解答例 ２次数学セレクション

［98 一橋大］

0 4

3

＜ar a( )＜ r b( )……… 0 4 3

＜br b( )＜ r ab( )……… 。 (1) 0 r b( ) 7 , 0 4

3

28 3 ＜10 r b( )

, 0＜ar a( )＜10

また, ar a( ) 8 倍数 こ を考えあわ , ar a( )8………

, 8 4

3

＜ r b( ) , 6＜r b( ) 0 r b( ) 7 , r b( )7

(2) (1) 同様 し ,

, br b( )8……… , r ab( )7……… , br b( ) 8 15

, r(15a)7

, 15a8k7 k 自然数 15(a1)8(k1)

15 8 互い 素 , a1 8 倍数 lを整数 し , a 1 8l, a  8l 1

わち, r a( )1 , ar a( ) 8 9

［解 説］

不等式 処理 難しそう , (1)(2) も誘導 寧 い い た , 見 けほ

あ ま 。 , (2) 後半 式変形 , 不定方程式 解を求 常套手段

［98 奈良女大］

(1) aを整数 し,

 

x 

   

x1  x 

 

x 3

2

3 3 …… を証明 。

(i) a x＜a1 3

こ ,

 

x 

   

x1  x a 3

2 3

また, 3a 3x＜3a1

 

3x 3a , 成立 。 (ii) a1 x a

3

2 3 ＜

こ ,

 

x 

   

x1 a x  a 3

2

3 1

,

また, 3a1 3x＜3a2

 

3x 3a1 , 成立 。 (iii) a2 x a

3 ＜ 1

こ ,

 

x a,

   

x1  x  a 3

2

3 1

また, 3a2 3x＜3a3

 

3x 3a2 , 成立 。 (i)(ii)(iii) , 実数x 対し も 成立 。

(2) a k

n x a k

n

 ＜  1 k0 1, , 2,,n1

 

x

 

x





n x

n k

n a

 1 _   1 



x n k

 







n x

n k

n x

n

n a

     1 _  1  ₁

,

 

x

    

x



n x n x

n

n n k a k a na k

 1  2  _  1 ₍  ₎  ₍ ₁₎ 

また, nak nx＜na k 1

 

nx nak 。 以上 ,

 

x

    

x



 

n x n x

n

n nx

 1  2  _  1 

［解 説］

数 直 線 を 用 い 考 え , 見 け 取 付 や い 問 題 。(2) (1) 考 え

方を一般化した ま 。

x

x

a a1 a a

3 2

3 1

a a

n a n a k n a

k

n a

［98 北海道大・理］

条件 , 2 2

1 1

1 1 2 3 1 1 1

n

k n k k

n

n n n n

n!  _ a a   a a a a a a  a a



  



 ……… ＊

n1 , 2a a1 2 a a2 1 , a1 1 a2 1

n2 , 2a a1 3 a22a a3 1 , a1 a2 1 a3 1

2



n3 , 4

3 a a1 4 a a2 3 a a3 2 a a4 1 , a1 a2 1, a3 1 2



a4 1

6



n4 , 2

3 1 5 2 4 3

2

4 2 5 1

a a a a a a a a a , a1 a2 1, a3 1

2

 ,

a4 1

6

 , a5 1

24



こ , a n

n 

11

( )! 推測 , こ を数学的帰納法 証明 。

(i) n1 a1 1

0 1

 _! 成立。

(ii) n l a

k k l

k 

11 1

( )! ( ) 仮定 。

(＊) nlを代入 , 2

2 1 1

1 1 2

2

1 1

l

k l k k

l

l k l k k

l

l

l!  _ a a  a a  a a a a

     





   _{    }  _{  }   





2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 a

k l k a l

l

k l k

l k l l k l ( )! ( )! ! ! ( )!( )!          





2 1 1 1 2 1

2

1

1 1

a

l a l

l l k k

l

l l k k l

! C ! C

           



2 1 1 0

0

a l

l l k k

l

l l l

! C C C 2  



 



1 _{1 1 2}

1

a l

l l

! ( )

2a11 2 2 l

l l

!( ) , 2a 1 2 0 1 1

l a l

l   l 

［98 九州大・理］

(1) ま , an 0 an an1を数学的帰納法 示 。

(i) n1, 2 , a1 1, a2 2 , n1, 2 成立 。 (ii) nk, k1 , ak 0, ak1 0, ak ak1 仮定 。

a a a a

a

a a a

a

k k k k k

k k k k

2   1         2

1 1 1

0

( )

a a a a a

a a

a a

k k k k k k

k k k

2  1   1        

2 1

1 1

2

0

(i)(ii) , 任意 自然数n an 0 an an1 成 立 。 ここ 条件 , an2an an1an1 an1an 0

an 0 , 両辺a an n1 , a a a a n n n n       2 1

1 _{1 0}

a

a b

n n

n

1 _

く , b1 2 bn1   bn 1





bn1   1 bn 

2

1

2 , bn

 

b

n n

 1      

2

1

2 1

3 2 1

1 ( ) 1 ( ) 1

bn n

n

 1      

2 3 2 1

1 3 1 2

1 1

( ) ( )

, an1 b an n , n 2 い , an a1   b1 b2 b3 bn1

             



1 1 3 1 2

1 3 1 2

1 3 1 2

1 3 1 2

0 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

 n

         



2 1 2 1 1 3 1

2

2

( ) ( )  ( )

n

n 偶数 , bn1 2 an

n n

 ( 2)     2 ( 2)

2

2 2

n 奇数 , bn1  1 an

n

 ( 2) 

1

2 _n₁

も成 立

(2) m 1 し , a m a m

m m

2  2 1   ( 2)  ( 2) 0

n 偶数 , Sn a a m a m an

n m n          



1 2 2 1 2

1 2 1

1 2

( ) ( )

n 奇数 , Sn a a m a m

m n       



1 2 2 1

1 1 2

1

( )

［解 説］

(1) anを 推 測 し 帰 納 法 証 明 も 思いました , え た漸化式 左辺 第 2 項 a_n₁

2

く, a_n₁a_n₁ あ 引 ました。こ , 式変形を誘

［98 京都大・理］

(1) f(a)a2   7 k 2n k 自然数 ……… く ,

f(a2n1)(a2n1 2)  7 a2  a 2n 22n2 7 , f(a2n1) k 2n  a 2n 22n2……… (i) k 偶数 k2l l, 1

, f(a) 2 2l n  l 2n1 , f(a) 2n1 倍数 。 (ii) k 奇数 k 2l 1, l 1

, f(a2n1)(2l 1) 2n  a 2n 22n2  l 2n1 (a 1) 2n 2n32n1    



l a 1 n



 n

2 2 2

3 1

ここ , a

2

奇数 aも奇数 , a1

2 整数 。

また条件 , n 3 2 2 1

3 0

n _

。 , l  a 1 n

2 2

3

整数 あ 。

, f(a2n1) 2n1 倍数 。

(i)(ii) , f(a) f(a2n1) 少 く も一方 2

1

n

倍数 。

(2) 題意成立を数学的帰納法 証明 。

(i) n1 2 3, ,

f(a1)a12  7 k121 , a1 1, k1 4 成立。

f(a2)a22  7 k222 , a2 1, k2 2 成立。

f(a3)a32  7 k323 , a3 1, k3 1 成立。 (ii) nm

f(am)am2 7 km 2m km 自然数 自然数am 存在 仮定。 (1) , f(am) f(am 2m1) 少 く も 一 方 2

1

m

倍 数 ,

am1 amまた a_m a_m

m

［98 大阪市大・理］

(i) n2

p q 1 p＞0, q＞0 対し, f(pxqy) pf(x)qf(y) 成立 。 (ii) nk

p1 p2 pk 1 pi＞0 1, i k 対し,

f(p x1 1 p x2 2 p xk k) p1f(x1)p2f(x2) pkf(xk) 成 立

仮定 。

こ , q1 q2 qk1qk qk1 1 qi＞0 1, i k1 対し, q y1 1 q y2 2 qk1yk1 q yk k qk1yk1

         _  



q y q y q y q q q y q y

q q

k k k k k k k k k k

1 1 2 2 1 1 1 1 1

1

 ( )

こ こ , q q q y

q y q y

q q

q

q q y

q

q q y

k k k k k k k k

k k k

k k k k

k

    _    _  _

 

  

1 1 1

1 1

1 1

1

,

く , q1 q2 qk1 q 1 q＞0, qi＞0 1, i k1 ,

f(q y1 1 q y2 2 qk1yk1 q yk k qk1yk1)

f(q y1 1q y2 2 qk1yk1 qy)

q1f(y1)q2f(y2)qk1f(yk1)qf(y)……… また, qf(y)  

  



 





  

(q q ) q

q q y

q

q q y

k k k k k

k k k k

k

1

1

1 1

1

f

(q q ) q ( ) ( )

q q y

q

q q y

k k k k k

k k k k

k

  _  _

 







 

1

1

1 1

1

f f

qkf(yk)qk1f(yk1)……… ,

f(q y1 1 q y2 2 qk1yk1 q yk k qk1yk1)

q1f(y1)q2f(y2)qk1f(yk1)qkf(yk)qk1f(yk1)

した , n k 1 も成立 。

(i)(ii) , n 2 , p1 p2  pn 1 pi＞0 1, i n 対し ,

f(p x1 1p x2 2 p xn n) p1f(x1)p2f(x2) pnf(xn)

［解 説］

有 名 不 等 式 証 明 。 数 学 的 帰 納 法 を 用 い こ わ ま , 条 件 p1 p2 pn 1 あ 注 意 必 要 。(ii) 文 をpi, xi qi, yi

［99 大阪大・文］

a以上b以 整数 総和 ab b a 

2 ( 1) , 条件 , a_{b b a   ab b a }

2 ( 1) 500, ( )( 1) 1000 1 a＜b , 2 b a 1＜ab………(＊)

ま た, (b  a 1) (ab)2b1 , 和 奇 数 こ , b a 1 ab

偶奇 一致し い。

以上 , 1000 2 5

3 3

  , (＊)を満たし 1000 を一方 偶数, 他方 奇数 2

数 積 し 表 ,

(b a 1, ab)(23, 53), (52, 235), ( ,5 2352) (i) (b a 1, ab)(23, 53)

b a 7, a b 125 , ( ,a b)(59, 66 ) (ii) (b a 1, ab)(52, 235)

b a 24, a b 40 , ( ,a b)( ,8 32 ) (iii) (b a 1, ab)( ,5 2352)

b a 4, a b 200 , ( ,a b)(98 102 , )

［解 説］

1000 正 約数 , 全部 16 個 ま , 一 一 チェックし いく た

い 。条件 適 候補を絞 こ い , ab b a 1 和 奇数

［99 静岡大・文］

(1) a 値 場合分けをし , S a( )を求 。 (i) a 0 1 k n 対し , ak  k a

S a k a a n a n na n n

k n

( ) (  ) (  )(  )    





₁ 1 2

2

1 2

1 2

(ii) 1 a n 1 k a ak  a k, a＜k n ak  k a

S a a k k a a a n a n a

k a

k a n

( ) (  ) (  ) (        ) ( ) ( )

  



₁



₁ 1 0

2

1 2

a2  n1 a1n2  n 2

1 2

( )

(iii) n1 a 1 k n 対し , ak  a k

S a a k k a na n n

k n

k n

( ) (  )  (  )  

 



₁



₁ 1 2

2 1 2

(2) 自然数aを実数x 置 換え, x 0 S x( )  nx 1n  n

2 1 2

2 _{, 0}

＜x n S x( )x2 (n1)x1n2  n

2 1

2 , n＜x S x( )nx n  n 1

2 1 2

2

。 こ , S x( ) x 0, n 連続 , x 0 単調減少, n x 単調増加 あ

。

そこ 0 x n , S x( )



x n 1

  

 n  n  n 2

1 2

1 2

1 2

2 2

2 _{, S x( )}

x  n 1

2 最 値を 。

, n1 偶数 n 奇数 , S a( ) a n 1

2 最 値を 。

また, n1 奇数 n 偶数 , S a( ) a n n 2

2 2

, 最 値を 。

［解 説］

(1) 和を求 際 , 等差数列 和 公式を用い いま 。また(2) S a( )

［99 熊本大・文］

(1) 領 域 x  y n内 , ま 直 線x 0上 格 子 点 n ( n) 1 2n1個あ , 直線x k(1 k n)上

格子点 , (nk)(kn) 1 2n2k1個あ 。 , 領域 y 軸 関し 対称 , 求 格子 点 個数N0 ,

N n n k

k n

0

1

2 1 2 2 2 1

    





( )

    





2 1 4 2

1

n n k n

k n

( )

      

 



2 1 4 2 2 2 1

0 1

2

n k n n n

k n

(2) ま , 領 域 x  y  z n内 平 面z 0

口 x  y n , (1) N₀ n n

2

2 2 1

   個

格 子 点 あ 。 ま た, 平 面z k (1 k n) 口 x  y nk , (1) 格 子 点 , Nk 2(nk)2 2(nk)1個あ 。

, 領域 xy 平面 関し 対称 , 求 格子点 個数N ,





N n n n k n k

k n

       





2 2 2 1 2 2 2 2 1

1

( ) ( )

       

 





2 2 2 1 4 2 4 2

1 1

n n n k n k n

k n

k n

( ) ( )

     

 

 





2 2 2 1 4 2 4 2

1 1

1 1

n n k k n

k n

k n

2 2  1 2     

3 1 2 1 2 1 2

2

n n (n ) (n n ) (n )n n

1 1

n n

n

k _x y

O

nk

n

kn

n

x

y z

n n

n

10 ［99 名古屋大・理］

(1) m k( 1, k2, , k4)2k1  k2 k3 k4 2k2 k3 k4 2k3k4 2k4 2k4₍2k1 k2 k3 2k2k3 2k3 1₎

k1 1, k2 1, k3 1 , 2k1 k2 k3 2k2k3 2k3 1 奇 数 あ , ま たk4 0 2k4

奇数, k4 1 2

4

k

偶数 。

1999 奇数 k4 0 , こ 2 2 2 1 1999

1 2 3 2 3 3

k k k _ kk _ k _{ }

2k3₍2k1k2 2k2 1₎200024 125 2k1k2 2k2 1

奇数 k3 4 , こ 2 2 1 125

1 2 2

kk _ k _{ }

2k2₍2k1  1₎ 126 2 63 2k1 1

奇数 k2 1 , こ 2 1 63

1

k _{ }

2k1 6426 _{, k}

1 6 , (k1, k2, k3, k4)( ,6 1, 4, 0)

(2) m k( 1, k2)m l( 1, l2)N く , 2 2 1 2 2 1

2 1 2 1

k ₍ k _{ )} l ₍ l _{ )N}

た し, k1 1, k2 0, l1 1, l2 0 あ 。

N 奇数 , k2  l2 0 , 2 1 2 1

1 1

k _{ } l _{ k l}

1  1

N 偶数 , N M

i

2 i 自然数, M 奇数 く ,

2k2₍2k1 1₎2l2₍2l1 1₎2i_M

, k2 l2 i , 2k1  1 2l1 1 k1 l1

した , N 偶奇 わ ,k1 l1, k2 l2 成 立 。

(3) (2) 結果 合わ , n 2 い , 題意成立を数学的帰納法を用い 示 。

(i) n2 (2) 成立 。 (ii) n p 題意 成立を仮定 。

ここ , m k( 1, k2, , kp, kp1)m l( 1, l2, , lp, lp1)N , 2kp1₍2k1  kp 2k2  kp 2kp 1₎2lp1₍2l1  lp 2l2  lp 2lp 1₎









2 1 1 2 1 1

1 2 1 2

k

p l p

p _{m k( , k ,} _{, k )}  p _{m l( , l ,} _{, l )} _N

k1 1, , kp 1, l1 1, , lp 1 , m k( 1, k2, , kp)1,

m l( 1, l2, , lp)1 も 奇数 。

, N 奇数 kp1 lp1 0 , N 偶数 kp1 lp1 1 こ , N 偶奇 わ , m k( 1, k2, , kp)m l( 1, l2, , lp)

仮定 kj lj( j1 2, , , p) , n p 1 も題意 成立 。 (i)(ii) , n 2 い , 題意 成立 。

［解 説］

11 ［99 電通大］

(1) a( ,1 1 , ) p( ,x y) , a 2 p 2 (a p )2 (12 12)(x2 y2) (1  x 1 y)2

条件 x y 1 , x y

2 2 1

2

 。等号 成立 , kを実数

し pka, わち( ,x y)

 

1, 2

1

2 あ 。

(2) a( ,1 1 1 , , ) p( ,x y, z) , a 2 p 2 (a p )2 (12 12 12)(x2 y2 z2) (1    x 1 y 1 z)2

条 件 x  y z 1 , x y z

2 2 2 1

3

  。 等 号 成 立 , k

を実数 し pka, わち( ,x y, z)



1, ,



3

1 3

1

3 あ 。

(3) an 0 (n1 2, , , 8)…… , a a1 2a a3 4 a a5 6 a a7 8 0…… a1 a3 a5 a7 a2 a4 a6 a8 1………

(a) a a1 2 a a3 4 a a5 6 a a7 8 0 , a1, a2, , a8 値

0 項 少 く も4項あ 。こ , を満た 項 存在 。

(b) (a) a1, a2, , a8 0 項 4項以上 , また 7項, 8

項 場合 あ え い , 6項以 。

(i) 4項 0 次 2 場合 けを考え も一般性 失わ い。

(a1, a3, a5, a7)(a1, a3, 0, 0), (a2, a4, a6, a8)( ,0 0, a6, a8)

こ (1) , F (a1 a )

2

32 (a62a82) 1 

2 1 2 1

(a1, a3, a5, a7)(a1, 0 0 0, , ), (a2, a4, a6, a8)( ,0 a4, a6, a8)

こ (2) , F a₁

2 _{    }

(a42 a62 a82) 1 1 3

4 3

(ii) 5項 0 次 場合 けを考え も一般性 失わ い。

(a1, a3, a5, a7)(a1, 0 0 0, , ), (a2, a4, a6, a8)( ,0 0, a6, a8)

こ (1) , F a1

2

(a62 a82) 1 1

12 ［99 一橋大］

(1) 1 1 1 p  q r ,

p q

pq 1 , (r pq r)  pq………

ここ , pq pq 2以上 公約数 mをも , a, bを自然数 し , p q ma, pqmb 表 さ 。 , こ 式 をま p ma(  p)mb

p2 m ap( b) , q ma( q)mb q2 m aq( b) , p2 q2 2 以 上 公約数 m をも 。こ , p, q 素数 いうこ 反 。 , pq

pq 互い 素 あ 。

, r pq 倍数 , kを整数 し r kpq 表 。

代入し ( pq k) 1………

p, q p＜qを満た 素数 , pq 2 3 5 , を満た 整数k

存在し い。

, 1 1 1

p q r を満た 整数r 存在し い。 (2) 1 1 1

p  q r , q p

pq 1 , (r q p r)  pq………

(1) 同様 し , q p pq 互い 素 あ , r pq 倍数 , lを整数 し r lpq 表 。

代入し (qp l) 1………

q p 1 約数 , p＜q q p 1

こ , p, q 一方 偶数, 他方 奇数 , 偶数 素数 2 し い , p2, q3 。こ r6 適 。

, 1 1 1

p q r を満た 整数 r 存在 , p2, q3 限 。

［解 説］

大 関係 う 値 範囲を絞 込 いくこ をま 考えました。 こ

そ うまく証明 た , p, q 素数 いう条件をも 考え直しまし

13 ［99 岡山大・理］

(1) x1x2 xk   n k 1…… , k 2 , xk    n k 1 (x1 x2 xk1)………

xi 1 (1 i k) , 1 xk n  k 1 (k 1) n

k1 x1 n , k 2 場合 合わ 1 xk n 。

(2) a n( , k1) x1x2 xk xk1  n kを満た 自然数解 個数を表 。 ここ , (1) 1 xk1 n , xk1   n j 1 (1 j n) ,

x1 x2 xk (n   j 1) n k, x1 x2 xk   j k 1

, こ 式を満た 自然数解(x1, x2, , xk) 個数 a j( , k) あ 。

した , a n k a j k

j n

( ,  ) ( , )





1

1

(3) ま , a n( , 1) x1 n 解 個数 , a n( , 1)1

(2) , a n a j n

j n

j n

( , 2) ( , 1) 1

1 1

  

 





a n a j j n n

j n

j n

( , 3) ( , 2) 1 ( )

2 1

1 1

   

 





a n a j j j

j n

j n

( , 4) ( , 3) 1 ( )

2 1

1 1

  

 









    



  





1 2

1

3 1 2 1 1

1

6 1 2

1

j j j j j j n n n

j n

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

以 上 , a n k

n n n k

k

n k

k n

( , ) ( ) ( )

( )!

( )!

( )!( )!

 1 _1  2  _1 2_1 推 測 。

(4) 1 j n 対し , a j k

j j j k

k

( , ) ( ) ( )

( )!

 1 _1  2 仮定した ,

a n k a j k

k j j j k

j n

j n

( , ) ( , )

( )! ( ) ( )

   _   

 





1 1

1 1 2

1 1







14 ［99 京都大・文］

(1) C x( ) xを100 割 た余 , C nx( )C ny( ) , nx ny 100

倍数 。 , kを整数 し ,

n x( y)100 k

n 2 も 5 も割 い正 整数 , n 100 2 5

2 2

  互い 素

あ 。

, xy 100 倍数 , C x( )C y( ) 成立 。 (2) (1) 命題 対偶を ,

C x( )C y( ) , C nx( )C ny( )………

ここ , C x( )rx, C y( )ry く , p, qを0以上 整数 し , x 100prx, y100qry

nx 100npnrx, ny 100nqnry

命題 整数rx, ry 0 rx 99, 0 ry 99 対し, rx ry , C nr( x)C nr( y)………

, 命題 C( ),0 C n( ), C(2n), C(3n),, C(99n) べ 異 , し も題意 0, 1, 2, 3, ……, 99 い あ 。

, C nx( )1 0以上 整数x 存在 。

［解 説］

整数 a, b 互い 素 あ , axby1を満た 整数 x, y 存在 いう

定理 あ ま , (2) こ 定理 具体的 場合 証明 いま 。し し, 上

解 論法 , た え(1) 誘導 いた し も, 参考書 類題を経験し

い 無理 し う。た え , いま手元 あ も 1 対 1 対応 演習数学Ⅰ

15 ［2000 大阪市大・理］

(1) b a

c a d

  , b c ad

kを2以上 整数 し , a ka, bkb(a, b 自然数) 仮定 , kb  c ka d , ck b(   a d)

こ , a c 2以上 公約数kをもち, 互い 素 あ こ 反 。

した , a b 互い 素 あ 。

(2) (1)を用い ,

28 5 21 4

21 4 7 1 21 4

7 1 21 4 1 n

n

n n

n

n n



       

( )

……… 21 4

7 1

3 7 1 1 7 1

1 7 1 3 n

n

n

n n



      

( )

………

7n1 1 互い 素 , 21n4 7n1 互い 素 あ 。 , 28n5 21n4も互い 素 あ 。

［解 説］

16 ［2000 大阪大・理］

ま , 8以上 整数x , 0以上 整数m, nを用い , x 3m5n 形 表 こ

を示 。

n0 x 3m , m 0 x 3以上 3 倍数を べ 表 こ

。

n1 x 3m 5 3(m 1) 2 , m1 1 x 3 割 た余

2 5以上 整数を べ 表 こ 。

n2 x 3m10 3(m3)1 , m3 3 x 3 割 た余

1 10以上 整数を べ 表 こ 。

以上 , 8以上 整数x , x 3m5n 形 表 。

さ , (m, n)( ,1 1) x8 , 8 さい自然数x x3m5n 形 表 , (m, n)( ,1 0), ( ,2 0), ( ,0 1) 場 合 け あ ,

x 3, 6, 5 。

, 0以上 整数m, nを用い , x 3m5n 表 こ い自然数x 1, 2, 4, 7 け あ 。

［解 説］

い 8以上 整数 べ 3m5n 形 表 こ わ たわけ あ

ま 。m, n 0以上 整数を具体的 あ 推測をしました。た , 3 5

互い 素 , 整数m, nを用い 3m5n 形 , 任意 整数 表 いうこ

17 ［2000 京都大・文］

(1) 条件(イ) , b c pq p (pq1) p 1＞0 c a pq 1 (pq)(p1)(q1)＞0 こ , a＜c＜b , A＜C＜B

(2)   A 60 , (1)     A B C＞60 +60 +60   180 

  B 60 , (1)     A B C＜60 +60 +60   180 

い も不適 , 条件(ハ) ,   C 60

△ABC 余弦定理を適用し ,

(pq1)2 (pqp)2 (pq)22(pqp)( pq) cos60

変形し , pq 1 p qp q pq

2 2 2 2

(q1)p2 q q( 1)p(q1)(q 1) 0, (q1)( p1)(p q 1)0 p＞1, q＞1 , q p 1

, a2p1, b p p( 2 , ) c p p(  1) 1

, a, c p 偶奇 わ も 奇数 , 条件(ロ) , p p( 2)2 n

, p 2以上 自然数 , k, lをk＜lを満た 自然数 し , p

k

2 ,

p 2 2l 表 こ 。

2l 2k 2, 2k(2l k 1)2, 2k1(2l k 1)1 k1 0 , lk 1 , k 1 0 l k 1 。

わち, k1, l2 , p2 あ 。 以上 , a5, b8, c7

［解 説］

角形 辺 角 大 関係 い , 明 し い し う。数学A 教

科 書 , そ 証 明 載 い た 載 い た , まちまち , ち

気 ました。

A

B C

18 ［2000 東北大・理］

(1) 条件 , 

n

n n

 4    

5 2 1 5 2 1 1 1 4 5



 

1 0 , 数部分

4 5

2

8 5



 

2 1 , 数部分

8 5 1 3 5   3 16 5



 

3 3 , 数部分

16 5 3 1 5   4 32 5



 

4 6 , 数部分

32 5 6 2 5   5 64 5



 

5 12 , 数部分

64 5 12

4 5

 

(2) k1, 2, 3, 4 し , k

k k k

5 2 16

5 3 5

4

    , _n 数 部 分

n4 数部分 等しい。

した , 

n 数部分 周期4 周期数列 , (1)

4 5 3 5 1 5 2 5

, , , を

く 返 。 わ ち

n 数 部 分 , m 1 し , n4m3

4 5 , n4m2 3

5, n4m1

1

5, n4m

2 5

。

さ , 条件 

 

n

n

1  

5 1 2

1

, ₁ 1 5

 , n 2 _n 1

10

。 , n 2 , a_n _n _n , _n  1 a_n _n 

10

1

10 ,

し も

n 数部分

1 5 2 5 3 5 4 5 , , , ,

  

a_n  _n _n

  

 _n

わち, a

n 数部分b

n , n 数部分 

nを加えたも 。

, mをm 1 整数 し ,

 

b_n  3  m 5 1 5 1 2 4 3

 

 3  

5 1 5 1 2 1 n

(n4m2 )

 

b_n  1  m 5 1 5 1 2 4 2

 

 1  

5 1 5 1 2 1 n

(n4m1 )

 

b_n  2  m 5 1 5 1 2 4 1

 

 2  

5 1 5 1 2 1 n

(n4m )

 

b_n  4  m 5 1 5 1 2 4

 

 4  

5 1 5 1 2 1 n

(n4m1 )

, a_{1 1 1} 4 5

1 5 1

     , 数部分b₁ , b₁ 0 。

 

 

c_m  2 1  m       m

5 1

2 8 4 2 1 2

1 16

4

( )

, b_k b b b c b

k

k k

k k

m m

   



 













1 100

1 2 100

2 100

1 25

101

   

 

 

 



     

2 25 1 16 1

1 16 1 1

16

4 5

1 5

1 2

25

100

  

 

 

   

50 1 15 1

1 16

4 5

1 5

1 16

25 25

49 2 

 

15

2 15

1 16

25

以上 , 数列

 

b

n 初項 第100項ま 和 整数部分 49 あ 。

［解 説］

ま (1) 周期性 気付 , 次 _n n 大 く , そ 絶対値 く さい

19 ［2000 名古屋大・文］

(1) 0 a 2b c 5 , b0 1 2, , 。 (i) b0

a0 , 0 c 5 , ( ,a b, c) 組 個数 , 1 6 6 。 (ii) b1

0 a 2, 2 c 5 , ( ,a b, c) 組 個数 , 3 4 12 。 (iii) b2

0 a 4, 4 c 5 , ( ,a b, c) 組 個数 , 5 2 10 。 (i)(ii)(iii) , P( )5  6 12 10 28

(2) n 奇数 n2m1 (m 1) , 0 a 2b c 2m1 , b う 値 , b0 1, , , m1 。

さ , bk(0 k m1) , 0 a 2k, 2k c 2m1 , ( ,a b, c) 組 個数 , (2k1)(2m 1 2k1)(2k1)(2m2k) ,





P m k m k k m k m

k m

k m

(2 1) (2 1)(2 2 ) 4 2 2( 1) 2

0 1

2

0 1

        

 

 





  4 1       

6 1 2 1 2 2 1

1

2 1 2

2

(m )m( m ) ( m ) (m )m m

 1     

3 2 3 1

1

3 2 1 1

2

m( m m ) m( m )(m )

ここ , n2m1 , m n

 1

2 ,

P n( )   1 n (n   ) n (n )(n )(n ) 3

1

2 2

3 2

1

12 1 2 3

［解 説］

(1) (2) 誘導 いま 。ま (1) b 値を固定 数えや い いうこ

20 ［2000 金沢大・理］

(1) _nC_r_n1C_r1_n1C_r , _n1C_r1_nC_r_n1C_r , n 4 ,

k k

n

k k

n

k k k

n

n



    



1 2 



 



 

3

2 2 1 2

4

3 3 3 1 3

4

3

C C C C ( C C ) C

また, n3 ,

k k

 



1 2 

3 3

2 2 3 3

C C C 成 立 。

以上 , n 3 ,

k k

n

n

 



1 2

3

3

C C

(2)k個 球を1列 並べ, そ 球 間 k1 所 2 所選 仕 を入 。

左側 仕 左側 あ 球 個数をx, 2 仕 間 あ 球 個数をy, 右

側 仕 右側 あ 球 個数をz ,

x  y z k (x 1, y 1, z 1)………

ここ , 仕 入 方 1通 対し , を満た 整数 組( ,x y, z) 1通 決ま , そ 個数 ,

k1 2  k k

1

2 1 2

C ( )( )

(3) 整数kを0 k m し, x  y z k(x 0, y 0, z 0)…… を満た 整数

組( ,x y, z) 対し , a x 1, b y 1, c z 1 く , a   b c k 3 (a 1, b 1, c 1)………

を 満 た 整 数 組( ,a b, c) , (2) _k₂C₂通 , を満た 整 数 組( ,x y, z) 個数 _k₂C₂ あ 。

, x y z m(x 0, y 0, z 0)を 満 た 整 数 組( ,x y, z) 個 数 , (1)を用い ,

k k

m

k k m

m m m m



  







2 2 



    

0

1 2 3

3

3 3

1

6 3 2 1

C C C ( )( )( )

21 ［2000 北海道大・理］

(1) 正4n角形 中心をO し,      2

4n 2n く。 四 角 形OP Q P

0 k k1 い , P OP   

0 k 1 (k 1) ,

OP Q0  OP1Q  

2

k k k   ,

P Q P0 1 2     

2 2 1

k k    (k ) 

  k 



 k



 n 1

2 (2) (1) 同様 考え ,

P Q Pk l l1   (l k) 



 





l k n 1

2

P Q P_{l 0 1}   (4  ) 



14 



 2

n l n l

n

△Q Q Q

0 k l 鋭角 角形 , 0

2

0 1

＜P Q P  ＜

k k  ,





0 1

2 2

＜  ＜

k

n   , 1

2＜2 ＜1 k

n , n＜k＜2n………

同様 し , 0

2

1

＜P Q P ＜

k l l  , n＜lk＜2 , n kn＜l＜k2n……… また, 0

2

0 1

＜P Q P＜

l  , n＜4nl＜2n, 2n＜l＜3n……… を k＜l も kl 平面上 図示 , 右図 網点

部 。た し, 境界 領域 含ま い。

こ 領域内 あ 格子点( ,k l) 個数 , 鋭角 角形

k l 組 数 一致 ,

(n2)(n 3)   2 1 1(n )(n )

2 1 2



［解 説］

条件を満た k l 組 個数を, 格子点 個数 対応さ 数えました。 ,

上 解 , 角度を 度法 表示し いま , 度数法  180 読 え く

さい。

P0 P1

P2

Pk

Pk+1

Pl

P4n- 1

P4n- 2

Pl+1

Qk

O Ql

Q0

O n 2n n

2n

3n

22 ［2000 京都大・文］

xk12xk xk1＞0 , xk xk1＜xk1 xk

ここ , yk xk1xk く , yk1＜yk , 2 k n1 , y1＜y2＜＜yn2＜yn1

(i) y1＞0

0＜y1＜y2＜＜yn2＜yn1 , x1＜x2＜x3＜＜xn2＜xn1＜xn x1, , xn 最 値m x1 あ 。

(ii) yn1 0

y1＜y2＜＜yn2＜yn1 0 , x1＞x2＞x3＞＞xn2＞xn1 xn x1, , xn 最 値m xn, また xn xn1 あ 。

(iii) y1 0 yn1＞0

y1＜y2＜＜yi 0＜yi1＜＜yn2＜yn1 i (1 i n2) 存 在 。 x1＞x2＞x3＞＞xi xi1＜xi2＜＜xn2＜xn1＜xn

x1, , xn 最 値m xi1, また xi1 xi あ 。 (i)(ii)(iii) , xl m l 個数 1また 2 あ 。

［解 説］

え た不等式 意味 , 階差数列 単調増加 漸化式 いうも 。こ

23 [京都大・文]

) 1 )( 1

( 3 3

3 3

9_{   }

n n n n n

N , kを整数 し ,

(i) n3k

) 1 27 )( 1 27 ( 3 9 ) 1 27 )( 1 27 (

27 3 3  3   3 3  3

 k k k k k k

N

(ii) n3k1



(3 1) 1



(3 1) 1



) 1 3

(  3  3  3 

 k k k

N



(3 1) 1



) 9 27 27

( ) 1 3

(  3 3 2   3 

 k k k k k



(3 1) 1



) 3 3 ( ) 1 3 (

9  3 3  2   3 

 k k k k k

(iii) n3k1



(3 1) 1



(3 1) 1



) 1 3

(  3  3   3 

 k k k

N



(3 1) 1



(27 27 9 ) )

1 3

( k 3 k 3  k3  k2  k





(3 1) 1



(3 3 ) )

1 3 (

9 k 3 k 3 k3 k2 k



以上 , 任意 整数n 対し,

3 9 _n

n

N   9 割 。

［解 説］

24 [岡山大]

(1) 1f(0) , 1f(x)ax2 bx く , 0

) 1 ( 

f , ab10……… n

n) (

f , an2 bn1n……… 1

 a

b , 代入し an (a1)n1n

2 _{, 1a(n}2 _n)

n n a

 

 ₂1 _,

n n n n n n b      

 ₂1 ₁ 2₂ 1

, ( ) 1 1 1

2 2 2

2_  _ 

  x n n n n x n n x f

(2) (1) , ( ) 1 1 1

2 2 2

2 _  _  

  k n n n n k n n k f , 1 ) 1 ( 2 1 1 ) 1 2 )( 1 ( 6 1 1 ) ( 2 2 2 0              



 n n n n n n n n n n n n k S n k f ) 1 3 )( 2 ( 6 1 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 2 ( 6

1 _{ } 2 _{      }



 n n n n n n

(3) )(n2)(3n1)(n2)(2nn1)2n(n2)(n1)(n2 変 形 , )

2 (

2n n 偶 数, さ n1, n2 い 偶 数 , )(n1)(n2 も 偶数 , )(n2)(3n1 偶数 。

また, )(n2)(3n1 3 倍数 条件 , 3n1 3 倍数 い , 2



n 3 倍数 こ あ 。

, S 値 整 数 あ た , )(n2)(3n1 6 倍 数, わ ち 2



n 3 倍数 あ こ こ 必要十分 あ 。

［解 説］

(2) 結果 , (3) (n2)(3n1) 偶数 こ をいえ , 題意 証明

25 [神戸大・理]

(1) 互い 素 自然数m, nを用い , 3次方程式 0

2

3 _{ax bxc}

x 解を

m n x

く , 0

2 2 3

3

     

 c

m n b m

n a m

n _,

0

3 2

2

3 _{   }

n amn bm n cm , )n3 m(an2bmncm2

さ , a, b, c 整数 ,

2 2 _{bmn cm}

an 

  整数 , m

3

n 約数

。 こ , m n 互い 素 , m1 。

, x n , 解 整数 あ 。 (2) 方程式 2 2 0

2 3 _{ x  }

x 有理数 解をも , (1) 整数解 。

ここ , 2( ) 2

2 3 _{ }

x x

x

f く ,

) 4 3 ( 4 3 )

(  2  

 x x x x x

f

右 表 , 0f(x) 実 数 解

3 4



＜ x

た 1 存在 。

さ , 7f(2)2, f(3) , こ 実 数 解 3＜x＜2 存 在 こ わ , 0f(x) 整数解をもた い。

, 0f(x) 有理数 解をもた い。

［解 説］

(1) 有名問題 。(2) グラフを用い 考えました , や もし ま

。

x …

3 4

 … 0 …

) (x

f ₀ － 0 )

(x

26 [大阪大・理]

(1) k

n k n

k ₄2 ₂

OP

P₀    

 あ , 条 件 PP 2

0 k

2 P P_{0 k}2

△P₀OP_k 余弦定理を適用し , 2 2

cos 1 1 2 1

1 k

n



    

0 2

cos k n

 _,

2 3 2

2  

 _k

n

, n k 3 n

(2) P0を1 頂点 角形を考え, 他 頂点をP_i, P_j (i＜j) く , 2

P

P_{0 i} , n i 3n……… 2

P

P_{i j} , in j i3n……… 2

P

P_{j 0} , 4n3n j 4nn n

j

n 3 ………

を満た 領域 右図 う , こ 領域内

) ,

(i j 組 個数 ,









_     _n  

n i n

n i

i n n

i n

2 2

) 1 2

( 1

) (

3



 

 1

1

n i

i

( 1)( 2) 2

1 _{ }

 n n

1

P を 1 頂点 角形, P₂を 1 頂点 角形, ……, P_4n₁を 1

頂点 角形 い も同数 , また条件を満た 角形を重複し

3回数え い こ , 求 個数g(n) ,

) 2 )( 1 ( 3 2 3 1 4 ) 2 )( 1 ( 2 1 )

(n  n n  n  n n n

g

［解 説］

(2) 格子点 個数を対応さ 数えました。 く見 け 頻出題 。

x y

O

0

P

1

P

2

P

k

P

1 4

P_n

n 2n 3n n

2n

3n

i j

27 [大阪市大・文]

(1) 1a1  , (an1an)2 an1an…… し , n1を代入 , 1

) 1

(a2 2 a2 , a22 3a2 0, 0a2(a2 3)

1

1 2 a 

a ＞ , 3a2 

(2) bn an1anを 代入 , bn an1 an

2

) (

) (

) (

)

( 2 1 1 2 1 1

2 2

1 n n n n n n n n n

n b a a a a a a a a

b                

, (bn1 bn)(bn1 bn)bn1bn n

n a

a 1＞ bn＞0 , 0bn1 bn＞ , 1

1  

 n n b

b ………

こ , 数列

 

bn 公差 1 等差数列 あ 。

(3) (1) b1 a2 a1 2 , , 1bn 2(n1)n

, n 2 , ( 1)

2 1 )

1 ( 1

1 1

1

 

  







 



n n l k

a

n l n

k n

1



n も成 立 , ( 1)

2

1 _

 n n

an あ 。

［解 説］

28 [九州大・文]

(1) 条件 ,





0

4 3 2 1 1 2 2

1       ＞

 n n n

n a a a

a , n 2 an＞0

またa1 2＞0 , べ 自然数n 対し , 0an＞ 。

(2) 条件 , )1 ( 1

2

1     

 n n n n n a a a a

a

n n n

n a a a a P P

a _1 1( 1 1) 1 2 (21)  , 1an1 Pn 

(3) (2) 結果を用い , 2a1  , 3a2 P1 1a1 1 , 7a3 P21a1a2 1 , 43

1 1 1 2 3 3

4 P  a a a  

a 。

2 1 1

1 1  

a S , 6 5 1 2 1

2   

a S S , 42 41 1 3 2

3   

a S S 1806 1805 1 4 3

4   

a S S

(4) (3) ,

n n n

P P

S  1 推測 , こ を数学的帰納法 証明 。

(i) n1

1 1 1 1 2 1 P P

S    成立 。

(ii) nk

k k k

P P

S  1 仮定 , Pk1 Pkak1, 1ak1 Pk  ,

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 ( 1)

                   k k k k k k k k k k k k k k k k k a P P a a P a P P a P a P P a S S 1 1 1 1 1 1        _   k k k k k k P P P P a P

(i)(ii) , べ 自然数n 対し ,

n n n

P P S  1

［解 説］

(1) (2) 数 学 的 帰 納 法 を 利 用 ま も あ ま し た 。(4) (3) 流 ,

29 [京都大・理]

条件 ,



 



 

4 ) 1 ( sin 4

) 1 ( cos 2

sin 2

cos 2

) 1 ( )

( _{  }  _ 

i i  n n i n n

a

n n n

n f



 sin( )(₄ 1)

4

) 1 (

) (

cos       



 n k n k i n k n k

a_{n k}

n k n a

a _  , mを整数 し ,

 

 2 ( ₄ 1)

4

) 1 (

)

( 

   

 n n

m k

n k n

) 1 ( 8 ) 1 (

)

(nk nk  mn n , k(2nk1)8m………(＊)

ここ , (＊) n0, n1を代入 , )k(k1), k(k1 も 8 倍数 , 1k1, k も 8 倍数 こ い , k 8 倍数 あ 。

逆 k 8 倍数 あ , 任意 整数n 対し (＊) 明 成立 。

, 任意 整数n 対し , あ 整数m 存在 条件 k 8 倍数, わち, k8l(l1, 2, 3, ) あ 。

［解 説］

式変形 結果, 得 た(＊) , ま しまいま 。こ う , 必要

30 [大阪大・理]

(1) (i) n1 b₁ c₁ 1a₁ , b₁ c₁ 成立 。 (ii) nk b_k c_k 仮定 , 0

k k c b  ) 1 ( ) ( ) 1

( _{1 1 1}

1

1 k k k k k k k

k c a b c a a b

b _  _   _   _{ }  ………

ここ , 0a_n

2 1

1





_n_ an ,

2 1

0 an , 1 1

2 1

n

a



, 1b_k (1a₁)(1a₂)(1a_k) , 0a_k1(1b_k) ……… , 0b_k1c_k1 , nk1 も成立 。

(i)(ii) , べ n 対し, 不等式

n n c

b 成 立 。

(2) 条件 , あ n 対し , 0( ) (1 )

1 1

1        

 n n n n n

n c b c a b

b

ここ , (1 ) 0

1 n

n b

a _  , 0b_n c_n

こ , (1) 0

n n c

b  , 0b_n c_n  。

(3) )c₃ 1(a₁ a₂ a₃ ,

2 1 0 1 3 2

1 





  n n a a a

a , 1

2 1

3

c

こ , 2 1

3 

b , (1)

2 1 3 c , 2 1 3 

c あ 。

さ ,

2 1 ) 1 )( 1 )( 1

( _{1 2 3}

3  a a a 

b …… ,

2 1 ) (

1 _{1 2 3}

3   a a a 

c …… , 2 1 ) ( ) (

1 a1 a2 a3  a1a2a2a3 a3a1 a1a2a3 

を代入し ,

3 2 1 1 3 3 2 2

1a a a a a a a a

a    ………

また, (2)

2 1

3 3 c 

b , b₂ c₂ ,

) ( 1 ) 1 )( 1

( a1 a2   a1a2 , 0a1a2  ……… (i) a1 0 a2a3 0

0 2  a 2 1 3 

a , 0a₃ 

2 1

2 

a

(ii) 0a₁  a₂ 0 , a₃a₁ 0 a₃ 0

こ ,

2 1

1 

a

31 [京都大・文]

条件 ,

n

a a

a_{1 2}  …… , 11＜ ＜

k

a S

 (k1, 2, , n)……

ま , 2

n

a 仮定 。

い k1 , 11

1＜ ＜Sa

 , 11＜ _{2 3 1} ＜

n n a

a a

a    

  

1 1

1 3

2    ＜  

n n a

a a

a  ………

1 3

2 a an

a  , a₂＜0 , 0

2 1 a＜ a

, ₁  ₂  ₃   _1＜1

n

a a

a

a  ,

1



 ＜

n

a S

こ い kn 反 , 2＜

n

a 。

次 2

1 

a 仮定 。

い kn , 11＜ ＜

n

a S

 , 11＜ ₁  ₂  ₃   ₁＜

n

a a

a

a 

1 3

2 1

1

1  a＜a a a_n ………

1 3

2 a an

a  , ₁＞0

n

a , ＜a_n a_n

1

0 _ , 1＜a₂ a₃a_n1 a_n ,

1

1＞ a S

こ い k1 反 , 2

1＞

a 。

以上 , , べ k い a_k＜2 成 立 。

［解 説］

京大 しい証明問題 。n2 場合 明 , n3やn4 場合を 考