スピーカ磁気回路の解析

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概

スピーカ磁気回路の解析方法としてLaplace方程式による空げき磁界の計算と階段積分法による磁石特性の 計算を結合することを提案したものである｡ 計算例として20cm内磁石形スピーカを用い,磁石も4種類の異なる特性のもので計算と実測値を比較した｡ 磁石,鉄心を含む磁気回路は非線形の偏微分方程式であるから境界値を予測し,計算結果から修正し解が収れ んするまで逐次近似をする必要がある｡しかし正式にPoisson方程式として解くのは非常に困難なことである から,まず実用的で比較的簡単な取扱い方すなわち本報告の方法程度でよいことを確認してある｡ Laplace方程式の解はLiebmann逐次近似法による｡その加速条件は計算速度をあげるた捌こ重要なもので あり,加速係数最適値の検討をしてある｡また数値計 と変数に実験計画法の組合せを用い能率よく理論式を 求めることができる｡形状寸法を与えてこの式から磁石の体積-β打を求め振動系に適合した設計が可能となる｡

1.緒

言 一般に磁気回路は理論的に取扱いにくく,磁気漏えいや磁石,磁 性材料の非線形特性がはいってくるので経験的な資料,漏えい係数 に対する実験式(1)(2)などによって設計と試作がすすめられている｡ 磁石を含む磁気回路は物理的に考えればスカラーポテンシャルで支 配される場の問題である｡スピーカ磁気回路は軸対称な形状が実用 的に一番有用であるので本報告では電磁基礎方程式の関係を11筒座 標を用いたLaplaceの方程式と階段積分法で磁石の特性を読み込ん で解析する方法(3)を述べる｡ 理論式の形は非線形偏微分方程式であるのでLaplaceの方程式を 一回解けば終りということにならず予測された境界条件で計算した 結果から鉄心,磁石の磁位を求めて修正する逐次近似数値計算とな る｡20cm内磁石形スピーカを例としてHITAC-301電子計算枚で 理論計算した値と実験結果の比較検討をした｡また数値計算の要因 に実験計画法の直交配列表を使えばスピーカの磁気回路としての臼 標性能である空げき磁束密度と磁石,磁気回路各部の形状,寸法と の関係が能率よく理論式として得られる｡

2.計算の方法

従来の簡易表示にしたがえばスピーカ磁気回路の諸関係は第l図 で次のようになる｡ 月`mJm+2gyJy+筏諭=0 継鉄部分の磁位降下を起磁力損失係数で示せば Jご･ JJ.･J･ ｡首仇 ●r βの連続条件からもし漏えいがないとすれば ￠伊=βぴSぴ=βm5㍍=￠肌 しかし漏えいげがさけられないので 57,も= β打5リ 乃･､･り ゆえに磁石の体積ほ 竹花= βけ2･佑･r βⅣl･.打m･げ 磁石の体積を最小に設計するためにはβm･ガノmを最大にする動作 点を選べばよいことを示している｡ 空げきエネルギーE伊の計算は(6)式となる｡ * 日立製作所戸塚工場 第1図 磁石を含む磁気回路の記号 /こ､IJト●ヽ●J･ 87r ′ 8汀 小 J/･J =β仇茸mA↑花J〝L=(βm月㌦)Vm………(6)

スピーカ磁気回路の安定度に着目すれば安全率5はその磁気回路

の反磁場すなわち磁石の動作点に関係してくる｡これは(7)であた えられパーミアンス係数(P)ともよばれる｡ 5=(昂十均)× ここに 昂:空げきのパーミアンス ち:継鉄の漏えいパーミアンス J叫 _{5m:磁石の長さと断面積} この5がいくら以上であるべきかは機器としての安定度に関係し 要な設計基準の問題となる｡以上はすべてが漏えい係数,起磁力 損失係数,各部のパーミアンスをいかに正確に知るかに集約され る｡ 磁基礎方程式の形式でほ β=g+4汀〝..…‥ divβ=0‥‥‥‥‥… g=【gradiク………(10)

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〃-JJ _り F2p=-Pm=一div4打〝 今鉄心内は考えず一や加=0とすれば空間の問題でF2∼ク=0,これ は円筒座標であらわせば(13)式となる｡ ∂2p⊥∂2p ∂γ2'∂z2

+1.

γ ∂p ∂γ =0 Liebmannの加速逐次近似計算式になおせば (13)

1140 _{昭和36年9月} γl P(γ ■■ 1 4

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P;デー1_Z,+p:r㌢-1)+隼ごrこ1z)十Pどr:才十1,

(p7ニ,Z)一P?rヤ)i

加速の予測係数αとすれば次のp乃として得る｡ や乃=P乃 1+α(や犯′-P侃 1)………(15) このαは(14)式の収れんの速度にきわめて重要な役割 をするので計算すべき網目の大きさにつき最適値を決定 しておく必要がある｡や叫ま弟3図P5に相当する｡ 計算のフローチャートを弟2図に示す｡本来なら非線 形Poisson方程式であるがPoissonとなる磁石,鉄心の 部分を階段積分法で置きかえたものである｡以下このフ ローチャートにつき説明する｡ 2.1手 順 1 空げきを基準として計算すべき磁気回路のγ軸,Z軸 に対する網目をきめる｡スピーカ磁気回路では磁気回路 内部と外部に分けて別に計算する｡ 第43巻 _第9号 第3図 _{スカラーポテソシヤル,Laplace方程式} 数値計算フー･-一チャート 刀香川 第2図 磁気回路計算のフローチャート 2.2 _{手 順} 2 境界に磁位をあたえる必要がある｡しかし第1次計算 では何ら磁位がわかっていない｡ゆえにまず継鉄部には 磁位降下なく,磁石部分は直線的に磁位降下ありとして 境界値を与え次の手順で解く,正確には桝次近似を必要 とする｡しかしできるだけ磁位の予測を適切にして与え れば刑回近似が少なくてすむわけである｡ 2.3 _{手 順} 3 (14),(15)式を電子計算機で解く｡逐次近似のフロー チャートは弟3図による｡図において(14)式の計算を するに全区域に境界値①,計算すべき網目㊥,γ軸対称 (耳,Z軸対称(否という 択条件を与えた｡これにより複 雑な形状も容易に指定できて便利である｡逐次近似一回 終了ごとにチェックポイントのpの値を打ち出し収れん を監視し所期の精度まで収れんさせる｡(15)式の加速 Liebmannのαの決定については4節で述べる｡ 2.4 _{手順4:漏えし､磁束の計算} 手順3により各格子点の磁位が求まる｡これより全磁 位差10,000∼0と置いた状態で境界のあるA,B,C, ……点を例として弟4図で 明する｡格子区間』ぁとし 各格子点の磁位を陶1,Po2,……とする｡区間ABの漏 えい磁束は(16)式で与えられる｡ 』￠Aβ=gradや｡β×表面積= 甲01 Pll ×』ゐ×2打γ1 (16)

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曲線を一波長と考えた場合それに8点程度の網目をとるとよい｡

2.る _{手順d:階段積分法} 磁石各部は漏えい磁束のため磁束密度が違うが』ゐ区間磁束密度 一定と考えその区間のパーミアンスを(18)式により求めて第5図, 第1表の階段積分法を適用する｡ ｣/一 ｣･∴ 第1表 磁石についての階段積分法 区域番号 _{磁 束 断面積} ￠1一』￠1 ￠2-』￠2 ￠r-』￠γ ￠乃_1-d￠乃_1 ￠几-』￠乃 ■ヾ ￠乃+1 _5れ十l 磁束密度 磁 位 差 の _増 加 JJし ∵ と見なし うる区域 長 J 区域中央の 磁位差 l′ 磁束の減少 漏えい磁 d￠=Ⅴ× 準え＼､■､ ミ アソス 4P JJ, ..兢 βm,叫仇+1ldん/2 磁極面磁束 ￠が1 +‰丁･dカ/2 yl 十月仇2･dカ yゴ +.〃仇r･dゐ yγ +‰,乃一1･dゐ Ⅴ乃_l +‰花･d力 Ⅴ几 磁極面l㌦+1 d￠1

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βノ 第6図(a)20cmスピーカ磁気回路 肉汐三=Zガ♂ 磯右働の施束 あ+包丁+舟∼+あ=裾〟 継飲倒の適東 ゐ+≠お+雛′+輌什ゐz■ ･rご､ニ･､ 羞= ト.ニーこ/∵､_=2∫方 1.･√ ､､∫ ∴-ご､i 第6図(b)20cmスピーカ磁気回路 divβ=0の検定 策】表の階段積分法より動作点を求めるには弟1表より求めた 筏′と(18)式の方法で めた磁極空げき間の全パーミアンス吊が所 要の精度内で一致するようβ一丁上をかえて舞1表の階段積分法を行え ばよい∩

1142 _{昭和36年9月 日 立} fち′=￠花.1 Ⅴ乃.1 幸ろ 動作点より磁石の全磁位差 ∑∬仇J仇がわかり,これ が数値計算の場合の全磁位差10,000と等しいとおけばよ いのであるから,これによって磁石の特性とLaplaceの

方程式による磁界の計算とを結合することができる｡ゆ

えに使用材料のβからβ一方曲線に対するgがわかり, その方Jを境界値として与えなおす｡この手順6,7か ら手順2にもどって磁気回路の第別回近似まで行えば正 しい境界値が得られ計算が終了する｡ この方法は階段積分法を用い』ゐ区間だけ月一定とい う仮定をいれただけであとは何らの仮定,省略がないか ら実用的な最も一般性のある解法と言える｡ 第43巻 第9号 ､ ･･ ･ ･ ∴ 第8図 20cmスピーカ内部スカラーポテンシャル (工ルステ‖ノド) 石並化乃(工ルステ･リM 第7図 _{磁石の特性と20cmスピーカの動作点}

3.計

算

結

果 3･120⊂m内磁石形スピーカの計算 葬る図に20cmスピーカの構造,寸法を示す｡囲にお いて境界値の磁位はまず磁石両端で0∼10,000とし継鉄, 中心磁極に磁位降下なしとする｡磁石の磁位降下も直線 的に降下するものとして第一次近似をすすめる｡磁気回 路計算フローチャート(弟2図)にしたがって第二次近 似,第三次近似と境界値を修正する｡その動作点の変化 を弟7図に示す｡第三次計算における磁界計算のスカラ ーポテンシャルの値を第8∼11図に示す｡第三次近似で 動作点もほとんど動かないのでこの値で実験と比較検討 してみる｡弟】2図に _{料として①∼④4種類の磁石特} 性の実測値を示す｡これを20cmスピーカ磁気回路に組 込んで空げき磁束密度,内部磁界を実測し計算結果と比 較する｡ 各部のパー _{アンスの計算は(18)式により弟2表のよ} うに計算される｡階段積分するに』ぁの区域では細かす ぎるので8区域とした｡空げき部の漏えいパーミアンス は弟10,1】図の外部漏えいパーミアンス凡_わと有効磁 束を得る有効空げきパーミアンス昂▼∼および弟8,9図 よりの中心磁極と継鉄間の内部空げきパーミアンスから なる｡この階段積分法による計算は弟3表になる｡ここ で検討のため磁石両端に0.05mmの継ぎ目による空げき があると想定した場合も計算してみた｡弟2表はその継

ぎ目リラクタンスを尺yとして空げきパー

えた場合も併記してある｡ アンスに加 実測値と計算値の結果を弟4表に示す｡継ぎ目空げき βyなしとした場合も境界値としては弟9図磁石継ぎ目 部でわかるよう,表面に0.05mm空げきがある｡すなわ ち10,000に対し 45(弟3表(a)区域1より算出する)の 磁位差があることにして計算してある｡この場合1%以 内で完全に一致していると見てよい｡磁石内部まで 0･05mmの継ぎ目空げきがあるとして鉄心リラクタンス ガ〟を入れて計算すれば3･5∼2%の差があるようになる｡ いいかえれば磁石継ぎ目の工作が悪く0.05】¶mの空げき がつくと月ダで3%前後損をすることがわかる｡_､

弟13図に磁気回路内部の磁界分布につき第d図のズー

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第9図 20cITlス ピ ー カ ス カ ラ ー ポ テ ン シ _ャ ル

1144 _{昭和36年9月 第43巻 第9号}

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○ R▲ 舶○ 1ハnn 畳 弧▲ nnn h 賊 l llY■l ly l†れn 第10図 20cmスピーカ外部スカラーポテンシヤ′レ 第2表 各部のパー _{アンスの計算(第4図の記号による)} 空げき部 α-∂l中心磁極外側の漏えいパーミアソス J:有効空げきパーミアソス 腑考:このパーミアソスの値で第3表ほ計算される｡

･･･わH■■■i･l ･′l･こ ･､l▲i･■ 油11 m 徽l 兜▲ll 腺It q■】ミ▲ 仝R■〉E ErInt

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第11岡 20cmスピーカ空げき外部スカラーポテンシャル 0.001334 0.01744 57.35

カ

磁

路

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解

析

第3表(a)試料No.①磁石の空げき磁束密度哉の計算 第3表(b)試料No.④磁石の空げき磁束密度βげの計算 y線に沿って測定した値と計算値の比較を示す｡継ぎ口なしとした 場合値としては4%程度 があるが傾向としては全く一致している し,値としても0.05継ぎ口ありとした条件では値も一致している｡

実測値の誤差もこの測定では避けられないのでこの程

十.l-の一致が見 られればまず全体としてこの理論計算方法で十分に判定できる｡ 第3表(c)試料No.㊥磁石の空げき磁束密度β〝の計算 第3表(d)試料No.④磁石の空げき磁束密度月〝の計算 弟5表に漏えい係数を示す｡本計算に使ったものでは全磁束に対 し有効利用率は46.2%程度であることがわかる｡この方法により磁 石の特性の変化,いかなる特性が必要であるか,安全率はどの程度 か,起磁力損失係数,漏えい係数などすべて明確に諾っかる｡

1146 _{昭和36年9月} ､･､ ･/ 〝触∠βめズ〟 ク (か -1一 十 壁) (¥≠KJR) 肌貯G紋ヨ‥堅撃定義 第12図 βr′実測に便朋した25×30￠磁れの特性 ズ宍よりの冒巨郡 (爪爪ノ 第13図 20cmスピーカ内部磁界の実測値と計算値の比較 3.2 _{内磁石形スピーカ形状,寸法とβgの関係} 内磁石形スピーカ磁気回路設計にこの計算法を適用し一例をあげ る｡第14図の実験計画の割付表を利用すれば変数α,あ,ゐ,γの βぴに対する理論式が最も能率よく得られる｡ 磁石の特性はBr=12,500ガウス,Hc=675エルステッドのもの とする｡数値計算結果を弟d表に示す｡空げきが0.5mmで空げき

部継鉄の厚さ,すなわち空げきの

さが3mm程度では利用 は55 ∼65%程度になることがわかる｡そのβ伊を分散分析してみると策 7表のようになり,磁石の面積が80%程度のきき方を示している｡ 月〃一磁石の体積の関係にして示せば第15図となり,これを変数に 対する理論式の形になおせば(20)式となる｡ 第43巻 第9号 .･･･ ㌧ 只U こ≡義勇眉℃ ■母.畔儲鵬葺云ふ / l 〝 √ ///////プ/′// へ`〉 l 匂 円

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l 第14図 数 値 計 算 割 付 表 芸iほ斗番号 / _{7 ♂ イ ブ} ノ馳石の甲種r=β7〝♂7 〃7 ♂7 戊夕 繊石の應頚匹/ぬ 淵 2脚 2雄 ∫ 2 _∂ ご.､I ･､ ､､ヾ 22好 こ払/7 こ2釘7 第15岡 有 効磁束 照 度βJ 阜7=2,050(ゐ-0.45)+1,225(ぁー1.2)+13,700(γ｣-0.8) +20,160(あー0.45)(α-0.3)十5,200(か-1.2)(あー0.45) +雇 ただし 度=8,830ガウス これにより磁石断面積または体積などに関する β〝を 求めることができる｡空げき長さ,空げき探さも変数となるように して3水準,27要囚など適当な割付を選定してさらに有効な関係式 を求めることができる｡

4.加速L盲ebmqnn法の収れんについて(4)

2章(15)式より加速α,最大個有値g*,収れん回数りを検討して みる｡(15)式は(21)式として表現できる｡

喘1=や完+α〔鰐ン轄1,た巾ニュ1恒芸紺-4p完〕

(21)

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第4表 20cm内磁石形スピーカβ♂の計算値と実測値の比較 (単位ガウス) 第5表 漏 い 係 数 _げ(%)

∈完二P完 Pブ点

乃+1 eJた

∈完+α〔∈

弟+1 ノー1,た

+∈;1,た+∈ニ忘11

+∈ニ耕一4￡完〕

(22)式ほ一次変換であり,次のように表わせる｡

∈侶1=∬(α)∈完

Jた これを(22)式に代入して ∬∈ブ点=Eブ貞十α〔g∈ノーl,鳥+勺+l,鳥+∬EJ,貞一1巾J,点十1-4∈J烏〕 網目を正方形として毎を次のようにおく｡ ￡J烏=Aノ+たsin 汀γ(ノ+ゐ) ただし ブ,ゑ:1,2,･‥γ…Ⅳ-1 これを(23)式に代入して (且-1+4α)AJ+たsin

=2αA碑〔sin

汀γ(ブ+ゑ) 2Ⅳ 汀γ(ノ+鳥-1) ∬一1+4α=4αAcos ただし A2=∬とする｡ ≠=2cos . I● 2Ⅳ 2Ⅳ とおけば +sin 汀γ(メ+ゐ+1) 2.Ⅳ (23)

回

路

の

解

析

第6表.払 と _利 用 _率(%) 1147 1 ハ..､ 上J.., ざ ･/･.､､ J N llll.50019.48011.5391】 12.07019.02512.545】30.720】10.320113.130142.01 LO12.545124.56019,600112.220】40.797123.84814 111 1 】 】 1 】 15124.31019.460112,040136.120123.23014 12.36019.690】1.539】19.03016.99018,900L40.345124.07】 11.28019.90011.539117.370L 7,46519,495137.598123.428】54 L77019.65012.545129.950111.420114.530】40.791L24.13814 第7表 分 散 分 析 A2-2αfA+4α一1二0 のとき加速なし 加速ある場合,すなわち α2≠2-(4α-1)く0の場合 A=αf±l/ lAl=/ Liebmann法である｡ α> α2f2-(4α-1) 4α-1 のときにつき考える｡

㈲=4α一11Alは増加関数

α2f2-(4α一1)>0の場合 dA_ A才一2 dα A-fα A才一2くO A-fα=+/扉 _f2-(4α-1) >0

ゆえにAはαの減少関数である｡以上のことから(25)式の

小娘

がAを最大にする｡

α2≠2max-4α+1=0………(25)

fm≡1X=2cos 2Ⅳ =古2→ f2m且Ⅹ∼ f2m乱文 方*=4α一1=1一 ワ= loglO g* ただし _{り:収れん回数} Ⅳ 汀2 4Ⅳ2 2一打/Ⅳ 2.3レⅣ

レ:精度のけた数

(26),(27),(28)式より一例として30×30網目の場合を計算する

とα=0.474,g*=0.885,ワ≒88(精度4けた)となる｡

実際に収れんする状態を30×26網目のものでHITACr301で計算 させてみると第1d図となる｡境界条件が複軌こなるとαは若干修 正を要しα=0.45∼0.458付近が適当な値である｡本計算では網目の 大きさ40×40まで可能でその範囲に形状,寸法が入るようにして ある｡軸対称磁気担1路ではこの程度の大きさで実用になる計算が可 能であり,26×30 度でほ逐次近似の回数60回程度,40×40で80回

1148 _{昭和36年9月} ･こ' J汐 ､好 適次近似の回数 .名ク J汐 ､●､ 第16図■ h[li衷Ⅰノiebmann法のαの検討 程度で4けたの精度がとれている｡ 5.結 l:=l 従来磁気回路の解析ほ術中な磁路を仮定し,パーミアンスを求め 等価電気回路的に概算をするか,漏えい係数,磁位損失係数を既作 の形状寸法類似のものから推定して求めていたが本報告で電磁基 方程式の形のままで収扱う力法の一例としてスピーカ磁気回路を解 析してみた｡

(1)スピーカ磁気回路ほスカラーポテンシャルの場の1悶題とし

て取扱えるので空間は境界値を磁気川路の条件に適合するよう逐 次修正するLaplaceのプ沌皇式を解くことにより解析できる｡ (2)Laplace方程式を解くには加速Liebmann法を用いた｡

甲乙,g)

_{P㌃1,g,恒乙,Z_1)恒㌫,g,巾㍍+1,}

第43巻 第9号 ?犯=P伯 1+α(ゃれしp殉 1)………(15) (14),(15)式において網旧の大きさ30×30前後で は(r=0･45∼0･46付近で収れんがいちばん早い｡ (3)磁石,鉄心部分の特性読み込みはLaplaceの方 程式より求められた/ミー一 による｡ アンスと階段析分法の結合 A￠=-grad隼×計算すべき微小区域表面積 ｣J′ ｣小 _{上市日区域の漏えいパーミアンス} -/ 階段節分法より求めた全磁位差=10,000 により鉄心,磁T7部分と空間のLaplace方程式と結合 するっ (4)20cm内磁石形スピーカの場合,逐次近似は第 3次近似で空げき磁束密度萌を実験と比較Lた｡4種 類の特性の異なる磁石に対し1%以内の精度で→致し た｡磁気回路内部の磁界分布も値において4%以内, 傾向ほ完全に一致している｡ゆえに理論計算により精 度よくスピーカ磁気回路ほ設計,検討できることがわ かる｡Laplaceの方程式と階段積分法の結合によれば 2,000 (5) 千rこ 】lIl 度の計算機でも実抑こなる計算ができる｡ 数値計算の変数は実験計画法の割付け _を利用 すれば最少の組合せで磁石の高さゐ,半径γ,継鉄と 磁石問の空げきあ,中心磁極底面と継鉄間の距離α, または空げきの長さJく′,空げきの探さ行などに対する 関係式を求めることができる｡一例として∼(′,fを一 定としてα,ゐ,ゐ,γをかえた計算例を示せば内磁形 スピーカ空げき磁東密度月ど′に対し次式が得られる｡ ただしBr=12,500,Hc=675の磁石を用いる｡ 動=2,050(れ-0･45)+1,225(ぁー1.2)+13,700(γ-0.8) +20,160(か-0･45)(α-0.3)+5,200(ぁー1.2) (わー0.45)+磨 これにより磁石休債一旦′など必要な諸関係,係数を 求めることができる｡, 以上スカラーポテンシャルの場の問題とLてLaplace のプJ程式だけによる場合の計算方法せ述べ,実用上この 方法が最も一般性のある解法であることを報告した｡ 終りに検討の機会を与えていただいた研浜二l二場ラジオ部加藤部 長,頁利課長,米村主任に厚くお礼巾しあげる｡計算に閲し種々ご便 宜をいただいたコンピュータ部甜.【用良太田誹長に深謝する｡ 参 薯 文 献 茂木晃="磁気回路"基礎電気工学講座14共立(昭34-7) R･K･Tenzer:"漏えい係数計算式∵Conf.on Mag.and Magmats(1956) (3)二見二郎:"磁石を合む回転対称磁気回路町磁気特性"信 学誌(昭34-12)

(4)S･P･Frankel:"ConverざenCeRatesofIterativeTreat-ments _of PartialEquatlOnS"Mathematicaltables _and