解答例２次数学セレクション

(1)

１ [神戸大・文]

D D = ′ $

2

E E = ′ %

2 とおくと $2 ′ %2 ′はそれぞれDEと同じ向きの単位ベクトルである。

これから 2$′+2%′=2&′とすると線分2&′は2$′ %

2 ′を隣り合う辺とするひし形の対角線となる。よってWを実数として 2&=W2&′=W2$′+2%′である点&は ∠;2<の二等分線上にある。

D = E =なのでより

(

)

23=W D+E ………①

ここで 2' の中点を $ として点 ' を定義すると

$' = $% =から実数Vを用いてより

(

$' $%

)

2$

23= +V +

(

)

E D D

V

D₊ ₊ −

=

(

+V

)

D+VE………② D Eは次独立なので①②より

W = + V………③ W =V………④ ③④より W =+W W=

よって①から 23=

(

D+E

)

=D+E

［解説］

角の二等分線をひし形の対角線として表現する有名問題です。なおの点 3 は三角形2$%の傍心のつです。

2 $ ;

% <

&

&′

$′

%′

2 $ ;

% <

(2)

電送数学舎 2006 −−

２ [大阪大・理] 条件より点 * は△2$%の重心であり 23=D2$

2%

24=E なので

24 23 2% 2$

2*= + = _D + _E

*が△234の内部に含まれるための必要十分条件は

D＞ E＞ D+E＜

＜D＜＜E＜より _D＞ _E＞は成立し

D+ E＜

変形すると _E_＜D_D−_となり_D₋_＞_のもとで

D− = + D− D

E＞

よって点D Eの範囲を図示すると右図の網点部となる。ただし境界線は含まない。

［解説］

まったく同じ問題に出会ったことがあるという感覚がありますが単なる既視感かもしれません。

2

$ %

3

4 *

D E

2

(3)

３ [京都大・理] %&上に点4を固定し＜S＜＜U＜として

$%

$3= S $5=U$& △345の重心を*とすると

$& $% $4 $5 $4 $3

$*= + + = +S⋅ +U⋅ ここで $4=$4 $%=$% $&=$& とおき線分$% $&を隣りあう辺とする平行四辺形を6$とおく。

さて SU を＜S＜＜U＜を満たすように動かすと点* は6$を$4だけ平行移動した平行四辺形64の内部を動く。

ここで点 4 を辺 %& 上で点 % から点 & まで動かすと

点4は線分%&上を点%から点&まで動く。その結果平行四辺形64 は平行移動しその通過領域が点*の動く範囲である。

以上より辺 $% の三等分点を% % 辺 $& の三等分点を& & 辺%&の三等分点を' 'とおくと点*は六角形%%''&&の内部を動く。

すなわち点*の動く範囲は右図の網点部である。ただし境界線は含まない。

［解説］

独立に動く点がつありそのうちのつを固定して考えた解です。そのプロセスが記述しにくくそのため演習するのに適した問題です。

$

% 4 &

4 % &

$

% &

(4)

電送数学舎 2006 −−

４ [京都大・文] まず %$= − %&=− となり

平面$%&の法線ベクトルをQ=D E Fとおくと

%$⋅Q=D+E−F= %&⋅Q=−D+E+F=

よってD=FE=となり Q=D すると平面$%&の方程式は

[− +] = [+] =………①

さて (S T Uとおくと '(=S− T− U− Q

'( よりWを実数として'(=WQとなり

S− T− U− =W よって S=W+ T= U=W+………②

また'(の中点

(

S+ T+ U+

)

_は_平面_$%&_{上にあるので}_①より

+ + =

+ U

S _S₊_U₊₌_………③

②③より W+=W=−

②から S=−T= U=となり (− である。

［解説］

京大では本年度より出題範囲に含まれた「代数・幾何」時代の頻出題です。平面の方程式の基本事項は「ピンポイントレクチャー」を参照してください。

$

% & '

(

(5)

５ [筑波大・理] Wを実数としX=FRVθ VLQθ とおくと

VLQ FRV θ θ

θ [ \ ] WX W

/ = =

これより /θ上の点3θは 3θ WFRVθ WVLQθ とおくことができる。

ここで $ から

VLQ FRV

$3θ = W θ − W θ −

条件より $3θと/θは直交するので $3θ ⋅X= VLQ FRV

FRV_θ _W _θ ₋ ₊_W _θ ₌ _W₌_FRV_θ よって3 FRV_θ VLQ_θFRV_θ

θ と表せる。

さて 3θ [ \ ]とおくと

θ

FRV =

[ \=VLQθFRVθ ] =

すると [=+FRVθ \=VLQθ から点3θの描く円の方程式は

_[₋ ₊_\ ₌ _]₌

すなわち[\平面上で中心半径の円を描く。 2$= 23θ =FRVθ VLQθFRVθ より

≦θ＜π のとき θ

θ FRV 23

2$⋅ = 2$ =

θ θ θ

θ FRV VLQ FRV

23 = + = FRVθFRVθ +VLQθ =FRVθ

ここで△2$3θの面積を6とおくと

θ θ

θ

_FRV _FRV

23 2$ 23 2$ ₋ _⋅ ₌ _⋅ ₋ = 6

= FRVθ −FRVθ

(

)

FRV ₋ ₊ − = θ

すると FRVθ = =

VLQθ = − = のとき6 は最大値

= をとる。このとき 3θの座標は

× = [ × × =

\ から

(

)

3θ

［解説］

では有名な三角形の面積公式を利用しています。

(6)

電送数学舎 2006 −−

６ [一橋大] D = E = F =より

= + + +

+ +

+

= D E F D E F D E F

] ≦ ≦ ………①

①において等号が成立するのは左側ではD+EとFが同じ向きのとき右側では DとEが同じ向きのときである。

よってDEFが同じ向きのとき ] は最大値をとる。

また D − E ≦ D+E ≦ D + E より≦ D+E ≦となり

− = −

+ +

+

= D E F ≧ D E F ≧

] ………②

②において等号が成立するのは左側ではD+EとFが逆向きのとき右側ではD とEが逆向きのときである。

よってE FがDと逆向きのとき ] は最小値をとる。条件よりD⋅]=なので D⋅D+E+F=となり

= + ⋅ +D E F

D D⋅E+F=−………③

ここで③の条件のもとで

_D _E _F _D _D _E _F _E _F

] = + + = + ⋅ + + +

=+×−+ E+F =+ E+F

と同様に E − F ≦ E+F ≦ E + F から ≦ E+F ≦………④ ④の範囲の値はすべて③を満たしており+≦ ] ≦+から

≦ ] ≦

よってE Fが同じ向きのとき ] は最大値をとりE Fが逆向きのとき最小値をとる。

［解説］

ベクトルの三角不等式の問題です。で ] =となる場合があればこの値がもちろん最小値ですがこのようなケースはありませんでした。なおではベクトルの和E+Fを変化するベクトルとしてとらえています。

(7)

［千葉大・文］

ま , 右図う , 点 A を原点し , 点B(3, 0)

あう座標系を設定。

さ , 条件 , 点C, D Aを中心半径1

上あ , )C(cos, sin , )D(cos, sin

くこ。

また, 点 E, F B を中心半径 2 上あ

, )E(32cos, 2sin , )F(32cos, 2sin くこ。

こ , CE(32coscos, 2sinsin) ) sin sin 2 , cos cos 2 3 (

DF      

っ , CEDF

2 2 ₍₂_sin _sin ₎ )

cos cos 2 (

9      

9414(coscos sinsin)

44cos()

以上 , CEDF , 1cos() 最大値 8 を , 1cos()

最値0を。

［解説］

座標系を設定し, 積成分計算をしました , 計算予想外言っもいほ

少した。

A

B C

D

E

F

 

3 1 y

(8)

［京都大・理］

a



OA , OBb, OCc , 条件 ,

c b

a   ………(＊)

ここ , 条件 , (3 2 )

5 1

OP a b

) 2 3 ( 5 1

OQ b c , (3 2 ) 5

1

OR c a

さ , OP  OQ  OR ,

a c c b b

a 2 3 2 3 2 3     

2 2

4 12 9

4 12

9 a  ab b  b  bc c  c  ca a

っ , (＊) , abbcca

, a 22ab b 2  b 22bc c 2  c 22ca a 2 , 2

2 2

a c c b b

a    

以上 , ABBCCA , △ABC 正角形あ。

［解説］

ベクトル利用いう方針を立た後 , そ始点を決定わけ , こを点

O こ , たいいしう。ここま準備を , 簡単計算

結論けま。

A

B

C P

Q

(9)

［大阪大］

(1) 条件(a) , OPkOQ (k＞0)

条件(b) 代入 , k＞0 OQ 1

2 

k

こ ,

2 OQ

1 

k ,

OQ OQ

1 OP

2

 ………

さ , OB2OA く , 点 P OB を直径

C上あ , 0 BP

OP  , OP(OPOB)0………

,



OB



0 OQ

OQ OQ

OQ

2

2   

0 OQ

OQ OB OQ

1

2

2    , OBOQ1………

ここ , OB OQ 角を く , OB 2r , , 1

cos OQ

2r   ,

r

2 1 cos OQ  

以上 , 半直線 OB 上

r

2 1

OH 点 H を , 点 Q 点 H を通 ,

OA 直交直線上を動く。

(2) l C 2点交わ条件 , OH＜OB あ。 , r

r 2

2 1

＜ ,

2 1 ＞

r あ。

［解説］

式 , OQ OB 方向へ正射影ベクトル大さ一定いう意味えま

した。 , 原点をO, x軸を直線OA 座標系を入方法もあま。

O

A B

(10)

10 ［広島大・理］

(1) )P(x, y, z く , AP(x2, y, z), BP(x, y1, z) 。

さ , AP //u , sを実数し , APsu, )(x2, y, z)s(1, 2, 5 2

   s

x , y2s, z 5s………

また, BP //v , tを実数し , BPtv, )(x, y1, z)t(1, 1, 1

t

x  , yt1, zt………

, s2t…… , 12st …… , 5st……⑥ ,

3 5 

t , 3 1 

s , こ値 ⑥を満た。

っ ,

3 5 

x , 3 2 

y , 3 5 

z ,





3 5 , 3 2 , 3 5

P あ。

(2) 



c



3 5 , 3 2 , 3 5

CP , CP⊥w , CPw0

0 3

5 3 2 3 3

5_ _ _ _ _

 c , c2

っ , )C(0, 0, 2 。

(3)





3 1 , 3 2 , 3 5

CP  , CA(2, 0, 2), CB(0, 1, 2) ,

CB 3 2 CA 6 5 CP 

っ , P 3点A, B, C 定平面上あ。

［解説］

(3) , x成分, y成分 , CA , CB 係数をそ定 , そ後, z成分を確認

(11)

11 ［九州大・理］

(1) )A(a, a, b , )B(a, a, b , AB(2a, 2a, 0)

また, )C(a, a, b , AB 中点D(0, 0, b) , )

2 , , (

DC a a  b , DO(0, 0, b)

, DCAB2a22a2 0, DOAB0 , AB

DC , DOAB

っ , △ABC

2 2 2 2 2 4 4 4 2 1 DC AB 2

1 _ _ _a _ _a _a __a _ _b

 2 2

2 2a a  b



(2) DC DO 角 ,

DO DC

DO DC cos  

2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 b a b b b a a b      

っ ,

2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 1 cos 1 sin b a a b a b         

さ , OH 平面 垂直 , OHAB0 , 0 AB OH AB DO AB ) OH DO ( AB

DH        

, DHAB , 点H 直線CD上存在し,



sin DO OH

2 2 ₂_b

a ab

 

(3) 球面S 半径r

2 2 2 OC OB

OA a b r    

ここ , HO 延長線 S 交点をP₀ く ,

S上点P 平面 距離最大値 P₀H ,

2 2 2 2 0 2 2 OH H P b a ab b a r      

したっ , 四面体ABCP 体積最大値 ,

H P ABC 3 1 0  △





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 b a ab b a b a a      

 a



(a 2b )(2a b )ab



3

2 2 2 2 2

［解説］

図示 , (1) 結論明 , 続く設問へ誘っいま。コンパ

クトままった1題。

(12)

12 ［大阪大］

(1) OAa, OBb, OCc, ODd く ,

2 CD AB 2

2

MNbdac  

, 2



AB 2 2AB CD CD 2



4

1

MN    

( 2 cos60 ) 4

1 _s2_ _st ___t2 

( ) 4

1 _s2__st__t2 

っ ,

2 2

2 1

MN s stt

(2) s2t21(s＞0, t＞0) , scos , tsin





2

0＜＜ く ,

 

 sin2

2 1 1 sin cos 1 2

2__st__t _ _ _ _

s

, 1sin2 





4



  , s2stt2 最大値 2 3

を。

っ , (1) , MN 最大値

4 6 2 3 2 1 _

あ。

［解説］

平面ベクトル基本題。MN 表現ポイントっいま。 , (2) ,

相加平均相乗平均関係を用いもOK 。

O X

Y

A B

C D

M

(13)

13 ［九州大・理］

(1) AQ:QB△OAP:△OBPa:b ,

b a

a b

   OA OB OQ

(2) △OABabc , OQ:QP△OAB:△ABP(abc): c , )

( : ) (

OP :

OQ  abc ab

っ ,

c b a

a b c

b a

   



 _OQ OA OB OP

(3) 高さ等しい角形面積比 , 底辺長さ比

こ ,

6 : 5 : 3 AB : OB : OA :

:b c  a

っ , (2) ,

2 OB 3 OA 5 6 5 3

OB 3 OA 5

OP   

 

［解説］

(3) , 角形傍心ベクトル表示 , (2) 誘を利用 , 計算不要

。 , 角や外角二等分線定理を用い解も可能 , こ出題者善

意反しま。

O

A B

(14)

14 ［一橋大］

(1)

3 2 OP ,

3 1

OQ , △OPQ 余弦定理を適用

し ,

   

_cos₆₀ 1₃ 3 1 3 2 2 3 1 3 2

PQ2  2 2   

っ ,

3 3 PQ

(2) ま , OA  OB  OC 1 あ ,

2 1 60 cos 1 1 OA OC OC OB OB

OA        

さ , OA

3 2 OB 3 1

PQ  , OA 3 2 OC

PRt  ,

9 4 3 2 OA 3 2 OC

PR 2  t  2 t2 t

PR

PQ



 

OA



3 2 OC OA 3 2 OB 3

1 _ _ _

 t 3 1 6 1 9 4 3 1 9 1 6

1 _ _ _ __ _

 t t t

また, (1) ,

3 1

PQ 2  , △PQR 面積S ,





2

2 2 PR PQ PR PQ 2

1 _ _ 

S



2

 



2

3 1 6 1 9 4 3 2 3 1 2

1 _ _ _ _ _

 t t t

27 1 9 1 36 11 2

1 2_ _

 t t



 



99 1 27 1 11 2 36 11 2 1 2     t

っ , 11

2 

t , △PQR 面積最。

［解説］

正四面体を題材した頻出も , 参考書例題掲載さそう問題。

(15)

15 ［金沢大・文］

(1) AQtAP , OQOAt(OPOA)

OP OA ) 1 (

OQ t t

(2) (1) , OQ(1t)(0, 0, 1)t(x0, y0, z0) (tx0, ty0, 1ttz0)

ここ , 点Q xy平面上点 , 01ttz0  , 1z0  ,

0 1 1 z t   ,



, 0



1 , 1 OQ 0 0 0 0 z y z x   

(3) OQ(x, y, 0) く , (2) ,

0 0 1 z x x   ……… , 0 0 1 z y y   ………

条件 , 点P(x0, y0, z0) , 球面 : 1 2 2 2__y __z _

x

S 平面

2 1 

y 共通部分

あ C上を動くこ ,

1 2 0 2 0 2

0 y z 

x ……… , 2 1 0  y ……… , 4 3 2 0 2

0 z 

x ………

また, ,

) 1 ( 2 1 0 z y 

 , y0 ,

y z

2 1 1 0  ,

y z

2 1 1

0   ………⑥

⑥ ,

y x x

2

0  ………

⑥ を代入 ,

  



4 3 2 1 1 2 2 2    _y y x 2 2 2 ₍₂_y ₁₎ ₃_y

x    , x2y24y10……… 0



y を満たこ , 点Q xy平面上 4 1 0 2

2__y _ _y_ _

x を描く。

［解説］

有名構図問題。誘たいへ丁寧。

(16)

電送数学舎

−−

16 ［大阪大・理］

まず 23と2$のなす角をθ 23と2%のなす角をϕとおく。

条件より D⋅23=−E⋅23＞………① すると _≦_θ_＜π π_＜_ϕ_≦_π

となり D = E = から①より

ϕ θ FRV

FRV =− FRVθ =FRVπ−ϕ

これよりθ =π −ϕとなり 23 は∠$2% の外角の二等分線である。

さて点4は23上にあるのでNを正の定数として

{

}

24=N D+ −E =N D−E ………②

また 2$ =[ 2% =\とおくと2$=[D2%=\Eとなり $4⊥ 24から

ND−NE−[D ⋅ D−E = N D−E −[D⋅D−E=

これより

_D _D _E _E [ [_DD _EE [ E

D [ D [ E

D E D D [

N =

⋅ −

⋅ − = + ⋅ −

⋅ − =

− − ⋅

= となり②より

24=[ D−E

そこで0は辺$%の中点から 20=[D+\Eとなり

(

[ \

)

E E

\ D [ E D [

04= − − + =− + 以上より 04とEは平行である。

より 04 = [ +\ E =[ +\ =

(

2$ + 2%

)

［解説］

DとEがともに単位ベクトルであるのに注目しひし形の対角線が角を二等分するという定理をベースにした解です。

θ ϕ

2

$ %

3 4

(17)

17 ［京都大・理］ V V − = 3(

$3 &%%*=W−Wより 2$

2(

23=V + −V

=V +−V = V

2& 2*

24=W + −W

=W +−W = W

平面234の法線ベクトルをQ=D E Fとおくと

23= + = ⋅ D VF

Q Q⋅24=E+WF=

これよりD=−VFE=−WFとなりQ

(

VF WF F

)

₋ − = − −

= F V W すると点'を通りQを方向ベクトルにもつ直線はNを実数として

[ \ ] = +N V W − = VN WN − N

[\平面との交点は ]=−N=からN=となり [ \ ]=

(

V W

)

さて線分$&上両端を含むの点は≦O≦として

[ \ ] =O + −O = O − O ここで条件より

(

V W

)

=O −O となり

O V

₌ _………① _W₌₋_O_………② ①②より V+W=となりV+W= また≦O≦から≦W≦となり≦W≦

さらに＜W＜＜V＜と合わせると＜W＜である。

［解説］

(18)

18 ［広島大・文］

(1) 直線y xk 3 4

上点 Q x 座標を t く , 



t  tk



3 4 ,

OQ ,

) 3 , 4 (

OP ,



t k



k

t 3

3 4 3 4 OP

OQ     

(2) ま , 直線 OP 方程式 , y x 4 3

 あ , こ

直線直交直線方程式 ,

k x y 

3

4 _,₄_x_₃_y_₃_k_₀

………(＊)

さ , OP OR 角を , OR OP方向

へ正射影ベクトルをOH ,  鋭角 ,

OH 5 cos OR OP OR

OP   

ここ , 点 R , 領域( 5) ( 10) 16 2 2

≦ 



 y

x

あ , 右図 , OPOR 最大

点R 点A 一致あ , また最点R 点B 一致

あ。

い場合も, 直線(＊) ( 5) ( 10) 16 2 2_ _ _

 y

x 接こ ,

4 3

4

3 10 3 5 4

2

2_ 

  

 k

, 503k 20

こ , 303k70, , (1) 結果を利用 , 70

OA

OP  , OPOB30

わ , OPOR 最大値 70, 最値 30 あ。

［解説］

く見け積最大最問題 , (1) (2)へ秀逸誘っいま

。演習価値あ 1題。

O x

y

P

4 5 3

10

A

(19)

O 1 2 4 2 x y B A

19 ［熊本大・医］

(1) 2 点B(1, 2, 0), C(2, 1, 2) 対し , 線分 BC をt:(1t) 分点を )

, , (

P x y z , 1 ) 1 (

2      t t t

x , 2yt2(1t)t , z2t

) 0 , 0 , 4 (

A , △OAP 面積S , 2 2 2 ) OP OA ( OP OA 2

1 _ _ 

S



₍ ₁₎2 ₍ ₂₎2 ₄ 2

 

₄₍ ₁₎



2 16

2

1 _ _ _ _ _ _ _

 t t t t 2 (t2)24t2

4 4 5

2 2 

 t t





5 16 5 2 5

2  2  t

っ , 0＜t＜1 , 5 2 

t , △OAP 面積最。

(2) 3点O, A, Pを通平面垂直ベクトルをn(a, b, c) く , 

OA

n 4a0…… , nOPa(t1)b(t2)2ct0……

0 

a , 代入 , b

t t c 2 2   ,





(0, 2, 2) 2

2 2 , ,

0   

 t t

t b b t t b n

こ , 点Cを通 , nを方向ベクトル直線 , uをパラメタし ,

) 2 , 2 , 0 ( ) 2 , 1 , 2 ( ) , ,

(x y z  u t t

xy平面交点D , z0 し , 02u(t2) ,

t u



₂2 _,



, 0



2 3 2 , 2 ) 2 , 2 , 0 ( 2 2 ) 2 , 1 , 2 ( ) , , ( t t t t t z y x       

っ ,



, 0



2 3 2 , 2 D t t 

 あ。

さ , 直線 AB 方程式 , ( 4) 3

2 _   x

y ,

直線x2 交点 , 3 4 

y あ。

こ , 点D △OAB 部あ条件 ,

3 4 2

3 2 0＜＜

t t

 

, 10＜t＜ , 左側不等式成立し, 右側不等式 ,

) 2 ( 4 ) 3 2 (

3  t ＜ t ,

13 2 ＜

t

以上 ,

(20)

20 ［東北大］

(1) PAPBPCPD ,

2 PD PC 2

PB

PA _  _,

PN

PM , PMPN0

こ , NM0 , 題意を満たさい。

っ , 点P 存在しい。

(2) QAQB  QCQD , (1) 同様 ,

QN QM 

っ , 点Q 線分MN 垂直二等分面を描く。

(3) ま ,

2 2

MR MB MR

MA RB

RA     

 MA 2 MB 22 MR 22MAMR2MBMR 2 MA 22 MR 22



MAMB



MR

2 MA 22 MR 2

同様し ,

2 2

NR 2 NC 2 RD

RC    2 NC 22 MRMN 2 2 NC 22 MR 24MNMR2 MN 2

, RA 2 RB 2 RC 2 RD 2 , 2

2

MR 2 MA

2  2 NC 22 MR 24MNMR2 MN 2

っ ,

2 2

2

MA MN

NC MR MN

2     ……(＊) , MNMR R

方一定あ。

(4) 点Q 描く図形点R 描く図形一致条件 , RM  RN あ ,

2 2

MR MN

RM   , RM 2  MN 22MNMR MR 2 (＊)を代入し ,

2 2

MR MA

MN NC

MN

RM     

0 NC

MA 2 2 , MA  NC

っ , CD

2 1 AB 2

1 _ _, _AB _ _CD

あ。

［解説］

(4)ま , うまく誘いい問題。た , (3) 式変形っ , 不運

ケス出く可能性もあま。

A

B

C D M

(21)

21 [九州大・文] 条件より 2$ 2% 2& JJJG JJJG JJJG G………①

また辺%&の中点を0とすると

2% 2& 20

JJJG JJJG JJJG

………②

①②より 2$ 20 JJJG JJJGG 20 2$JJJG JJJG

よって点$は線分20の中点となる。

·%$& nから $0 %0 %&

するとより 20JJJG となり△2%&に中線定理を適用して

2%JJJG 2&JJJG 20JJJG %0JJJG ………③ 条件より 3$JJJG 3%JJJG 3&JJJG を変形すると

2$ 23JJJG JJJG 2% 23JJJG JJJG 2& 23JJJG JJJG

2$JJJG および③から

2$ 23 JJJG JJJG¸ 23JJJG 2% 23 2& 23 23 JJJG JJJG¸ JJJG JJJG¸ JJJG

23JJJG 2$ 2% 2& 23 JJJG JJJG JJJG ¸JJJG

①より 23JJJG となり 23JJJG である。

［解説］

誘導に従えばテクニカルな変形が不要であるように問題が構成されています。

2

$

(22)

電送数学舎 2011

−−

22 [広島大・理]

線分 $% をに内分する点が 2 に外分する

点が&より 3$JJJGDJG 3%JJJGEGとおくと

32 D E

JG G JJJG

3&D E

JG G JJJG

また 2%$%DE

JG G JJJG JJJG

点3は円6の内部にあるので %3& · ＞ nとなり

3% 3&¸ ¸E D E

JG G JJJG JJJG G

＜ D E EJG G¸ ＜ G

よって FRV

E E

D E

D E D E D

θ ¸

G G JG G

JG G ＜ JG G JG

43JJJGNEG N＞とおくと 4% JJJG N EG 4&NED E DNE

JG G JG G

JJJG G

点4は円6上の点より4% 4& ¸ N E ¸DNE

JG G JJJG JJJG G

となり

D EJG G¸ N EG D EJG G FRVθN EG

よって N EG EG DJG FRVθ から 34N EG E D FRVθ

G JG

となる。

3$ 3% から

の結果を用いると 34 FRV θ _となり

FRV FRV

%4 θ θ FRV %3 FRV _%3

θ θ

¸

また %$%2から_△4$% FRV θ _¸_△32% FRV 32% _θ _△

条件より△4$% △32%なので FRV θとなり

FRVθ VLQ

θ

以上より△3$%3$ 3%VLQ¸ θ ¸ ¸ ¸

［解説］

平面ベクトルの標準題です。計算量も適切なものです。

3 4 & $ 2 %

(23)

23 [千葉大・理] *は△$%&の重心より2*JJJG2$ 2% 2&JJJG JJJG JJJG ………①

条件から2*JJJG2$JJJGなので①に代入すると

2% 2& JJJG JJJG G

ここで辺 %& の中点を 0 とおくと 20JJJG2% 2&JJJG JJJG ……②から 20 JJJGG

となり△$%&の外心2は0と一致する。

したがって△$%&は· $ nの直角三角形である。

条件から 2*JJJGN2$JJJGなので①に代入すると

2% 2& JJJG JJJG N2$JJJG

ここで②から20JJJGN2$JJJGとなり Nvより点2 $ 0は同一直線

上にある。一方 2 は△$%& の外心なので辺 %& の垂直二等分線上にあり

20 %&? である。

したがって $0 %&? となるので△$%& は$% $& の二等辺三角形である。

まず2と0が一致しないときより 20 %&? ………③

ここで条件より 2, %& JJG JJJG¸ なので 2, JJGGまたは2, %&? である。 L 2, JJGGのとき

2と,が一致し③より ,0 %&? である。 LL 2, %&? のとき

③より2,0は同一直線上にあり ,0 %&? である。

LLLより ,0 %&? である。

次に 2と0が一致するとき 2, %& JJG JJJG¸ からJJJG JJJG0, %& ¸ となり 0, JJJGvGなので ,0 %&? である。

よっていずれの場合も,0 %&? でありこれより,% ,& となり

,%& ,&%

· · ,%& ,&%· · $%&· ·$&%

したがって△$%&は二等辺三角形である。

［解説］

(24)

電送数学舎 2011

−−

24 [北海道大・理]

原点2 を通る円の方程式を _[_\_{D[ E\} _{……①とおく。}

①が$ % を通ることより

D E

………② D E………③

②③より D E となるので

点2$%を通る円の方程式は①より

[ \ [ \ [

\

…………④

点2 $ a % a _を通る

球面6はから[\平面との交線が④で表されるこ

とよりその中心を& F

とおくことができる。

さて

6の半径をUとすると三平方の定理から

U F

よって

6の方程式は

[ \ ] F F

[ \ ] [ \ F] …………⑤

そこで直線O [ W \ W ] W と6の方程式⑤を連立して

W W W WW FW

W F W …………⑥

条件より⑥が実数解をもつので ' F

≧ となり

F F ≧ F F

≧

以上より求める& D E F の条件は D E でF≦ ≦ である。F

［解説］

現行課程ではあまり重視されていない部分ですが球面と平面や直線の交わりにつ

いての基本的な問題です。演習しておくことが望まれる一題です。

2 $a %a

(25)

25 [東北大・文] DJG EG D EJG G¸ より

FG SD TEJG G S DJG STD E T EJG G¸ G S ST T

D F D SD TEJG G¸ ¸JG JG G S DJG TD E SJG G¸ T

すると FG D FJG G¸ から _S_{ST T} _……①

S T ……②

①②より _S_S_S

S となり S＞から

S

T

[ VD WEJG JG Gとおくと JG JGD [ V¸ WE [G JG¸ V W となる。条件から≦D [JG JG¸ ≦ ≦E [G JG¸ ≦ なので

V W

≦ ≦ ………①≦V W ≦ ………②

ここでX V WY V W とおくとV X Y W X Y ①②より ≦ ≦X ≦ ≦ ………③Y

さて _[JG _V _{VW W}_なので

\

^

[ X Y X Y X Y X Y

JG

X XY Y

すると③は右図の網点部となるので X Y

のとき [JG は最大値をとる。また [JG

X Y Y

からY をいったん固定すると [JG が最小となる

のは X Y Y X のときでありこの関係を満たしながら ≦ ≦ でY Y を変化させると X Y

で最小値をとる。

以上より≦[JG ≦ となり≦ ≦[JG である。

［解説］

成分表示を用いるかそのまま次結合で計算を進めるかを迷いましたが後者の立場で記しました。なおのXYへの置き換えは文字固定という方法で最大・最小を求めるときに領域を長方形にしてわかりやすくするためです。

X Y

2

(26)

電送数学舎 2012 −−

26 [京都府医大] 直線Oは△$%&の外接円の接線なので

$%& &$'

· · ………①

直線3'は∠$'%の二等分線なので 3'% 4'$

· · ………②

①②より $%&· ·3'% ·&$' ·4'$ よって $34· ·$43より $3 $4 である。

△$34が正三角形より %$& · nとなり %2& · nである。

そこで条件より 2$JJJG[2%JJJG\2& JJJGGから 2%[JJJG\2&JJJG 2$JJJGとなり 2% 2& 2$

[JJJG\JJJG JJJG _[ _2%JJJG _{2% 2&}_[\JJJG JJJG_¸ _\ _2&JJJG _2$JJJG 2$JJJG 2%JJJG 2&JJJG Uとおくと

FRV

[ U [\U n \ U U _[_{[\ \} _………③ また 2$ 2$ JJJGJJJJGaとすると2$a [2%\2&[ \ [ ¸ 2%_{[ \}\2&

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG

ここで点&は線分%'上にあるので線分%&の垂直二等分線に関し点$は %と反対側点$a_は%と同じ側にある。よって [ \ となる。

③より_{[ \} _[\_となり

_[\_{は自然数から}

L [ \ のとき [\より自然数[\の組は存在しない。

LL [ \ のとき [\より自然数[\の組は [ \ である。 LLL[ \ のとき [\より自然数[\の組は存在しない。

LY [ \ のとき [\より自然数[\の組は [ \ である。 Y [ \ のとき [\より自然数[\の組は存在しない。

YL [ \ のとき [\より自然数[\の組は存在しない。 L∼LYより [ \

より [ \ が最大になるものは [ \ であり 2$ 2% 2& JJJG JJJG JJJGG……④

ここで $2&· θ $2%· ϕ とおくと④より

2$ 2&JJJG JJJG 2%JJJG 2$ 2&JJJG JJJG 2%JJJG

U FRVU θU U

すると FRVθ となりVLQ

θ _VLQ

θ _………⑤

よって $& VLQ

U θ U

………⑥

$

% & 3

4

' 2

O

$

% & 3 4

' 2

O

(27)

同様にして④より 2$ 2%JJJG JJJG 2&JJJGとなり

2$ 2&JJJG JJJG 2%JJJG _U_FRV_U _ϕ_U_U すると FRVθ となり VLQ

ϕ _VLQ

ϕ _………⑦

よって $% VLQ

U ϕ U

………⑧

そこで

U

N とおくと⑥⑧より $& N $% N となる。

さて直線$'は円2の接線より_·'$&_·$%&_· $2&θ_となり_また

'&$ $2% ϕ

· n · n となるので△$&'に正弦定理を適用すると

'& '$

VLQ VLQ nϕ θ

'$ '& VLQ VLQϕ θ

⑥⑦より '$ '& VLQ VLQ ϕ _θ

すると直線'3は∠$'%の二等分線なので $4 4& '$ '& よって $4$& ¸ N N

これより $3 N $% ¸ $%となるので△$%& と△$34 の面積をそれぞれ66とすると

$4

$3

$% $& 6

6 ¸ ¸

［解説］

(28)

電送数学舎 2012 −−

27 [一橋大] 3 4 V W 5 [ \ とおくと条

件より _V_W_………① また線分35の中点が4より

[ _V_………②

\ W ………③ ②③を①に代入すると [ \ から

[ \

よって点5の軌跡の方程式は _[_\ _] 3 S T 4 V W 5 [ \ とおくと

条件より _S_T_………④ また線分35の中点が4より

[ S V………⑤ \ T W ………⑥ ⑤⑥より SV [ TW \

④に代入すると _{V [} _{W \}

[ V \ W ………⑦ さて点4が辺$%上にあるとき

V ≦ ≦W

⑦より _[_\ _W _となり_点 ₅ _は _[\ _平面上で_中心_W 半径の円を描く。なお ≦ ≦ よりW 中心は点$ a と% a

を結ぶ線分上にある。

さらに点& a ' a とおき同様に考えると 4が正方形$%&'の辺上を動くとき点 5 は中心が正方形$ % & 'a a a aの辺上で半径がの円周上を動く。

すると点5の動きうる領域は右図の網点部となりその面積を6とすると

\

^

6 π

π

［解説］

年前によく見かけた問題です。はまず 4 を固定して 5 の変化をとらえその状態を保ったまま4を動かすという手法です。

3

4

5 [

\ ]

2

3

4

5 [

\ ]

2

$ %

& '

$a

%a

&a 'a

[ \

2

(29)

28 [東京大・理]

(1) PAJJJG a, PBJJJG b, PCJJJG cとおくと, PC

PA PB ₀

a b c

JJJG JJJG JJJG _G

………①

①より, PA PB PC

a b c

JJJG JJJG JJJG

両辺の大きさをとって, PA PB PC

a b c

JJJG JJJG JJJG

PA PB ₁

a b

JJJG JJJG

, PA 2 2PA PB PB 2 1

a a ¸ b b

JJJG JJJG JJJG JJJG

, 1 2abcos APB 1 1

ab

·

よって, cos APB 1 2

· より, ·APB120n

また, ①より, PA PC PB

a c b

JJJG

JJJG JJJG

とすると, 同様にして, ·APC120n

(2) (1)より, ·BPC120nとなり, △APB, △BPC, △CPAに余弦定理を適用して,

2 2 ₁

a b ab ……②, b2c2bc4……③, c2a2ca3……④

②より, (ab a)( 2b2ab) a b, a3b3 a b………⑤

③④より, 同様にすると,

3 3 ₄₍ ₎

b c bc ………⑥, c3a33(ca)………⑦

⑤＋⑥＋⑦より, 2a3b c 0, c 2a3b………⑧

③−④より, b2a2c b( a)1………⑨

⑧⑨より, b2a2 ( 2a3 )(b ba)1, a24b25ab1………⑩

②⑩より, 3b26ab0, b2a………⑪

②に代入すると, 7a21から, 1 7

a となり, ⑪⑧より,

2 7

b , 2 6 4

7 7 7

c

以上より, PA 1 7

JJJG

, PB 2 7

JJJG

, PC 4 7

JJJG

である。

［解説］

(2)は, 余弦定理から得られた連立方程式を解くという方針を立てました。ただ, あ

まりにも解きにくく, 頂点Aを原点とする座標系を設定しようかと心が揺らぎました

が, 敢えて初心を貫きました。

A

B C

P 1

(30)

−30−

29 [九州大・理]

条件より, OAOC1, OA OCJJJG JJJG¸ 0 1

OA OP 4

¸

JJJG JJJG

, OC OP 1 2

¸

JJJG JJJG

さて, 点 M は辺 AP を2 : 1に内分する点, 点 N は辺 CPの中点より,

1 2

OM OA OP

3 3

JJJG JJJG JJJG

, ON 1OC 1OP

2 2

JJJG JJJG JJJG

ここで, Qは線分BCをt: 1tに分ける点とすると, PQJJJGOQJJJG JJJGOP(1t)OBJJJGtOCJJJG JJJGOP

(1 t)( OA OC ) tOC OP

JJJG JJJG JJJG JJJG (1t)OAJJJG JJJG JJJGOCOP

さて, 直線PQが平面OMNに垂直なので, PQ OMJJJG JJJG¸ 0となり, OPkとおくと,

(1t)OAJJJG JJJG JJJGOCOP ¸( OAJJJG2OP )JJJG 0

2

1 1 1

(1 ) 2(1 ) 2 2 0 4 2 4

t ¸ ¸ t k , 3 2 2 9

2t k 4………①

また, PQ ONJJJG JJJG¸ 0から, (1t)OAJJJG JJJG JJJGOCOP

¸( OCJJJG JJJGOP )0

2

1₍₁ ₎ ₁ 1 1 ₀ 4 t 2 2 k ,

2 5

1

4tk 4 ………②

①②より, 1 4

t となり, 1 5

4

t から, 点QはBCを1 : 5に外分するので,

BQ : QC=1 : 5

また, 2 5 1 1

21 4 4 4 16

k ¸ より, OP 21 21

16 4

k

［解説］

t の値が負になり計算間違いをしたかと思いましたが, 問題をよく読むと, 「直線

BC 上の点 Q」と記されていました。このため, 上図の Q の位置は, 結論とは異なり

ます。

O

A B

C

P

N

M

(31)

30 [一橋大]

点A ( 2 , 2 , 0 )t t , B( 0, 0, t)に対して, P( ,x y z, )とおくと, OA OBJJJG JJJG¸ 0から, OP APJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG¸ OP BP¸ AP BP¸

OP ( OP OA ) OP ( OP OB ) ( OP OA ) ( OP OB )

JJJG JJJG JJJG¸ JJJG JJJG JJJG¸ JJJG JJJG ¸ JJJG JJJG

2

3 OP 2( OA OB ) OP OA OB

JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG ¸ ¸

2

2 OA OB

OA OB 3 OP

3 3

JJJG JJJG JJJG JJJG

JJJG

条件より, OP APJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG¸ OP BP¸ AP BP¸ 3なので,

2

2 OA OB

OA OB

OP 1

3 9

JJJG JJJG JJJG JJJG

JJJG

………(＊)

ここで, OA OB 2 , 2 , 1

3 3t 3t 3t

JJJG JJJG

となり,

2

2 2 2 2

OA OB ₁

1 { ( 2 ) ( 2 ) } 1 1

9 9 t t t t

JJJG JJJG

すると, (＊)から, 点Pは中心C 2 , 2 , 1

3t 3t 3t で半径

2 ₁

r t の球面を描く。

このとき, OPの最大値は3なので, OC r 3となり, 0t から,

₂ 2 ₂ 2 ₁ 2 ₂

1 3 3t 3t 3t t ,

2 ₁ ₃

t t

0 t 3のもとで両辺を2乗すると, t2 1 9 6t t2となり, 4 3

t である。

［解説］

球面のベクトル方程式が題材です。成分計算を最初から行うのは, 得策とはいえま

(32)

31 [北海道大・文]

(1) 条件 , BC : CD=1 :p , CD=pBC

 

。

また, 点O 辺BC 中点 ,

OD=OC+p( OC -OB )=(1+p)OC-pOB (1 p)OC pOC

= + + =( 2p+1)OC

(2) ま , BC=1 しも一般性を失うこい。

こ , 条件 , AB AC 2

2

= = , CD=p , 方定理 ,

DA DX⋅ =p p( +1)………

さ , DX=kDA く , ,

2

DA ( 1)

k = p p+ ………

また, △ABD 余弦定理を適用 ,

(

)

2

2 2 2 2

DA (1 ) 2 (1 ) cos45 2 p 2 p

= + + - ⋅ + 

1 1 2 2 (1 ) 2 p p p

= + + + - + 1 (2 2 ₂ ₁₎

2 p p

= + + ………

, 2 (₂ 1) 2 2 1

p p k

p p + =

+ + , DX : XA=k: 1-k ,

OX=kOA+ -(1 k)OD =kOA+ -(1 k)( 2p+1)OC

{

}

2 2

2 ( 1) 2 ( 1)

OA 1 ( 2 1)OC 2 2 1 2 2 1

p p p p

p

p p p p

+ +

= + - +

+ + + +

 

2 2

2 ( 1) 2 1 OA OC 2 2 1 2 2 1

p p p p p p p

+ +

= +

+ + + +

 

［解説］

ベクトル図形へ応用問題。点Oを原点し, BCをx軸, OAをy軸し

座標系を設定方法も考えま。確実 , 計算量多くしう。

A

B _O _C _D

X

(33)

32 [東北大・理]

(1) 0≦t≦1 し , ON=OD+tDG

  

く , ON= -( 1, 0, 6 )+t( 0, 3, 0 )

( 1, 3 ,t 6 )

=

-また, M 2,

(

3, 0

)

2 , MN=4 ,

(

)

2

2 3 2

( 3 ) 3 6 4 2

t

- + - + = , 9

(

1

)

2 1

2

t- =

DN＜GN 1 2

t< , 1 1 1 2 3 6

t= - = , N

(

1, 1, 6

)

2

- あ。

(2) E(1, 0, 6 ) , EM

(

1, 3, 6

)

2

=

-

, EN

(

2, 1, 0

)

2

=

-

あ , 点 P y

軸上点 P( 0, p, 0 ) く , r, sを定数し , EP=rEM+sEN

  

,

( 1,- p, - 6 )

(

1, 3, 6

) (

2, 1, 0

)

2 2

r s

= - +

-1 r 2s

- = - …… , 3 1

2 2

p= r+ s…… , - 6= - 6r……

1

r= =s , p=2 , P( 0, 2, 0 ) あ。

(3) (2) EP=EM +EN , 口平行四辺形 , そ面積S ,

(

)

2 2 2

EM EN EM EN

S=   -  ⋅

(

1 9 6

)(

4 1

) (

2 3

)

2

4 4 4

= + + + - - +

2 2 629 25 4 4

= - 151

2

=

［解説］

空間ベクトル基本問題。(2) 平面パラメタ表示を利用しいま ,

平行六面体口いうこ注目し , (2) (3)を一気処理いう方法も

考えま。

O

A B

C F

D

E

G

M N

(34)

33 [東京大・理]

(1) Oを原点し, OA, OC, ODをそ x軸, y軸, z軸

正部分 , A (1, 0, 0 ) , C( 0, 1, 0 ) 。

条件 , AP=tan, CR=tan , P(1, 0, tan ) , R ( 0, 1, tan)

さ , OP // RQ , OR // PQ , 四角形 OPQR 平行四

辺形 , そ面積S ,

(

)

2 2 2

OP OR OP OR

S=   -  ⋅

2 2 2

(1 tan )(1 tan ) ( tan tan )

= + +

-2 2

1 tan  tan 

= + +

(2) 条件 ,

4



 + = , tan( + )=1 , tan tan

1 1 tan tan

 

+ ₌

- , tan+tan = -1 tan tan ………

また, 7 6

S= , (1) , 1 tan2 tan2 49 36

 

+ + = ,

2 13

( tan tan ) 2 tan tan

36

+  -  = ………

, ( tan tan )2 2{1 ( tan tan ) } 13 36

+  - - +  = ,

2 85

( tan tan ) 2( tan tan ) 0 36

+  + +  - =

(

_tan _tan 17

)(

_tan _tan 5

)

₀ 6 6

+ + + - =

tan+tan>0 , tan tan 5 6

+ = ………

, tan tan 1 5 1 6 6

 = - = ………

, , tan tan 2 次方程式

2 5 1 ₀ 6 6

x - x+ = 2 解

,

(

1

)(

1

)

0 2 3

x- x- = , 1, 1 2 3

x= あ。

さ ,  ≦ , tan≦tan , tan 1 3

= あ。

［解説］

空間ベクトル図形へ応用問題。誘丁寧構成っいま。 ,

図四角柱直方体し解いいま。

O A

B P

Q R

D E

F G

(35)

34 [熊本大・医]

(1) 折線長さPM+MQ 最 OB上点M ,

右図正四面体 OABC 展開図い , 辺 OB

PQ 交点あ。

, OM : MB 1: 1 : 2 2 t t

= = ,

1 OM

2t 1b

= +

 

また, PN+NQ 最 OC上点N 対し , 同様考え , ON : NC 1: 1 1 : 2 2

2 t t

= - =

-, ON 1 3 2tc =

- 

あ。

(2) ま , △OBC

2 3

1 1 sin 2 3 4

= ⋅ ⋅ = ,

△OMN 1 1 OBC

2t 1 3 2t

= ⋅

+ - △ 1 3

( 2t 1)( 3 2 )t 4

= ⋅

+

-△BQM 2 OBC

2 1 1

t t t = ⋅ + △ 2 ₃ 2 2 1 4

t t

= ⋅

+

△CQN 2 2 1 OBC

3 2 1

t t t

-

-= ⋅

- △

( 2 2 )(1 ) ₃ 3 2 4

t t t

-

-= ⋅

-っ , △QMN 面積をS く ,

{

2 _{( 2} _{2 )(1} ₎

}

3 ₁ 1 2

4 ( 2 1)( 3 2 ) 2 1 3 2

t t t

S

t t t t

-

-= - ₊ _- - ₊ -

-2 4 4 3

4 ( 2 1)( 3 2 )

t t t t

- +

= ⋅ ₊ _- 3 (1 )

( 2 1)( 3 2 )

t t t t

-=

+

-(3) (2) , 3 (1₂ ) 3 (1 ) 4 (1 ) 3 4 4 3

t t t t S

t t t t

-

-= = _{- +}

- + + , (1u=t -t)

(

)

2 1 1 2 4

t

= - - +

く , 0< <t 1 , 0 1

4

u

＜ ≦ ,

(

)

3 3 ₁ 3 4 3 4 4 3

u S

u u

= =

-+ +

っ , 1

4

u=

(

1

)

2

t= , S 最大値 3 1 3

4 ⋅ =4 16 を。

［解説］

(3) , 普通微分法を利用いう方法もあま , 分母分子形注目し

(36)

35 [東京医歯大]

(1) 点A ( cos , cos , sin )   , B(-cos , -cos , sin )  , C( cos , -cos , -sin ) ,

D(-cos , cos ,  -sin ) 対し , そ xy 平面関対称 4 点 P( cos , cos ,  -sin ) , Q(-cos , -cos , -sin ) , R ( cos , -cos , sin )  ,

S(-cos , cos , sin )   を定。

, 四面体 ABCD , 直方体 ARBS-PCQD

埋込ま。

ここ , 四面体辺AB, AC, DC, DB xz平面交点 , そ辺中点 , こを K, L, M, N く , K ( 0, 0, sin ) , L( cos , 0, 0 ) ,

M( 0, 0, -sin ) , N (-cos , 0, 0 ) あ。

こ , 四面体 xz 平面口ひし

形KLMN , そ面積S( ) , 1

( ) 2cos 2sin 2sin cos 2

S  = ⋅ ⋅  =  

=sin 2 ………

っ ,

( )

sin 3

6 3 2

S  =  = あ。

次 , 直方体ARBS-PCQD 体積をV1( ) く ,

2 2

1( ) ( 2cos ) 2sin 8 sin cos

V  =  ⋅  =  

また, 4 四面体 ABSD, ABRC, CDPA, CDQB 合同あ , そ体積を

2( )

V  く ,

2 2

2( ) 1 1( 2 cos ) 2sin 4sin cos 3 2 3

V  = ⋅  ⋅ =  

こ , 四面体ABCD 体積V( ) ,

1 2

( ) ( ) 4 ( )

V  =V  - V 

(

8 16

)

sin cos2 8sin cos2 3   3  

= - = ………

っ ,

( )

6

V  8 sin cos2 1 3 6 6

= = あ。

(2) , 0

2

 

< < け S( ) 最大値 ,

( )

sin 1

4 2

S  =  = あ。

(3) , ( ) 8sin cos2 8sin (1 sin2 ) 3 3

V  =   =  -  8 (sin sin3 ) 3  

=

-ここ ,

3 ( )t = -t t

f ( 0< <t 1) く ,

2 ( )t 1 3t

¢ =

-f

, ( )f t 増減右表う , 1

3

t= 最大値2 3

9 を。

t 0 … 1

3 … 1 ( )t

¢

f ＋ 0 －

( )t

f _ 2 3

9 

sin

-cos

- cos

sin K

L

M

N x

z

B S

R

A

Q

C P

(37)

っ , ( )V  sin 1 3

=  , 最大値 ( ) 8 2 3 16 3 3 9 27

V  = ⋅ = を。

［解説］

解答例記したう 4点P, Q, R, Sを設定し, 等面四面体直方体埋込ま

いう知識利用ポイントま。同様問題 , たえ 1993 東大

や 2006 東工大出題さいま , こ経験け , 解法糸

解答例 ２次数学セレクション

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

［解 説］

［解 説］

［解 説］

(

)

［解 説］

(

)

(

)

［解 説］

［解 説］

［解 説］

［解 説］





［解 説］













［解 説］









［解 説］













［解 説］

［解 説］

   



 









 





 



［解 説］





  



［解 説］

{

}

(

)

(

)

［解 説］

(

)

(

)

(

)

［解 説］

解答例２次数学セレクション

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

［解説］

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