単相3レベルインバータ駆動コンデンサ電動機の解 析

単相3レベルインバータ駆動コンデンサ電動機の解 析

著者 李 鍾洙, 篠原 勝次

雑誌名 鹿児島大学工学部研究報告

巻 36

ページ 53‑58

別言語のタイトル An Analysis of Capacitor Motor Driven by Single Phase Three‑Level lnverter

URL http://hdl.handle.net/10232/12390

単相3レベルインバータ駆動コンデンサ電動機の解 析

著者 李 鍾洙, 篠原 勝次

雑誌名 鹿児島大学工学部研究報告

巻 36

ページ 53‑58

別言語のタイトル An Analysis of Capacitor Motor Driven by Single Phase Three‑Level lnverter

URL http://hdl.handle.net/10232/00010655

単相３レベルインバータ駆動コンデンサ電動機の解析

李 鍾 沫 ＊ ・ 篠 原 勝 次

（受理平成６年５月31日）

AnAnalysisofCapacitorMotorDrivenbySingle

PhaseThree‑Levellnverter

Jong‑SooLEEandKatsujiSHINOHARA

S t a t o r v o l t a g e c o n t r o l i s w i d e l y u s e d f o r f r a c t i o n a l h o r s e p o w e r d r i v e s ， H o w e v e r ， t h e o p e r a t ‐ i n g e f f i c i e n c y i s p o o r ， ａ ｎ ｄ d e r a t i n g i s n e c e s s a r y a t l o w s p e e d s t o a v o i d o v e r h e a t i n g d u e t o e x c e s ‐ s i v e c u r r e n t a n d r e d u c e d v e n t i l a t i o n ・ I n t h i s p a p e r ， t h e s t e a d y s t a t e c h a r a c t e r i s t i c s o f a c a p a c i t o r m o t o r d r i v e n b y a s i n g l e p h a s e t h r e e ‑ l e v e l P W M i n v e r t e r a r e a n a l y z e d b y t h e r e f e r e n c e ‑ f r a m e t h e o r y ・

T h e w a v e f o r m s o f i n s t a n t a n e o u s c u r r e n t s o f t h i s m o t o r a r e c a l c u l a t e d n u m e r i c a l l y ．

１ ． ま え が き

現代社会では日常生活において多くの電機製品が使 用されている。その回転機としては単相電動機の使用 が多い。そこで単相電動機は大部分コンデンサ分相形 誘導電動機（コンデンサ電動機）を使用しているのが 実情である。コンデンサ電動機は起動時と運転時の特 性が異なり，しかも起動時間が短いので制御システム としてのデータが必要な時は実験より計算で状態を把 握することが要求される。

このコンデンサ電動機の速度制御は一次電圧制御が これまで使用されてきた。ここでは相補形トランジス タインバータでこの電動機を運転した時の解析法につ いて述べる。

最初にコンデンサ電動機の基本回路(1)の回路方程式 から瞬時方程式を導いた。この方程式と単相３レベル 相補形トランジスタインバータ'2)のＰＷＭ電圧波形よ りコンピュータプログラムによる起動特 性を計算し，

その結果を検討した。

２．回路とその動作

本研究の特性解析に使用した単相３レベルインバー タと単相コンデンサ電動機の回路は次の通りである。

*韓国永進専門大学電気科

２．１インバータ主回路

図１はインバータとコンデンサ電動機の接続図であ る。ここでインバータ端子ＯＡ間には３レベルＰＷＭ 電圧波形が印加される。この相補形トランジスタイ ンバータではインバータのベース信号波形から出力波 形を求めることが出来る。またベース信号において正 と負の波形が独立して動作するので確実な中性点電位 が得られる(２１。このインバータには３個の動作モード が存在する。

即ち図１でＴＲ１とＴＲ３のオン期間はＴＲ１だけ オンする時，ＴＲ１とＴＲ３が共にオンする時，ＴＲ ３だけオンする時の３種類である。ＴＲ２とＴＲ４の オン動作もＴＲ１とＴＲ３のそれと同一である。

２．２トランジスタへの信号波形

図１の単相３レベルインバータのトランジスタのベー ス信号波形を図２に示す。図２(a)はＰＷＭ信号発生 用の信号波ｅｓとキャリア三角波ｅｒの関係を表す。

同図(b)一(e)は各トランジスタのベース信号波形を示 す。同図で(b)はＴＲ１を，（c)はＴＲ３を，（d)はＴＲ２ をそして(e)はＴＲ４をそれぞれ駆動する。ここで(c）

と(e)は中性点の電位確保用信号であるのでＰＷＭ出 力波形とは異なっており，正負区間のスイッチングの 役割をする。（c)(e)の方形波はスイッチング素子のス

5４

イッチング電力損失を少なくするためである。このイ ンバータ方式はスイッチング素子の直列接続のＮＰＣ 方式(3)ではなく並列接続のＮＰＣ方式であるのでスイッ チング損失が少<安定な中性点電位を確保することが できる。また動作の安定 性を増すためにスイッチング 素子がエミッタ共通アースとなっている。また，イン バータの容量を大きくする時は図１のＴＲ２とＴＲ４ をＮＰＮトランジスタに置き替え相補動作形で構成す

れぱよい。図１のインバータ出力波形は図２(b)の信 号と同図(｡)の信号が反転する波形となる。また図２ の信号は全て出力波形の半周期ずつであるので，図１ のインバータのトランジスタは出力波形の半周期のみ

／

スイッチング動作を行う。

図２トランジスタのベース信号波形

ＴＲＩ

坐エＥ

Ａ ＴＲ３

０ 3．駆動系の定式化

３．１コンデンサ電動機の定式化

ＴＲ４

④ ' ）

Eq‑L

ヱ

】 ｕ 【

ＴＲ２

(ｅ）

図１インバータとコンデンサ電動機の接続図

鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ３ ６ 号 （ 1 9 9 4 ）

(ａ）

図 ３ コ ン デ ン サ 電 動 機 の 等 価 回 路

回転子の巻線は固定子の起動巻線の座標方向と主巻 線の座標方向による静止直交座標関係で回路方程式が 表示される。回転子の量を固定子巻線に固定した静止 座標で表せば次の通りである。ここで(a)と(b)は固定 子に関して，（c)と(｡)は回転子に関する表示である。

ａ）回転子の磁化電流による変圧器起電力と起動巻 線における電圧降下との和

ｂ）回転子の磁化電流による変圧器起電力と主巻線 における電圧降下との和

ｃ）回転子の起動巻線方向の電圧降下と起動巻線に 流れる電流による変圧器起電力と主巻線により回 図３はコンデンサ電動機の等価回路である。コンデ ンサ始動コンデンサランモータであるので，起動時と 運転時のコンデンサの値は異なっている。この電動機 の回路方程式は(1)式で表示される。

Zs＝Ｒｓ＋ｊａＬｓ＝Ｒｓ＋jXs

Z c = R c + 言 上 = R c ‑ j X c

JcUc

ZM＝Ｒｍ＋jのＬｍ−Ｒｍ＋ｊＸｍ ＺｍＭ＝j⑳Ｍｍ＝ｊＸｍＭ Ｚｍｓ＝ｊａｊＭｓ＝ｊＸｍｓ Ｚ２＝Ｒ２＋ｊａｊＬ２＝Ｒ２＋jＸ２

￨illlU

(ｂ）

(ｃ）

(1)

I ｢ ￨ ￨ ｜ ￨ Ⅱ

(ｄ）

李・篠原：単相３レベルインバータ駆動コンデンサ電動機の解析 ^5５

転子の起動巻線方向に誘起する速度起電力との和 ｄ）回転子の主巻線方向の電圧降下と主巻線に流れ る電流による変圧器起電力と起動巻線により回転 子の主巻線方向に誘起する速度逆起電力との和 上記の四つの関係から，固定子の起動巻線の電流 1s主巻線の電流1ｍ，回転子の起動巻線方向の電流Ix，

主巻線方向の電流Ｉｙに関して，すべりｓで回路の電 圧方程式は(2)式となる。

Ｖ＝(Zs＋Zc)1s＋Zms(Is‑Ix）

Ｖ＝ＺＭＩｍ＋ZmM(Im‑Iy）

乙 里 且

( , s ‑ , x ) + ( 1 ‑ s ) [ ̲ j Z m M ( , m ‑ I y ) ̲ X 2 , y ］

＝aZ21x

Z m M ( ' m 一 ' y ) ＋ ( , ‑ s ) [ j 旦 哩 ( , s − ， x ) + a X 2 , x ］

ａ

＝Ｚ２１ｙ

(2)

但し，ａ＝有効起動巻線の巻数／有効主巻線の巻数 (2)式に(1)式の定数関係を代入して，係数jajを微 分係数Ｐで書き直せば瞬時電圧電流方程式は(3)式と なる。

" = Ⅲ R o M S + M s ) + 表 l i s ‑ p M 血

Ｕ＝[Ｒｍ＋ｐ(Ｌｍ＋Ｍｍ)]ｉｍ−ｐＭｍｉｙ

Ｏ = p 等 i s + Ｉ ｌ − Ｓ ) " M m i m ‑ [ a R , + p ( ａ L 汁 辿 )

肱

−(１−Ｓ) u(Ｌ２＋Ｍｍ)iy

O = ‑ ( l ‑ S ) " 半 i s + P M m i m + ( ｌ − Ｓ Ｍ ( a L , + 辿

肱

−[Ｒ２＋ｐ(Ｌ２＋Ｍｍ)]iｙ

(3)

(3)のisの積分をｉｏで表示すれば(4)式となる。

｜ （ ４ ）

． １ ．

１ ０ ＝ 万 1 Ｓ

そして(3)式に(4)を代入して整理すれば（５）式が得 られる。

｡ = ( R s + R c ) i s + p M s ‑ p M s i x ‑ 告 ｉ ｏ

Ｕ＝ＲＭｉｍ＋ｐＫ２ｉｍ−ｐＭｍｉｙ

Ｏ = p 等 i s + Wi m ‑ a R 2 i x ‑ p Ki x ‑ W l K 1 i y

O ＝ − 処 i

s ＋ ｐ Ｍ ｍ ｉ ｍ ＋ W 1 K 4 i x ‑ R 2 i y ‑ p K 1 i y

O＝is‑pio

(5)

但し，Ｋｌ＝Ｌ２＋ＬＭ,Ｋ２＝Ｌｍ＋Ｍｍ，Ｋ３＝Ｌｓ＋Ｍｓ，

Ｋ４＝ａＬ２＋Ｍｓ／ａ

Ｗｌ＝α'(１−Ｓ)，Ｗ２＝ u(１−Ｓ)Ｍｓ，

Ｗ３＝⑳(１−Ｓ)Ｍｍ，

３．２コンデンサ電動機駆動系の定式化

コンデンサ電動機の瞬時状態を解析するには静止座 標による微分方程式で表示する必要がある◎本研究に 使用したインバータのＰＷＭの出力電圧ＥＣに対する 電圧と電流の状態方程式は(6)式となる。（６）式の係 数行列は(7)式で表示される。

Ｕ(s)＝ＤＣ(t)＋pＥＣ(t）

Ｕ(s)＝[EC，ＥＣ，０，０，０]Ｔ Ｃ(t)＝[is，ｉｍ，ｉｘ，ｉｙ，ｉｏ]Ｔ

Ｄ＝

E＝

R 州 ･ Ｏ Ｏ Ｏ 壱

○ Ｒ ｍ ○ ○ ○

○ Ｗ ３ − ａ Ｒ ２ − Ｗ ｌ Ｋ ， ○

一』､旦○ＷｌＫ４−Ｒ２○

ａ

○ ○ ○ ○ ○ Ｋ ３ ○ 一 Ｍ ｓ ○ ○

○ Ｋ ２ ○ 一 Ｍ ｍ ○

等 ○ ‐ K ○ ○

○ Ｍ ｍ ○ − Ｋ ， ○

○ ○ ○ ○ 一 １

(6)

(7)

(6)式から(8)式が得られ，その時の状態変数は(9) 式となる。

px(t)＝Ａｘ(t） (8)

x(t)＝[ＥＣ，ｉｓ，ｉｍ，ｉｘ，ｉｙ，ｉｏ]Ｔ (9)

ここで係数行列Ａは次式なる。

＋の(T‑t,,)の(t,１−t鋤)…①(t2‑t,)△Ｕ，

＋の(T‑t,,)の(t,1‑t")…｡(t2‑t,)の(t2)ＢＸ(0‑）

＝Ｈｘ(０−）

インバータによる供給電圧の周期性でＸ（Ｔ−）

５６

インバータによる供給電圧の周期性でＸ（Ｔ−）とＸ (０−）の値が一致しなければならないので，（12）式の 最終行より（13)式が得られる。

(12） t21≦t＜Ｔ，

ｐＸ(t)＝ＡＸ(t）

Ｘ(t)＝の(t‑t2,)￨△Ｕ22＋の(T‑t2,)[△Ｕ２!＋……

…＋の(t2‑t,)[△ひ,＋の(t,)Ｂｘ(Ｏ̲)]…]｜

Ｘ(t̲)＝の(T‑t2,)△Ｕ創 十①(T‑t2,)の(t21‑t20)△Ｕ２。

但 し ， Ｋ ５ ＝ Ｋ １ Ｋ ２ − Ｍ ２ ｍ ， Ｋ ６ ＝ 辿 旦 一

Ｋ 3 K

(13）

Ｃ

唾○○

ａ睡恥一氏○

Ｋ

ＫＫ 脇○

脇加Ｋ○

泌恥一仏１

曲恥一脇○

○ ○ ○ ○ ○ ○ Ｋ４Ｋ (Rs+Rc）Ｗ３ＭｓａＲ２ＭｓＷ１ＫｌＭｓＫ４

表 １ 電 動 機 定 数

Ｋ６ Ｋ６ Ｋ６ Ｋ６ Ｋ６ Ｋ６Ｃ

−辿血一lLl旦里１哩幽１，−&血○

Ｋ５ ａＫ５ Ｋ５ Ｋ５ Ｋ５ ＭｓＭｓ(Rs+Rc）W3K3aR2K3WlKlK3Ms Ａ＝

５ ． 計 算 結 果

この微分方程式の数値解析に使用した単相コンデン サ電動機の（４極％馬力）の定数を表１に示す'１)。

初期値ｘ(０−）は(13)式で連立方程式のガウス消去 法による計算から求まる。そして，この初期値を利用 して(8)式の微分方程式をルンゲクッタ・ジル法で解 くことにより(9)式の状態変数の値が求まる。

鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ３ ６ 号 （ 1 9 9 4 ）

単位：Ｑ

Ｏ≦t＜t，

ｐＸ(t)＝ＡＸ(t）

ｘ(t)＝の(t)ｘ(Ｏ+)＝の(t)[△ひ｡＋Ｂｘ(Ｏ̲)］

＝の(t)Ｂｘ(０−）

ｘ(t,)＝の(t,)Ｂｘ(Ｏ̲）

t,≦t＜ｔ２

ｐＸ(t)＝ＡＸ(t）

Ｘ(t)＝①(t‑t,)[△Ｕ,＋Ｘ(t2)］

ｘ(t,)＝の(t‑t,)[△ｕ,＋の(t,)＋Ｂｘ(Ｏ̲)］

(1)式の基本式で表１の定数による計算した電流の 実効値('１と本論文で求めた(8)式の瞬時値計算による 実効値は一致した。図４はＥＣ＝141.42〔Ｖ〕の時の インバータ出力波形である。この波形は図２(a)のス イッチング位置を時間で表わした３レベルＰＷＭ電 圧波形である。図５，図６は図４のＰＷＭ電圧によ る(8)式の計算結果である。図５，図６はそれぞれす

(Ｈ−Ｉ)ｘ(０−)＝０

４．状態変数法による数値計算

図２の駆動信号によるインバータの出力波形（５パ ルスの３レベル）において状態変数の計算区間は１周 期の間で行った。その時の区間の分割点は全部で22点

となる。

即ち，ｔｏ＝Ｏからｔ22＝Ｔ（＝２汀）までである。ｉ 番目のスイッチング区間における電圧差で表示すると

(10)式となる。

△Ｕｉ＝[ＥＣ(i＋1)一Ｅo(i)，０，０，０，０，０]Ｔ

遷移行列①(t)は(11)式で計算される。最初のスイッ チングの位置と１周期の終りのスイッチング位置をつ なぐ接続行列Ｂは単相インバータの１周期だから単 位行列となる。

｡ ( t ) = e " = I + A+ 等 十 … 皿

(8)，(9)，（10)，（11）式より各時刻における状態 方程式は(12)式となる。

抵 抗 ﾘアクタンス 磁化ﾘアクタンス 備 考 主 巻 線 Ｒｍ＝2.02 Ｘｍ＝2.79 ＸｍＭ＝66.8

起動巻線

Ｒｓ＝7.13 Ｒｃ＝9.0 Ｒｃ＝3.0

Ｘｓ＝3.22 Ｘｃ＝172.0 Ｘｃ＝14.5

Ｘｍｓ＝92.9 運転時 起動時 回 転 子 Ｒ２＝4.12 Ｘ２＝2.12

巻 数 比 a＝１．１８

、

／

5７

2０

Ｖ

０

［［

１０

︵ン︶一ン ︻１︼

０

O ' 4 １

「

０．OｉＯＯＯＯ−００２００．００㎡１００．００ｂ００．００８０１０１．Ｃ 【 ＤｌＯｌ１ｈＯ〔ｌ〕．〔Ｉ

‑１０^ロ

‑２０

TIlvlE〔ｓｅＣ〕

図 ４ イ ン バ ー タ 出 力 波 形

凹雇汗JVf陰x弓芦Ｈｖｆ両叶病『T柿病ｂ

Ｚ ｂ

公 八 ハ ハ

v ; i U 尾 □ ' Ａ ｌ 等 言 ‑ 7 <

^{控 妙}

(a） ︑︾Ｉ﹃９ｄｑロ︒○０負Ｕ︲ｂ

申●②■

正︶耽一

Ｖ Ｖ

李・篠原：単相３レベルインバータ駆動コンデンサ電動機の解析

８ｂ

ＴＩＨＥ(庵e亡）

図６固定子電流波形（S二二１）

１２３

︒︒■

ＴＩＨＥ(口巧eに）

ＴＩＨＥ(応e仁）

３２１２３

︒●●

２

ハハ胴 ^八

八

卜

ソ

︽ＵＯ﹃と４︐︲ｂｎｏ

α︶Ｅ﹈

(b）

▽ Ｖ

」

２３

●●●

ＴＩＮに(ﾛ竜e仁〕

TI1uIE(応ｅｃ）

ＴＩＨＥ(廊巧ｅＥ〕

図５固定子電流波形（S二=0.04）

/

｜

(c）受

(c）

八

１

Ｊ ^ハ 』 八 Ａ

つ色ｎ︾１つ色ｄｏＬＵ費凹

︵α︶一︸

v o V 。 Ｖ

１ Ｖ ^{Ｉ 、}

5８ 鹿 児 島 大 学 工 学 部 研 究 報 告 第 ３ ６ 号 （ 1 9 9 4 ）

くりが0.04及びｌでの(a)起動巻線電流，（b)主巻線 電流，（c)固定子全電流である。図６で，(8)式より計 算した瞬時波形はコンデンサ電動機の起動時の特 性を よく表わしている。この状態変数を使用する方法はコ ンデンサ電動機の運転状態の解析に有用であることが わかった。

６ ． 結 論

単相コンデンサ電動機の等価回路に関する回路方程 式から状態方程式を導出した。この方程式よりコンピュー タプログラミングによる瞬時電流値を計算し，その結 果が基本回路方程式の結果と一致するのを確認した。

よって本研究で示した状態方程式はコンデンサモータ の起動および運転状態計算に利用することができる。

また単相インバータの運転特 性の解析にも利用するこ とが可能である。

参考文献

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(2)Yon‑TackChang,Kyung‑HeeHan＆Jong‐

ＳｏｏLee: ThreePhaseStairCaseWaves PWMInverterofComplementaryTransistor BridgeMethod ，ＫＩＥＥ，３２，２，ｐｐ、４２−４８，

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１９９２

(4)ＦＡＣＯＭＦＯＲＴＲＡＮＳＳＬ使用手引書，ｐｐ５０−

72，富士通，１９７６