〔注意事項〕 ．監督者の指示があるまで，この冊子と解答用紙を開いてはいけません。 ．この冊子の問題は ページからなっています。また，解答用紙は 枚，下書用紙は 枚あります。監督者から解答開始の合図があったら，この冊子，解答用紙を確認し， 落丁・乱丁および印刷の不鮮明な箇所などがあれば，手をあげて監督者に知らせなさ い。 ．解答用紙には，受験番号を記入する欄がそれぞれ 箇所ずつあります。監督者の指示 に従って，すべての解答用紙（合計 枚）の受験番号欄（合計 箇所）に受験番号を必ず 記入しなさい。 ．この冊子の白紙と余白は，適宜計算などに使用してよい。 ．解答は，必ず別紙「物理解答用紙」の指定された場所（問題番号や設問の番号・記号な どが対応する解答欄の中）に記入しなさい。その際，特に要求されていなければ，途 中の計算式などを書かずに，問いに対する答えのみを記入しなさい。 ．解答用紙の欄外や裏面には何も記入しないこと。 ．下書用紙への記入の有無・内容は自由です。 ．解答用紙は，持ち帰ってはいけません。 ．この冊子および下書用紙は，持ち帰りなさい。 平 成 年 度（前期日程） 入学者選抜学力検査問題
物
理
Ⅰ
両端に質量 m の小球 A および小球 B を取り付けた太さの無視できる棒 A および棒 B を 直角につないだ L 字型の棒（以下，L 字棒とする）がある。図 に示すように，棒 A と棒 B が ともに鉛直方向を含む同じ平面（以下，鉛直面とする）内に位置するように，この L 字棒の角を 鉛直面にピンでとめる。ピンと L 字棒の間に摩擦はなく，L 字棒はピンの中心軸を支点 O と して鉛直面内を自由に回転できる。棒は質量が無視できて変形しないものとし，棒 A と棒 B のなす角は常に一定に保たれる。支点 O から小球 A および小球 B の中心までの距離はそれ ぞれ R および ! R である。鉛直下向きの重力加速度を g として，L 字棒の鉛直面内の運 動に関する以下の問いに答えよ。 まず，設置した L 字棒を小球 A および小球 B がともに支点 O よりも下側に位置するよう にして静かにつりあいの状態で静止させる。支点 O を座標原点とし，鉛直上向きに y 軸の正 の向きをとる。また，小球 B が x の正側にあるように x 軸（水平方向）の正の向きをとる。 （ ） つりあい状態における小球 A の位置座標を求めよ。 次に，図 のように棒 B が x 軸の正側と一致する位置まで静かに L 字棒を回転させ，支点 O から距離 R の位置で棒 B を支えて静止させた。 （ ） このとき，L 字棒がピンから受ける力の x 成分および y 成分をそれぞれ求めよ。 図 の状態から，静かに，かつ，すみやかに支えを取り除くと L 字棒は支点 O を中心に回 転運動を始めた。運動開始後，図 のように棒 B と x 軸の正の向きのなす角が γ となった瞬 間について考える。 （ ） 支えを取り除いた直後からの重力による位置エネルギーの減少量を m，g，R ，γ を用い た式で表せ。 （ ） 以下の文章の空欄（あ）∼（え）に入る式を答えよ。ただし，空欄（あ）∼（う）については γ を 用いずに表すこと。 L 字棒の回転運動の角速度は時間とともに変化するが，回転運動中の棒 A と棒 B の角速 度は常に等しい。棒 B の角速度が ω であるとき，小球 A の速さは （あ） ，小球 B の 速 さ は （い） と な る。こ の と き，小 球 A お よ び 小 球 B の 運 動 エ ネ ル ギ ー の 和 は （う） となる。そこで，問い（ ）の結果を用いると，ω ＝ （え） が導かれる。 L 字棒は図 の状態から回転運動を続け，小球 A が最大の高さに達する。ピン 鉛直上向き 支点 O（ピン） 水平方向 棒 B 棒 A 棒 A 棒 B 小球 A 小球 B 90° 3 小球 A 小球 B 支点 O （ピン） 棒 B 支え 棒 A 小球 A 小球 B 棒 B 棒 A 小球 B 小球 A 支点 O（ピン） 図 図 図
Ⅱ
図 に示すように，抵抗値 R の抵抗，自己インダクタンス L のコイル，電気容量 C の平 行板コンデンサー，スイッチ S からなる回路がある。平行板コンデンサーは極板間の距離 x を変えることができる。極板間距離 x ＝ d のときの電気容量を C ＝ C とする。最初，コン デンサーに電荷は蓄えられておらず極板間距離は x ＝ d であり，スイッチは開いている。 まず，端子 a−b 間に起電力 E の直流電源を接続した（図 ）。抵抗に電流が流れ始め，その 後十分長い時間が経過すると，電流が流れていないとみなせるようになった。 （ ） 電流の最大値はいくらか（ア）。また最終的にコンデンサーに蓄えられた電気量はいくら か（イ）。 次に，直流電源をはずしてスイッチを閉じたところ，コイルに振動電流が流れる現象（電気振 動）が観測された。 （ ） 電気振動の周期 T はいくらか（ウ）。またコイルを流れる電流の最大値はいくらか（エ）。 その後，端子 a−b 間を導線でつなぐと抵抗に電流が流れ始め，十分長い時間が経過した後， 電流が流れていないとみなせるようになった。 （ ） この間に抵抗でジュール熱として消費されたエネルギーはいくらか（オ）。 今度は，端子 a−b 間の導線をはずしスイッチを開いて，端子 p−q 間に電圧の実効値 Ve の交流電源を接続した（図 ）。抵抗を流れる電流の実効値を Ie として，以下の操作により電源 の角周波数 ω を推定することを考える。 （ ） コンデンサーの極板をゆっくりと動かし極板間距離 x を d よりも小さくしたところ，動 かす前より Ie が大きくなった。このことから推定される ω は問い（ ）の電気振動の角周波 数より大きいか小さいか。ω と問い（ ）の T の関係を不等式で示せ（カ）。 （ ） さらにコンデンサーの極板をゆっくりと動かし x ＝ d としたところで Ie が最大となっ た。Ie の最大値はいくらか（キ）。また ω を R ，L，C ，Ve のうち必要なものを使って表 せ（ク）。 （配点率 ％）a b p q S a b p q S a b p q S e 図 図 図
Ⅲ
光を波長によって分けたものをスペクトルという。高温の気体が放出する光や低圧の気体中の 放電で発せられる光は，いくつか特定の波長の輝線からなる線スペクトルを示す。水素原子の線 スペクトルには波長の短い方から，ライマン系列，バルマー系列，パッシェン系列などの輝線群 がある。これらの系列は，輝線の波長を λ とすると，以下の式で表される。 λ ＝ R !# n′− n "$ ・・・・・① ここで R はリュードベリ定数と呼ばれる。n，n′は正の整数で，n′＜ n である。図は，（a）ラ イマン系列（ n′＝ ，n ＝ ， ， ， ， ， ），（b）バル マ ー 系 列（ n′＝ ，n ＝ ， ， ， ， ， ），および（c）パッシェン系列（ n′＝ ，n ＝ ， ， ， ， ， ）の輝線スペクトルであり， 参考として示した。 （ ） 以下，＋e の電気量をもつ原子核の周りを，−e の電気量と m の質量をもつ電子が，速 さ v，半径 r の円軌道上を運動しているとする原子モデルを用いて式 ① を導出する。次の 空欄（ア）∼（コ）に入る適切な式を答えよ。 この原子モデルの電子が安定な定常状態にあるとき，電子の円軌道の 周の長さは電子の物 質波の波長の整数倍に等しくなっている。電子の物質波の波長は，電子の運動量とプランク定 数 h によって決まる量であるから，電子の円軌道の長さと m，v，h の間には，正の整数 n を用いた関係式 πr ＝ （ア） が成立する。この式を v について整理すると式 ② を得る。 v＝ （イ） ・・・・・② 一方，原子核と電子の間の静電気力を使って，原子核をまわる電子の運動方程式を立てると， 真空中のクーロンの法則の比例定数を k として，以下の式が得られる。 mv r ＝ （ウ） ・・・・・③ これを整理して，v を e，r，m，k で表すと v ＝ （エ） ・・・・・④ となる。式 ② と式 ④ より v を消去し，r についてまとめると次式を得る。 r＝ （オ） ・・・・・⑤ ところで，原子核と電子の間の静電気力による位置エネルギーは，無限遠を基準にすると， （カ） と表せる。電子のエネルギー E は，この位置エネルギーと運動エネルギーとの和 であり，式 ③ を用いて E を k ，e，r で表すと E ＝ （キ） となる。これに式 ⑤ の r を代入すると，正の整数 n に対する電子のエネルギーとして式 ⑥ を得る。 En＝ （ク） ・・・・・⑥れらのエネルギーの差を 個の光子として放出する。光子の波長 λ は線スペクトルの つの 輝線の波長に対応する。エネルギー差 En− En′は，h，λ，および真空中の光速 c を用いて 式 ⑦ のように書ける。 En− En′＝ （ケ） ・・・・・⑦ 式 ⑦ の En および En′に式⑥を当てはめ， λ を k ，m，e，c，h，n，n′で表すと λ ＝ （コ） ・・・・・⑧ を得る。リュードベリ定数が R ＝ π k me ch であることを使うと式 ⑧ から式 ① が求まる。 （ ） 問い（ ）の文章中の下線を付した，電子の物質波，および光子は，それぞれ電子の波動性， および光の粒子性を示している。これらの性質を示すことは，どのような現象によって確認で きるか。例を つずつ挙げよ。 （配点率 ％） ライマン系列（ ＝ 1 ） 波長（ nm ） ′ ： 76 5 4 3 100 110 120 2 波長（ nm ） ： 87 6 5 4 400 500 600 3 バルマー系列（ ′＝ 2 ） 波長（ nm ） パッシェン系列（ ＝ 3 ） ： 89 7 6 5 1500 1000 4 ′ （a） （b） （c） 図 （以 上）
