事例研究−

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1999年度日本オペレーションズ・リサーチ学会春季研究発表会

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生産・輸送問題に対するファジィ計画とゲーム論による利益およびコスト分配

一事例研究−

01202665 広島大学

坂和正敏 SAKAWAMasatoshi

O1403974 広島大学＊西崎一郎 NISHIZAKIIchiro OlO12595 （株）住建産業植村芳雄 UEMURAYoshio 1．はじめに本論文では，建材メーカにおける現実の生産・輸送問題を取り上げ，既存の複数の生産拠点（工場）で複数の製品を製造し，かつその生産拠点自身が需要地でもある状況のもとで生産・輸送計画を考察する・最初に，各生産拠点での生産能力と需要の条件のもとで生産コストと輸送コストの合計を最小にする生産・輸送計画を決定する問題を定式化する．さらに，工場の生産量や製品供給量の満足度を考慮したファジィ生産・輸送計画問題を考察する．最後に，複数の拠点が協調して作成した生産・輸送計画による利益やコストの分配問題に対して，協力ゲームの解に基づく分配計画を与える． Tlm mm

min∑∑cた鶴＋∑∑桐刑

た＝1た1 i＝1j＝1，≠i （1a） s．t．ェたi≦鳥i，た＝1，…，m；盲＝1，…，m （1b） m

∬た‘≧∑y叛，

J＝1，≠i た＝1，…，明電，J＝1，・‥，m m m

∬たi−∑粧＋∑捗≧5拓

j＝1，≠i J＝1，≠i た＝1，…，m；3，J＝1，…，m O≦∬たi∈Z，0≦師直∈Z，た＝1，‥りれ；も，J＝1，…，m Tl

∑軌≦肌‘j，盲，j＝1，…，m

た＝1 ▼l

叫叫−1）＋1≦∑粧，

た＝1 亀，J＝1，…，m O≦叫∈Z，宜，J＝1，…，m （1c）（1d） 2．生産・輸送計画 2．1 定式化本論文では建材メーカにおける実際の生産・輸送問題を取り上げる．全国で複数の拠点があり，各拠点では複数種類の製品の生産と販売が同時に行われ，需要に満たない製品は他の拠点から輸送されるものとする．問題の定式化において，次の記号が用いられる．定数 gたi：拠点豆での製品αたの需要． fl‘：拠点豆での製品αたの生産能力． qH：拠点盲での製品αたの単位生産コスト．毎‥拠点豆からjへ輸送する1製品当たりの輸送コスト．ただし，すべての製品に対して同一の輸送コストを仮定する．決定変数

目的関数（1a）は生産コストと輸送コストの総和であり，

制約式（1b）は，拠点豆での製品αたの生産量はその拠

点の生産能力fliより小さいか等しいことを表し，制約

式（1c）は，拠点宜での製品恥の生産量はその拠点か

ら送り出す総輸送量以上であることを表し，制約式（1d）

は，拠点盲での製品恥の供給量は需要量5たiより大

きいか等しいことを表し，制約式（1e）は，拠点盲での製品αたの生産量および拠点宜からjへの製品αたの輸

送量は非負の整数であることを表しており，Zは整数の

集合を表す．制約（1f）は各拠点間の製品の総輸送量は

トラック叫台での輸送可能量以下という制約で，制約（1g）は各拠点間の製品の総輸送量はトラック（叫−1）台での輸送可能量以上という制約であり，制約（1h）はトラックの台数に対する非負整数制約である．

このように定式化された問題からは，生産能力の上限

で生産し，需要予測に一致した製品の供給を行い，その

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ような状況の下で総コストが最小化された解が与えられる．る［4，2】・各拠点を協力ゲームにおけるプレイヤーとし，その集合を〃＝（1，．‥，m）とする・Ⅳの部分集合βを提携と呼ぶ・このとき，各提携gの値γ（g）は問題（1）に対して，目的関数を5に属する拠点のみのコストの総和とし，制約式に関してもぶに属する拠点のみの制約とした問題の最適解から計算される．得られた最適解に従って，各製品は各拠点で生産され，拠点間で輸送されるとする．各拠点では，需要量だけ製品が供給され，それらの製品は当該拠点の生産コストと他の拠点から輸送された製品のコストを考慮した価格で販売されるとする．また，ある提携βに関して，βに関する問題は実行不可能となる場合があり，単にその間題の最適値，すなわちコストをv（β）にすると，需要を満足できない提携に対するペナルティーを考慮できない．そのため，需要に満たない製品に対して，機会損失が生じるとして利益から差し引き，各提携の合計の利益を計算する．その利益から正規化された利得を計算し，提携βの値u（5）とし，ゲーム（Ⅳ，γ）を考える・協力ゲームの解である仁【6】を適用し，全体提携Ⅳに対する問題の最適解から計算される利益を各拠点に分配する．仁は必ず存在し，唯一に定まるという望ましい性質をもっているので，本問題における分配計画の良い候補となると考えられる［3】・全国の複数の拠点間の協力に基づく生産・輸送計画によって生じる利益およびコストが，上述の協力ゲーム（Ⅳ，γ）とその解の概念である仁を適用することによって各拠点に分配される．参考文献【1】R．E．BellmanandL・A・Zadeh，“Decisionmakingina fu2：Zyenvironment，”Mana9ementScience，VOl・17，Pp・ 209−215，1970．【2】Ⅰ．Curiel，Cooper8軌e Gαme耶IeOryαれdAppg盲cα如れβ， Kl11WerAcademicPublishers，Dordrecht，1997・【3］M・Maschler，“T中ebargainingset，kernelandnucleo− lus，”in：R．JAumannandS・HartEds・，Handbookqf Gamemeory，VOl・1，Ch・18，pp・59ト667，EIsevierSci− encePublishers，1992．【4】G・Owen，“Onthecoreoflinear productiongames，” 〟α兢emαま血JPmタrαmm亀mg，VOl．9，pp．358−370，1975・【5】M．Sakawa，凡zzy geねα乃d九ferαC抽e肌J扇0わec血e Optimization，Plen11mPress，NewYbrk，1993・【6］D．Schmeidler，“Then11Cleolusofacharacteristicfunc−

tion game，け SLAMJournalon Applied Mathematicsl VOl．17，pp．1163−1170，1969・【7】H．−］．Zimmermann，Fbzzyprogrammingandlinearpro− grammlngWithseveralobjectivefunctions，凡zzySets α乃d∫y∫￡e〝古β，VOltl，pp・45−55，1978・ 3．ファジィ生産・輸送計画現実に起こる生産・輸送問題では，とくに需要や生産能力の数値は予測，あるいは設備設計時に計画した値が用いられ，使用できる数値が必ずしも適切でない場合がある．そのようなときには特定の数値を用いて定式化するよりも，目的関数や制約式の満足の度合いを考慮したファジィ目標やファジィ制約を導入した定式化や，パラメータのあいまい性を考慮するためにファジィパラメータを含む定式化が有効になると考えられる．本節では，生産・輸送計画問題において，生産量や製品供給の満足度を考慮してファジィ目標やファジィ制約を導入した定式化を行う．各拠点での需要は士β（100β％）の変動があり，生産能力に関しては最大の生産能力に対して実際には一夕（10qp％）まで変動する可能性があるとする・目的関数値である総コストに対しては，過去の経験から目標値zoと許容幅dヱを決めるものとする．前節で考察した複数製品をトラックで輸送するとして定式化した問題（1）に対して，需要と生産能力が含まれている制約条件式と，目的関数に対して，ファジィ目標を導入し，メンバシップ関数の重み付け和が採用された Be11manandZadeh［1】による凸ファジィ決定に従うことによってファジィ生産・輸送計画問題を定式化する．ファジィ生産・輸送計画では，各拠点での生産能力に対して余裕をもたせ，需要予測より多めの製品供給がなされた上で，総コストを最小化する解が示される． 4．協力ゲームによる利益およぴコストの分配これまでの節では，生産と輸送のコストを最小にする生産・輸送計画，あるいは生産量や製品供給の満足度を考慮した上でのコスト最小化による生産・輸送計画を考察してきた．このことは，各拠点間の協調を基礎として生産・輸送計画が決定されることを意味する．しかし，各拠点に独立性の高い事業部があると考えると合理的なコストあるいは利益の分配が保証されなければ，そのような協調を維持することは困難になる．そこで，本節では複数の拠点で協調して生産と輸送のコストを最小にする生産・輸送計画を最適化の手法によって立案した結果，その計画に基づいて予想される利益やコストを協力ゲームの考えを利用して各拠点に分配する問題を考察す −195− © 日本オペレーションズ・リサーチ学会. 無断複写・複製・転載を禁ず.