下降傾斜管内の跳水現象に関する基礎的研究 I : 単一跳水現象に対する運動量原理の適用

107

下降傾斜管内の跳水現象に関す る基礎的研究

工

:単

一 跳 水現象 に対 す る運 動 量原理 の適 用

井 上 光 弘

(鳥取大学農学部農業水利学研究室)

FUNDAMENTAL STUDIES ON THE HYDRAULIC」

UMP IN

CIRCULAR CONDUITS

VITH DOA/VNGRADE SLOPES

PART I:

Applicttion of thc Momcntum Princゃ le For a Singlc,Stcady Hydraulic Jump

by

A/fisuhiro INOUE

O砂

クガ物♂″サ宅′r/″_を,どゲ。″,″どD々,脇Ttt EΥゲ″″ガ生,デπ ク′ウ てア ンを万σク″夕″ワ,Tοyザ_{。ガ レ タゲυ￠容ゲ妙}

)

Vhen an air pocket is lormed at the summit oF a Pipe line or in circular conduits with downgrade slopes, the conduit allows only partial ttlow and a hydraulic iump usually occurs at the end of the air pocket, The tump in a closed conduit can be analyzed by the use Of the momentum principle in much the same manner as is done with an open channel iumP・

This Paper presents a one― dimensional momentum equation which takes a

term of 2ir pocket pressure into the momentum principle, and veri￡ ies the momentu■l relationship by which data on the hydraulic characteristics of the single,steady hydraulic tump in sloPing Circular conduits can be correlated.

I。 ま え が き 最近

,畑

地カ ンガイ事業やホ場整備事業に伴 って

,わ

が国の農業用水路も

,大

型農作業機械の運行上の障害除 去

,悪

水汚水の流入防止

,水

管理の 自動化などの有利な 条件をもつパイプライ ン方式へ と移行する傾 向にある。 さらに

,幹

線用水路そのものが

,小

口径管路か ら大 口径 管路へ と

,ま

た低水頭の利用か ら高水頭の利用へ と変わ るにつれて

,パ

イプライ ンの設計施工に, より高度な技 術が要求 され るようになった。 しかも

,農

業用管水路で は,カ ンガイ期

,非

カ ンガイ期があるため

,管

内に空気 が存在する可能性が増 し

,送

水能力の低下や通水時の破 壊など

,送

水管内の空気の影響を見のがすわけにはいか な くな った。た とえば

,管

内に空気が混入 あるいは残留 す る理由として,J.E.Lescowichl)も 述 べ て い る よう に,

(J

パ イプラインを満流させる過程において

,管

内に 存在 していた空気は

,管

路の項部や

,断

面の大 きさや形 が変化する部分に

,残

留する。 鳥取大学農学部研究報告

XXⅥ

1974

)ヒ 12)動水 コウ配線が

,管

路縦断線以下になるような負 圧域では

,不

良な継手部分 (正圧な ら漏水する

)か

ら, 空気が管 内に侵入 して くる。 (3)下降傾斜管 内で, 自由水面をもって

,滝

のように 流れる状態では

,そ

の下流で跳水現象が起 こり

,白

濁流 となって

,多

量の空気を下流に連行す る。 に

)部

分開したゲー トの下流側で生ず るυd水現象によ って

,空

気が混入 される。 口 取水口の水位が低い場合には

,渦

作用によって, 空気が取水 口の中へ と引き込 まれてい く。 俗

)揚

水 ポンプの渦作用に よって

,流

水の 5∼10%の 空気がパイプライ ンの中へ圧送 される。 係

)水

の中に溶解 していた空気は

,管

内の水温上昇, あるいは圧力低下する所で, 自由空気 として

,流

水中に 放 出される。 などが列挙されるが

,管

内の空気は, とくに下降傾斜 管内にエアポケ ッ トとして存在する場合が

,大

きな水頭 損失の原因になることが知 られている。そ こで

,下

降傾 斜管内の流動現象に注 目して

,実

験的考察を行な った。 用水が

,開

水路か ら逆サイホ ン内に流入する場合に, その トランジシ ョンや

,下

降傾斜管内で

,種

々の複雑な 水理現象が観察 され るが

,た

とえば

,流

量が少ない場合 には

,開

水路の水深は低 くなるため

,流

水は管路内へ, Cascading flow(滝のようになって流下する流れ)と なって流れ込み

,そ

の下流が満流 していれば

,そ

の境界 で

,管

内の跳水易象が観察 され る (このような場合には 跳水が生ずる直前 の気相の空気圧は

,わ

ずかに負圧であ るか,あるいは

,ほ

ぼ大気圧付近である)。 一方

,送

水パイプラインで

, Air Binding現

象によ

Fig. l Single, Steady Hydraulic 」ump in SIoPing Circular Conduits って集積 した空気が

,流

水の抗力

,気

泡の浮力

,壁

面の セ ン断力

,な

どの力学的関係で

,下

降傾 斜管 内 に 停滞 し,よ り大 きな安定 したエアポケ ッ トが形成 さ れ た 場 合には

,そ

のエアポケ ットの下流端で,り【水現象が観察 さ れ る(このような 場合 には

,跳

水が生ず る直前の気 相の空気圧

,つ

ま り

,エ

アポケ ッ トの空気圧は

,そ

の部 分がサイホ ンでない限 り

,正

圧 である)。 跳水現象のう ちで

,比

較的

,流

量が少ない場合には

,跳

水によって連 行 された空気が

,浮

力による上昇作用 と,υK水による渦 作用によって

,跳

水部を循環するだけで

,跳

水の下流側 には

,連

行空気 の合体によって形成 されるエアポケ ッ ト が観察されず

,全

体 として

,跳

水現象がただひとつだけ しか存在 しない場合がある。 これ を 単 一 跳 水 現 象, ('軽たSル_{クカ 夏ガ紹″″θ力の と呼ぶ。} このような 下降傾斜管 内 の 定 常 的 な 単一jl・_lL水現 象 に 対 して , A.A.Kalinskeら 2)が_{解析に用いた運動量原理に,さら} にエアポケ ット内の空気圧を考慮に入れて

,一

次元運動 量方程式を誘導 し

,単

一跳水現象に関するデーターを, 整理することを試みた。 Ⅱ

.単

一跳水現象の一次元モデル

Fig.1

_{に示す ような単一眺水現象の部分には}

_,気

泡 がほとんど存在せずに高流速で流れる領域 (管の底部付 近のクサ ビ形領域

),空

気 と水が混合 し

,渦

が見 られる 領域 (管の中央部付近の混相領域

),跳

水の衝撃による しがきが見 られる領域 (管の上部付近でエアポケットと の境界領域

)が

観察 さ注 る。 ところが

,跳

水の渦作用な どを解析 して

,単

一跳水によるエネルギー損失などを算 定するのは

,芽

常に困難なので

,跳

水が生ず る直前の断 面 (以下

,跳

水 直 前 断 面 とい う) と,llL水後の管底部の流速が衰えた 所

,つ

まり管底部での圧力測定値が 最大を示す断面 (以下

,跳

水後圧力 最大断面 とい う

)と

で

,運

動量原理 を適用することによって

,跳

水に よ る損失水頭を算定することを 目的 と して,Fig。

1

のような単一跳水現 象を

Fig.2の

ように

,一

次元的に モデル化した。 ここで,Qaは 連行空気量 (c /sec

),Qヾ

は水流量 (c /sec), θは 管 の 傾 斜 角 度 (°

),Dは

管径 ( Cm)であり

,単

一跳水の長さLの 定 義 として

,眺

水直前断面①は

,水

面

⑥・…A layer Of water near the bOttOm in which :舞ri!Fle quantities o￡ air bubbles and

e… A稗

1欝

鑑 総

r七

ざ胤 監急

盈無

③¨

・

AleI‰

!;罵

ぽ常

v孟

離

iCh large w卜 Fig, 2 0ne dimensiOn21 model of single, Steady

Hydraulic ア

ump

の上昇開始点を観察 して求 め

,跳

水後圧力最 大 断 面 ② は

,管

軸 に沿 ってl cm毎_{に設 けた ピエブ メー ターの値 を} 実験 で測定 して定 め

,そ

れ らの断面間の距離 を,ツd水下 部 の長 さ LJ(clll)と定義 し

,そ

れ らの断面 間の管 の上 部 を見 て

,水

の存在す る長 さを

,跳

水上部 の長 さ

Lu(

Cm)と_{定 義 した。単一跳水 の場合}

_,眺

_{水後圧力最大 断面} の決定が非常に困難で

,圧

力測定値の最大値が連続する 場合には

,そ

の中央の位置や

,跳

水後で気泡の合体が確 認できそうな地点などを参考にして

,実

験 的 に 決定 し た。 また

,高

流速で流浄 る液相⑥ と

,渦

が見 られ る混相 領域◎ との境界を平面 と仮定 して

,眺

水の重 さを算定 し た り

,管

壁に沿 うようにわずかなが ら弯曲した水面を完 全に水平 と仮定 して流積を求めて

,平

均流速を算定 した り

,眺

水後圧力最大断面の混相領域に対 しては均質混相 流理論を用いて平均流速を算定 した。 Ⅲ.円 形断面による諸量の計算 円形断面の半径Rと Xyz軸を Fig。

3の

_{よ う に と る} と

,円

の方程式

Z2+0_っ

2事

■2ょ_り,を

=±

プ 2■

_,一

_{ノ2と な り}

_,断

_{面①において, 水面幅}B■, 流積

A.は

, β

.=2/2￡

7.― r.2 .…_………・・(」l

4.=2∫

;1/2買

ク

ー

ー

プ

ア

ゥ

=(F■

― 買

)/2買

7.-7■2 +R2,々θο

s(1-F1/R)…

_………,(2) 下降傾斜管内の跳水現象に関する基礎的研究 FV=∫

;

cross section vertical section

Fig. 3 xyz―system of coordinates at the sections ① ② ここで

,R;管

の半径 (硼), B■ ;断面① での水面 幅 (m), S■ ;断面①での水面 か ら図心 までの距離

(

cm),Y■ ;断面① での水深

(cm),ILu;跳

水 上部 の長 さ

(cm),L,;跳

水下部の長 さ

(cm), Va;気

相部 分 の体積

(cd),Vm,混

相部分 の体積 (

),Vv;

液相部分 の体積 (c ) とな り, これ らは与え られた管径に対 しては,Y■ のみ の関数であるか ら,(2)式をfA(Yl)とぉ くと

,

この流 積に対する断面一次モーメント

N,

お よび水面か ら図 心までの距離 S■ は 2ノ

_/2勲

―プ

2ヵ

―÷

(2買7■

―

Y■

り

γ

2+買

。

比的 …

9

Sl=F.―

_vEA(Yl)…

……… …Ⅲ……Ⅲ……… は ' となる。 これ らは

,管

径

D(=2R)が

与え られ ると, Y■ _{だけの関数 として求め られる。} また

,跳

水の重さを算定するために

,

断面① と 断 面 ② との間の体積 として

,

液相の部分

Vw,

気相の部分

Va,混

相の部分

Vmを

計算する。 まず

,Vvに

つ い て は

, x:y=LJ:Y.ょ

り, y=(Y■/LJう

xを

(21式に 代入すると, 7″

=∫

:J4,″

事

∫

:J〔

21;

72約

一

′

2ヵ

_〕

JI

=LJ(F.―

買

){(7・

一

つ

1/2資r■

-7.2

+買

杉″

ο

S ( 1-キ

) } 十 甲 ∠

72資

7.―-7.2 .… .¨¨。 (5)

弘 光 上 井 となる。 これは

,管

径が与え られ ると

,L,

とY■ _の関 数となるので,(5)式は

[V(LJ,Yl)と

ぉける。 次にVと は,(d式の L〕 の代 りに (L,一

Lu)を

,ま たY■ _{の代 りに (D一}Y■

_)を

_{代入すれば求まるので} 乃

=fv o一

L″

,D-71)・

_………俗) とな り

,Vnに

ついては, 円柱の体積か らVゞ と Vaを 差引けば求まるので, 7″=2π買2L〕 _fv(L〕 一L″

,D-71)

一fv(L〕 , 7.)・中●¨“¨………・・…………・……"……“,(7) となる。上述の円形断面に よる諸量は

,管

径

,水

深

,跳

水の長さの関数 として求ま り

,以

下述べる運動量方程式 の各項の計算に用い られる。 Ⅳ

,運

動量方程式 検査面①における全圧力を

Fl,全

運動量を M■_{, 検} 査面②における全圧力を

F2,全

運動量を

M2,

検査面 ① と②に囲まれた領域における跳水の重 さを

W,壁

面の マサツカを Ffと すると

,一

般に

,運

動量の一次元方程 式は

Fl+ν

■

=F2+ν

2 7Sttθ

+Fy・

………俗) で与えられ

,各

項について説明すると

,次

の よ うに な る。

1)F.に

ついて 全圧力

Flは

,液

相における全圧力Fwi と気相にお ける全圧力 FAlと の和で与え られ るが

,Fwlの

値 は, 気相の圧力

,つ

ま り

,エ

アポケ ッ トの空気圧 Paの値に よって 左 右 さ れ る。空気圧 Paは

,管

底部の圧力測定 値´■より

,近

似的に

,Pa=(´

1//w一Y■ cosの rwと な る。 ここで,ィvは

,水

の単 位 体 積 重量 (夕/

)で

あ る。 さらに

,液

オロ内が静水圧分布であると仮定すると, 水面か ら図心までの距離 S■ を用いて

,Pa=0の

_場合 の液ホロの平均圧力が,S■・COSθ_・

rv

となるか ら

,液

相 による全圧力Fド_1は, Fωl=(Slθο∫θ・/″ 十(少1//″ -7■ θοsθ)r″ }4■ (9) となる。気相による仝圧力 FAlは

,管

断面積をAp(C ₎ とすると

,Pa(Ap一

Al)と

なる。つま り, F/11=(少1/r″―r.οοsθ_).r″ C4ψ となる。 したが って

,仝

圧力F■ _{は整理 して},

FI=紗

■-7■ ιοdθ_・r″ }4´ +S■ σttθ・r″・4■・・・10 となる。

2)M.に

ついて 全運動量 M■ は

,液

相における全運動量Mwこ と気相 における全運動量 MAlの和で与え られ

,

運動量補正係 数を,1.0と す ると

,そ

んぞれ

,Mwl=γ

ャ・υ

w12.A1/

g;Mal事

ra・ υa12(Ap一

Al)/gと

なる。ここで,υwi

は, 液相での平均流速

(cm/sec),gは

重力の加速度 (

cm/sec2),γ aは 空気の単位体積重量 (ア /c胡),υalは気

相での平均流速 (cm/sec)で ある。 したが って ν

_{.=_聖}

生聖正笙上 十二空笙聖坐生

=II…

……12 となる。

3)F2に

ついて ピエブメーターの水位を水面 と想定 して

,静

水圧分布 を仮定 し

,検

査面②での混相流の平均単位休積重量を, rm(夕/c )とすると, 断面②に作用する全圧力F2は, 円形断面の中心が図心であるか ら

,図

心での圧力

,つ

ま り平均圧力 と

,管

断面積

Ap

との積で与えら浄る。 し たが って

,

管底部の圧力測定値を ´2(夕/C

)と

する と

,円

形断面の中心での圧力は,´2 R cosθ・/mとな るか ら,

F2=(´

2 買

ιοSθ_{・ 砕 )4夕 …… …・}・・・・・・・10 となる。

4)M2に

ついて 断面②における全運動量

M2は

,

混相流の平均流速 を

,扉

(c /sec)と し

,運

動量補正係数を

10と

仮定す ると, ν

₂₌

…… … … … 報 む となる。 ここで,γm,υ

mは

気水混相流を均一 単 相 流 (水と空気 は一様に混合 していて

,水

と空気 との相対速 度がない流れ)と してモデル化 し

,均

質流理論の関係式 より求めることができる。すなわち

,混

相 流の 流 量 を

Qn(c

/sec)と すると

,質

量保存則 より

, Qw/w十

Qa ra=Qm rmとな り,また

,水

と空気 との相対速度が ない ことか ら

,Qwキ

Qa=Qnと

なる。 さらに

,気

体体 積率をβ

C Qa漁

け とする

h感

=Tギ

_π 舗 ,

Qmな

る関係式が得られる。 したがって

・一岬

〓 Ｑ r″ =Crrク 0,十r″ 0″)/Q″

事膨鵠

+翔

_{≒ … …… …Щ}

9

下降傾斜管内の跳水現象に関す る基礎的研究 となる。 また

,混

相流の平均流速 クnは, υ″

=0"/4ψ

= O″

(1+β)/4,

……・・“………・10 で求め られる。 5)w sinθ について 跳水 の重 さ

Wは ,液

相領域の重さ

W{,

気相領域の 重 さ

Wa,混

相流領域 の重さ

Wm,

の和 として与え ら れ る。つま り

,そ

れぞれの体積が,(「Dl式,16)式,P)式よ り

,液

相部分の体積

Vw,気

相部分の体積

Va,

混相部 分の体積

Vn,と

して求 まるか ら

,跳

水 の 重さは

,そ

れぞ浄の領域での単位体積重量をかけて

,WW=VW。

rw,Wa ttVa・

/a,W凪 =Vm・

γ

m

とな り, したが っ て

,跳

水の重 さの管軸方向の成分は, フアs力θ=(7″ ・rω +7″ ・

/,+7″

・ γ″)Sゲ″θ10 となる。 6)F【 について 壁面のマサツカは

,厳

密には無視できないけ浄 ど

,管

壁の底部では

,マ

サツセ ン断力は上流側に働 き

,上

部で は

,眺

水の渦作用に よって逆流部分が生 じ

,マ

サツセ ン 断力は下流側に働 くなど

,非

常に複雑であるにもかかわ らず

,実

験供試管が水理学的に滑 らかである。 したが っ て

,管

路底に平行なすべての有効な力を考えるとき

,絶

対値 も小 さく,また一方向だけでないので

,壁

面 のマサ ツカ FFを 無視することにする。

V,実

験方法と計算手順 実験装置には

,流

量 自動制御装置を主体 とした循環水 路系を用い

,流

量は高水槽か ら自然流下させ

,オ

リフィ ス流量計で測定 した。実験供試管には

,内

径92mmの_透明 塩 ビ管を使用 し

,圧

力測定装置としては, この実験管の 底部に管軸に沿 って,101Mll毎に内径l llDllのピエブメーが ニ ップルを 設 け

,単

管マノメーが―によって

,管

内の 静水圧を測定 した。一方水深 Y■ は

,

検査面①での管 壁に沿 った潤辺

MLを

測定 し, 管の内径を

D,外

径を D。 _{とした とき},

7.=手

― ÷ ω

S(ギ

祭 〉…… …・・l181 なる式で求め,また

,流

速は流量

Qwを

流積 A■ で除 して

,平

均流速υwiと して求めた。 実験に よって

,水

温,オ リフィス流量計の差圧

,断

面 ①で の 潤 辺, エアポケット内の空気圧

,跳

水上部の長 さ

,眺

水下部の長 さ

,断

面①

,②

での ピエブ水頭および 位置水頭

,以

上10個の物理量を測定 し

,次

のような諸量 を計算 した。すなわち

,オ

リフィス流量計の差圧か ら求 めた流量 〔Qv〕 , 潤辺 よりιO式で求めた水深 〔Yl〕 , ピエゾ水頭 と位置水頭 より求め た 圧 力 水 頭 〔夕」/γW, ´2/″W〕

,

エアポケ ット内の 空 気 圧 と水温より求めた 空気 の単位休積重量 〔γaヽ〕

,

跳水の長 さと位置水頭 の 差 より求 めた管の傾斜角 〔θ〕

,

水理水深

(YD=A■

/ B■

_)を

_{水理特性長 として定義 し た フルー ド数} FRよ り β

=0.0066(FR-1)と

4なる Kalinskeら の式で求め た気体休積率 〔β〕

,跳

水の長さ と水 深 よ りい)式,(6) 式,倖)式を用いて計算された跳水の重 さ 〔W〕

,水

温に よって決まる水 の単位体積重量 より明式を用いて求めた 混相流の単位体積重量 師下〕の諸量である。 Ⅵ

,実

験 結 果 これ らの諸量より,は,式か ら10式の各式に代入 して計 算 したものと

,水

の単位体積重量 γ

wを

水温に よらず近 似的に1.0′ /cfと仮定 し

,空

気の単位体積重量 γ

aを

無 視 して

,各

項を計算 したもの とを比較 した結果

,ほ

とん ど差異が認め られなかった。したが って,γ

w=1・

0, γ

]=0と

して諸量を計算 し,俗)式の運動 量 方 程式の左 辺

(F.+Ml)と

右辺

(F2+M2 WSinの

を 両 座 標に とってプロッ トすると

, Fig,4の

ような結果を得た。 Ⅶ

,あ

と が き 運動量原理の適用は

,開

水路の跳水現象などには

,よ

く用い られる手段である。管 内眺水現象に適用 した研究 としては

,E.恥

π

.Laneと

C・ E.Kindsvater3)が ,

水平管に対 して,また

,A.A.Kalinskeら

2)が

,傾

斜 管に対 して

,初

めてであろう。筆者は

,下

降傾斜管内跳 水現象に適用 し, とくに,エアポケ ッ トの空気圧が

,大

気圧以上の場合に対 して, 傾斜角を,6.0°

,望 ,上

5。,11.5。,195° ,235。,26.5。

,の

7種類について実 験を行なった。

Fig.4か

ら明白なように

, 5%誤

差以 内で

,一

対―の直線上にの り, こかに よって,エアポケ ッ ト内の空気圧を考慮に入れた管内跳水現象に関する実 験データが

,均

質流理論を用いて

,運

動量原理に よって 相関づけられ ることが立証された。

弘 光 上 井

o

θ

=6.0

0

θ

=8.5

X

θ

=10.5

Δ θ

=■

.5

7

θ_=19,5 。 θ_=23.5

e

θ_=26.5 3 4

F2+M2=WSin

θ

Fig.4 VeFifiCatiOn Of MOmentum Principle (1000意 )

Joseph E.Lescovich : Locating and Sizing Air―Release Valves,デ 錫″″,′

47T74,

457-458 (July 1972)

A.A.Kalinske and J.h4. Robertson :Closed

Conduit Flow,″″♂￠σ12gs AI鴻,1141-1153

(Sep・1942)

の. E.恥「

.Lane and C.E.Kindsvater:Hydr―

aulic」ump in Enclosed Conduits,β ttFゲ″♂ワ″―

ゲ管 N夕ω併 支ヮθο″Js,315-817(Dec.1938) 献

文