通貨体制転換と為替レート

と簡単化される(30)，(31)式は 2つの境界値

ι

五の聞に無限の間隔が存在するとき，為替レート がファンダメンタルに関して線型を成すことを示唆しているO さて， η=0，すなわち，ファンダメンタルがトレンドをもたないときx=kとなり，将来全体に わたるファンダメンタルの最良推量値が今日の現在値であることを示しているO 吸収壁がファンダ メンタルの変動の期待値に何ら効果を及ぼさないから，以下の場合と相異して経路が曲線化する湾 曲効果 (bendinge宜ects) が作用しない。次に， η>0のとき，図-1において，直線

FF

が

A

1

=A

z =0でありバブルが存在しない情況下での永久的自由変動解を与えているO 経路MG，NGは上の (30)式の場合に対応し，下限値が-∞をとる例であるO 上の(24)，(25)式から，為替レートは吸収 壁

ι

五において原点を通る450 線上に乗らなければならない。したがって，自由変動経路

FF

は， 2 つの吸収壁が互いに無限に遠く位置する場合に妥当するO さらに，図』におけるごとく， η>0の場合に ，

k

が五もしくは

k

に接近していくにつれ，為替 レートがある所与の将来時点においても自由変動し続ける確率が低下し，さらに，レートの固定化 (pegging) が施された瞬間にレートが永久にゼロに設定されるから将来のいかなる期日でのファン ダメンタルの期待成長率もどちらかの吸収壁に接近するにつれ低下していくO 結果として ，

k

が吸 収壁に接近するにつれ自由変動経路

FF

線に対して相対的にxは低下していく，すなわち通貨価値 の上昇がもたらされるO 最後に， η<0の場合，

FF

線は45 0 線以下に位置することになり，鞍点経 路解は450 線に線対称を成すそれとなるO さて，ファンダメンタルがより複雑な確率過程，すなわち平均回帰過程 (mean-revertingproc -ess) にしたがって変動する場合をみてみようO 平均回帰過程は，合流型超幾何微分方程式 (conf1u

-ent hypergeome凶cdi旺erentialequation) または Kummer方程式 (Kummer'sequation) を導き，

がしたがうo (45)式は合流型超幾何函数 (confluenthypergeometric function)とよばれ，上の合流

型超幾何微分方程式((44)式)の解を与えるO しかるに， (45)式と独立な (44)式のもう 1つの解が，

y宇2，3，……に対して

U2 (z)

=

F

(

α， y， z)

=

zl-YF(α-y+，l2-y，z)

で与えられるO

α-y+1 α(α-y+1)(α-y+2)

五=S(五)=-丘一十A1M1(五)+AzMz (五) αθ+1 (64) _ T ' ( 1 1 sk z ¥ 1I1 ( ' ¥ _T ' ( 1 1 3θk Z _川L がしたがうO た戸し ，

M

1

(

k

)

=F

(

一一一一一一)， Mz(必至 F(一一+一一 17_~ )庄一て、あるO ー 2αθ，2 'σ2 ，/ .L"~l， ""1 ....-'2αθ2 ' 2 ' 0 σ (63)， (64)式をA，JAzについて解けば M~

五

(

)k-Mz(k)

五

A1= (ー」一)( 二 一 αθ +1/ 'Ml(左)Mz(k)一Ml(五)Mz

匂)

(65) M1 (k)長一Ml(五)k Az=(~ー)( 一一 一一 αθ+ l' 'M1 (k) Mz (k) -Ml (k) Mz (k ) (66) がしたがうO ここで， (65)， (66)式からしたがう未定定数AhAzを(62)式に適用すれば，鞍点経路 解

r

.

.

/

Gz(五)k-Gz(k)五 x =S(k) =一 」_αθ+

-lh

₁ +( 一 二 ， 、 )G1 (k) l'~ . 'Gl (k)Gz(k) -G川、 h がしたがうO G1 (k)五-Gl(五)k " ~ /."1 一 一 )Gz (k)~ G1 (k)Gz長)-Gl(( 五)Gz (k) / ~" ，，~/ J ところで， (合流型)超幾何函数は，次の函数 ∞ [δ1J n'"[みJnzn p/i'q(δJ，…，δP' Y， …，九 ;J z)=

エ

n~O [YIJn"'[九Jnn! の特殊なケースであり，特に，

ρ

=q=lのとき lF1(δ，y，z)=F(δ， y，z) (67) (68) (69) は，合流型超幾何函数を与えるO上の(68)式の函数は，Pochhammerの一般化超幾何函数 (Pochham -mer's extended hypergeometric function)と呼ばれる九さらに， Kummerの第1変換公式 lF1(δ，y，z)=ez1F1(y-δ，y， -z)

を用いて， (69)式を考慮すれば

しかるに，我々は，体制転換が為替レートにもたらす効果を論ずる問題は，為替レートの目標相 場圏 (targetzone) をめぐる問題の踏み台にも位置づけられるとの認識から，敢えて定常解を求め る手順にしたがうことにした。 ファンダメンタルが平均回帰過程としての Omstein

=

Uhlenbeck過 程 に し た が う と こ ろ で ， 同 過 程が合流型超幾何微分方程式を導き，その解が無限級数としての既知の合流型超幾何函数を係数と する 1次式で表わされる性質を用いて為替レートの鞍点経路解が導かれた。さらに，自由変動制下 の 為 替 レ ー ト が 予 め 設 定 さ れ た 上 限 な い し 下 級 に 到 達 し た 時 点 で ， そ こ に 凍 結 さ れ る 体 制 転 換 が 図

ら れ る と き ， フ ァ ン ダ メ ン タ ル が し た が う 確 率 過 程 がBrown運 動 か ら Omstein= Uhlenbeck過 程

に変更されても，為替レートは同様の変動を見せることが確認された。

我 々 の 議 論 を 投 機 的 攻 撃 (speculativea伽ck) が 不 可 避 と な る 二 国 間 な い し 多 国 間 モ デ ル の 文 脈

の中で論ずることは，興味深い発展化の一つの方向であろうO

References

( 1

J

G. Bertola andR.J.Caballero，“Sustainable Intervention Policies and Exchange Rate Dynamics，"in

(11J.

( 2

J

P. Cagan，つbeMonetary Dynamics of Hyperinflation，"in M. Friedman， ed.， Studies in theQuantityThe

-。

η01Money， University of Chicago Press， 1956. ( 3 J A. DasGupta， Fundamentals 01 Probability: A First Course， Springer， 2010. ( 4 J F. Delgado and B. Dumas，‘'Target Zones， Broad and Narrow，"in(11J. ( 5 J R.P. Flood and P. M. Garber“A ， Model of Stochastic Process Switching，"Econometricα， 51， 1983. ( 6 J 一一一一一， and一一一一一， ''The Linkage Between Speculative Attack and Target Zone Models of Ex -changeRate，"Qua

仰の

Journα

1

0

1

Economics， 106， 1991. ( 7

J

一一一一一，andR.J. Hodrick“，Asset Price Volatility， Bubbles， and Process Switching，"Journal 01 Finance， 41. 1986.

C 8

J

K A. Froot and M. Obsぜ'eld，“Exchange-RateDynamics under Stochastic Regime Shifts: A Uni:fied Ap -proach，"Journal ollnternational Economics， 31， 1991.

( 9 J 一一一一一，and一一一一一，“StochasticProcess Switching: Some Simple Solutions， Econometrica， 59， 1991.

C

1

0J M. Kijima， Stochastic Processes with Applications加Finance，Chapman & Hall/CRC， 2003.

(11J P. Krugman and M. Miller， eds.， Exchange Rate Targets

0

1

Currency Bands， Cambridge University Press，

1992.

C

1

2J 一一一一，andJ.Rotemberg，“Speculative Attacks on Target Zones，"in(11J.

C

1

3J R.A. Meese and K Rogo宜，“EmpiricalExchange Rate Models of Seventies: Do They Fit out of Sam -ple?"Journal ollnternational Economics， 14， 1983.

C

1

4J M. Miller and A. Sutherland，“Britain's Retum to Gold and Entry into the EMS: Joining Condition and Credibility，"in

C

1

1

J

.

C

1

5J L.J.Slater， Confluent Hypergeometric Functions， Cambridge University Press， 1960.

C

1

6J 一一一一一，Generalized Hypergeometric Functions， Cambridge University Press， 1966.

C

1

7J G. W. Smith，“Solution to a Problem of Stochastic Process Switching，"Econometrica， 59， 1991.

C

1

8J 一一一一一，andR.T. Smith，“Stochastic Process Switching and the Retum to Gold， 1925，"Economic Jour -nal， 100， 1990.

(19J ， and M. G. Spencer，“Estimation and Testing in Models of Exchange Rate Target Zones and Process Switching，"in(11J.