−1)∼=R[X]/(X−1)×R[X]/(X+ 1)が 成り立つ．問1.7(a)より，R[X]/(X−1)∼=R,R[X]/(X+ 1)∼=Rだから，環の同型R[X]/(X2−1)∼=R×Rを得る．
作り方より，この同型はf(X) + (X2−1)∈R[X]/(X2−1)に(f(1), f(−1))∈R×Rを対応させることで得られてい る．（中国剰余定理でなく，ϕ:R[X]→R×R, f(X)7→(f(1), f(−1))に準同型定理を用いても，この同型を示せる．）
2011年度 代数学2 レジュメ3
商環 S − 1 A と局所化
慣れ親しんだ分数（有理数）を考えよう．例えば，24 = 12である．また，和については，24+13 =2·3+44·3·1 = 1012 であり，この値は 24を 12と約分して計算した 12+13 = 1·3+22·3·1 = 56 に等しい．積についても同様である．これを 環の言葉で見直すと，Zの二つの元m, n（n6= 0）から，新しい数 mn をmn0 =m0nのときには mn = mn00 である ように作り，和や積も定めて，ZからQを構成しているとみなせる．環Aと商環S−1Aの関係は，おおざっぱに いって，このZとQのような関係である．（正確には，A=Z，S=Z r{0}のときに，S−1A=Qとなる．）
3.1 商環，局所化
定義3.1(積閉集合). Aを環（つまり，単位元をもつ可換環）とする．Aの空でない部分集合Sが (i) s, t∈S=⇒st∈S
(ii) 1∈S, 06∈S
をみたすとき，Sを積閉集合（multiplicative set）という．
注意. (a) 商環の構成に関して，(ii)の 1 ∈ S は本質的でない．実際，A の部分集合T を (i)をみたすものとすれば，
S:=T∪ {1}は積閉集合になる．そして，AのTに関する商環は，AのSに関する商環と一致する．
(a) テキストによっては，積閉集合の定義に06∈Sを含めないものもある．ただし，(i)をみたす集合Sが0を含むときは，A のSに関する商環は零環になる．ここでは簡単のために，積閉集合の定義に06∈Sを含める．（特に，Aは零環ではない．） 例3.2. (a) A=Zとする．Z r{0}は積閉集合である．
(b)Kを体，A=K[X1, . . . , Xn]とする．K[X1, . . . , Xn]r{0}は積閉集合である．
(c) Aを整域とすると，Ar{0}はAの積閉集合である．（AがZ, K[X1, . . . , Xn]のときが(a)(b)である．）
(d) 環Aの非零因子全体のなす集合は積閉集合である．（Aが整域のときは，非零因子全体のなす集合はAr{0}なので，(c) の場合となる．）
(e) pを環Aの素イデアルとすると，Arpは積閉集合になる．
定義3.3(商環). Aを環，SをAの積閉集合とする．
S−1A= na
s
¯¯¯ a∈A, s∈S o
とおく．ここで，asと btが等しいというのを，
(3.3) a
s = b
t ⇐⇒ あるu∈Sが存在してu(at−bs) = 0
で定義する*2．さらに，S−1Aに次のように和+と積·を定義する（well-definedである）．
(3.4) a
s+b
t := at+bs st , a
s· b t := ab
st. S−1AをAのSに関する商環（quotient ring）という．
注意. Aが整域のときは，(3.3)は「at−bs= 0」とも同値である（「あるu∈Sが存在して」の部分がいらない）． 命題3.4. (a) 上の和と積に関して，S−1Aは環になる．S−1Aの零元は 01であり，単位元は11 である．
*2正確な定義は以下の通り．A×Sに関係∼を，(a, s)∼(b, t) ⇐⇒ あるu∈Sが存在してu(at−bs) = 0で定める．∼は同値関係 になる．asは元(a, s)を含む同値類であり，S−1Aは商集合(A×S)/∼（同値関係∼に関する同値類全体のなす集合）である．
(b) 自然な写像ι:A→S−1A, a7→a1 は環の準同型写像である．
問3.1. ι:A→S−1Aが単射であるための条件は，Sが零因子を含まないことであることを示せ．
例3.5. (a) A=Z，S=Z r{0}のとき，S−1A=Q（有理数体）になる．
(b) Kを体，A=K[X1, . . . , Xn]，S=Ar{0}のとき，
S−1A=
f(X1, . . . , Xn) g(X1, . . . , Xn)
˛˛
˛˛ f(X1, . . . , Xn), g(X1, . . . , Xn)∈K[X1, . . . , Xn], g(X1, . . . , Xn)6= 0 ff
になる．このS−1AをK(X1, . . . , Xn)と書き，K上のn変数有理関数体という．
(c) Aを整域，S=Ar{0}のとき，S−1A={ab |a, b∈A, b6= 0}は体になる．この体S−1Aを商体（quotient field）とい う．(a), (b)は(c)の特別な場合（つまり，A=ZとA=K[X1, . . . , Xn]のとき）である．
(d) Aを環，SをAの非零因子全体のなす積閉集合とする．このとき，S−1AをAの全商環（ring of total quotients）という．
(c)は(d)の特別な場合（つまりAが整域のとき）である．
(e) Aが環，pが素イデアル，S=Arpのとき，S−1AをAのpにおける局所化（localization）と呼んで，Apで表す．
例3.6. (a) A=Z，S={2n|n≥0}とする．このとき，S−1A=˘m
2n ∈Q |m∈Z, n≥0¯
である．
(b) A=Z，p= (2)とする．このとき，Ap=˘m
n |m∈Z, nは奇数¯
である．
商環S−1Aでは任意のs∈Sについてι(s) = s1 は単元になっている．実際，ι(s)·1s = 11 である． 商環S−1A はこのような性質をもつものの中で，次の意味で普遍的である．
命題3.7(普遍性). 環の準同型写像ϕ:A→Bが与えられ，任意のs∈Sについてϕ(s)がBの単元になってい るとする．このとき，環の準同型写像ψ:S−1A→Bでϕ=ψ◦ιとなるものがただ一つ存在する．
S−1AのイデアルとAのイデアルは次のように関係している．
定理3.8. Aを環，Sを積閉集合とする．ι:A→S−1Aを命題3.4(b)の環の準同型写像とする．
(a) AのイデアルIに対して，S−1I:=©a
s ∈S−1A¯¯ a∈I, s∈Sª
はS−1Aのイデアルである．逆に，S−1A の任意のイデアルJに対し，I:=ι−1(J) =©
a∈A ¯¯ a
1 ∈Jª
とおくと，IはAのイデアルであリ，さらに，
J=S−1Iが成り立つ．
(b) {Aの素イデアルpでp∩S =∅であるもの}←→ {1:1 S−1Aの素イデアルP}という自然な全単射がある．左 の集合のpに右の集合のP =S−1pが対応する．右の集合のPに左の集合のp=ι−1(P)が対応する．
問3.2. Aを環，I6=Aをイデアルとし，π:A→A:=A/Iを自然な環準同型写像とする．SをS∩I=∅であるAの積閉 集合とする．このとき，S:=π(S)はAの積閉集合で，環の同型S−1A/S−1I∼=S−1Aが成り立つことを示せ．
3.2 局所環
定義3.9(局所環). 極大イデアルがただ一つしかない環を局所環（local ring）という．Aを局所環，mをその極大 イデアルとするとき，Aが局所環と書く代わりに，(A,m)が局所環と書くこともある．
例3.10. 例3.5(e)のApは，定理3.8より，pAp ={as |a∈p, s∈Arp}を唯一の極大イデアルにもつ局所環である．
環Aの性質が，各素イデアルpでのApの性質（または，各極大イデアルmでのAmの性質）から分かること がある．
問3.3. a ∈ Aは，全ての極大イデアルm に対してιm(a) = 0 ∈ Am をみたせば，a = 0であることを示せ．ここで，
ιm:A→Amは自然な写像（命題3.4(b)の写像）である．（ヒント：I={x∈A|xa= 0}とおく．IはAのイデアルにな る．I31（つまりI=A）をいえばよい．そこで，仮にI(Aとすると，Iを含む極大イデアルmが存在する．）
問3.4. Kを体とし，K上の1変数べき級数環K[[X]]をK[[X]] =˘P∞
i=0aiXi|ai∈K¯
で定める．K[[X]]は，(X) = XK[[X]]を唯一の極大イデアルにもつ局所環であることを示せ．
2011年度 代数学2 レジュメ4
ユークリッド整域，単項イデアル整域（ PID ），一意分解整域
（ UFD ）
整数環Zはさまざまな性質を持つ．(a)Zにおいて，余りのある割り算ができる．(b)Zの任意のイデアルは単 項イデアル（適当な整数m∈Zが存在して(m)の形）である．(c)Zにおいて，素因数分解の存在と一意性が成 り立つ．以下でみるように，(a), (b), (c)は互いに無関係な性質ではなく，(a)が一番強く，(b), (c)と順に続く．
おおざっぱにいって，(a), (b), (c)の性質をみたす整域を，それぞれ，ユークリッド整域，単項イデアル整域
（PID），一意分解整域（UFD）という．以下では，これらの整域の定義と例，基本的な性質を説明する．特に，
ユークリッド整域 =⇒ 単項イデアル整域（PID）=⇒ 一意分解整域（UFD） が成り立つことをみる．また，AがUFDのとき，多項式環A[X]もUFDになることをみる．
4.1 ユークリッド整域
有理数 72 は整数ではないので， Zにおいて，7を2 で割りきれないが，余り1という概念を持ち出せば，
7 = 3·2 + 1と書ける．ユークリッド整域は，おおざっぱにいって，このような余りのある割り算（division with
remainder）ができるような整域である．以下の定義で，Z≥0は0以上の整数全体のなす集合を表す．
定義4.1(ユークリッド整域). Aを整域とする．次の二つの性質(i)(ii)をみたす関数d:Ar{0} →Z≥0が存在す るとき，Aをユークリッド整域（Euclidean domain）という．
(i) 任意のa∈Aと0でない任意のb∈Aに対して，q, r∈Aが存在して，
a=qb+r, r= 0またはd(r)< d(b) が成り立つ．
(ii) 0でない任意のa, b∈Aに対して，d(a)≤d(ab)が成り立つ．
注意. (a) Z≥0のかわりに，整列集合Wへの写像d:Ar{0} →Wを用いてユークリッド整域を定義することもある．
(b) 条件(ii)は本質的でない．実際，(i)をみたす関数d:Ar{0} →Z≥0が存在するとき，dを適当に変えて，(i)(ii)をみたす 関数de:Ar{0} →Z≥0が構成できることが知られている．テキストによっては条件(ii)を定義にいれないものもある．
(c) 2つの整数a, b（|a|>|b|>0）の最大公約数を求める方法に，aをbで割った余りrを求め，今度はbをrで割った余り を求め，と繰り返していくユークリッドの互除法がある（代数学序論などで習ったかもしれない）．ユークリッド整域の名 前は，ユークリッドの互除法から来ているそうである．
例4.2. Zはユークリッド整域である．実際，d:Z r{0} →Z≥0として，d(a) =|a|（絶対値） をとると，(i)(ii)をみたす．
例4.3. 体K上の一変数多項式環K[X]はユークリッド整域である．実際，d :K[X]r{0} →Z≥0として，d(f(X)) = deg(f(X))（多項式f(X)の次数） をとると，(i)(ii)をみたす．
例4.4. Z[√
−1] ={a+b√
−1∈C|a, b∈Z}をガウス（Gauss）の整数環という．α=a+b√
−16= 0∈Z[√
−1]に対し，
d(α) :=|α|2=αα= (a+b√
−1)(a−b√
−1) =a2+b2とおく．dは(i)(ii)をみたし，Z[√
−1]はユークリッド整域である．
実際，α, β∈Z[√
−1],β6= 0に対し，α/β=e+f√
−1（e, f ∈R）とおく．e, fに最も近い整数をm, nとする．このと き，|m−e| ≤1/2,|n−f| ≤1/2である．q=m+n√
−1∈Z[√
−1],r=α−qβ∈Z[√
−1]とおくと，α=qβ+rで，
r= 0またはd(r)< d(β)が確かめられ，(i)が分かる．(ii)も確かめられる．
問4.1. ρ=−1+2√−3とおく．Z[ρ] ={a+bρ|a, b∈Z}はユークリッド整域であることを示せ．（ヒント：ρはX2+X+1 = 0
