結晶の電子状態
1. 自由電子モデル
2. バンド理論と逆格子
3. ブロッホ波
1.自由電子モデル
• 電子を内殻電子と価電子に分ける。 • 価電子は、隣の原子を結びつける役割を持つ。 Ef フェルミエネルギー 内殻電子 価電子価電子＝
valence electron
• 隣の電子と共有できるようになる。近似的に結晶 を自由に飛び回れると考える。＝ • 自由電子近似 平面波 + + + + + + + + + + e-自由電子近似では電子を平面
波として扱う。
• １辺の長さLなる箱に閉じこめられた平面 波(周期的境界条件） • exp(ikxL)=1 kxｎ=2pn/L • エネルギーは離散的ではあるが、Ｌが非常 に大きいと、連続する。 価電子バンド)
exp(
)
(
r
i
k
r
km
k
E
2
2 2バンド
• 分散関係 電子はフェルミ粒子である（すべての 量子数の等しい状態を２個の電子は取ることが できない。Pauliの排他律） k E 電子が詰まっている。 価電子帯 伝導帯 EＦm
k
E
2
2 2 kF m V N E V N k F F 2 ) 3 ( ) 3 ( 2 3 / 2 2 3 / 1 2 Nは電子の数 EF:フェルミエネルギー 電子の最高エネルギー N x kF 2 /L) (2 3 / 4 3 3結晶ポテンシャル
• U（ｒ）=U(r+T) T:結晶の並進対称性 Gi
U
r
U
(
)
Gexp(
G
r
)
Gは逆格子点 証明せよ(宿題） ) ( ) ( )) ( 2 ( 2 2 k E r r U m ' ' exp( ' ) ) exp( ) ( k i C i C k r k r r k k ) (r は、knという自由電子に近いとして摂動論により、 * G G U USchrodinger方程式の解は
すなわち、式(a)を使って、Ci;をだす。 • この式の意味するところは、Ciは、他の Ci’とk=k’+Gの関係を満たしたものと関係を 持つ。 ) exp( ) /( ) ) ( exp( ) /( ) exp( * ) 0 ( ) 0 ( ' ) 0 ( ' ) 0 ( ) 0 ( ' ) 0 ( * ) 0 ( ' ) 0 ( ) 0 ( ' ) 0 ( 1 ) 0 ( ' ' r k r G r G G G i dr k k i U dr i U dr H c k k k G n k k k k G k k k k k k (a) G G i G C i C n exp( ) exp( ( ) ) ) (r k k r k k rブロッホ波とブロッホの条件
• 結晶中の波動関数は上の性質を持つ。G i C u u i u ) exp( ) ( ) ( ) ( ) exp( ) ( ) ( r G G k T r r r k r r k k k kブロッホ波の周期性
• 結晶中の電子状態は波数をGだけずらしても同 じ状態になる。これは結晶性からきた要請であり、 UGの大きさには無関係・どんなに小さくてもいえ る ) ( ) exp( ) ) ( exp( ) ( ) ( ) exp( ) ( ) exp( ) '' exp( ) '' ( ) ' exp( ) ' ( ) ( ) ) ( exp( ) ( ) ( '' ' r r G r G k r r r G r r G r G G k r G G G k r r G k r r k k G k k G k G k G k i i u i u i i C i C u i u G Gブロッホ波の周期性（２）
)
(
)
(
r
kr
G k Ｇ 同じ電子状態)
(
)
(
r
G/2r
G G/2 この時だけ、エネルギーが 同じになる。 結晶ポテンシャルを 強く感じるバンド理論と逆格子
• k=G/2(逆格子）の関係が満たされていたら どうなるだろうか？ • エネルギー同じになるので、縮退する。し かし、実際には、UGが有限の大きさをもつ ので、その縮退は解ける。バンドの境界
(k=G/2)
• ここでは、CG/2とC-G/2が重要な役割を果た す。（同じ電子状態）(エネルギーが同じ） • 結晶ポテンシャルの影響を強く受ける。 • この二つを取り出して、線形結合をつくる。 ) 2 / exp( ) 2 / exp( ) ( /2 /2 2 / r CG iG r C G iG r G 0 ) 2 2 ( 0 ) 2 2 ( 2 / 2 / 2 / 2 2 2 / 2 / 2 / 2 2 G G G G G G C U C E G m C U C E G mバンドギャップ
U G m E 2 2 ) 2 / ( 2 2 2 ) 2 / ( 2m G E 2U金属、半導体、絶縁体
• 金属 半導体
